Solucionario de Problemas de Ecuaciones...

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

v APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.

v RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO

ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Primer parcial (3ra versión) Roberto Cabrera

09

Ecuaciones diferenciales de primer orden

ESPOL 2009

2

Ecuaciones Diferenciales separables Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: ��

Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: ��

Donde �� se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: ��

� ��

Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: �� 1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:

00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )c4xln5x3yln5y

4xdx5dx

3ydy5

dy

4xdx5

4xdx4x

3ydy5

)3y(dy)3y(

4xdx1x

3ydy2y

ecuación la de lados ambos a Integramos4xdx1x

3ydy2y

);x(g)y(f4)2)(x-(y1)-3)(x(y

dxdy

2)-4(y2)-x(y3)(y-3)x(y

dxdy

8-4y2x-xy3-y-3xxy

dxdy

++−=+−

+−=

+−

+−

++

=+

−+

+

+−

=+

−

⇒+−

=+

−

=+

+=

+++

=

++

=

∫∫∫ ∫

∫∫∫ ∫

∫∫


ESPOL 2009

3

[ ]

( )[ ]

[ ];)e(2arctany

:es particularsolución La

1;KK;4$tan

arctan(K);$/4;Ke2arctan$/4

$/4; y(0)si;K)e(2arctany

:es generalsolución LaK;)e(2tan(y)

;ee

c;e23lntan(y)ln

: v yu doReemplazan

3x

0

3x

3x

ce23lntan(y)ln

x

x

−=

=⇒=

=

−=

⇒

=

−=

−=

=

+−=

+−

;ce1ln2eln2e

2eye

:es general implicitasolución La

;)e(1e

dxeye

;ce1ln2eln2e

2)e(1e

dx

;cu1ln2uln2u2

)u(1udu2

;u1

du2u

du2udu2

)u(1udu2

;duu1

1u1

u12

)u(1udu2

1;C 1;- B 1; A:son CB,A, de valoreslos Donde

;u1

CuB

uA

)1u(u1

:obtenemos parciales fracciones por Integrando

x/2x/2x/2

yy

x/2x/2yy

x/2x/2x/2x/2x/2

2

22

22

22

+++−−=−⇒

+=−

+++−−=+

⇒

+++−−=+

⇒

++−=

+⇒

+

+−=+

⇒

===

+++=

+

∫

∫

∫

∫ ∫∫∫

∫∫

2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:

Si Si Si Si ;)(y4

0π

=

3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:

0000))))eeee(1(1(1(1eeee

dxdxdxdxydyydyydyydyeeee

x/2x/2x/2x/2yyyyx/2x/2x/2x/2 =

+−

∫∫∫

∫

∫∫

+=

+=

+⇒

=⇒=

=⇒=

=+

+=

=

+=

=+

=

+=

)u(1udu2

)uu(1udu2

)e(1edx

;udu2dxudx

21du

;dxe21dueu

?)e(1e

dx

;)e(1e

dxdyye

;ye

1)y(g

;)e(1e

1)x(f

);y(g).x(f)yee(1e

1dxdy

;)e(1e

dxydye

2x/2x/2

2/x2/x

x/2x/2

x/2x/2y

y

x/2x/2

yx/2x/2

x/2yx/2

c;v3lnuln

;v

3dvu

du:doReemplazan

dx;edve2v

(y);secdutan(y)u

;)e(2

dx3etan(y)

(y)dysec

;)e(2

dx3etan(y)

(y)dysec

f(x).g(y);(y))sece(2

tan(y)3edxdy

tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2

0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e

xx

2

x

x2

x

x2

2x

x

x2x

2xx

+=

=

⇒

−=⇒−=

=⇒=

−−=

−−=

=−−

=

−=−

=−+

∫∫

∫∫


ESPOL 2009

4

4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:

0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy ====++++−−−−−−−− −−−−

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( );

!1n21n2y

dy!1n2

y

dy!1n2

y

;dx)xln(1x

)xln(dy!1n2

y

:emplazandoRe

;!1n2

yy

)y(senh!1n2

y)y(senhSi

dyy

)y(senh

;dx)xln(1x

)xln(dy

y)y(senh

)y(senh2

)ee(

;dx)xln(1x

)xln(dy

y2)ee(

;dx)xln(1x

)xln(dy

y2)ee(

)xln(1x)ee()xln(y2

dxdy

;)xln(1x

)xln()ee(

y2)y(f

);x(g).y(f)xln(1x)ee(

)xln(y2dxdy

;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(

0n

1n2

0n

n2

0n

n2

0n

n2

0n

n2

0n

1n2

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

∑∫∑

∑

∫∫∑

∑∑

∫∫

∫∫

∞+

=

+∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

+

−

−

−

−

−

−

−

++=

+

+

+=

+

+=⇒

+=

+=

=−

+=

−

+=

−

+−=

+=∧

−=

=+−

=

=+−

:que obtenemos Integrando

:potencias de series usar debemos integrar Para

:siguiente lo tenemos entonces que observamos Si

:obtiene se ecuación la de lados ambos a Integrando

g(x)


ESPOL 2009

5

( )

( )

( )( )( )

C3

2!1n21n2

y

;C3

2dx

C3

2

;Cz3z2

z

;z

;duzdz2u1

;dx

Si

?dx

dx

31n2

3

3

3

+

+−

+=

++

+

+−

+=

+⇒

+

+−

+=

+⇒

+

−==⇒

=+

⇒

=⇒+=

+=

+⇒

=⇒=

=+

+

∑

∫

∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫

∞+

=

+

ln(x)1ln(x)1

:es implícita forma de general solucion La

ln(x)1ln(x)1

ln(x)1xln(x)

u1u1

u1udu

21)dz-(z1)2zdz-(z

1)2zdz-(zu1

udu

z Ahora

u1udu

ln(x)1xln(x)

xdx

duln(x)u

ln(x)1xln(x)

:ln(x)1x

ln(x) integrando Ahora

0n

22

2

2


ESPOL 2009

6

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:

g(x);p(x)yy' =+

Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:

Ø El método del factor integrante. Ø Método de variación de parámetros

El método del factor integrante:

[ ]

[ ]

[ ]

;u(x)g(x)dxu(x)

1y

;u(x)g(x)dxu(x)y

;u(x)g(x)dxu(x)yd

u(x)g(x);u(x)ydxd

u(x)g(x);p(x)yy'u(x);eu(x) p(x)dx

∫

∫∫∫

=

=

=

=

=+

∫=

=+ g(x);p(x)yy'

Método de variación de parámetros

v(x);y'v'(x)yy'

v(x);yy

Asumir:

ey

p(x)dx;y

p(x)dx;y

dy

;p(x)ydxdy

;p(x)y'y

;p(x)y'y

hh

h

p(x)dx;h

h

h

h

hh

hh

hh

++++====

====

====

−−−−====

−−−−====

−−−−====

−−−−====

====++++

====++++

∫∫∫∫ −−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

ln

0

g(x);p(x)yy'

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫====

====

====

====

====

====

====++++

====++++

====++++++++

====++++++++

====++++

−−−−dx;

yg(x)

ey

v(x);yy

dx;y

g(x)v(x)

dx;y

g(x)dv

g(x);ydxdv

g(x);yv'(x)

g(x);v(x)yv'(x)

s:, entoncep(x)yPero y'

g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)

g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y

g(x);p(x)yy'

:emplazando

h

p(x)dx

h

h

h

h

h

h

hh

hhh

hhh

0

0

Re


ESPOL 2009

7

1) ;ctg(x)(x)sen

xyxy'42

3

=−2

[ ]

;C3

)X(ctg4xy

;C3

)X(ctg4y

x1

;C3

)X(ctg4C

3)X(ctg4

dxctg(x)

)x(csc

3u4

4/3uduu

ududx

ctg(x))x(csc

;dx)x(cscdu)x(ctguSi

;dxctg(x)

)x(cscdx

ctg(x)(x)sen1

;dxctg(x)(x)sen

1yx1

;dxctg(x)(x)sen

1yx1d

;ctg(x)(x)sen

1yx1

dxd

;ctg(x)(x)sen

xx1y

x2y'

x1

;x1xeee)x(u

;ctg(x)(x)sen

xyx2y'

4 32

4 3

2

4 34/3

4

2

4/34/34/1

44

2

2

4

2

42

422

422

422

42

2

22

22)xln()xln(2dx

x2

42

2

2

+−=

+−=⇒

+−=+−=⇒

−=

−=−=

−=⇒

−=⇒=

=

⇒

=⇒

=

⇒

=

=

−

====∫=

∫=

=+

=−

∫

∫∫∫

∫∫

∫

∫∫

−

−−− −

:esl diferencia ecuacion la degeneral soluciónLa

:ecuación la de lados ambos a u(x) integrante factorel emosMultipliqu

eu(x)

:u(x) integrante factorel sEncontremo:integrante factordel métodoel aplicar podemos tanto lo Por

g(x);p(x)yy' forma la Tiene

p(x)dx


ESPOL 2009

8

2)

≥

<≤===+

2x ;2x -2x0 ;

p(x) 1;y(0) 1;p(x)yy'1

Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= :

( )

( )

( )

( )2;x para

:potencias de seriesusar snecesitamo integrar para Pero

lineal) dif. (Ec. 1;y'-2xy-2x;p(x) 2,x para Ahora

>++

−=⇒

++

−=⇒

−=⇒

=⇒=

=

=

=∫=

=

=≥

∑

∑

∫∑

∫∫∫

∞+

=

+

∞+

=

+−

∞+

=

−

−

−−−−

−−

−−

−−

;ke!n)1n2(

x1ey

;k!n)1n2(

x1ye

;dx!nx1ye

dxe

;dxeye;dxe)ye(d

;edx

)ye(d

);1(exy2y'-e

;ee)x(u

20n

x1n2n

x2

0n2

1n2nx

0n

n2nx

x

xxxx

xx

xx

xxdx2

22

2

2

2

2222

2

2

22

2

2x0 para

); separabledif. (Ec.

<≤=⇒

=⇒−=

=

−=

=−

=

+−=−

+=−−

=−

⇒=−

−=⇒=+

=+

−

−

+−−

∫∫

1y;0k;ek11

;1)0(yPero;ek1y

;eky1

;ee

Kxy1ln

;Cxy1ln

;dxy1

dydx

y1dy

;y1dxdy

;1ydxdy

;1y'y

1

10

1

x11

x1

Kxy1ln

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

;!n1n2

212

e1

k

;!n1n2221

e1

k;ke!n1n2221

e1

;ke!n1n2221

e1;ke!n1n2

21e1

;ke!n1n2

x1e1

;yy

);x(f)x(f

0n

n2n

42

0n

n2n

4224

0n

n2n4

24

0n

n2n4

22

0n

1n2n2

2x

0n

1n2nx

2x2x

22x

12x

axax

22

22

limlim

limlimlimlim

∑

∑∑

∑∑

∑

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

+

∞+

=

+

→→

→→

→→

+−

−=⇒

+−

−=⇒=+

−−⇒

++

−=⇒+

+−

=⇒

+

+−

=⇒

=⇒

=

+−

+−

+−

:dice condición Esta:funciones dos ded continuida de condición

la usaremos k encontrar para Ahora 2

( ) ( )( )

≥

+−

−++

−

<≤

=∑∑∞+

=

∞+

=

+

2x

2x0 ;

:enciacorrespond de regla siguientela con expresada queda soluciónLa

;!n1n2

212e1e

!n)1n2(x1e

1

y

0n

n2n

40n

x1n2n

x 22


ESPOL 2009

9

3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:

xey

dxdy

y 2+=

Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = . ( )( )

[ ]

[ ] [ ] [ ]

∫∫∫∫

=⇒=

=⇒=⇒=

=

−⇒=−

=

=⇒==∫

=−=

∫=

=+

=+

=−⇒=−−⇒

=−−≡=−−

=+

=+

−

−−−

−−

−

dyyeydy

yexy

dyyexydy

yexy

yexy

.ye

yx2'x

ye

yx2'x

e;y2)y(p

;

;g(y)p(y)xx'

;ye

yx2

'x;0yx2

ye

'x

;0x2e'yx;0x2edydxy

;dydxyx2e

;ydxdyx2e

3

y2

3

y2

3

y2

3

y2

3

y2

y

xy

y

yln2

yy

yy

y

y

2

x

d d dyd

y y

:ldiferencia ecuaciónla de lados ambos ayu(y) integrante factor elndoMultiplica

yu(y) yeu(y) s entonce

eu(y)

: yde depende ahoraintegrante factor El*

:integrante factor del método elApliquemos:nteindependie variablela y esAhora

g(y);p(y)xx' forma la Tiene

2-

dyd

2-

2-

2-2-dy

y2

p(y)dy

4434421

+

−++−−==

+++=

=⇒=

∑∫

∫ ∫ ∑∑

∑∑

∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

;C!n)2n(

y)yln(

21

y1

y21

dye

y)y(x

!ny

y!21

y!11

y!01

dy!n

y

!ny

ye

!ny

e

dye

3n

2n

2

y2

3n

3n

23

0n

3n

0n

3n

0n

3

yny

y

23

3

yy

:potencias de series usamos y

integrar Para

La solución es:

+

−++−−= ∑

+∞

=

2

3n

n2 yC

2)n!(ny

ln(y)y21y

21x


ESPOL 2009

10

4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:

;0==− y(1) ;sen(ln(x))xyxy' 2

Utilizando el método del factor integrante:

;x)x(u

;eee)x(u

;x1e)x(u

e)x(u

;(x))lnxsen(xy

y'

;(x))lnsen(xyxy'

1

)xln(dxx1

dx)x(p

dx)x(p

;dx)x(p

2

−

−∫−∫

∫

∫

=⇒

===⇒

−==⇒

=

=+

=−

=−

p(x) donde ;

: entoncesg(x),p(x)y y'forma siguiente la Tiene

[ ]

[ ] [ ] [ ]

∫∫

∫∫

=

=

=⇒=⇒=

=−

−

−−−

−−−

−

(x))dxlnsen(xy

(x))dxlnsen(yx

(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yxdxd

;(x))lnxsen(xxy

xy'x

1

111

1

yxdxd

11

1

:obtiene se ldiferencia ecuaciónla de lados ambos aintegrante factor elndoMultiplica

4434421

[ ]

[ ]

[ ]

[ ];Cx

2))xcos(ln())x(ln(senx

y

C2

))xcos(ln())x(ln(senxxy

;C2

))xcos(ln())x(ln(senxdx))x(ln(sen

;C2

)zcos()z(senedze)z(sen

dze)z(sen

;dze)z(sendx))x(ln(sen

;dzedx

;;xdzdx

;x

dxdz);xln(z

?dx))x(ln(sen

2

zz

z

z

z

+−

=

+−

=⇒

+−

=⇒

+−

=

=

=

==

=⇒=

=

∫∫∫

∫∫

∫

:que obtenemos partes por integrando ,

ex Pero

z

[ ]

[ ]

[ ]

;21C;C

210

;C2

)0cos()0(sen0

);1(C2

))1cos(ln())1(ln(sen10

;0)1(y

;Cx2

))xcos(ln())x(ln(senxy

2

2

=⇒+−=⇒

+−

=⇒

+−

=⇒

=

+−

=

= 0; y(1)si particular solución la ahorasEncontremo

[ ]2x

2cos(ln(x))sen(ln(x))xy

: essolución La2

+−

=


ESPOL 2009

11

Ecuaciones diferenciales Exactas

Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:

0;y)F(x,:es soluciónla Donde

h(x);y)H(x,y)F(x,

:obtiene seforma, misma la de procedemos y elige seSi

:es solucíonLa

:Entoncesy).F(x, de constante La

y);N(x,y

y)F(x, con igualando Luego

:y a respecto con y)F(x, derivando Luego

:obtiene sey),M(x, escogemos Si

:quetal y)F(x,:existe Entonces

xy)(x,

yy)M(x,

: siexacta Es0;y)y'N(x,y)M(x,

=

+=

=∂

∂

=+

=

+=

=

−=

=+

=∂

∂

+=∂

∂

+=

∂=∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂=

∂∂

=+

∫∫

,N(x,y)y

F(x,y);0h(y)G(x,y)

;0F(x,y)

h(y);G(x,y)F(x,y)

)y(hG'(x,y);N(x,y)h'(y)N(x,y);h'(y)G'(x,y)

);y('h)y,x('Gy

)y,x(F

h(y);G(x,y)F(x,y)

;xM(x,y)F(x,y)

M(x,y)x

F(x,y)x

)y,x(F

N(x,y);y

F(x,y)

M(x,y);x

F(x,y)

;NM

;N

xy


ESPOL 2009

12


( ) 0dyxxln(x)y

exdx4xxyln(x)

xe

y4xxy

43xy

3 =

−+−+

−++−

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

);x(hxy)xln(yx!nn

yx)yln(yx)y,x(F

;!nn

yx)yln(y

!nyx

y1

yy

e

;!nyx

y1

!nyx

!nxy

y1

ye

yy

e

);x(hxy)xln(yxyy

eyx)y,x(F

;yx(x)lnxy

ex(F(x,y))

y;x(x)lnxy

ex(F(x,y))

x;(x)lnxy

exy

(F(x,y))

x;(x)lnxy

exFy

Si

Existe

NxMy;(x)lnex4Nx

)y,x(N

;(x)lnex4M

;4xx(x)lnyx

eyx4M(x,y)

1n

nn4

1n

nn

1n

1nnxy

1n

1nn

0n

1nn

0n

nxy

xy

xy4

xy4

xy4

xy4

xy4

xy3

xy3y

3xy

3

+−+−−=

+=∂

+=∂

+===

∂

+−+∂

−=

∂

−+−=∂

∂

−+−=∂

−+−=∂

∂

−+−=

=

=

=⇒

=

+−=

−+−=

+−=

−++−=

=

−+−+

−++−

∑

∑∫ ∑∫

∑∑∑

∫

∫∫

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−∞+

=

−∞+

=

:potencias de seriesusa se integrar Para

:ecuación la de lados ambos a integrando Entonces

: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy

y)N(x,Fyy)M(x,Fx

donde y),F(x, función una

exacta; esl diferencia ecuacion la entonces ;

x;xln(x)y

ex

0y'xxln(x)y

ex4xxyln(x)

xe

y4x

xy4

xy43

xy3


ESPOL 2009

13

( )( ) ( )( )( )

