Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera

1

SESIN 8

Tema: Derivada de una Funcin

1. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) 5 4

2( ) 3 55 2

x xf x x

Solucin:

4 35 4

'( ) 3(2 )5 2

x xf x x

4 3'( ) 2 6f x x x x

b) 2 2 23 36 63 18 9 6

( ) . .2 7 5 13

f x x x x x x x x

Solucin:

Primero reescribimos la funcin

2 1 2 1

23 6 3 63 18 9 6

( ) . . . .2 7 5 13

f x x x x x x x x

2 7 5 13

3 6 3 63 18 9 6

( )2 7 5 13

f x x x x x

Ahora derivamos la funcin usando la regla de potencias

1( )n nd

x nxdx

2 7 5 13

1 1 1 13 6 3 6

3 2 18 7 9 5 6 13'( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 7 6 5 3 13 6f x x x x x

2

3

1 1 7

3 6 6'( ) 3 3f x x x x x

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2

2 73 66

3

1'( ) 3 3f x x x x

x

c) 5 4 3 2

8 3 2 1( )

5 2f x

x x x x

Solucin:

Reescribiendo la funcin dada, usando la ley del exponente negativo:

1 nn

xx

25 4 38( ) 3 2

5 2

xf x x x x

Derivamos la funcin usando:

1( )n nd

x nxdx

2 15 1 4 1 3 18 2( ) ( 5 ) 3( 4 ) 2( 3 ) ( )

5 2

xf x x x x

6 5 4 3( ) 8 12 6f x x x x x

d) 20 12 8( ) ( 6 )( 2 )f x x x x x

Solucin:

Derivamos usando la regla del producto

( . )f g f g gf

20 12 8 8 20 12( ) ( 6 )( 2 ) ( 2 )( 6 )f x x x x x x x x x

20 12 7 8 19 11( ) ( 6 )(8 2) ( 2 )(20 72 )f x x x x x x x x

27 20 19 12 27 19 20 12( ) 8 2 48 12 20 72 40 144f x x x x x x x x x

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3

27 20 19 12( ) 28 42 120 156f x x x x x

e) 33 3( ) ( 5).( )f x x x x

Solucin:

Derivamos usando la regla del producto

( . )f g f g g f

1 1

3 33 33 3( ) ( 5)( ) ( ) ( 5)f x x x x x x x

1 2 1 2

2 33 3 3 31 1

( ) ( 5)(3 ) ( ) ( )3 3

f x x x x x x x

7 1 2 7 1

23 3 3 3 31 5 1 1

( ) 3 153 3 3 3

f x x x x x x x

7 1 2

23 3 310 2 5

( ) 153 3 3

f x x x x x

2 73

3 23

10 2 5( ) 15

3 3 3f x x x

x x

f) 3

3

1( )

1

xf x

x

Solucin:

Primero reescribimos la funcin 1

3

1

3

1( )

1

xf x

x

Derivamos usando la regla de cociente

2( )f gf fg

g g

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4

1 1 1 1

3 3 3 3

1

23

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )( )

(1 )

x x x xf x

x

1 2 1 2

3 3 3 3

1

23

1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )

3 3( )

(1 )

x x x x

f x

x

2 1 2 1

3 3 3 3

1

23

1 1 1 1( )

3 3 3 3( )

(1 )

x x x x

f x

x

2 1 2 1

3 3 3 3

1

23

1 1 1 1

3 3 3 3( )

(1 )

x x x x

f x

x

2

3

1 1 2 1 21 1

2 2 2 233 3 3 33 3

2

2 2 23'( )

(1 ) 3 (1 ) 3 ( )3 (1 ).

x

f x

x x x x xx x

2 233

2( )

3( )f x

x x

g) 3 2

4 3

2 7( )

x xf x

x x x

Solucin:

Derivamos usando la regla del cociente

2

f gf fg

g g

4 3 3 2 3 2 4 3

4 3 2

( )( 2 7) ( 2 7)( )( )

( )

x x x x x x x x x xf x

x x x

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5

4 3 2 3 2 3 2

4 3 2

( )(3 4 ) ( 2 7)(4 3 1)( )

( )

x x x x x x x x xf x

x x x

6 5 5 4 3 2 6 5 3 5 4 2 3 2

4 3 2

(3 4 3 4 3 4 (4 3 8 6 2 28 21 7)( )

( )

x x x x x x x x x x x x x xf x

x x x

6 5 4 3 2

4 3 2

4 2 26 19 7( )

( )

x x x x xf x

x x x

h) ( ) ( 3cos )f x x senx x

Solucin: Derivamos usando la regla del producto ( . )f g f g gf

( ) ( 3cos ) ( 3cos )f x x sen x x sen x x x

( ) (cos 3 ) ( 3cos ).1f x x x sen x sen x x

( ) cos 3 3 cosf x x x x sen x sen x x

( ) ( 3)cos (3 1)f x x x x sen x

i) ( ) 1 2 cos 5f x xsenx x x Solucin:

( ) ( 1)(2 cos 5) ' (2 cos 5)( 1)f x x sen x x x x x x sen x

'( ) 2( 1)( cos ) ' (2 cos 5)( ) 'f x x sen x x x x x x sen x

'( ) 2( 1)( cos ) (2 cos 5)( cos )f x x sen x x sen x x x x x x sen x

2 2 2 2'( ) 2( cos cos ) 2 cos 2 cos 5 cos 5f x x sen x x sen x x x sen x x x x x sen x x x x sen x

2 2 2 2'( ) 2 2 cos 2 2cos 2 cos 2 cos 5 cos 5f x x sen x x sen x x x sen x x x x x sen x x x x sen x

