Curso: Ecuaciones Diferenciales (MB155)

EXAMEN FINALPeriodo Académico 2014-I

PROBLEMA 1. [5p] Determine la función de transferencia considerando la señal de entrada

u(t ) y la señal de salida, la caída de tensión

v5=I5 R.

Ecuaciones

(s2+ 27 sRC + 1LC )Y (s )=(−s2+ 1

LC )U (s )

FT=Y ( s)U ( s)

=(−s2+ 1

LC )(s2+ 27 sRC + 1

LC )

PROBLEMA 2. [5p] Resuelva el problema de la cuerda vibrante, con valores iníciales y de frontera dado por:

∂2u∂ t2

=9 ∂2u∂ x2

; 0<x<2 ; 0<t

u(0 ; t ) = u(2 ; t ) =0 ; t>0u( x ;0 )= f ( x ) ; 0<x<2∂ u∂ t

( x ;0)=0

u( x ; t )= f ( x ) .g ( t )

u( x ; t )=∑ [bnsen ( nπx2 )] .[cncos ( 3nπ t2 )+dn sen(3nπt2

)].u( x ; t )=∑ [ 8

n2 π2sen( nπx

2)] .[cos( 3nπ t2 ))] .

Rpta.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2f(x)

PROBLEMA 3. [3p] Un tanque mezclador contiene inicialmente 500 litros una solución salina, con una concentración de sal de 0,2 kg/litro según la figura, luego durante los primeros 10 minutos de operación, se abre la válvula A, añadiendo 12 litros/min de una solución salina, con una concentración de sal de 0,4 kg/litro. Después de 10 minutos, se cambia a la válvula B, la cual agrega una solución salina de concentración 0,6 kg/litro a 12 litros/min. La válvula C elimina 12 litros/min, manteniendo constante el volumen. Utilizando la transformada de Laplace determine la concentración de sal en el tanque como función del tiempo

A

B

12L/min0,4kg/L

12L/min0,6kg/L

C

Calculo de la masa inicial = concentración *volumen =500 *0,2 = 100 RESOLUCION

Flujo masa =caudal *concentración =12*0,4 0≤ t ≤10 dmdt

=12∗0.4− m500

.12

Flujo masa =caudal *concentración =12*0,06 10≤t ≤20 dmdt

=12∗0.6− m500

.12

Concentración: 0.4 + 0.2 U(t-10) dmdt

=12∗(0.4+0.2U (t−10))− m500

.12

dmdt

=4,8+2 ,4u ( t−10 )− m500

∗12

|dmdt

+0,024m=2,4u (t−10 )+4,8

Tomando la transformada de Laplace

sM−100+0,024 M=2 ,4. e−10 s

s+ 4,8s

0 10 20

M=2 ,4. e−10 s

s (s+0,024)+ 4,8s (s+0,024)

+ 100s+0,024

m ( t )=1000u (t−10 )−1000u (t−10 )e−0,024 ( t−10)+200−100e−0,024 (t )

PROBLEMA 4. [5p]En la siguiente tabla se muestra, en la primera columna, la gráfica de una función que depende de t y en

la segunda columna la transformada de Fourier de dicha función, se pide la regla de correspondencia y

su grafica de la función que depende de w (justifique).

f(t) F(w)

F (w )=∫−2

2

4 e−iwt dt=8 sen (2w )

w

F (w )=∫−2

0

(2+t )e−iwtdt+∫0

2

(2−t)e−iwtdt

F (w )=( 2 sen (w )w )

2

LOS PROFESORES DEL CURSO: Kurokawa/Rojas/ReynaLima, 10 de diciembre del 2013