[ ]

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ;0C4x7

4x3xy)xln(yx

!nnyx

)yln(yx

;C4x7

4x3xy)xln(yx

!nnyx

)yln(yx)y,x(F

;C4x7

4x3)x(h

;Cz7

z3)z(h

;dzz4z3)z(h

;dzz3z4z)z(h

;4zx

4xz

;dxdzz3;4xz

;dx4xx)x(h

;4xx)x('h

;4xx(x)lnyx

eyx4)x('h)xln(yx

eyx4

:

);x('h)xln(yx

eyx4Fx

);x('hy)xln(yy!nyx

yx4Fx

);x('hy)xln(1y!nnyxn

yx4Fx

;4xx(x)lnyx

eyx4Fx

43

73

1n

nn4

43

73

1n

nn4

43

73

47

36

23 33

3

3

23

3

3

3xy

3xy

3

xy3

1n

n1n3

1n

n1n3

3xy

3

=

+−+

−+−+−−

=

+−+

−+−+−−=

+−+

−=

++=

+=

+=

+=

−=

=⇒−=

−=

−=

−++−=++−

++−=

+−++−=

+−++−=

−++−=

==

∑

∑

∫∫

∫

∑

∑

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−

:decir es 0,y)F(x, simplicitae soluciónLa

:Entonces

:h(x) Obteniendo

:términos Eliminando

Fx doreemplazan Entonces

y);M(x,Fx: siguientelo obtiene seentonces M,Fx siAhora


ESPOL 2009

14


0y'2y

yyx1)ln(xx2xyxy

1xxy

y 8

3222 =

−++++−+

++

− ;

2yy

yx1xlnxxy2N(x,y)

xy1x

xyyM(x,y)

8

32

22

−++++−=

++

−=

);y('hyx1xlnxxy2Fy

);y(h2yx

1xlnyxyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

1yxyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

11xyxy)y,x(F

);y(h2yx

x1x

xyxy)y,x(F

x;xy1x

xyy(F(x,y))

xy1x

xyy

x(F(x,y))

;xy1x

xyyM(x,y)Fx

Si

Existe

;NxMy

;xy21x

xy2Nx

;xy21x

1x1y2Nx

;xy21x

11y2Nx

xy21x

xy2My

2

222

222

222

222

22

22

22

++++−=

=

=

++++−=

++∂+

+∂−=

++∂+−+

−=

++∂+

−=

∂

+

+−=∂

++

−=∂

∂

++

−==

=

=

=⇒

=

++

−=

++−−

+=

++

+−=

++

−=

∫ ∫

∫

∫

y);N(x,Fy: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora

: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx

y)N(x,Fyy)M(x,Fx


exacta. esl diferencia ecuación la


ESPOL 2009

15

( )

;0C2y2y

ln28

12yx

1xlnyxyxy

;C2y2y

ln28

12yx

1xlnyxyxy)y,x(F

;C2y2y

ln28

1)y(h

;C2z2zln

281)z(h

;K2z2z

ln22

141

2zdz

41

)z(h

;dyy4dz;yz

;dy2y

y)y(h

;dy2y

y)y(h

;2y

y)y('h

2yy

yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2

:

4

4222

4

4222

4

4

2

34

24

3

8

3

8

3

8

322

=++

−++++−

=

++

−++++−=

++

−=

++−

=

+

+

−=

−=

=⇒=

−=

−=

−=

−++++−=++++−

∫

∫

∫


:Entonces

:h(y) Obteniendo


Fy doreemplazan Entonces

3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:

0y)dyN(x,dxyx

xxy 21/21/2 =+

++−

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx

( )

( )

( );x

yxxxy

21)y,x(N

;yx

xxy21

x)y,x(N

;yx

xxy21Nx

;MyNx

22

2/12/1

22

2/12/1

22

2/12/1

∂

+−=∂

+−=

∂∂

+−=

=

−−

−−

−−


ESPOL 2009

16

( )

( )

( ) ;Cyx2

1xy)y,x(N

;Cu21

xy)y,x(N

;uu

21xy)y,x(N

;xx2u;yxu

;xyx

xxy)y,x(N

;xyx

xxy

21

)y,x(N

22/12/1

2/12/1

22/12/1

2

22

2/12/1

22

2/12/1

++

+=

++=

∂−=

∂=∂

+=

∂

+−=

∂

+−=∂

−

−

−

−

−−

∫

∫

∫∫

( ) 0dyCyx2

1xydx

yxx

xy 22/12/1

22/12/1 =

+

+++

++ −−

Ahora como My = Nx;

);y('h)yx(2

1yxFy

h(y);yxln21xy2F(x,y)

;uu

21xy2F(x,y)

x;x2uy;xu

x;yx

xxy2F(x,y)

x;yx

xxyF(x,y)

x;yx

xxy(F(x,y))

yxxxy

x(F(x,y))

;yx

xxyM(x,y)Fx

Si

Existe

22/12/1

22/12/1

2/12/1

2

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

++

+=

=

=

+++=

∂+=

∂=∂

+=

∂+

+=

∂

++=

∂

++=∂

++=

∂∂

++==

=

=

=⇒

−

−

−

−

−

∫

∫

∫

y);N(x,Fy: siguientelo obtiene seentonces y),N(x,Fy siAhora

: siguientelo obtiene seentonces y),M(x,Fx

y)N(x,Fyy)M(x,Fx



ESPOL 2009

17

( )

;0;KCxyxln21

xy2

K;Cxyxln21

xy2F(x,y)

h(y);yxln21

xy2F(x,y)

;KCx)y(h

;C)y('h

;Cyx2

1xy);y('h

)yx(21

yx

:

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

22/12/1

=++++

=

++++=

+++=

+=

=

++

+=++

+ −−


:Entonces

:h(y) Obteniendo


Fy doreemplazan Entonces


ESPOL 2009

18

Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante

exacta. esl diferencia ecuación la Ahora

:y de depende que integrante factor Unexacta. esl diferencia ecuación la

:esx de depende soloque integrante factor Un:integrante factor un necesita setanto lo por exacta, nol diferencia ecuación una es Entonces

Nx;My Si

;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y);eu(y)

Ahora;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y)

;eu(x)

;0'y)y,x(N)y,x(M

dxN(x,y)Nx-My

dxN(x,y)My-Nx

=+

∫=

=+

∫=

≠

=+

1) ( ) 1;y(1) Si 0;dy203y2xxydx 22 ==−++

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

;4

;2032),(

;4

;),(

;02032

02032

;)(

;)(

4

2032

3

3532

3

4

35324

2233

3

3

22

xyNx

yyyxyxN

xyMy

xyyxM

dyyyyxdxxy

;dyyxyxydxy

yyu

yyu

x;Nx

;yxN(x,y)

x;My

xy;M(x,y)

dyy

dyxy

dy

====

−−−−++++====

====

====

====−−−−++++++++

====−−−−++++++++

====

====∫∫∫∫

====∫∫∫∫

====

∫∫∫∫====

≠≠≠≠

====

−−−−++++====

====

====

:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego

ee

eu(y)

:integrante factor suencontrar debemos tantoloPor

exacta; es no ldiferencia ecuación la entonces Nx;My

3x-4x

y)M(x,My-Nx


ESPOL 2009

19

(((( ))))

;Cyyyx

C;yyyx

F(x,y)

Cyy

yh

dyyyyh

;yyh'(y)

;yyyxh'(y)yx

yhyx

yxF

xxyyxF

xyx

yxF

0522

522

;52

)(

;203)(

203

20322

);(2

),(

;),(

;)),((

4642

4642

46

35

35

353232

42

4

4

====++++−−−−++++

++++−−−−++++====

++++−−−−====

−−−−====

−−−−====

−−−−++++====++++

====

++++====

∂∂∂∂====

====∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

====

====∃∃∃∃

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

:Entonces

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx: talquey))(F(x,

:exacta es ldiferencia ecuación la tantolopor Nx,My

2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3 =++

( )( ) ( ) ( )

;08y10yyx

;04y52y

2yx

;4C;15C

;0C521

21

;0C1521

211

;0Cy52y

2yx

4642

4642

4642

4642

=+−+

=+−+

=−=

=+−+

=+−+

=+−+

=

: soluciónLa

1;y(1) Si


ESPOL 2009

20

( )[ ]( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )[ ] ( )

( )

( )

( )

( )

C)y(h;0h'(y)

;y

x2h'(y)

yx2

);y(h4x

)xln(2x

2x

yx

)y,x(F

;x(x)ln1xy1)y,x(F

;(x)ln1xy1

x))y,x(F(

;y2Nx

;y

x2)y,x(N

;y2My

;(x)ln1xy1)y,x(M

;0dyy

x2dx(x)ln1xy1

;0xdy2y1

dx-(x)ln1xyyy1

;y1

ee)y(u

ee)y(u

;e

)y,x(N(x);lnxy3xy31My

;(x)ln1xyyM(x,y)

33

222

2

2

2

3

3

3

2

32

33

3

3

dyy3dy

)xln(1xy1y)xln(1xy13

dy)xln(1xy1y(x);lnxy3xy33

dy(x)ln1xyy

(x);lnxy3xy312

dy)y,x(M

MyNx

22

3

2

2

2

22

3

22

=

=

−=+−

=

+−++=

∂

++=

++=∂

∂

=

==

∃

=

−=

−=

−=

++=

=

−

++

=++

=∫∫

=

∫=

∫=

∫=

==

++=

++=

=++

∫

−

++

++−

++

−−−

++

−−−−

−

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fyy);M(x,Fx

:talque y))(F(x,

:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My

:ecuación la de lados ambos a u(y) andomulitiplic Luego

u(y)

-2;Nx-2x;

0;2xdy-dxln(x)1xyy 3

;0C4x)xln(

2x

2x

yx

;C4

x)xln(2x

2x

yx)y,x(F

222

2

222

2

=+−++

+−++=

:Entonces


ESPOL 2009

21

3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222 −=++

[ ]

[ ][ ]

[ ]

( ) [ ]

[ ]

( )

;Cuu31Cu

32

21duu

21)y(h

;ydy2du;1yu

;dy1yy)y(h

;1yyh'(y)

;1yyyxh'(y)

yx

);y(h)yln(x)y,x(F

;x(y)lnx2)y,x(F

;;(y)lnx2x

))y,x(F(

;yx2Nx

;1yyyx)y,x(N

;yx2My

;(y)lnx2)y,x(M

;0y'1yyyx(y)lnx2

;0y'1yyxy1(y)lnxy2

y1

;y1)y(u

;eee)y(u

;e)y(u

;x2Nx;1yyx)y,x(N

;)yln(1x2My;(y)lnxy2)y,x(M

;0y'1yyx(y)lnxy2

2/3

2

2

2

222

2

22

22

222

dyy1dy

)yln(xy2)yln(x2

dy(y)lnxy2

)yln(1x2x2

dy)y,x(M

MyNx

222

222

+=

+==

=

+=

+=

+=

++=+

=

+=

∂=

=∂

∂

=

=

=∃

=

=

++=

=

=

=

+++

=+++

=

∫=

∫=

∫=

∫=

=

++=

+=

=

=+++

∫

∫

∫

−

−

+−

−

y);N(x,Fy

y);M(x,Fx

y);N(x,Fyy);M(x,Fx

:talque y))(F(x,

:exacta es e.d. la tanto lo por Nx,My

:ecuación la de lados ambos a u(y) multiplica seLuego

( )

( )

( ) ;0C1y1y)yln(x

;C1y1y)yln(x)y,x(F

C;1y1y31h(y)

222

222

22

=++++

++++=

+++=

31

31

:Entonces


ESPOL 2009

22

Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) { (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

.integrante factor del método elpor resolver puede se que

Lineal, ldiferencia ecuación una es Esto

:siguiente lo obtiene Se

:Bernoulli de ecuación la de lados ambos a factor el rámultiplica Se

:e variablde cambio siguiente el haciendo

lineal en convierte la se que lineal, no ldiferencia ecuación una es Esta

0,1.n donde Bernoulli, de ldiferencia ecuación una

: es Esto

−−−−====−−−−++++

−−−−====−−−−++++−−−−

−−−−====−−−−++++−−−−

−−−−

−−−−========

====

≠≠≠≠====++++

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

)(1)(1

)(1)(11

)(1)(11

1

1.

:

)()(

1

1

xgnvxpndxdv

xgnyxpndxdy

yn

yxgynyxpyndxdy

yn

yn

dxdy

yndxdy

dydv

dxdv

Donde

yv

yxgyxpdxdy

Sea

v

n

dxdv

n

nnnn

n

n

n

n

4434421


ESPOL 2009

23

La solución general es:

;xK

92x

32xln(x)x

32

1y

2++−−=

( )[ ]( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] ( )

( )

( )

( )∫

∫∫

−−=

+−=

+−=

+−=

+−=+

=∫=

+−=+

+−=+−

+−=+−

−

−==

=

=

=+=−

=

++−

=++

−−

−−−

−

−

−

−

;dx)xln(x2x32vx

;dx)xln(xx2vx

;dx(x)ln1x2vx

;(x)ln1x2dx

vxd

;(x)ln1x2xv2x'vx

;xe)x(u

;(x)ln12xv2'v

;(x)ln12x

y2y'y2

;(x)ln1yy2xy

y2y'y2

y2

;dxdy

y2dxdv'v

;yv

;(x)ln1yxy

y'

;0(x)ln1yxy

y'

;0dx(x)ln1xyyxdy-

232

222

22

22

222

2dxx2

23

3333

3

3

2

3

3

3

:integrante factor por oResolviend

:v' y v doReemplazan

:ecuación la de ambos a multiplica seLuego

;yv sustituyeSe

3;n

n1

1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3 =++

.

(((( ))))

(((( ))))

;92

3)ln(2

32

:

;92

3)ln(2

32

;9

23

)ln(232

;93

)ln()ln(

;3

;);ln(

?)ln(

22

2

3332

332

32

2

xKxxx

xy

xKxxx

xv

Kxxx

xvx

Cxxx

dxxx

xv dx; xdv

xdx

duxu

dxxx

++++++++−−−−−−−−====

====

++++++++−−−−−−−−====

++++++++−−−−−−−−====

++++−−−−====

====⇒⇒⇒⇒====

====⇒⇒⇒⇒====

====

−−−−

∫∫∫∫

∫∫∫∫

y vdoReemplazan

:solución la Despejando

2-


ESPOL 2009

24

2) 1;y(1) siln(x);yyxy' 2 ==+

∫=

=

=−

=∫=

=−

−=−−

−

−=

==

==+

−

−−−

−

−

−−

;dxx

)xln(v

x1

;x

)xln(dx

vx1d

;x

)xln(xv'v

x1

;x1e)x(u

;x

)xln(xv'v

;x

)xln(yy

xy

y'yy

y

;dxdy

ydxdv

;yyv

;x

)xln(y

xy

'y

2

2

22

xdx

2222

2

2

1n1

2

:integrante factordel métodoel por oResolviend

:ecuación la en v' y v doReemplazan

:ecuación la de lados ambos a multiplica seLuego

2;n

;Cx1)xln(

1y

;Cx1)xln(y

;Cx1)xln(v

C;x1

x)xln(

-vx1

;xdx

x)xln(

-vx1

;x1- v;

xdxdv

;x

dx du(x); lnu

?dxx

)xln(

1

2

2

2

+−−=

+−−=

+−−=

+−=

+=

=⇒=

=⇒=

=

−

∫

∫ Integrando

;2C;11C

1C-11

=

=−

=

= :entonces 1,y(1) Si

;2x1ln(x)

1y

:es soluciónLa

+−−=

Ecuaciones Diferenciales

ESPOL 2009 25

3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2 =++++

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ;x1Cx143

x14y

;Cx143

x14v

;Cx143

x14v

x11

;Cx143

x14dx

x1x2

;Cz43z4

dz1z4

;dz1z4z

zdz21z2dx

x1x2

;1zx

;dxzdz2;x1z

?;dxx1

x2

;dxx1

x2vx1

1

;x1

x2dx

vx1

1d

;x1

x2x)1(4

v2x1

1'v

x11

;x1

1ee)x(u

;x2x)1(4

v2'v

;xyy2x)1(4yy2

'yy2

;dxdy

y2dxdv

;yyv

;xyx)1(4

y'y

0xyx)1(4

1y'y

22

2

3

3

32

22

2

2

x1ln21dx

)x1(21

333

3

3

2n1

3

2

+++−+

=

++−+

=

++−+

=+

++−+

=+

+−=−

−=−

=+

−=

=⇒+=

=+

+=

+

+=

+

+=

++−

+

+==

∫=

=+

−

=+

−+−

−=

==

=−=+

+

=

+

++

−

+−+−

−−

−

−

−−

∫

∫

∫∫∫

∫

∫

:ecuación la de lados ambos a 2y- multiplica seLuego

3;n

3-

( ) ( );

x1Cx143

x14

1y2

+++−+

=

La solución general es:


ESPOL 2009 26

4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2−=+

[ ]

( )

;4

1C

;C4

1

;C4

;)x(Cctg)x(xctgy

);x(Cctg)x(xctgy

);x(Cctg)x(xctgv;Cxv)xtan(

;dxv)xtan(

;dxv)xtan(

;1dx

v)xtan(d);x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan(

);xtan()xcos()x(sen

)x(sen

2)x2(sen

2)x2cos(1

)x2(sen)x2cos(1

)x(u

;)x2(sen)x2cos(

)x2(sen1)x(u

);x2(ctg)x2csc()x(uee)x(u

);x(ctgv)x2csc(2'v

);x(ctgy32y

23y)x2csc(

34y

23'yy

23

y23

;'yy23'v

;yyv

;21);x(ctgy

32y)x2csc(

34'y

3

2

3 2

2/3

2

)x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2

2/12/12/12/1

2/1

2/1

2/3n1

2/1

π−=

+π

=

+π

=

=π

+=

+=

+=

+=

=

=

=

=+

==

−

=−

=

−=

−=

=∫=

=+

=+

=

==

−==+

∫∫

−

−

−

−

1

1;/4)y( Si

:ecuación la de lados ambos a multiplica Se

n


ESPOL 2009 27

;)x(ctg4

1)x(xctgy 3

2

π−+=

:es particular soluciónLa

Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma

=xy

f'y

);x(xy

);x(xy

);x(v

;x

dxv)v(f

dv

;v)v(fdxdvx

);v(fdxdvxv

;xy

fdxdy

;dxdvxv

;