2 2 2 2'( ) 2 cos 2 4 cos 2 5 cos 2cos 5f x x x x sen x x sen x x x sen x x x x sen x

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2 2 2 2'( ) 2 cos 2 (1 cos ) (4 5 2)cos (2 5)f x x x x x x sen x x x x sen x

2 2 2 2 2'( ) 2 cos 2 2 cos (4 5 2)cos (2 5)f x x x x x x x sen x x x x sen x

2 2 2'( ) 4 cos (4 5 2)cos (2 5) 2f x x x x sen x x x x sen x x

j) 3

( )( )

1

sen xf x

x

Solucin:

Derivamos usando la regla del cociente

2

f gf fg

g g

Entonces:

3 3

3 2

( 1) ( ) ' ( 1) ''( )

( 1)

x sen x sen x xf x

x

3 2

3 2

( 1) (cos ) ' 3'( )

( 1)

x x x sen xf x

x

k) ( )1

x senxf x

tgx

Solucin:

Derivamos usando la regla del cociente

2

f gf fg

g g

Primero reescribir la funcin, usando la identidad:

tancos

sen xx

x

Entonces:

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7

cos( )

cos1

cos

x senx x sen x xf x

sen x x sen x

x

2

( cos )( cos ) ' ( cos )( cos ) ''( )

( cos )

sen x x x sen x x x sen x x sen x xf x

sen x x

2

( cos )( cos ( cos ) ') ( cos )(cos )'( )

( cos )

sen x x sen x x x sen x x x sen x x x sen xf x

sen x x

2 2

( cos )( cos (cos cos )) ( cos )(cos )'( )

2 cos cos

sen x x sen x x x x x sen x sen x x sen x x x sen xf x

sen x sen x x x

usando la identidad: sen2 x + cos2 x = 1

2 2( cos )( cos cos ) ( cos )(cos )

'( )1 2 cos

sen x x sen x x x x x sen x x sen x x x sen xf x

sen x x

2 3 2 3cos cos cos

'( )1 2 cos

sen x x x sen x sen x x x xf x

sen x x

l) ( ) lnf x x x x

Solucin:

Recordar que la derivada del logaritmo natural es: 1

(ln )d

xdx x

'( ) ( ln ) 'f x x x x

'( ) ( ln ) ' ( ) 'f x x x x

1'( ) ( ln . ) 1f x x x

x

'( ) ln 1 1f x x

'( ) lnf x x

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8

m) 3

ln( )

ln

x xf x

x x

Solucin:

3 3

3 2

( ln ) ( ln ) ' ( ln ) ( ln ) ''( )

( ln )

x x x x x x x xf x

x x

3 2

3 2

1 1( ln ) ( ln . ) ( ln ) (3 )

'( )( ln )

x x x x x x xx xf x

x x

3 3

3 2

( ln ) ( ln 1) 3 ln ln'( )

( ln )

x x x x x xf x

x x

3 2 3

3 2

ln 2 ln'( )

( ln )

x x x xf x

x x

2 3 3

3 2

ln 2 ln'( )

( ln )

x x x xf x

x x

n) cos

( )ln

xe xf x

x

Solucin:

2

( cos ) ' ln (ln ) '( cos )'( )

(ln )

x xe x x x e xf x

x

2

1( ) ln ( )( cos )

'( )(ln )

x xe sen x x e xxf x

x

2

( ) ( cos )'( )

ln (ln )

x xe sen x e xf x

x x x

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o) ( )f x x arctgx

Solucin:

'( ) ( ) ' ( ) 'f x x arctg x x arctg x

2'( )

12

arctg x xf x

xx

2. Balstica. Los expertos en Balstica pueden identificar el arma que dispar cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia

S, en centmetros, que la bala recorre en el papel est dada por 3

s(t) 27 (3 10t) para

0 t0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un dcimo de segundo despus de que golpea el papel.

Solucin

Derive la funcin s(t)

3

s(t) 27 (3 10t) 2 2

s'(t) 3(3 10t) ( 10) 30(3 10t)

Analice la derivada en el dcimo segundo

21 1s'( ) 30(3 10 ) 120

10 10

La velocidad es de 120 cm/s

3. En el instante t 0 , un saltador se lanza desde un trampoln que est a 16 metros sobre el nivel

del agua de la piscina. La posicin del saltador viene dada por 2s(t) 8t 8t 16 ; con s en

metros y t en segundos.

a) Cundo entra el saltador en el agua? b) Cul es su velocidad en ese momento? Solucin

a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir:

2s(t) 8t 8t 16

20 8(t t 2) 8(t 2)(t 1) t=2 segundos

b) La velocidad es la derivada de la posicin. Es decir:

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10

s'(t) 16t 8 s'(2) 16(2) 8 24

El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s

4. Un cohete se desplaza segn la funcin 22000100 tty , en la que y es la distancia recorrida en

km y t el tiempo en horas. a) Calcula la funcin velocidad b) Calcula la funcin aceleracin (as como la funcin velocidad se obtiene derivando la funcin

distancia, la funcin aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidad) c) Cunto vale la velocidad inicial ? y la aceleracin inicial? Solucin

Un cohete se desplaza segn la funcin 22000100 tty , en la que y es la distancia recorrida en

km y t el tiempo en horas.

a) La funcin velocidad es la derivada de la funcin dada

ty 4000100'

b) La funcin aceleracin es la segunda derivada de la funcin dada

4000'' y

c) La velocidad inicial sucede cuando (t=0)

hkmv /1000

Y la aceleracin inicial, ser 2

0 /4000 hkma