;xy

fdxdy

φ=

φ=

φ=

=−

−=

=+

=

+=

==

=

=

:ecuación la en y' y v, doReemplazandxdy

vx;y entonces xy

v

:ón sustituci siguientela hace Se

:como ecuación esta expresar

puede se sihomogénea es y)f(x,dxdy

ecuación la que dice Se


ESPOL 2009 28

1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:

;y

xy

sec

xy

dxdy

2

2

+=

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )sen(2v)

81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

vsecdvv

sen(2v)81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6vdv cos(2v)

41cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

vsecdvv

dv cos(2v)41

cos(2v)4v

2sen(2v)v

6v

vsen(2v)dv4

sen(2v)v6v

vsecdvv

cos(2v)21

n sen(2v)dvdn

dv.dm vm

vsen(2v)dv4

sen(2v)v6v

vsecdvv

dv2

2vsen(2v)2

sen(2v)v6vdvcos(2v)v

21dv

2v

vsecdvv

;2

sen(2v)n cos(2v)dvdn

2vdv;dm vm

dv2

cos(2v)v dv2v dv

2cos(2v)v

2v

vsecdvv

dv2

cos(2v)v2v dv

2cos(2v)1 v(v)dvcos v

vsecdvv

?vsec

dvv

;xdx

vsecdvv

:rando Integxdx

vsecdvv

separable. ldiferencia Ecuaciónv

vsecdxdvx

vxvsec

dxdvx

;vxvsecvv

dxdvx

yxy

sec

xy

dxdy

:obtiene se v,dxdvx

dxdy ,

xy

vxv, y, ldiferencia ecuaciónla endoReemplazan

v;dxdv

xdxdy

xv; y xy

v

:que Asumiendo

23

2

2

2323

2

2

2323

2

2

23

2

2

232

2

2

2

2

2222

2

2

22222

2

2

2

2

32

2

32

2

2

23

22

2

22

2

2

2

++=

++=

+−−+=

+−−+=−+=

−=⇒=

=⇒=

−+=

−+=+

=

=⇒=

=⇒=

+

=

+=

+=

+==

=

==⇒

=⇒=⇒

+=+⇒

+=

+===

+=⇒

=⇒=

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

21

21

21


ESPOL 2009 29

( )

;

C

C

xy

vdoReemplazan

x1sen(2v)

81-cos(2v)

4v

4sen(2v)v

6v

x1

sen(2v)81

-cos(2v)4v

4sen(2v)v

6v

xdx

vsecdvv

2

23

2

23

32

2

=

+−=++

+−=++⇔= ∫∫

2) ( ) ( ) /2;y(1) si0;dyxdx2xyxy 222 24 ==−++

C

La

+−=

+

+

2

23

x1

xy

2sen81-

xy

2cos4v

4xy

2senxy

6xy

:por expresadaqueda implícita forma de solución

( )

;4

K

;Ktan2

12

;K2

xln4tan

2xy

;K2

xln4tan

21

xy

;K2

xln4tan

21

v

;K2

xln4tanv2

π=

=

=

+=

+=

+=

+=

2

;22 y(1)Si

:obtiene se lados ambos atan Aplicando

;42

xln4tan

2xy

π+=

: esparticular solución La

( )

( )

( )( )

( ) ;K2xln4

v2arctan

;Cxln4v2arctan2

;xdx4

2/1vdv

;x

dx2/1v4

dv

;x

dx2v4

dv

;2v4dxdv

x

;2v4vdxdv

xv

;dxdv

xvdxdy

;xvy

;xy

v

;2xy4

xy

dxdy

;x

x2y4xydxdy

2

2

2

2

2

2

2

2

22

+=

+=

=+

=+

=+

+=

++=+

+=

=

=

++=

++=

∫∫


ESPOL 2009 30

3) 0;x donde 0;)y(x ;yxydxdy

x 0022 >=−+=

>/4;y(1)====

;'xvv'y;xvy

;xy

v

;xy

1xy

dxdy

;x

yxxy

dxdy

;x

yxxy

dxdy

2

2

2

22

22

+=

=

=

−+=

−+=

−+=

:asume Se

4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−−

( )( )

( )

;

xy

lnx

ydxdy

;(x)ln(y)lnx

ydxdy

;0ydxdy(x)ln(y)lnx;0ydxdy(y)ln(x)lnx

−=

−−=

=+−

=−−

;'xvv'y;xvy

;xy

v

+=

=

=

:asume Se

La solución general de forma implícita es:

C;xlnxy

ln1lnxy

ln +−=

+−

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

;2

ln

;2

);(1

;ln

;ln

;ln

;ln)(

;;1

;1

;1'

;1'

2

2

2

2

++++====

====

====

====

++++====

++++====

++++====

++++====

====−−−−

−−−−====

−−−−====

−−−−++++====++++

ππππ

ππππ

xxseny

C

Csen

Cxxseny

Cxsenxy

Cxsenv

Cxvarcsen

xdx

v

dv

vdxdv

x

vxv

vvxvv

:espaticular solución La

1;y(1) Si

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

;ln)ln(1lnln

;ln1ln

;ln11

;ln1

;

);ln(

;)ln(1

)ln(

;ln

)ln(1

;ln

'

;ln

'

Cxvv

Cxuu

Cxduu

du

Cxduu

uv

dvdu

vu

xdx

dvvv

v

vvv

dxdv

x

vv

vxv

vv

xvv

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====

++++−−−−

++++−−−−====

++++

====

====

−−−−====

++++

++++−−−−====

−−−−−−−−====

−−−−====++++

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫


ESPOL 2009 31

Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales

1) ( )( ) ;

4y2x5x2y

dxdy

−−+−

=

( )

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

;zz21z2

dudz

u

;z21z2

dudz

uz

;dudzuz

dudv

;zuv

;uv

z

;

uv2

1uv2

dudv

;vu2uv2

dudv

;3h;1-k

;04kh2;05hk2

4kh2vu25hk2uv2

dudv

;4kvhu25hukv2

dudv

;dudv

dxdy

;kvy;hux

;41);2(2)1)(1(

;baba;0dy4yx2dx)5y2x(

1221

−−−

=

−−

=+

+=

=

=

−

−=

−−

=

=

=

=−−

=+−−−+−+−+−

=

−+−+++−+

=

=

+=

+=

≠−−≠

≠

=−−−−−

:homogéneal diferencia ecuación una como oResolviend

:homogénea ecuación una obtener poder para u, para oDivivdiend

:Entonces

:el sistema oResolviend

;

obtiene seecuación, la en y'y,x, doReemplazan

:asume Se


ESPOL 2009 32

( )( ) ;

udu

1zdz2z

;z2

zz21z2dudzu

2

2

−=−

−−

+−−=

( )( )

( )( )

;Culn1z1z

ln1zln21

;u

du1z

dz21z

dzz

2

22

+−=+−

−−

−=−

−− ∫∫∫

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

;C3xln13x1y

ln211

3x1y

ln23

;3xu;hxu;1yv;kyv

;Culn1uvln

211

uvln

23

;Culn1zln211zln

23

;Culn1zln1zln1zln21

1zln21

;Culn1z1zln1z1zln

21

;Culn1z1zln1zln

21 2

+−−=

−−+

−

+−+

−=⇒−=

+=⇒−=

+−=

−−

+

+−=−−+

+−=++−−++−

+−=+−

−+−

+−=+−

−−

:es implícita forma de soluciónLa

2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+−

( )

( )( )

;3y7x37y3x7

dxdy

;dudv

dxdy

;kvy;hux

;949);3(3)7)(7(

;baba 1221

++−++−

=

=

+=

+=

−≠−

−≠−

≠

:Usando


ESPOL 2009 33

( ) ( )( ) ( )

=++−

=++−++−+−++−+−

=

++++−++++−

=

;03k7h3;07k3h7

3k7h3v7u37k3h7v3u7

dudv

3kv7hu37kv3hu7

dudv ;

:y' y yx, doReemplazan

;uv

z

;

uv73

uv37

dudv

;v7u3v3u7

dudv

;1h;0k

=

+−

+−=

+−+−

=

=

=


;zz73z37

dudz

u

;z73z37

dudz

uz

;dudz

uzdudv

;zuv

−+−+−

=

+−+−

=+

+=

=

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))));

17

16

17

;1ln71

61

7ln

;ln767ln

;ln767ln

;ln2

767ln

;ln767

614147

;767

614147

;33614147

37

;614;767

;767

37

;37

767

;73

7337

2

2

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

−−−−====++++

−−−−−−−−

−−−−

++++−−−−−−−−====++++−−−−

−−−−

−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

++++−−−−====++++−−−−

−−−−====

++++−−−−

++++−−−−====−−−−

====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====

−−−−====

++++−−−−−−−−

−−−−++++−−−−

−−−−====

++++−−−−−−−−++++++++−−−−

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

xC

xy

xy

Kxx

yx

y

Kuuv

uv

Kuzz

Cuzz

Cuzzdzz-

udu

zz

dzz-

z-z

z-duzzuudu

zzdzz

zzz

dudz

u

zzzz

dudz

u

:es implícita formade solución La


ESPOL 2009 34

3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−− ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

;5xyyx1

dxdy

;kvy;hux

;11;1111

;baba;0y'5xy-x-y1

1221

−−−−

=

+=

+=

−≠

−≠−−

≠

=−−−

Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación: ( ) ( )

( ) ( )

;5khvu1khvu

dudv

;5hukv

kv-hu-1dudv

−+−+−+−−−−

=

−+−+++

=

;dudzuz

dudv

;zuv

;uvz

;

uv1

uv1

dudv

vuvu

dudv

;3k;2-h

;05kh;01kh

+=

=

=

+−

−−=

+−−−

=

=

=

=−+−

=+−−

:ecuaciones de el sistema oResolviend

;z1

zzz1dudz

u

;zz1z1

dudzu

;z1z1

dudz

uz

2

+−−+−−

=

−+−−−

=

+−−−

=+


ESPOL 2009 35

( )( )

;C2xln2x3y

arctan12x3y

ln21

;Culnuvarctan1

uvln

21

;Culn)zarctan(1zln21

;u

du1zdz1z

;1z1z

dudzu

2

2

2

2

2

++−=

+−

−+

+−

+−=

−+

+−=−+

−=+

−−+

−=

∫∫

:esl diferencia ecuación la de implicita soluciónLa

Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by) �� Se asume el siguiente cambio de variable � � �� Despejando y: � � ��

�� Reemplazando y, y’ en: �� Se obtiene una ecuación diferencial de la forma: �� Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma: ��


ESPOL 2009 36

1. ( ) ( ) 7/4;y(0) si;1yx1yxy' 22 =−+−++=

( ) ( )

( ) ( )

( )

;x41e2y

;2k

;41k

47

;

;x41key

;41keyx

;41kez

;ke1z4

;Cx41z4ln

;Cx1z4ln41

;dx1z4

dz

;1z4dxdz

;11z2z1z2zdxdz

;1z1z1dxdz

;1yx1yxy'

;1dxdz

dxdy

;xzy;yxz

x4

x4

x4

x4

x4

2

1

22

22

22

−−=

=

−=

=

−−=

−=+

−=

=+

+=+

+=+

=+

+=

++−−++=

−−+=−

−+−++=

−=

−=

+=

∫∫


47

y(0) Si

: sustituyeSe


ESPOL 2009 37

2. ;y(0) siy);(xtany' 2 π=+=

;2x4)y2x2(seny2x2

;2k;K)2(sen2

;Kx4)y2x2(seny2x2

;Cx4

)y2x2(sen2

yx

;Cx4

)z2(sen2z

;Cxdz2

)z2cos(1

;Cxdz)z(cos

;dx)z(sec

dz

);z(secdxdz

);z(tan1dxdz

);z(tan1dxdz

);yx(tan'y

;1dxdz

dxdy

;xzy;yxz

2

2

2

2

2

2

π+=+++

π=

=π+π

π=

+=+++

+=+

++

+=+

+=

+

+=

=

=

+=

=−

+=

−=

−=

+=

∫

∫

∫∫


;y(0) Si


ESPOL 2009 38

3. 5;52y-10xy' −+=

;Cx105y2x10ln105y2x10

;y2x10z

;Cx105zln105z

;105zln105z5220

dz

;10uln10uu10

udu

;10u

du10du10u

udu

;10u

101

;10u

uduu10

udu

;u10

uduu220

udu25220

dz;dzudu2

;5zu

;dx5220

dz

;5220dxdz

;1052dxdz10

5dxdz

215

;dxdz

215

dxdy

;2z

2x10y

;y2x10z

2

+=−+−−+−−

−=

+=−+−+−

−+−+−=+−

−−−=−

−−−=

−−

−+=

−−=

−

−=

−=

+−

=

+=

=+−

+−=

−+=−

−+=−

−=

−=

−=

−+=

∫

∫

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∫∫

:es explicita forma de solucionLa

:integrales las oeemplazandRz

10-uu

10;-u para u Dividiendo

z

z

z

z

5;z

5;52y-10xy'


ESPOL 2009 39

4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ;Cx2yx25ln251yx2

52

;Cx2z5ln251z

52

;dx2z55

dz5dz2

;2z55

152

;dx2z5dz1z2

;1z2

1z22zdxdz

;21z2

zdxdz

;1z2

z2dxdz

;2dxdz

dxdy

;x2zy;yx2z

;1yx22

yx2dxdy

;441422

baba 1221

+=−+−+

+=−−

=−

−

−−=

=−−

−−+

=

+−

=

−=−

−=

−=+=

−++

=

−=−

−=−=

∫∫∫

:es implícita forma de soluciónLa

2-5z1-2z Dividiendo

:doReemplazan


ESPOL 2009 40

Ecuaciones de Primer Orden Aplicaciones

1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50ºC.

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) min67.200453.07429

ln502174

º50min

2174minº

0453.057459

ln8021745

º80min5

2174

74219595210

º950

21

º21

ln

10453.0

1

1

0453.0

5

0

1 =−

=→=+=

∴=

+=

−=

=→=+=

∴=

+=

=−=→=+=

∴=

+=

∴

+=

+=−

=−

−=

−

−

∫∫

tetT

Caestácaféeltten

etT

CkeT

Caestácaféelten

etT

CCeT

Caestácaféelten

CetT

Cescuartodelatemperaturlaquesabemos

TCetT

CktTT

kdtTT

dT

TTkdtdT

t

t

k

kt

k

kt

akt

a

a

a

2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico

encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?

( )

( )

( )( )aula del aTemperatur

cuerpo del aTemperatur

tiempo al respecto con atemperatur la de Variación :dtdTdtdT

:Newton de toenfriamien deLey

:T:T

TTK

a

c

ac −−=


ESPOL 2009 41

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ;5.1t

9924.1k9924.15.1tk11

5.1ln5.1tk

;11

5.1e5.1e115.2726e11)5.1

;t

7047.1k7047.1kt112lnkt

;112e2e112826e11)

C28)Si26e11)t(T

26C

s: C entonce37ir era de tes de moreratura anSi la temp26Ce)t(T

26Ce)t(TCe26Te

CKt26TlKdt 26T

dTKdt 26T

dT

;26TKdtdT

C5.27)5.1T(t

111

5.1tK5.1tK5.1tK

111

KtKtKt

Ktc

Ktc

Ktc

Ktc

CKt26Tl

ccc

c

1

111

111

c

2) (ecuación

T(t

C 27.51.5)T(t Si

1) (ecuación

T(t

T(t

11C 37

C; 37T(0)

;

; e

n

1.5.t :entonces seráC 27.5 de es atemperatur la que en tiempo El

C. 27.5 a desciende cuerpo del atemperatur la mediay hora una de Después

C 28)T(t

.t es C 28 de es atemperatur la que en tiempo El

C. 28 es hallado es cuando cuerpo del atemperatur La

C 26T

horas. en tiempo :t

1

1

1

1

n

1

1

1

a

+=⇒=+⇒

=+−⇒

=⇒=⇒=+=+⇒

°=+

=⇒=⇒

=−⇒

=⇒=⇒=+=⇒

°=

+=⇒

=⇒+=

°=

°

+=⇒

+=⇒=−⇔=

+−=−⇔−=−

⇔−=−

−−=

°=+⇒

+°

°

°=⇒

°

°

°=

+−+−+−

−−−

−

−

−−+−−

∫∫

( )

22h06. las A

decir. es encontrado serde antes horas 8.89 murio estudiante el tanto lo Por

horas .55705

t

:2y 1 ecuación iguala seSi

1 89.87047.19924.1

255705.2t7047.1t9924.1

t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t5.1t

9924.1t

7047.1

11

111111

=−

=⇒=−⇒

=+⇒=+⇒+

=


ESPOL 2009 42

3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50.

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) infectados

infectados

35350506x

50txetx20000

50lnk50e4x

50x4ten

etx1

etx

49991C1

Ce1Ce50000x

1x0tenCe1

Ce5000tx

Ckt50005000xxln

Ckt5000xxln

50001kdt

x5000xdxx5000kx

dtdx

sanosde:#x5000de:#x

5.16*25.0

t25.050lnt25.0

k20000

kt5000kt5000

0

0

kt5000

kt5000

===∴

=→=

=→==∴

==

=→=

−=→=−

−=∴

==−

−=

+=

−

+=

−⇔=

−⇔−=

−

∫∫

4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad

existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?

( )( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) 0044

16

0

40

42ln

0

04

0

0

000

0

322216

2

42ln

24

x2 x4en t

0

x x0en t

ln

existente cantidad :x

xxxx

xtxextx

kxexx

xCxCex

Cetx

Cktx

kdxdx

kxdtdx

tt

k

kt

===

=→=

=→==

==

=→==

==

=

+=

=

=

∫ ∫


ESPOL 2009 43

5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.

( ) ( )

( ) ( )

+=→

+=

+−=−→+−=−→−=−

=−

=−

−−

∫∫300Ce

k1

tvmgCek1

tv

Ctmk

mgkvlnCtmgkvlnkm

dtmgkv

dvm

dtdv

mkvmg

dtdv

mfmg

t30k

tmk

r

( ) [ ]

( ) [ ]( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ]( )

( ) ( )( ) 148t40e148tx

148C0C040e1480x

Ct40e148tx

Ct40e148Cdt40e37tx

Cdttvtxdtdx

tv

40e37tv

5.277C5.7k40k

30040300Ce

k1

v

0

300k3C3300Cek10v

t25.0

0

t25.0

t25.0t25.0

t25.0

0

−+=

−=→=++=

==++=

++=++−=

+=→=

+−=

−=∴=→=→=+=∞

=∞=

−=−→=+=

==

−

−

−−

−

∞−

∫∫

0mx ,0t en

m/s4v ,t en

3m/sv ,0t en

6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20la resistencia es de 40 constante de 50Newtonsuna masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg

a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo.

b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote. Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene: . a)

(((( ))))

(((( ))))

kev

ke v- ee

Cdt

vdv

dt

vdv

dv v

dtdv

dif. sepaEcuación , vdtdv

, kdtdv

kv

kg. kgkg m

istemaotal del sm: masa tdtdv

mkv

ma;Fr Fmma F

m/seg

NewtonsEntonces k

Newtons. tencia de a de resisy la fuerz

m/seg de locidad esComo la ve

kvFr

NewtonsFm

aguaencia del de resistFr: Fuerza

del motorFm: fuerza

t-

-Ct

-v-

x

250

25025ln

25

25

ln25025

500252

50250500

502500

250050

50080420

50

220

40

40

20

50

++++====⇒⇒⇒⇒

====⇔⇔⇔⇔====

⇔⇔⇔⇔++++−−−−====−−−−

−−−−====−−−−

⇔⇔⇔⇔

−−−−⇔⇔⇔⇔−−−−====

====++++

========−−−−⇒⇒⇒⇒

====++++====

====−−−−

====−−−−⇒⇒⇒⇒====

========

====

====

++++

∫∫∫∫∫∫∫∫

∑∑∑∑

maFx =∑


ESPOL 2009

La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza

Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.

Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo.

la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.

Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:

Ct

-v-

dt

vdv

rabledif. sepa

ma;

k

Newtons.

m/seg

agua

t-250

25025ln

5002

2

++++====

====−−−−

====⇒⇒⇒⇒

ev

b)

)e(t x(t)

miento es:n del moviLa ecuació

CC )(

;)x(el reposo Si parte d

)e(t x(t)

dte x(t)

edtdx

Entonces:

dx/dtComo v

e v

locidad:n de la veLa ecuació

- kk

por partiial es cidad inicSi la velo

t-

t

t

t

t-

t-

t-

252525lim

2502525

25250250

00

2502525

252525

2525

2525

25250

0

250max

250

250

250

250

250

====

−−−−====

++++====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====

====

++++++++====

====

−−−−====

−−−−====

====

−−−−====

====⇒⇒⇒⇒++++====

∞∞∞∞→→→→

−−−−

−−−−

∫∫∫∫

máxima o limite velocidadLa

44

La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg

ejerce una fuerza . En la dirección del movimiento. El bote tiene

Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier

la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.

pies/seg

)(

miento es:

)(

;

C

C)e(t

locidad:

;)s v(so entoncer del repo por parti

t

25

25025

25025

2502525

00

250

250

−−−−

++++++++

====

−−−−

:es máxima


ESPOL 2009 45

7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30

ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. Hallar la corriente para t=1/5 segundos.

( )

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ] ( )

( ) ampieti

etieti

CCei

Ceti

Cti

Cti

dtidi

dtdi

i

dtdi

LiRv

tt

t

301.0)5/1(3.07.0

5/1en t

3.07.0921301

219301

0

0i 0en t

9301

30930

930ln301

930

309

6

3030

0

30

=→+=

=

+=→+=

=→+=

==

+=

+−=−

+−=−

−=−

+=

+=

−

−−

−

∫∫

8. Una Fem. de t5e200 − voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier instante de tiempo.

5t-200efem

F 0.01C iacapacitanc :C

carga :q

ohmios 20R aresistenci

RC. circuito el para ldiferencia Ecuación

=

=⇒

=⇒=+

:R

femCq

dtdq

R


ESPOL 2009 46

( )

( ) cetecteq(t)

ctedtedteeeq(t)

dteu(t)u(t)1

q(t)

eeu(t)

lineal. ldiferencia Ecuación

5t5t5t

5t5t5t5t5t

5t

5t5dt

−−−

−−−−

−

−

−

−

+=+=

+===⇒

=⇒

=∫=

=+⇒

=+⇒

=+

∫∫∫

;eq5dtdq

;e20q100dtdq

20

;e2001.0q

dtdq

20

t5

t5

t5

5t5t

5t5t

5t5t5t

5t5t-

5t

5t

e251

e5t

i(t)

0;i(o)

:cero es inicial corriente la entonces cero, es inicial carga la Si

e251

e5t

i(t)

dte51

e5t

tdtei(t)

e51

v dtedv

dt;du t;u

tdteq(t)dti(t)

t;eq(t)

c0

0;q(0)

:entonces capacitor, el en cargahay no teinicialmen Si

−−

−−

−−−

−

−

−

−−=⇒

=

+−−=

+−==

−==

=⇒=

==⇒

=⇒

=

=

∫∫

∫∫

C

;

;


ESPOL 2009 47

Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y”

1) ( ) ;y'x'y'y'3x 231 =+

−+ x

;''

;'

2

ydx

yddxdv

ydxdy

v

========

========

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

;2

;1

;1

;1

311

;1

311

;1113

1

11

13

1

11

'1

1

;1

111

)(

;)(

;1

131

'

;131'

;01'13

013

13

13

2

2

3

2

3

2

2/1

11

ln21

11

2

3

2

32

23

23

23

23

22

ududx

ux

xu

xxdx

vxx

x

xdx

vxx

d

xxxx

x

xx

xx

x

xx

vv

x

x

x

xxx

xu

eeexu

xxx

xv

v

xxvxv

xvvxx

;v'v'-xvxx

v';xvvxx

y'';xy''y'xx

xx

x

dx

x

dx

'

====

++++====

−−−−====

−−−−====

++++−−−−

−−−−====

++++−−−−

++++−−−−++++−−−−

++++

−−−−====

−−−−++++−−−−

++++

−−−−====

−−−−−−−−

++++

−−−−

++++

−−−−====

++++−−−−

====

====∫∫∫∫

====∫∫∫∫

====

−−−−++++−−−−

====−−−−

−−−−

++++−−−−====−−−−−−−−

====−−−−++++−−−−++++

====++++−−−−++++

====++++

−−−−++++

====++++

−−−−++++

∫∫∫∫

++++−−−−

−−−−−−−−−−−−

:ecuación la en doReemplazan


ESPOL 2009 48

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ;ln

;ln

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

/

/

/

/

KxCxxCxxxy

KxCxxCzzxy

x

dxxC

x

dxCdzzzxy

x

dxxCzdzzzxy

zx

zx

dxzdz

xz

xz

dxx

xCdxxxdxxy

x

xCxxx

dxdy

dxdy

v

x

xCxxxv

xx

Cxxxv

Cxxvx

x

Cxxx

xdx

Cuuduu

uuduu

xxdx

+−−−+++−+++=

+−−−+++−+=

−+

−+−−+=

−

++−−+=

−=−

−=

=

+=

+=

−

++−+++=

−

++−+++=

=

−

++−+++=

−

++−+++=

+−+−=+

−

+−+−=−

++=+

+=

−

∫ ∫∫

∫∫

∫∫∫

∫

∫

∫∫

11154

138

14

1138

54

14

112414

1

122214

21

1

2

1

1

11

11216

1

111216

1

111216

11

11216

12161

1

12161

3

2616

2131

3

225323

223523

22

2423

2

223

2

2

2

3

3

32

2


ESPOL 2009 49

2) ( )2

-1 y'x y'+ =y'';

x

( )

( )

( )

[ ]

;xC

xv

;x

xCxC

1v

;xC

1z

;Cxdxxz

;1dx

z.xd

;x1

xzxx'xz

;xe)x(u

;x1

zx'z

;x

vvvxv'vv

;dxdv

vdxdz

;

;

;xv

vx'v

v';x

vvx

;''ydx

yddxdv

'v

;'ydxdy

v

1

1

dxx

1

22122

2

21

21

2

2

1

−=

−=+−=

+−=

+−=−=

−=

−=+

=∫=

−=+

−=−−−

−=

=

==

=−

=+

=+

===

==

−

−

−

−−−−

−

−

−

∫

−

1-

n1-

21-

vz

2;n vz

:Bernoulli del diferencia E.una Es

;'y'x

y'y'x

:ecuación la en doReemplazan

;KCxlnxy

;Cx

CdxdxCxCxy

;Cx

xdxy

;Cx

xxC

xdxdy

+−−−=−

−−−

−=

−−=

−−=

−=

∫∫

∫


ESPOL 2009 50

Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”

Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:

;dydv

vdxdy

dydv

dxdv

v;dxdy

========

====

3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22 =+ (HACE FALTA X)

(((( ))))

(((( ))))

[[[[ ]]]]

;

;2

;

;;

;1

;1

;

;

;1

;2

;)(

;12

;2.2.2

2

;2

;

;

;2

2

2

22

22

2

2

2

2

2

222

22

2

2

1

2

)1(1

2

1

Cuy

dyzdz

Cyu

dxdyCy

yy

Cydxdy

yCy

vy

Cyv

yC

yv

yC

yz

Cyzy

Cydyzy

dyzyd

yy

yz

ydydz

y

yeyu

yyz

dydz

yvv

yvv

v

dydv

vdydv

dvdz

dydz

vz

vz

yv

yv

dydv

v

dyy

−−−−====

====

++++====

====++++

++++====

++++====⇒⇒⇒⇒

++++====

++++====⇒⇒⇒⇒++++====

++++====

++++========

====

====++++

====∫∫∫∫

====

====++++

====++++

========

====

====

========++++

====++++

====++++

∫∫∫∫

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

es variablseparando entonces

dydv

:ecuación la de lados ambos a 2v ndoMultiplica

-1.n Bernoulli, de ldiferencia Ecuacion dydv

1;v2y2y

:ecuación la en'y' ,y' doReemplazan

1;y'2y'y'2y

22

22


ESPOL 2009 51

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) 212

3

21

3

22

23

2

23

2

22

CyCCy

Kx

:es f(y)x forma la de solución la tanto lo Por

Cy u Pero

Cuu

Kx :Entonces

,duCuKx entonces ,u

uduCudx

dxdyCy

y

: en emplazandoRe

++++−−−−++++

====++++

====

++++====

−−−−====++++

−−−−====++++−−−−

====

====++++

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

4) ( ) 0;y''yy'yy' 22 =−+

( )

( )

;Cyyv

;Cyvy1

;dyvy1

;1dy

vy1d

;y1y

yv

y1

dydv

y1

;y1e)y(u

;yyv

dydv

;0yv

dydvy

;0vdydvyvvy

;dydvv

dxdy

dydv

dxdv

;dxdy

v

2

ydy

22

+−=

+−=

−=

−=

−=−

=∫

=

−=−

=−+

=−+

=−+

==

=

∫

−

0;y''yy'yy'

:ecuación la en doReemplazan22

dyy Cy;

dxdy dy dy

x ;Cy y Cy C(C y)

= − +

= = +− −∫ ∫ ∫

2

2

x ln y ln C y K;C C

La solución es:

= − − +1 1

Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes

1) Resuelva: 2y3y''y' ++


ESPOL 2009


);sen(e2y x=

52



ESPOL 2009 53

2) Resuelva:


ESPOL 2009

si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

54

si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

( )(

;41

CC

81

021

CC165

165

)0('y

;CC163

;163

)0(y

xtan21

eCeC'y

21

21

21

2x2

x1

=−

++−=

=

+=

=

+−= −


ESPOL 2009

( ) ))x(secxsec 3+

e321

e327

y

;32

1C

;327C

:solviendoRe

xx

2

1

+−=

−=

=

−

55

2)xsec()xtan(

+


ESPOL 2009 56

3) Resuelva ;xe6y5y''y' x=+−

[ ]

( )( )

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]( )

;xe21e

43eCeCy

;yyy

;xe21e

43y

;xeaeay

;21a;

43a

;1a2;0a3a2

;xexea2ea3a2

;xexeaea6exeaea5e2xeaea

;xey6'y5''y

;e2xeaea''y

;exeaea'y

;xeaeay

;exaay

;0s

;exaaxy

;xey6'y5''y

;eCeCy

;ey

;ey

;2; r3r;02r3r

;06r5r

;06r5re

;er''y;re'y;ey

;0y6'y5''y

xxx22

x31

ph

xxp

x1

x0p

10

1

10

xx1

x10

xx1

x0

xx1

x0

xx1

x0

x

xx1

x0p

xx1

x0p

x1

x0p

x10p

x10

Sp

x

ogéneahomSolución

x22

x31h

x22

x31

21

ticaCaracterísEcuación

2

2rx

rx2rxrx

+++=

+=

+=

+=

==

==−

=+−

=++++−++

=+−

++=

++=

+=

+=

=α=

+=

=+−

+=

=

=

===−−

=+−

=+−

===

=+−

α


:homogénea nol diferencia ecuación la en doReemplazan

1;

:particular soluciónla sEncontremo

:'y',y'y, doReemplazan

44 344 21

43421


ESPOL 2009 57

4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x=++

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

( )[ ] ( )[ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

;21

b

;0a;1b2

;0a2);xcos(excose2bsenxe2a

);xcos(ey2'y2''y

''y,'y,y

;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y

;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y

;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y

;senxxebxcosxeay

;senxebxcoseaxy

1s

;senxebxcoseay

;esenxbxcosay

1;0s

;esenxbxcosaxy

);xcos(ey2'y2''y

;senxeCxcoseCy

;senxey

;xcosey

;1

;i12

)2(442r

;02r2r

;02r2re

;er''y;re'y;ey

;0y2'y2'y

0

0

0

0

xx0

x0

x

ppp

xxx0

xxx0p

xxx0

xxx0p

xxx0

xxx0p

x0

x0p

x0

x0p

x0

x0p

x00p

x00

Sp

x

ogéneahomSolución

x2

x1h

x2

x1

2,1

ticaCaracterísEcuación

2

2rx

rx2rxrx

=

=

=

=−

=+−

=++

+−−+−−=

+−++−−=

+−++−−=

+=

+=

=

+=

+=

=α=

+=

=++

+=

=

=

=β−=λ

±−=−±−

=

=++

=++

===

=++

−−−

−

−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−

−−

−−

−

α

−

−−

−

−

:homogénea nol diferencia ecuación la en ando simplificy doReemplazan

homogénea. soluciónmi a respecto con edependient elinealmenttérminos contiene que ya particular soluciónesta asumir puede seNo

;-


1;

:'y',y'y, doReemplazan

4444 34444 21

43421


ESPOL 2009 58

);x(senxe21

senxeCxcoseCy

;yyy

);x(senxe21

xx2

x1

ph

x

−−−

−

++=

+=

=py

1;x3ecosxy2y''y' 2x −++=+−

[ ]

( )

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

;senx21

;21b;0

xcos2bsenx2

;senxbxcosabsenxxcosa''y

;xcosbsenxaxcosbasenx'y

;bsenxxcosay;0s

;bsenxxcosaxy

;xeCeCy

;xey

;ey

;1r;01r

;01r2

01r2r

;er''y

;re'y

;ey

0

1p

1p

1p

s1p

x2

x1h

x2

x1

2,1

2

2rx

rx2

rx

rx

−=

−==

=

=

=−+

−+−=−−=

+−=+−=

+=

=

+=

=+−

−++=+−

+=

=

=

==−

=+−

=+−

=

=

=

=+−

p1

p1p1p1

2x

2

y

a oResolviend 1;2b-

0;2a

cosx;a

1; ecuacion la en y,y','y' doReemplazan

1. n Ecuaciócosx;y2y''y':particular soluciónprimera la oEncontrand

1;x3ecosxy2y''y'

:particular soluciónla oEncontrand

r

;e

:homogénea ecuación la en 'y' ,y' y, doReemplazan

;y2y''y':homogénea soluciónla oEncontrand


ESPOL 2009 59

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

;ex23

;23

a

;e3ae2

;e2xe4exa''y

;xe2exa'y

;eaxy

;eaxy

;eaxy

;eay

;0s

;eaxy

x2

xx

xxx22p

xx22p

x22p

x22p

x2p

x2p

xs2p

=

=

=

=+−

++=

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

=+−

p2

x

p2p2p2

x

y

:es particular solución segundaLa

3ey2y''y'

2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan

homogénea soluciónla arespecto nte,independie elinealment es soluciónesta caso, este En

2;santerior. razón misma la por

solución,esta asumir puede seTampoco

1;shomogénea. soluciónla a respecto con edependient elienalment

es que ya ,particular soluciónesta asumir puede seNo

2. n Ecuació;3ey2y''y'

:particular solución segundala oEncontrand

[ ]

c;2''y

cx;2b'y

;cxbxay

;0s

;cxbxaxy

3p

3p

23p

2s3p

2

=

+=

++=

=

++=

=+− 3. n Ecuació1;-xy2y''y'

:particular solucióntercera la oEncontrand

[ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2

122

2

−=++++−

−=+− xy2y''y'

2. ecuación la en y,y','y' doReemplazan p3p3p3


ESPOL 2009 60

[ ] [ ] [ ]

p

p p p p

xp

h p

c b a c b x c x x ;

c b ac b

c

c ;b ;a ;

y x x ;

y y y y ;

y sen(x) x e x x ;

y y y ;

y C

Resolviendo el sistema:

La tercera solución particular:

La solución general:

− + + + + = −

− + = −− + = =

===

= + +

= + +

= − + + + +

= +

=

2 2

23

1 2 3

2 2

2 2 2 1

2 2 14 0

1

145

5 4

1 3 5 42 2

x x xe C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 21 2

1 3 5 42 2


ESPOL 2009 61

Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy

1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβ donde 0,βyxy''y'x 2 ∈α=+α+ , , se la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el cambio de variable zex = , y luego resuelva:

;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2 +=++

(((( )))) ;βydzdy

αdz

yd

;βydzdy

αdzdy

dzyd

;βydzdy

xαx

dzdy

xdzyd

xx

;dzdy

xdzyd

xdxyd

y''

;xdz

dyx

xdzyd

xdxyd

;dxdz

dzdy

dzdx

xdzyd

xdxyd

;dxdz

dxdy

dzd

dxyd

;dxdy

dxd

dxyd

;dzdy

xdxdy

y'

;xdz

dydxdz

dzdy

dxdy

xdxdz

xz

Si z

01

0

0111

11

111

11

1

1

;1);ln(;

2

2

2

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

====++++−−−−++++

====++++++++−−−−

====++++

++++

−−−−

====++++++++

−−−−========

−−−−====

−−−−====

====

====

========

========

====

========

0;βyxy''y'x

ldiferencia ecuación la en doReemplazan

:'y' luego necesita Se

:Ahora

e x

2 αααα

(((( )))) ;ydzdy

dzyd

0412

0

2

2

====++++−−−−++++

====++++++++

++++====++++++++

;4y2xy''y'x

:homogénea solución la primero oEncontrand

;e4sen(lnx)4y2xy''y' xecuación la oResolviend

2

2ln(X)2


ESPOL 2009 62

( )

( )

[ ] [ ][ ] [ ]

( )[ ] [ ]

2. n Ecuació

:particular soluciónla segundala oEncontrand

:obtiene seel sistema oResolviend

1. Ecuación

:1 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan

:forma siguientela tiene soluciónprimera La1. Ecuación

:esparticular s solucione2 tiene seDonde

:obtiene se,e4sen(lnx)4y2xy''y'x ecuación la en

reemplazaral ln(x),z y ex que asume seComo

:particular soluciónla sencontremo Ahora

ppp

2ln(X)2

z

ticacaracterís Ecuación

;e5y4y'y''

));x(ln(sen56))xcos(ln(

52y

);z(sen56

)zcos(52

y

;56b;

52a

4b3a0ba3

);z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a;zsen4y4y'y''

;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y

;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y

);z(bsen)zcos(ay

;zsen4y4y'y''

;e5zsen4y4y'y''

5

;2

)xln(15senxC

2)xln(15

cosxCy

;2

z15seneC2

z15coseCy

;2

z15seney

;2

z15cosey

;i215

21

21611r

;04rr

;04rre

;0y4'y''y

z2

1p

1p

p

p

p

z2

21h

2/z2

2/z1h

2/z2

2/z1

2,1

2

2rz

=++

+−=

+−=

=−=

=+−

=+

=++−

=++

−+−=−−=

+−=+−=

+=

=++

+=++

+=++

==

+

=

+

=

=

=

±−=−±−

=

=++

=

++

=++

−−

−

−

43421


ESPOL 2009 63

;2

x))x(ln(sen56))xcos(ln(

52

2)xln(15

senxC2

)xln(15cosxCy

;yyy

;2

x))x(ln(sen56))xcos(ln(

52y

;yyy

;2

xe21y

;e21y

;21a

;e5ae10

;e5ae4ae2ae4

;e5y4y'y''

;ae4

;ae2

;ae

2

21

ph

2

p

2p1pp

2)xln(2

2p

z22p

z2z2

z2z2z2z2

z2

z2

z2

z2

++−

+

=

+=

++−=

+=

==

=

=

=

=++

=++

=

=

=

2. n Ecuació

:2 ecuación la en y ,y' ,'y' doReemplazan

'y'

y'

y

: solución siguientela asume Se

p2p2p2

p2

p2

p2

2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22 +−−−=+−+−

( );

dxdz

dzdy

dzdx

2x1

dzyd

2x1

dxyd

;dxdz

dxdy

dzd

dxyd

;dxdy

dxd

dxyd

;dzdy

2x1

dxdy

y'

;2x

1dzdy

dxdz

dzdy

dxdy

;2x

1dxdz

);1xln(z;Si

22

2

2

2

2

2

2

2

z

−−

−=

=

=

−==

−==

−=

−==

:'y' luego necesita Se

:Ahora

entonces e2-x


ESPOL 2009 64

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( );6z5zyy'2y''

;2x

2xlnC2x

Cy

;e2xlnCeCy

;zeCeCy

;2xlnz;zeCeCy

;zey

;ey

;1r;01r

;01r2r

;01r2r

;er''y

;re'y

;ey

;0ydzdy

2dz

yd

0

;0ydzdy

13dz

yd

;0ydzdy

3dzdy

dzyd

;0ydzdy

2x12x3

dzdy

2x1

dzyd

2x12x

3

;dzdy

2x1

dzyd

2x1

dxyd

y''

;2x

1dzdy

2x2x

1dz

yd2x

1dx

yd

2

21h

2xln2

2xln1h

z2

z1h

z2

z1h

z2

z1

2,1

2

2

2

rz2

rz

rz

2

2

2

2

2

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

+−=++

+−−−=++

==

−−

+−

=

−+=

+=

−=

+=

=

=

−==+

=++

=

++

=

=

=

=++

=++

=+−+

=++−

=+

−

−+

−−

−−

=++

−−

−==

−

−

−−

−=

−−−−

−−

−−

−

−

:obtiene se,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-x ecuación la en

reemplazaral 2),-ln(xz y e2-x que asume seComo

:particular soluciónla sencontremo Ahora

e

:homogénea ecuación la en 'y',y'y, doReemplazan

;y2y''y' ecuación la oResolviend

0;yy'2-x'y'2-x

:homog{eneal diferencia ecuación la en doReemplazan

22

z

ticaCaracterís Ecuación

rz

2

43421


ESPOL 2009 65

[ ]

[ ]

( ) ( )

( ));2x(ln)2xln(922

2x2xlnC

2xC

y

;yyy

);2x(ln)2xln(922y

;zz922y

;22a;9-b

;1c

1c5-bc4

6ab2c2

;6z5zczbzacz2b2c2

;c2''y

;cz2b

;czbza

;0s

;czbzax

221

ph

2p

2p

22

p

2

2S

−+−−+−−

+−

=

+=

−+−−=

+−=

==

=

==+

=++

+−=+++++

+−=++

=

+=

++=

=

++=


6;5zzy2y''y' ecuación la en y,y','y' doReemplazan

y'

y

y

:forma siguientela tiene particular soluciónla Donde

2ppp

p

p

p


ESPOL 2009 66

3) ( )

ln(x);z entonces ex Si

;3ln(x)3tan9yxy''y'xz

2

==

=++

,

( )

( )

[ ]

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

;)z3cos(

)z3(sen)z3(senz3senz3tan33

;z3sen3z3cos3z3cos3z3sen3

z3senz3cos'y'y

yy

;z3cos3)z(g

z3sen0

;yuyuy;z3tan3g(z)

;z3tan3y9y'',

;)xln(3senC)xln(3cosCy;z3senCz3cosCy

;senzy;zcosy

;i3r;09r

;09re

;er''y

;ey

;0y9''y

;0y9dz

yd

;0y9dzdy

11dz

yd

;0βydzdy

1αdz

yd

22

21

21

2211p

21h

21h

2

1

2

2rz

rz2

rz

2

2

2

2

2

2

−=−=

=

+=−

==

=

+=

=

=+

==

=++

+=

+=

=

=

±=

=+

=+

=

=

=+

=+

=+−+

=+−+

=++

3u'

y,yW

y,yW

y,yWu'

:obtiene seex y xlnz doReemplazan

;3ln(x)3tan9yxy''y'x


:obtiene Se

:Usando0;9yxy''y'x

:homogénea soluciónla oEncontrand

1

21

21

211

z

2

2


ESPOL 2009 67

( )

( )( )

( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos(31)z3cos(

3)z3(tg)z3sec(ln

3)z3(sen

z3senCz3cosCy

;yyy

;)z3(sen)z3cos(31)z3cos(

3)z3(tg)z3sec(ln

3)z3(sen

y

;yuyuy

)z3cos(31dz)z3(senu

);z3(sen'u

;)z3cos(

)z3(sen)z3cos('u

3)z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3

0z3cos

;3

)z3(tg)z3sec(ln3

)z3(senu

dz)z3sec()z3cos(u

);z3sec()z3cos('u

;)z3cos(

1)z3cos(

;)z3cos(

)z3(cos1)z3cos()z3(sen

21

ph

p

2211p

2

2

2

1

1

1

22

−

+−++=

+=

−

+−=

+=

−==

=

=

=−

=

+−=

−=

−=

−=

−−=−=

∫

∫

212

1

1

y,yWu'

u'

u'

( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos(31

)xln3cos(3

)xln3(tg)xln3sec(ln3

)xln3(senxln3senCxln3cosCy 21 −

+−++=


ESPOL 2009 68

4) Si senxxy cosx,xy 1/22

1/21

−− == forman un conjunto linealmente independiente y

son soluciones de 0;y41xxy''y'x 22 =

−++

Hallar la solución particular para ;xy41xxy''y'x 3/222 =

−++ si

( ) 0;>y' 0;2>

y ==

;)y,y(W

'y)x(gy0

'u

;xg(x)

;yuyuy

; xyx411

xy'

y''

;x

xyx41

xxy'

xxy''

xx

;

;senxxCxcosxCy

21

2

2

1

2/1

2211p

2/12

2

2/3

22

2

22

2

2/3

2/12

2/11h

=

=

+=

=

−++

=

−++

=

−++

+=

=

−++

==

−

−

−−

−−

:parámetros de variación aplica Se

xy41

xxy''y'x de soluciónla encontrar Para

:obtiene seentonces 0,y41

xxy''y'x

de s solucionesenx sonxy y cosx,xy Como

22

22

1/22

1/21


ESPOL 2009 69

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ;2

102

111C12

101C0

;2

xsenxx

21

xcosxCxcosx21

senxxC'y

;1C

;02

)1(2

C

;2)1(2C02C0

;xsenxxCxcosxCy

;02

;xsenxxCxcosxCy

;yyy

;xy

;x1xxsenxcosxy

senxxsenxxcosxxcosy

;senxu

;xcosx

xcosx'u

;x

xxcosx21senxx

0xcosx

)y,y(W)x(g'y

0y

'u

;xcosdx)x(senu

);x(senxsenxx

x

senxx21xcosxxsenxx0

'u

;x)y,y(W

;x1xxsenxcosx)y,y(W

;xcossenxx21xsenxxcossenxx

21xcosx)y,y(W

;xcosx21

senxxsenxxsenxx21

xcosxxcosx)y,y(W

senxx21xcosxxcosx

21senxx

senxxxcosx

'y'yyy

)y,y(W

21

2/32/32/1

22/32/1

1

2

2

21

2/12/12

2/11

2/12/12

2/11

ph

2/1p

2/12/1222/1p

2/12/1p

2

1

1

2

1

2/12/32/1

2/1

21

1

1

2

1

1

1

1

2/32/12/1

2/1

1

121

1122121

22122121

2/32/12/12/32/12/121

2/32/12/32/1

2/12/1

21

2121

ππ−

ππ−−

π+

−

ππ−

π−=

−

−+

−−=

−=

=π

+π

π+

π+

π=

++=

=π=

π

++=

+=

=

==+=

+=

=

==

−−==

=−=

−=−=−

=

=

==+=

++−=

−−−

−=

−−−==

−−−−−

−−−

−−−

−

−−−

−−

−

−

−

−−−

−

−

−

−

−−−

−

−

−−−

−−−−

−−−−−−

−−−−

−−

∫

0;)(y' y y Si


ESPOL 2009 70

( ) ;xsenxxxcosx21y

;21C;2C1

;12

C2

1

;C2

C2

1

;2

11C2

1C0

2/12/12/1

1

1

1

21

21

−−− +−π−=

π−=

π+=π

+ππ

=ππ

π−

ππ=

ππ

ππ−

π

−

ππ

=


ESPOL 2009 71

Identidad de Abel

1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel: ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( );

1xdxxx212y

1x1

;1x

dxxx21y1x

1

;1x

xx21y1x

1dxd

;1x

xx211x

y'y

1x1

;1x

1e)x(u

;1x

xx211x

y'y

;xx21y'y1x

;ey'y1x

;dxx22du;xx21)x(u

;ey'y1x

;ey'y1x

;y'y1x'y

y

;'y'y

yy

;0yxx21

2y'-xx21

x12y''xx21xx21

)x(p

;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

1xdx

22

2

222

xx21ln22

2

xx21dxx22

22

xx21dxx12

22

222

2

21

21

222

2

2

2

2

∫

∫

+−−−

=+

+−−

=+

+−−

=

+

+−−

=+

−+

+=∫=

+−−

=+

−

−−=−+

=−+

−−=

−−=

∫=−+

∫=−+

−+=+

=

=

=−−−−

++

−−−−

=++

∫=

+=

===−++−−

+−

−−

−−−−

−−+

−

−

:Entonces

11x

y,yW

y,yW

0;q(x)yy''y':forma siguientela tener debel diferencia ecuación la Donde

ey,yW

:abel deidentidad la usará Se1;xy es soluciónuna Si

1.(0)y'y(0) Si 0;2yy'x12'y'x2x1

21

21

p(x)dx21

1

2


ESPOL 2009 72

( )( ) ( )

;1x

dx21x

dx1xy1x

122

2

2 ∫ ∫ ++

++

−=+

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

;1xy

;1C;C21C

;0C

1C2C1CC

;1CC1

;2C1C1

;2xxC1xCy

;2xxy

;21xxy

;1x

2xy1x

1

;1x

2xy1x

1

;1x

dx2dxy1x

1

1

21

2

21

21

21

21

221

22

2

2

2

22

+=

=

+=

=

→

=−

=−

−+=

−−+=

=

−+=

=

−−−++=

−−−=

−+−=+

−−=+

+−−=

+

++−=

+ ∫ ∫

:es soluciónLa

12-1010

12-111-1


;12xCCy'1;(0)y' Si

1;y(0) Si

21


ESPOL 2009 73

Método de Reducción de Orden

2) Resuelva: ( )

;ey Si

0;yy'1x'xy'x

1−=

=+++

[ ] [ ]

( )[ ] ( )[ ]

[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

;xe)x('u

;xe)x(v

;xlnx)x(vln

;dxx11

v(x)dv

;x11v(x)

dxdv

;exev(x)xedxdv

;0exev(x)xev'(x)

;0exeu'(x)xeu''(x)

;0exe)x('uxe)x(''u

;00)x(uexe)x('uxe)x(''u

;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u

;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u

;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex

;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y

;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y

;e)x('ue)x(u'y

;e)x(uy

;y)x(u

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx2

xxxx2

xx2

x2

1

=

=

−=

−=

−=

−=

=+−+

=+−+

=

=

=+−+

=++−+

=+−−++−+

=++−+++−+

=++−+++−

=+++

+−=

+−++−−=

+−=

=

=

∫∫

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−−−−−

−−−−−−

−−−−−−

−−−

−−−−

−−

−

:ldiferencia ecuación la en (x)v' y v(x) doReemplazan(x);'u'(x)v'

(x);u'v(x) :y Falta

:obtiene se0,yy'1x'xy'ldiferencia ecuación la en doReemplazan

y que asume Se:orden de reducción de métodoel Usando

2


ESPOL 2009 74

( )

( )

( ) ;!

ln

:es solución La

;!

ln

;)(

;!

ln)(

;!

)(

;!

)(

;)(

++=

+=

=

+=

+=

=

=

∑

∑

∑

∫ ∑

∫∑

∫

∞+

=

−

−∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

∞+

=

−

121

12

12

1

1

1

0

1

1

n

nx

x

n

n

n

n

n

n

n

n

x

nnx

xCeCy

enn

xxy

yxuynn

xxxu

dxn

xx

xu

dxn

xxu

xdxe

xu


ESPOL 2009 75

Ecuación homogénea de orden superior 1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una

cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con coeficientes constantes, son:

4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, Escriba la solución general.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2109822

76523

42

3214 33cos

:34

xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy

entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSexxx +++++++++=

2. 08y12y''6y'''y' =−+−

3. 032ydx

yd5

5

=+

( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx

i

i

i

kii

k

eCexsenCxCexsenCxCxy

seniem

iseniem

iseniem

kemmm

25

618.043

618.121

3

53

5,1

54,0

52

5

902.1902.1cos175.1175.1cos

2cos22

902.1618.053

53

cos22

175.1618.155

cos22

4,3,2,1,0;2032

−−

+

++++=

−=+==

±−=

+

==

±=

+

==

==→=+=

ππ

ππ

ππ

φ

π

π

π

ππ

4. ( ) 0y52DD 22 =+−

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy

im

im

mmmmm

mmm

xx4321

4,3

2,1

22

22

22cos

21

212

1622

5.1.442

05252

052

+++=

±=

±=−±

=−±

=

=+−+−=

=+−=

φ

φ

( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )2321

2

3213

2

23

202

0442

0441

882

281261

08126

xCxCCexy

mmmmm

mmmm

mmmm

x ++=

===→=−=

=+−−=

−

−

−−

=−+−=

φ

φ

φ


ESPOL 2009 76

Ecuaciones de Orden Superior

Ecuación no homogénea de orden superior

1. 84xx2y''3y'''y' 2 ++=++

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) Axy

BAxxy

CBxAxxy

CxBxAxxy

xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys

xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys

CBxAxxxyxxxg

particularsoluciónlaEncuentro

eCeCCxymmm

mmmm

mmmm

mmmmyyy

ariacomplementsoluciónlaEncuentro

xyxyxy

p

p

p

p

cp

cp

sp

xxc

pc

6'''

26''

23'

..1

0

84

:

2,1,0

021

023

0230'2''3'''

:

2

23

232

2

22

2321321

2

23

=

+=

++=

++=

++=++=→=

++=→=

++=→++=

++=→−=−==

=++=

=++=

=++=→=++

+=

−−

φφ

φ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) xxxeCeCCxy

generalSolución

xxxxy

decimosqueloPor

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

xxCBAxBAxA

xxCBxAxBAxA

xxyyy

xx

p

ppp

411

41

61

:411

41

61

:

411

2668

8266

41

4184

4418

61

16

842664186

842322636

84'2''3'''

232321

23

22

22

2

+++++=

++=

=→+−

=→=++

=→−

=→=+

=→=

++=+++++

++=+++++

++=++

−−


ESPOL 2009 77

2. 2x2x2x22 e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−−

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy

CBxCBAxBAAxexy

CxCBxBAAxexy

CxBxAxexy

xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys

xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys

CBxAxexxyexeexxg

xxy

decimosqueloPor

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

xxCBAxBAxA

xxCBxAxBAxA

xxyyyy

xy

Axy

BAxxy

CBxAxxy

xyconilessiCBxAxxys

CBxAxxxyxxxg

xgxgxg


eCeCeCxymmm

mmmmmm

mmmm

mmmmyyyy


xyxyxy

xp

xp

xp

xp

cxx

p

cx

p

xsp

xxx

p

pppp

p

p

p

p

cp

sp

xxxc

pc

12126824368368'''

424864124''

22232'

..1

0

52

21

:

04

4211442

0484

448

21

24

142442484

14242420

1424'4'''''

0'''

2''

2'

..0

142

:

2,2,1

22141

0141

04404'4'''''

:

232

232

232

232

23222

22

2222222

2

1

22

22

2

2

2

221

21

23

221321

2

2

23

++++++++=

+++++++=

+++++=

++=

++=++=→=

++=→=

++=→++=

=

=→++−

=→−=+−−

=→+−

=→−=+−

=→=

−−=+−−++−+

−−=++++−−

−−=+−−

=

=

+=

++=

++=→=

++=→−−=

+=

++=→−===

+−−=−−=

=−−−=

=+−−=→=+−−

+=

−

φ

φ

φ

( ) ( ) ( )( ) xxxx

xxxpppp

exeexCBAxBAxAe

exeexyyyy222222

2222

52410683012

524'4'''''

++=+++++

++=+−−


ESPOL 2009 78

( )

( ) xxxx

xp

exxeCeCeCxy

exxy

CBA

CCBA

BA

BBA

AA

23223

221

23

61

21

61

04

106114106

08305

5830

61

212

2

++++=

=

=→−−

=→=++

=→−

=→=+

=→=

−

3. ( )xcscy'''y' =+

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxxx

xsenCxCCxy

xsenxxxx

xy

xsenxxxx

y

xdxuxsenxxx

xsen

x

u

xdxxxuxxxsenx

x

xsen

u

xdxxux

xsenxx

xxsen

xsenx

u

xsenx

xsenx

xxsen

xsenx

xsenxW

yuyuyuxy


xsenCxCCxyimimm

mmm

mmmyy


xyxyxy

p

p

p

c

pc

−+

+++=

−+

=

−++

=

−=−=→−=−

−

=

=−=→−=−

=

==→=−−

−

=

=+=

−−

−=

++=

++=→−===

=+=

=+=→=+

+=

∫

∫

∫

csclncos2

tanlncos

csclncos2

tanln

coscscln12

tanln

1csc1

csccos0

00

0cos1

'

csclncoscsccoscsc1

csc0

cos00

01

'

2tanlncsc1csc

1

coscsc

cos0

cos0

'

1cos1

cos0

cos0

cos1

,cos,1

:

cos,,0

01

00''''

:

321

33

22

11

22

332211

321321

2

3

φ

φ


ESPOL 2009 79

4. ( )xxln''y' = ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )xxx

xCxCCxy

generalSolución

xxx

yilesnoxxx

y

xx

xxxxx

y

xdx

xx

ux

xxx

xx

x

u

xxdxxux

xxxx

xx

x

x

u

xx

dxxxux

xxxx

xx

x

xx

u

xxxx

xx

xsenxW

yuyuyuxy


xCxCCxymmm

mm

mmy


xyxyxy

pp

p

p

c

pc

ln6ln24

:

ln6ln24

..7ln6ln24

2ln

1ln2121

ln2

2lnlnlnln00

010

01

'

1ln2ln22.ln2ln0

200

01

'

21

ln2

lnln20ln

210

0

'

21

200

210

1

,cos,1

:

0,0,0

0

00'''

:

22

2321

22

22

222

2

3223

222

2

2

2

12

2

2

2

1

222

2

332211

2321321

3

3

−+++=

−=∴+−=

+−−+

−=

==→==

−−=−=→−==

−==→==

=−==

++=

++=→===

==

==→=

+=

∫

∫

∫

φ

φ


ESPOL 2009 80

Ecuación de Euler de orden n

1. 018ydxdy

6xdx

ydx

dxyd

x 2

22

3

33 =+−−

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2

33

21

23

32

31

3212

2

23

23

321

321

2

2

12233

ln

233023

018'3''4'''

023

01834

0186121

:ln

:

ln

23

023

063

03631

0186121

0186121

0186121

:

−

−

−

−−−

++=

++=

−===→=+−=

=+−−

=+−

=+−−

=+−−−−−

=→=

°

++=

−===

=+−

=−−−

=−−−−

=+−−−−−

=+−−−−−

=+−−−−−

=

°

xCxxCCxy

eCteCeCty

mmmmmm

tenecuaciónyyyy

DD

DDD

DDDDDD

obtienesextexcambioelaplicando

Método2

xCxxCCxy

rrr

rr

rrr

rrrr

rrrrrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx

:a reduce seescución la entoncessolucióncomoxyasumo

Método1

:métodosdosporosresolveremLa

ttt

t

r

rrrr

r

φ

2. 08ydxdy

10xdx

yd2x

dxyd

x 2

22

3

33 =−−+

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )( )

( ) 23

12

41

321

23

2

12233

214

0214

0810

04521

08101221

08101221

−−

−−−

++=

−=−==

=++−

=−−−

=+−−

=−−−+−−

=−−−+−−

=

xCxCxCxy

rrr

rrr

rrr

rrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx


r

rrrr

r


ESPOL 2009 81

3. 4lnx8ydxdy

8xdx

yd4x

dxyd

x 2

22

3

33 =−+−

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )87

ln21

87

ln21

87

21

87

0814

21

48

48148

4814070

:Re

0'''''

'

0

48'14''7'''

:

4210421

08'14''7'''0421

0861

08421

0181421

0881421

:

:ln

43

221

43

221

43

221

321

2

+−++=

+−=→+−=

→==−

−==−

=−+−

=+−+−

==

=

+=

+=→=

+=

=−+−

++=→++=

===→=−−−=

=−+−→=−−−

=+−−

=+−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=→=

xxCxCxCxy

xxyttyBBA

AA

tBAtA

tBAtA

emplazando

yy

Ay

BAty

yconnteindependieelinealmentessiBAtys

BAtty

tyyyy


xCxCxCxyeCeCeCty

mmmmmmm

tenecuaciónyyyyDDD

DDD

DDDD

DDDDDD

DDDDDD


obtienesextexcambioelaplicando

pp

pp

p

p

cp

sp

cttt

c

t

φ


ESPOL 2009 82

4. 32

22

3

33 x2y

dxdy

2xdx

ydx

dxyd

x =−+−

( )( ) ( )( )( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )4

ln

:4

ln22

3ln

2

1ln1ln10

01ln1

0ln

'

22210

201

0

'

23

ln2

1ln1lnln221

21ln0

ln0

'

2

ln1

2

21ln

20

21ln1

ln

,ln,

:

ln

21

021

0221

0221

012121

022121

022121

32

321

3

222

3

1

3

2

2

2

2

2

2

1

21

2

1

1

2

11

2

2

332211

2321

321

2

12233

xxCxxCCxy

generalSolución

xy

xxxxx

xxx

y

xdxux

xxxxx

x

x

xxx

u

xxdxu

xxxx

x

x

xx

u

xx

dxxxux

xxxxxx

x

xx

xxx

u

xx

xxxx

xxx

x

xx

xxxx

xxxxW

yuyuyuxy

particularsoluciónlaencuentro

xCxxCCy

rrr

rr

rrrr

rrrr

rrrrrr

xrrrrrr

xxrxxrrxxrrrx


p

p

p

c

r

rrrr

r

+++=

=

+−

−=

==→−+

=

+

=

−=−=→−

−==

−=−=→+−

=

+

=

=−+

=+=

++=

++=

===

=−−

=−−−−

=+−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=−+−−−−

=

∫

∫

∫

−

−

−−−

−−−


ESPOL 2009 83

Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables

Solución en serie alrededor de un punto ordinario

1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xydxdy

3xdx

yd1x 2

22 ===++−

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ...4

1133

1164

60'...8

1532

31...

85

2'

40...83

122...

861

....

883

2015

1323233

3

12128

1222222

2

2;12

20122

62036

002

0122362

03121

0311

0311

543

1

432

1

42

0

0

543

1

53

0

33

2210

0

0123235

112124

1212

013013

22

2120132

11

102

2

0

1

12

2

2

01

1

2

22

+++++=

==→

+++++

+++=

==→

+++++

+++=

++++==

+=+

=++++

=→=

=+

=++++

=→=

≥++++

=→=+++−+

+=→=++−

=→=−

=+++−++++−−

=++++−−

=++−−−

=++−−

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

−+−+

∞+

=−+

∞+

=−

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

+∞+

=

∞+

=

−∞+

=

+∞

=

+∞

=

−+∞

=

−

xxxxxy

Cyxxx

Cxx

xCxy

Cyxxx

xCxx

Cxy

xCxCxCCxCxy

CCCCCCCn

CCCCCCn

nnn

CnnCCCnnCnnC

CCCCCC

CC

xCnnCnnCxCxCxCC

xCnxCxnnCxnnC

xCnxCxnnCxnnC

xCxnxCxxnnCx

n

nn

nnnnnn

n

nnnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn


ESPOL 2009 84

2. 0xdealrededorexy''y' 0

x ==− −

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

( )

( )

+−+−+

++++=

+

−++

−+++=

++++==

−=→−=++

−+

++=→=

=→+=++

−+

++=→=

−=→++

−+

++=→=

≥++

−+

++=→

−=−++

=→=

−+=−+++

−=−++

−=−−

−=−−

∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

++

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

∞+

=+

∞+

=

∞+

=

∞+

=

−

+∞

=

+∞

=

−+∞

=

−

....30862

....406

......301

4081

61

621

.....

301

401201

203

1323!31

13233

3

81

241

61222!21

12222

2

61

61121!11

11211

1

112!

112!

112

21

12

!11122

!112

!11

!11

543253

10

51431210

33

2210

0

14

33

35

42

2

24

13

1

13

22

22

1122

0102

012

2

01

1

2

2

xxxxxxxCCxy

xC

xxC

xxCCxy

xCxCxCCxCxy

CC

CCCn

CC

CCn

CCCCn

nnnnnn

nCC

nnCnnC

CC

nx

xnCnnCC

nx

nxCxnnC

nx

nxCxnnC

nx

nxCxxnnC

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnn

nnn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn


ESPOL 2009 85

3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto �� . Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros). ��

Desarrollo. �� ! �� "#$%#&"' �� ( � %) *% $+#$% �� "' ,# -,#$% %)./#+)/% Se asume:

� � 0 +1�� 1213� � -")% ��

� � 0 +1��1213� � �4 � 0 +1�#��1562

136 � �44� 0 +1�#��# � ��15�2

13� Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación: ��

�� 0 +1�#��# � ��15�213� � �� 0 +1�#��1562

136 � � 0 +1��1213� � �

Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +1�#��# � ��15�2

13� � 0 �+1�#��12136 � 0 �+1��12

13�� Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite que en este caso es n:

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +1�#��# � ��15�2

13� � 0 �+1�#��12136 � 0 �+1��12

13��

Para la m = n – 2 Si n = 2, entonces m = 0 Pero n = m + 2 Luego m = n


ESPOL 2009 86

0 +1�#��# � ��1213� � 0 +17��# � ��# � ��12

13� � 0 �+1�#��12136� 0 �+1��12

13� � � Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2.

0 +1�#��# � ��1213� � �+� � 8+9� � 0 +17��# � ��# � ��12

13� � �+6�� 0 �+1�#��12

13� � �+� � �+6� � 0 �+1��1213� � �

��+� � 8+9� � �+6� � �+� � �+6�� 0:+1�#��# � �� +17��# � ��# � �� +1�#� � �+1;��12

13� � � Se igualan los coeficientes: ��+� � �+� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +� � +� �8+9� � 8+6� � �� "#$%#&"' '" $/"#" <," +9 � +6 +1�#��# � �� +17��# � ��# � �� +1�#� � �+1 � � La fórmula de recurrencia es: +17� � +1�#��# � �� +1�#� � �+1�# � ��# � �� =# > �?

+17� � �#� � # � �# � ��# � ��# � �� +1 � �#� � @# � ��# � ��# � �� +1 � �#� � @# � ��# � ��# � �� +1� �# � ��# � ��# � ��# � �� +1 � +1

Por lo tanto: +17� � +1� =# > � Encontrando los coeficientes: A/ # � �� "#$%#&"' +B � +� � +� A/ # � @� "#$%#&"' +C � +9 � +6 A/ # � �� "#$%#&"' +D � +B � +� A/ # � E� "#$%#&"' +F � +C � +6 A/ # � 8� "#$%#&"' +G � +D � +� A/ # � H� "#$%#&"' +I � +F � +� Volviendo a la solución:

�� 0 +1�1213� � +� � +6� � +�� +9�9 � +B�B � +C�C � +D�D � J

�� +� � +6� � +�� +6�9 � +��B � +6�C � +��D � J La solución homogénea:

�� +� K� � ��B � �D � J � ��1 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPQ�R� S� +6 K� � �9 � �C � J � ��176 � JLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMOPT�R� S


ESPOL 2009 87

� +� U �� V � +6�� B � J � ��1 � J � �W�X� � +� U �� V � +6 Y �� Z � �+ <," �� 9 � J

Ahora se encuentra la solución particular �[\ Normalizando la ecuación diferencial �� 6R, se obtiene:

��

Usando el método de variación de parámetros: �[ � ,6�6 � ,�� Encontrando el wronskiano: ]��6� �� ^ �6 ��64 ��4^

]��6� �� __ �� __ � ��

`%#." ,6� � a � �� 4a]��6� �� _ � �� _

��

,6� � �� "#$%#&"' ,6 � �

`%#." ,�� a �6 ��64 �� a]��6� ��

_ �� _��

,�� "#$%#&"' ,� � �bc �� Por lo tanto a solución particular es: �[ � ,6�6 � ,�� [ � � U �� V � bc ��

La solución general es: �� +� U �� V � +6 Y �� Z � � U �� V � bc ��

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales

2do Parcial (3ra versión)

• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares • Transformada de Laplace • Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de

Laplace • Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales • Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden • Series de Fourier • Ecuaciones en Derivadas Parciales

Roberto Cabrera V. [email protected]

06/02/2009

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial

Roberto Cabrera V.

- 2 -

Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales II Parcial

i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares: Ø Método de Frobenius

ii. Transformada de Laplace:

Ø Teoremas Ø Transformada de Laplace de algunas funciones Ø Transformada inversa de Laplace

iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de

Laplace: Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ø Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ø Ecuaciones integro diferenciales

iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales:

Ø Método de Eliminación Ø Método de los operadores diferenciales Ø Método de Laplace Ø Método de los valores y vectores propios.

v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden:

Ø Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador Ø Aplicaciones de circuitos eléctricos

vi. Series de Fourier

Ø Definición de la serie de Fourier Ø Serie de Fourier de una función par e impar Ø Convergencia de una serie de Fourier Ø Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier

vii. Problema de la ecuación del calor

viii. Anexos:

Ø Problemas propuestos Ø Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Ø Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones


Roberto Cabrera V.

- 3 -

Método de Frobenius

1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:

, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental. Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este caso , entonces , por lo tanto es un punto singular. Lugo se verifica si es singular regular.

i) (existe)

ii) (existe)

Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular. La fórmula de la ecuación indicial indica:

, se obtiene que: Las raíces de la ecuación indicial son: , y . Asumiendo la solución como:

Obteniendo la 1ra y 2da derivada:

Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:

Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:

Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo un cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.


Roberto Cabrera V.

- 4 -

La nueva ecuación queda así:

Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:

Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:

Igualmente los coeficientes de

Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.

En este caso si puede ser igual a cero. La ecuación de recurrencia es:

Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:

Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la primera solución:


Roberto Cabrera V.

- 5 -

Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:

Reemplazando los coeficientes en la solución

Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:

=


Roberto Cabrera V.

- 6 -

2) Resuelva:

• ( ) 0,033 02

2

22 ==+−+ xdealrededory

dxdy

xxdxyd

x

singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )( )

( )( )[ ] ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

−−

++−+=

∴

−−

+++−=

=

−++−=

−=

==∫

=∫

=

=∴

+−+−=⇒−=−=→=

=−=→=

−=−=→=

=

=≥−

−=→=≥−=→=

≥−+

−=→=−++−+−+

=−==→=−−→=−−

=−++−+−++−−

=−++−+−+

=++−+−+

=++−++−++

=++−+−++

∑

∑

∫ ∑∫∑

∫∫∫∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

−−

−−

∞+

=

−−

−−

∞+

=

−−−−−

∞+

=

−−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

∞+

=

+−

∞+

=

+−

∞+

=

+

∞+

=

++∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

+∞+

=

++∞+

=

+

+∞

=

++∞

=

−++∞

=

−+

3

21

231

2

3

21

23

3

31233

0

33

2

33

26

33

26

31

32

1

)(

12

301

323

0102

3

012

001

12

11

11

21210

110

11

0

0

1

0

000

1

0

00

12

0

22

2!1

22ln

2!1

2ln

2

!1

2!1

...!3!2!1

1!33

3

!222

!111

3

1;2

11;3

1;3

0113

13013013

011313

0113

013

0331

0331

n

nnx

n

nnx

n

nnx

n

nnx

xx

x

xx

x

dxx

xdxxp

x

1

nn

nn

nnnn

n

rnnn

r

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

nnx

xx

exxy

xy

nnxx

xx

ex

dxnxx

xxexdxnx

exxy

dxxe

exdxexex

exdxex

eexdx

y

eyxy

exCxyxxx

xCxyCC

Cn

CCCn

CCCn

r utilizando será soluciónprimera la

2n para definida esta no nnC

CrnnC

Cr

nrnC

CCrnCrnrn

enterorrrrrrCrr

xCrnCrnrnxCrr

xrnCxCrnrn

xrnCxCrnrn

xCxrnCxrnCxrnrnC

xCxrnCxxxrnrnCx


Roberto Cabrera V.

- 7 -

3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto 0x0 =

• ( ) ( ) 1132

22 =+−+− y

dxdy

xdxyd

xx

singular es ,0)()( 02 ====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

( ) [ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

11ln

11

)(

11ln

11

ln)(

111

11)(

lnln11ln1)(

1

1

11

1

ln

1

11ln

11

)(

1ln

11

)(

1ln1

11

11

11

11

1

11

...13

2

1

0

0;0

0;1

1311131

00

01131

01131

0131

0311

0131

21

2211

2

21

2

2

22

1

2

22

2211

21

122

21

22

13

21

)(

12

01320

0103

02

01

11

2112

2102

01

20

2

11

2

0

0

12

0

00

1

00

1

0

00

1

0

22

2

−+

−+

−=

−=

−−

−

+−=+=

−=−=−

−

−==

+−==−

−

−−=−=

−=

−−

−−

−−=→+=

−+

−=

−=→

−=

−

−−

=∫

−=

∫=

−=∴++++=⇒=→=

=→=

=→=

=

≥=→=

≥++

+++−++=→++−+++−++

==→=−

=++−+++−+++−

=++−+++−++

=+−+++−++

=++−++−++−−++

=++−+−++−

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑

−−−

−−−

+

++

∞+

=

++

∞+

−=

++

∞+

=

+

∞+

=

−+∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+

+∞

=

++∞

=

−++∞

=

−+

xx

xx

kx

kxy

xx

xx

xx

xxxyuyuxy

xdxdxxxxxx

dxWyxg

u

xxxdxxdxxxxx

xxdx

Wyxg

u

xxxxx

x

x

xx

xWyuyuxy

xx

kx

kxy

xx

Cxydxxx

dx

x

xxx

dxex

ex

dxy

eyxy

xCxyxxxxCxyCCn

CCn

CCn

r utilizando será soluciónprimera la

nCCr

nrn

CrnrnrnCCrnCrnrnrn

rrCr

xCrnCrnrnrnxCr

xCrnxCrnrnrn

xCrnxCrnrnrn

xCxrnCxrnCxrnrnCxrnrnC

xCxrnCxxrnrnCxx

p

p

h

x

dxxx

xdxxp

1

nn

nnnn

n

rnnn

r

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn


Roberto Cabrera V.

- 8 -

Transformada de Laplace Halle:

• ( ) ( ){ }ttsenteL t 2cos24364 35 +−+ Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }

{ } { } ( ){ } ( ){ }

42

161236

54

42

164

3!3

65

14

2cos24364

2cos243642cos24364

2cos24364

224

224

35

3535

35

++

+−+

−=

++

+−+

−=

+−+=

+−++=+−+

+−+

ss

sss

ss

sss

tLtsenLtLeL

tLtsenLtLeLttsenteL

ttsenteL

t

tt

t

Halle

• ( ) ( ){ }teetL tt 2cosh2 42 −++ Por la propiedad de linealidad tenemos que: ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }teLeLteLetL

teLeLteLetL

teLettL

teLetLteetL

teetL

tttt

tttt

tt

tttt

tt

2cosh44

2cosh44

2cosh44

2cosh22cosh2

2cosh2

42

42

42

4242

42

−

−

−

−−

−

+++=

+++=

+++=

++=++

++

Aplicando el primer teorema de la traslación: { } { } { } ( ){ }{ } { } { } ( ){ }

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )621

20219295

44

41

14

1

14

1

!22cosh44

2cosh44

3

234

22342

42

++−

+−++=

−+

++

−+

−+

−=+++

+++

−

−

sss

ssss

s

ssss

teLeLteLetL

teLeLteLetL

tttt

tttt


Roberto Cabrera V.

- 9 -

Demuestre: • Demuestre el primer teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )asFsFdttfe

ass sidttfe

dttfeetfeL :Entonces

sFdttfetfLTenemos

asFtfeL entoncessFtfL Si

ts

tas

atstat

st

at

−===

−=→=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∞−

∞−−

∞−

∞−

0

0

0

0

:

,

Halle:

• ( ) ( ){ }ttsenhL cos23 Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]teLteLteLteL

teLteLteLteL

teeeeL

tee

LttsenhL

ttsenhL

tttt

tttt

tttt

tt

coscos3cos3cos81

coscos3cos3cos81

cos3381

cos2

cos2

cos2

6226

6226

6226

3223

3

−−

−−

−−

−

−+−=

−++−+=

−+−=

−=

Aplicando el primer teorema de la traslación:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )3712545437121854648

16

6

12

23

12

23

16

681

coscos3cos3cos81

2222

24

2222

6226

+++++−+−+−

=

++

+−

++

++

+−

−−

+−

−=

−+− −−

ssssssssss

s

s

s

s

s

s

s

s

teLteLteLteL tttt


Roberto Cabrera V.

- 10 -

• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f(0)-sF(s)

lexponencia orden de es tf que asumiendo Pfe pero

Pfefdttfes

dttfesfPfe

dttfesetfdttfe

tfvdttfdv

dte-sdu eu :partes por Integrando

dttfedttfetf'LTenemos

fssFtf'L entoncessFtfL Si

sP

P

sP

P

st

PstsP

P

PstPst

P

Pst

P

st-st

Pst

P

st

=

=

+−=

+−=

+=

=→=

=→=

==

−==

−

∞→

−

∞→

∞−

−−

∞→

−−

∞→

−

∞→

−

−

∞→

∞−

∫

∫

∫∫

∫∫

0lim

lim0

0lim

lim'lim

'

'lim':

0,

0

0

00

0

00

• Encuentre la transformada de la función tf(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ]

( ){ } ( )sFdsd

ttfL

dtttfe

dttfte

dttfes

dttfedsd

sFdsd

:tenemos igualdad la de lados ambos Derivando

sFdttfetfLTenemos

sFdsd

ttfL entoncessFtfL Si

st

st

st

st

st

−=→

−=

−=

∂∂

=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∫

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

0

0

0

0

0

:

,


Roberto Cabrera V.

- 11 -

• ( ){ }attL cos2 Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:

( ){ }( ){ } ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )322

22

222

2222222

222

22

222

2

2

222

2

32

222

)(1cos

cos

as

ass

as

sasasass

as

sadsd

ass

dsd

sFdsd

attL

attL

+

−=

+

−+−+−=

+

−=

+

=

−=


Roberto Cabrera V.

- 12 -

Halle:

• ( )

t

tL

cos

Usando la propiedad de la transformada de la derivada

( )

( ) ( ) ( )

{ } ( )( ) ( ){ }

( ) ( ){ }( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) s

21

s

23

s

23

23

n

nn

es

e2s

st

tL

e2s

sss2s

sssstsenL

tttt

tttttsen

nt

t senque sabemospotencias de seriePor

t sende datransforma la Encuentro

tsenLst

tL

tsensLt

tL

fssFtfL

0f(0) además t

t(t)f' entonces ,tsentf Si

t

tL

41

41

41

3

2

2

2

2

29

27

25

23

27

25

23

21753

0

212

2cos

...!3

21

!22

1

21

1

....!7

29

!5

27

!3

25

23

....!7!5!3

....!7!5!3

!121

2cos

2

cos

)0()('

,2

cos

cos

−−

−

∞+

=

+

==

=

+−+

−=

+Γ

−Γ

+Γ

−Γ

=

+−+−=+−+−=

+−

=

=

=

−=

===

∑

ππ

π

π


Roberto Cabrera V.

- 13 -

• Encuentre la transformada de la integral de f(t)

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( )ssF

stfL

duufL

:que tenemos Despejando

duufLstfL

gtgLstgL

:que sabemosEntonces

0g(0)y f(t)(t)g' entonces ,duuftg Si

ssF

duufL entoncessFtfL Si

t

t

t

t

==

=

−=

===

=

=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

0

)0('

,

• Encuentre la transformada f(t)/t

( ){ } ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ } { }

{ } { }

{ } ( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫

∫

∞

∞

∞

∞

=

=−=

−=

=

==

=

=

s

s

s

s

duufttf

L

duufduuf (t)gL

:que tenemos lados ambos Integrando

(t)gLdsd

(t)fL

g(t)tL(t)fL

:que sabemosEntonces

g(t)t(t)f entonces ,ttf

tg Si

duuFttf

L entoncessFtfL Si ,


Roberto Cabrera V.

- 14 -

Halle:

• ( )

∫ − θθθ

θ dseneteLt

t

0

44 31

( )

( ){ } ( )

( )

( ){ }

( ) ( )

( ){ }( ){ }

( )

( ){ } ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222

0

44

222

2

224

4

4

0

4

0

4

4

0

44

43

arctan

254844

3

4243

1

34

arctan

2583

234

arctan2

1)(

34

arctan2

1)(

34

arctan23

4arctan

2583

)(

2583

94

33)(

3)(

)(

31

)(,)(

31

)(

,31

4

31

−

−+−+−−

+−

=−=

+

−++

+=

+−−==

+−==

+−=

+=

++==

=

++=

++==

=

=

=

==

=

−=

−=

∫

∫∫

∫

∫

∫

∫

−

∞∞∞

−

−

∞

−−

−

−

s

s

sssssGdseneteL

s

s

sssss

sdsd

thtLsG

sss

sMH(s)

sudu

uuduuX

)x(LM(s)

uuuseneLuX

:es traslación de teorema primer el por que seneLuX

duuX)x(

L M(s)hallamos donde De

seneLsM sissM

dseneLH(s) Encuentro

sHdsd

thtL

:que sabemosdatransforma la de derivada la de teorema el por

dsenetL es que G(s) encontrar Debo

sGtgeL

:que tenemos traslación la de teorema primer el Por

dseneteL

tt

sss

s

t

t

t

tt

πθθθ

ππ

π

πθθ

θ

θ

θθ

θθ

θθθ

θθθ

θθθ

θ

θ

θ

θθ

θ

θ


Roberto Cabrera V.

- 15 -

• Demuestre el segundo teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

sFeduufeeatfa-tL

duufeatfa-tL

uty 0uat Cuando

dudty a-tuaut Si

dtatfeatfa-tL :Entonces

dtatfa-teatfa-tLTenemos

sFeatfa-tL entoncessFtfL Si

assuas

aus

a

st

st

as

−∞

−−

∞+−

∞−

∞−

−

==−

=−

∞=→∞==→=

==→+=

−=−

−=−

=−=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

:

,

µ

µ

µ

µµ

µ

• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0

122;2=

+<<+

+<<=−

nntn

ntnetft

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( )

( )

{ }

+

+=

+=

+=

+=

−=

−+−+−=−+−+−=

−+−+−=

+=

−+−+−=

+

+

∞+

=

−−−−−−−−

−

∑

1212

1

111

1111)(

...11

...1

)(

...)(21

....

21

21

0

432432

543210

5432102

s

s

s

s

sn

n

s

ssssssss

t

es

esGf(t)L

ese

eses

sG

eeeess

ese

se

se

ssG

ttttttLsG

sGf(t)L que tenemos traslación la de teorema primer el Por

ttttttetf

µµµµµµ

µµµµµµ


Roberto Cabrera V.

- 16 -

• ( ) ( ) ( )

+ tttsen

ttsenL δµπ3

)(4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 31

1223

)(

3)3(13

lim3

11

22

11

122

)(4

)(4

cos22

)(44

cos22

44cos

22

4cos

444cos

44

)()(4

3)(

3)(

3)(

24

4

0

0

24

224

444

4

4

44

4

+

++

=

+

===

++

=

+

++

=

−+

−=

−+

−

−+

−=

−+

−=

+−

=

−

+

=

+

+

−

→

−

−−

−

ss

etttsen

ttsenL

ttsen

etttsen

L

:impulso función la utilizo datransforma segundala araPss

ess

se

ttsenLttLttsentL

tsenttsensenttsen

: escalón al multiplica que función la desplazar debo Pero

sFettfL

:traslación la de teorema segundoel utilizo datransforma primera la araP

tttsen

LttsenLtttsen

ttsenL

tttsen

ttsenL

s

t

s

ss

s

π

π

ππ

πππ

π

π

ππ

π

δµ

δ

µπµπµππ

ππππππππ

µπ

δµδµ

δµ


Roberto Cabrera V.

- 17 -

• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica

Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:

( )

( ){ }

( ){ }

( )( ) ( )

( )

( ){ } ( )

( ){ } ( )( )111

11

11

1)cos()(

11

:Re1

)cos()()(

)cos()()(1

)()()cos()(

)()cos(

)cos()cos()(

)cos()(

)(1

1

)(1

1

20

0)(

222

0

22

2

2

02

2

02

+−=

++

−=

+−−

−=

+−−

=

−−=+

+−−=

=→=

−=→=

−−=

−=→=

−=→=

−=

−=

<<

<<=

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−−

−−

∫

∫∫∫

∫∫

∫

∫

sese

etgL

sttsense

etgL

emplazandos

ttsensedttsene

ttsensedttsenes

dttsenestsenesetdttsene

tsenvdttdv

esdueu :partes por Integro

dttesetdttsene

tvdttsendv

esdueu :partes por Integro

dttsenee

tgL

dttgee

tgL

2 periodo con enteperiodicam extendida t

ttsentg

s

s

s

st

s

stst

st-st

st-st-st-st

st-st-

st-st-st

st-st-

sts

sts

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππππ


Roberto Cabrera V.

- 18 -

• Demuestre el teorema de la convolución

{ } { } { }

{ } { }

dtduutgufeS donde

SdtduutgufedtduutgufeduutgufL

:que lo por g(t)LG(s) f(t)LF(s) donde

sGsFduutgufL

tgtfduutgufsGsFL entoncestgG(s)Ly tfF(s)L Si

M

t

t

u

stM

MMt

t

u

stt

ut

stt

t

t1-1-

∫ ∫

∫ ∫∫∫∫

∫

∫

= =

−

∞→

∞

= =

−

=

∞

=

−

−=

=−=

−=

−

==

=

−

=−===

0 0

0 0000

0

0

)()(

lim)()()()()()(

,

)()()()(

)(*)()()()()(),()(

La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es: Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( ) { }{ } )()()()()()(

),(,),(

0

)()(

)()(

111

01

,,

,,

)()()()(

000 0

0 00 0

0 0

sGsFdvvgeduufedvduvgufe

dvduvuKSlim entoncesdvduvuKS

Mvu

Mvuvgufev)K(u, función otra Definamos

dvduvgufeS donde De

vt

ut

vu

uu

vutu

J

:es cióntransforma la de Jacobiano el Donde

dv duvutu

vgufedt duutgufeS

svsu

v u

vus

v uMM

M

v

M

uM

vus

M

v

vM

u

vusM

R

vus

R

stM

uvtu

===

==

>+

≤+=

=

==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

∂∂

=−=

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

∫∫∫∫

∞ −∞ −∞

=

∞

=

+−

∞

=

∞

=∞→

= =

+−

=

−

=

+−

+−−

0 M 0 M

t-u=v


Roberto Cabrera V.

- 19 -

Halle:

• ( )

+−

222

1

as

sL

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )aatsent

aatsen

ataa

atatsentatsen

a

aat

ataa

atsentatsen

a

duausen

ata

duau

atsena

duauausenata

duauatsena

duausenatauatsenaua

dua

utasenau

asass

L

atsena

atasas

sL

:que tenemos nconvolució de integral el Usando

as

sL

tt

tt

t

t

2

2cos

12

cos2

1

42cos1

cos1

42

21

22

cos1

22cos11

coscos1

cos1

coscoscos1

cos1

1*cos

1

2

00

00

2

0

02222

1

22221

222

1

=

−

+=

−−

+=

−

+=

−=

−=

−=

++

=

++

+

∫∫

∫∫

∫

∫−

−

−


Roberto Cabrera V.

- 20 -

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada de Laplace

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ yyytyyyy

{ } { } { } { } ( ){ }

{ }{ }{ }{ }

( ){ }

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ }( )

)(2)cos(22)(

1

2

1

21

22

1)()(

1

2

1

21

22

1)(

2121211113103

1112211

3103)(

1

3103)(21

1103)(254

110)(2)(5)(43)(

Re1

cos

)(

)()0()('

)()0(')0()(''

3)()0('')0(')0()('''

cos102'5''4'''

2

2211

22

222222

2222

2

2

22

223

223

2

22

323

tsentteeety

s

s

sssLsYLty

s

s

ssssY

2E -1,D -2,C 2,B -1,A donde De

32E2C2BA

105E2DC3B2A

34E5D2C3B2A

0E4DC3B2A

0DBA

:ecuaciones de sistema siguienteel Tenemos

2E2C2BAs5E2DC3B2As4E5D2C3B2AsE4DC3B2AsDBA310s3s

ssEDsssCsssBssAss

s

EDs

s

CsB

sA

sss

sssY

s

sssYss

s

ssYsss

s

ssYssYsYssYs

:dastransforma las emplazandos

stL

sYyL

ssYyssYyL

sYsysysYsyL

sYsysyyssYsyL

:necesarias dastransforma las Encuentro

tLyLyLyLyL

Laplace de datransforma la Aplicando

ttt

2342

+−−+−=

+

+−+

+−

++

+−

==

+

+−+

+−

++

+−

=

=====

=+++

=++++

=++++

=++++

=++

+++++++++++++++++++++=++

+++++++++++++=++→

+

++

++

++

+=

+++

++=

+

++=++

+=−+++

+=+++−

+=

=

=−=

=−−=

−=−−−=

=+++

−−−

−−


Roberto Cabrera V.

- 21 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0

20;84,4

2

2

==

>

<<+−==+ yy

t

ttthdondethy

dtyd

πππ

{ } { } ( ){ }

{ }{ }( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }

( ){ }

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

−−−+++−=

+

−++

++−=

−====

=

=

=+

=+

+++++=

+++++=

++

++=+

•

====

−=

=

=+

=+

+++++=−+

+++++=−+

++

++=+−+

•

++

+−+

=

+−+

=+

++−

=+−

++−

=

−++−=+−−=

=

−=−−=

=+

−

−

−

−

−

222

2)(2

)2()2cos()(

411

411

)(

1,00Re

44

04

0

0

444

444

444

1,Re

44

84

0

2

44482

44482

44482

44

4482

)(

4482)(4

14

84)(42)(

:Re

14

84

2)(484)(84)()(

)(

2)()0(')0()(''

4''

2

222

22

23

222

2222

233

2223

2222

3

222

22

3

22

2

32

22

22

22

2

2020

22

ππµππ

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

ππµπµπµµ

π

π

π

π

π

π

ππ

tsentt

tsent2-2t2ty

sse

ss2-2

ss2

sY

DC1,B,A :que tenemos sistemael solviendo

B

A

DB

CA

BsAsDBsCA

sDCssBsAs

sDCs

sB

sA

ss

D2-2C-1,B,2A :que tenemos sistemael solviendo

B

A

DB

CA

BsAsDBsCAss

sDCssBsAsss

sDCs

sB

sA

ssss

:parciales fracciones Encuentross

ess

sssY

se

sss

sYs

se

sssYssYs

emplazandos

ess

thL

ttLttLtttLthL

sYyL

ssYsysysYsyL


thLyLyL


s

s

s

s

s


Roberto Cabrera V.

- 22 -

• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:

Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:

Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:

Despejando Y(S):

Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:

i)

ii)

iii) Entonces

iv)


Roberto Cabrera V.

- 23 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:

• ( )tttyduutyuy

t

δ−+=−∫ 6)(2)()(

3

0

{ } ( ){ }

{ }

{ }

( ){ }

tttys

sY

tttys

sY

sss

ss

sY

ss

sYsY

ssYsY

emplazando

tL

sst

L

sYtyL

sYtytyLduutyuyL


tLt

LtyLduutyuyL


t

t

−=→−=

+=→+=

+−±

=

−−±

=

=

−+−

−+=

=

==

=

==

−

−

+=

−

∫

∫

)()(1

1)(

)()(1

1)(

2

4442

2

1442

)(

01

)(2)(

11

)(2)(

:Re

1

16

!36

)()(

)()(*)()()(

6)(2)()(

222

121

4

44

4

4

2,1

4

42

42

44

3

2

0

3

0

δ

δ

δ

δ


Roberto Cabrera V.

- 24 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:

• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ yyyytty

{ } ( ){ } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } ( ) [ ]( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ( )

t

t

ety

KKey

KetysK

sY

KssYsds

sYsY

sss

sYsY

ssYsYss

ssYsYss

sYsssYss

sYsYsssYssYsYs

emplazando

sYyL

sYsssYssYsYssYytL

yssYdsd

yssYtyLyLytL

ssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


yLytLtyL


2

)0(2

2

2

2

22

)(

11)0(

)(2

)(

)ln(2ln)(ln2)(

)('2)(

)('

)()('2

0)()('2

0)(222)('2

0)(21)(2)('21)(2)('

:Re

)(

1)(2)('2)(')(21)('21

)0()(2)0()('2''21

1)(2)(')0(')0()(''''

02'21''

=

=→==

=→−

=

+−−=−

−=

−−=

=−−

=−−−

=−++−++−

=−−++++−−

=

−++=++−=−

−+−=−=−

+−−=−−−=−=

=−−+

∫ ∫


Roberto Cabrera V.

- 25 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables: • ( ) 13'2'' −=++− tyytty

{ } ( ){ } { } { } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } [ ] ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

{ } { }

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) { }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) { }

( )( ){ } ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) tkduutuek

tytkttek

ty

ts

Ltg

tek

tfekss

kLttf

sssk

Lssdsd

LttfssLtf

tgtfsGsFLs

ssLsss

L

sk

Lsss

Lsk

sss

Lty

sYLtysk

sss

sY

ksskskssYs

dss

ks

dsss

skssYs

dsss

skssusYsu

seesu

sssks

sYs

sY

ssks

sYssYss

ss

kksYsssYss

ss

sYksYsssYkssYsYs

emplazandoss

ssLtL

sYyL

ksYsssYssYsYkssYytL

yssYyssYdsd

yLtyLytL

kssYsYsysysYsdsd

yLdsd

tyL


LtLyLytLtyL


t ut

tt

kk

kk

kk

k

k

sdss

2

0

12

1

21

11

11

113131

12

312

31

221

2

31

22

2

31

122

2

3

23

212

1

212

3

21

2ln22

3

21

2

21

2112

2112

22

11

122

13)(*

13)(

1)(

13)(13

1)1(

3)(

)1(113

1ln)(1ln)(

)(*)()()(1

1ln1ln

1ln1ln)(

)()(1ln

)(

1ln1ln3ln)(

11

31

131

)(

131

)(

131

)(2

)('

31)(14)('1

12)(3122)('

1)(32)(12)(')(2)('

:Re

1111

)(

2)(12)(')(')()(2'2

)0()(2)0()('2''2

)(2)(')0(')0()(''''

13'2''

11

11

11

1

1

+−+−

=→++−

=

=

=

+−=→+−=

+−

−=

−−+

−=

−−=→−=

==

−=

−

+

−

=

+−

=

=→+−

=

+−=+−+=

−

+=

−++−

=

−++−

=

===

−++−

=+

−−=−−−−

−=++++−−++−

−=+−−+−−+−−

−=−=−

=

−−+−=+−−=+

−+−−=+=+

+−−=−−−=−=

−=++−

∫

∫∫

∫

−

−

−−−

−−−

−−−

−

∫


Roberto Cabrera V.

- 26 -

Método de eliminación

1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

=+++

=−−+ −

)2(eyx2'y'x

)1(eyx'y'x2t

t

Restando: (1)-(2); Se obtiene:

tt eeyxx −=−− −23' Despejando y :

223

2' tt eexx

y−−

+−=

Reemplazando y en (1):

2e

2e)sentCtcosC(

23tcos

2C

sent2

Cy

tcosCsentC'x

2e

2e

2x3

2'xy

sentCtcosCxir01r

0]1r[e

exsi

0x''x02x

2''x

e2

e2e

2x3

2'xx

2e

2e

2'x3

2''x'x2

e2

e2e

2x3

2'xx

2e

2e

2x3

2'x'x2

tt

2121

21

tt

21

2,1

2

2rt

rt

ttttt

ttt'tt

−

−

−−−

−−−

−++−+−=⇒

+−=

−+−=⇒

+=⇒

±=⇒

=+⇒

=+⇒

=⇒

=+⇒=+⇒

=+−+−−++−+⇒

=

−+−−−

−+−+

tsenh2

ee;

2e

2e

tcosksentky

2e

2etcos

2C3

2Csent

2C3

2Cy

tttt

21

tt

K

12

K

21

21

=−

−++=⇒

−+

−+

−−=

−−

−

Pero

443442144 344 21

Solución:

++=

+=

senhttcosksentkysentCtcosCx

21

21


Roberto Cabrera V.

- 27 -

2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t. 1 2 De la primera ecuación despejamos y; Reemplazando y en la segunda ecuación: Multiplicando la ecuación por 3; Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes: Resolviendo la ecuación 3 con x=ert; Ecuación Característica

Ahora encontremos y:

( ) ( )'31

32

xxy −=

tt eCeCx −+= 24

1 tt eCeCx −−= 2

414'

x2ydtdy

y3x2dtdx

−−−−====

−−−−====

3x́

x32

y

dtdx

31

)x2(31

y

−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

x23x́

x32

3´´x

x́32

3´´x

x́32

dtdy

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

0x4x́3´´xx6x́x2´´xx́2

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

[[[[ ]]]] 04r3re 2rt ====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

;ececx

ex,ex

1r,4r

0)1r)(4r(

04r3r

t2

t41

t2

t41

21

2

−−−−

−−−−

++++====⇒⇒⇒⇒

========⇒⇒⇒⇒

−−−−========⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒


Roberto Cabrera V.

- 28 -

⇒ Reemplazando x, y x’ en y:

⇒ [ ] [ ]tttt eCeCeCeCy −− −−+= 24

124

1 431

32

tt eCeCy −+−= 24

132

* Encuentre la solución particular del problema anterior dado: x (0)=8, y (0)=3 Del ejercicio anterior: tt eCeCx −+= 2

41

tt eCeCy −+−= 24

132

Como x (0)=8, entonces: 8= C1+C2 1 Como y (0)=3, entonces:

2132

3 CC +−= 2

Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo el sistema se obtiene: C2=5, C1=3 ⇒ La solución particular es: tt eex −+= 53 4 tt eey −+−= 52 4


Roberto Cabrera V.

- 29 -

Método de los operadores diferenciales

1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

=+++−

=+++−t

22

12

22

12

ex)4D4D(x)D2D(tx)D2D(x)4D4D(

=++−

=++−t

22

1

212

ex)2D(x)2D(Dtx)2D(Dx)2D(

Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:

( )[ ][ ]

( )( )( )

[ ]

;cex''

;cebx'

;cebtax

:ular xión partico la solucEncontrand;eCeC)t(x

;2r;04r

;04re

;e)t(x

;0)t(x4)t(''xogénea:homión o la solucEncontrand

;e43t1)t(x4)t(''x

;e43t1)t(x)4D(

;e3t44)t(x)4D(4

;)4D(4

e3t44)t(x

)4D(4e3t44

)4D(4e2t42e2

D4D)4D(et212D)t(x

D)2D)(2D()2D)(2D(Det)2D(2D

)2D(D)2D(D)2D()2D(e)2D(Dt)2D(

)2D()2D(D)2D(D)2D(

)2D(e)2D(Dt

)t(x

t1p

t1p

t1p

1p

t2

t21h1

2,12

2rt

rt1

11

t11

t1

2

t1

2

2

t

1

2

t

2

tt

222

t

1

2

t

22

t2

2

2

2t

1

=

+=

++=

+=

±==−

=−

=

=−

+−−=−

+−−=−

−+=−−

−−−+

=

−−−+

=−−−++−

=−−−−++

=

−−+−+−++

=−+−+−

+−+=

+−

+−

++

=

−

( )

;e43

t1ce3bt4a4

;e43

t1cebta4ce

tt

ttt

+−−=−−−

+−−=++−

+−−=− :obtiene se ,e43t1(t)4x(t)''x endoReemplazan t

11


Roberto Cabrera V.

- 30 -

[ ] ( )

( )

( )

;12e

81

eCeC)t(x

;12e

81x

;81

a;121

b

;a4be3

;bea4be

;be''x

;be'x

;beax

;eCeC)t(x

;2r

;21

4e

)t(x4)t(''x

;21

4e

)t(x)4D(

;2e)t(x)4D(4

;)4D(4

2e)4D(42e2e

)4D(41e)2D(

)t(x

)4D(41e2e)2D(

)4D(4Dte)2D()2D(

)4D(4t)2D(De)2D(

)2D()2D(D)2D(D)2D(

e)2D(Dt)2D(

)t(x

:),t(

tt2

2t2

12

t

p2

t

tt

tp2

tp2

tp2

t22

t21h2

2,1

t

22

t

22

t2

2

2

t

2

tt

2

t

2

2

tt

2

t

2

t2

2

2

t

2

2

+++=

+=

==

−−=−−

−−=+−

−−=−

=

=

+=

+=

±=

−−=−

−−=−

+=−−

−−+

=−−++−

=−−−−−

=

−−−−−

=−−

−−−=

−−−−−

=

+−

+−

−

−

=

−

−

21

4e

21

4e

:21

4e

(t)4x(t)''x en x doReemplazan

:particular solución la oEncontrand

Kramer de regla la usando x solución la encontrar a procede se Ahora

t

t

t

222p

2

La solución es:

+++=

−+++=

−

−

;12e

81eCeC)t(x

;e41t

41

41eCeC

tt2

2t2

12

tt2

t21(t)x1


Roberto Cabrera V.

- 31 -

2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:

=++−

−=−++

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(

21

21

( )( ) ( )

;senttcosCex

;senttcosx

;9AB8;7BA8

;sent7tcos9tcosAB8sentBA8;0BsenttcosAtcosBAsent8

;0xx8

;tcosBAsent'x;BsenttcosAx

;Cex

;81r

;01r8;re'x

;ex

;0xx8

;sent7tcos9xx8

tcos9sent7xx8

tcos9sent7x)1D8(tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(

cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(

)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(

)2D(por2)3D(por1Multiplico

t81

2

p2

2'

2

2

2

t81

2

rt2

rt2

2'

2

2'

2

2'

2

2

22

22

22

1

21

++=

+=

==

=+

−=+−

−=+++−

=+++−

=+

+−=

+=

=

−=

=+

=

=

=+

−=+

−=−−

−=−−

−++−=++−+−

+=++−+

−

−−=−−+−+

+∧−

−

−

:es particular solución La

1,B 1,A:sistema el oResolviend


Roberto Cabrera V.

- 32 -

Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:

++=

+−=

+−=

−−

++=

−−=

−−=−

=++−

−=−++

=++−

−=−++

−

−

−

−

;senttcosCex

;sent2tcosCe3x

;sent2tcosCe3x

t;cos4sentsenttcosCe3x

t;cos4sentx3x;tcos4sentx3x5

tcos4x2'xx3'x;sentx'xx2'x

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D()1(sent)x)(1D()x)(2D(

t81

2

t81

1

t81

1

t81

1

21

21

2211

2211

21

21

:es sistema del solución La

:obtiene se (2), y (1) Restando(2) (1)


Roberto Cabrera V.

- 33 -

Método de Laplace 1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.

=−−

=+−

;cos'4

;2'3'

tyyx

sentyxx

;0)0(

;0)0(

=

=

y

x

Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:

+=−−−

+=+−−

;1

)()0()()(4

;1

1)(2)(3)0()(5

2

2

ss

syyssysx

ssysxxsx

+=+−

+=+−

−

−

1)()1()(4

11

)(2)()3(

)3(

)4(

2

2

ss

syssx

ssysxs

s

Sumo 1 y 2, entonces se obtiene:

[ ]1

43)()1)(3(8 2

2

+−−

=+−+−sss

syss

[ ]1

)1)(4()(52 2

2

++−

=+−−s

sssyss

++

++−

+−=

++−−−

−=⇒152)1)(52(

)43()( 2222

2

sDCs

ssBAs

sssss

sy

)1)(52()5()52()2())((

)1)(52(43

22

23

22

2

++−+++−+−+++

=++−

−−⇒

sssDBsCDAsCDBsCA

sssss

−=+

−=+−

=−+

=+

⇒

4D5B3C5D2A

1C2DB0CA

Resolviendo el sistema:

−=

−=

−=

=

;10/7D;10/11C

;2/1B;10/11A

ð

+

−−+

+−

−−=

1s107s

1011

5s2s21s

1011

)s(y 22

+−

=+−−−

+−=−−−

≈;

1)3(

)()1)(3()()3(4

;1

4)(8)()3)(4(

2

2

sss

sysssxs

ssysxs

L [ ]'x -3 L [ ]x +2 L [ ]y = L [ ]sent L [ ]x4 - L [ ]'y - L [ ]y = L [ ]tcos

1 2

1 2


Roberto Cabrera V.

- 34 -

( )[ ] 1s107s

1011

41s

s1011

21

)s(y 22 +

++

+−

−=

( )[ ] ( )[ ] 1s1

107

1ss

1011

41ss

1011

41s1

21)s(y 2222 +

⋅++

⋅++−

⋅−+−

⋅=

( )[ ]( )( )[ ] 1s

1107

1ss

1011

41s11s

1011

41s2

41)s(y 2222 +

⋅++

⋅++−+−

⋅−+−

⋅=

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] 1s1

107

1ss

1011

41s2

2011

41s1s

1011

41s2

41)s(y 22222 +

⋅++

⋅++−

⋅−+−

−⋅−

+−⋅=

ð Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):

[ ] )()(1 tysyL =− ;

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]

+

+

+

+

+−−

+−−

−

+−= −−−−−

1s1

L107

1ss

L1011

41s2

L2011

41s1s

L1011

41s2

L41

)t(y 21

21

21

21

21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos

1011t2sene

2011t2cose

1011t2sene

41)t(y ttt ++−−= −−−

( ) ( ) ( ) ( )tsen107tcos

1011t2cose

1011t2sene

103)t(y tt ++−−= −−

De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):

4)tcos(yy

)t(x++′

=

( ) ( ) ( ) ( )tcos107)t(sen

1011]t2cose)t2(sene2[

1011]t2senet2cose[

103)t(y tttt +−−−−−−=′ −−−−

( ) ( )tcos407)t(sen

4011t2sene

85)t2cos(e

51

4)t(y tt +−+=

′ −−

( ) ( )tsen407)tcos(

4011t2cose

4011)t2(sene

403

4)t(y tt ++−−= −−

La solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++−−=

+−+−=

−−

−−

tsen107tcos

1011t2cose

1011t2sene

103)t(y

tcos107)t(sen

101t2sene

2011)t2cos(e

403)t(x

tt

tt


Roberto Cabrera V.

- 35 -

2) Resolver

=+−

=++ −

t15Y3'X4''Ye15X3'Y''X t

con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.

Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones: [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

+−

+=

+

−

=

+

−=

−

++

+

−+

−=

++

+

−+

−=

++

+

−+

−=

=====

++

++

++=

++−−

=++−−

=

+

−−

=+

−−

=++

−+

+−

=+−

−+−

=

−−

−

−

+

=

=−+−

+=+−

=−−

+=−+

=−−−−−

+=−−+−−

=−−

=−+ −

222222

2

222222

222

22222

2

22

2

22

2

2224222

2

2

2

2

22

22

2

22

2

22

2

t

1s1

1ss

21s1s2

;tcos1s

s

;1s1

;1s

s15

1s1s2

15s1

151s

s1s1s2

s1

15

1ss

1s1s2

s1

15)S(X

1sEDs

1sCBs

sA

151s1ss

1ss151s1ss

15ss15)S(X

1ss

15ss15

1ss

151

1s15

1s2ss

151s

)1s(1s15

s41ss

s151s

1s15

1ss4s1s

1ss15

s1s

15

)S(X

;s15

)s(Y1s)S(sX4

;1s

15)S(sY)s(X1s

;s15

)S(Y)S(sX4)s(Ys

;1s

15)S(X)S(sY)s(Xs

;s15

)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys

;1s

15)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs

t15y'x4''ye15x'y''x

1-1-1-

1-

1-

1-1-1-1-

£££

£

£

££££x(t)

:X(S)a inversa Laplace de da transforma aplicando x(t) Obteniendo

:como expresamos lo X(s) tanto lo Por

0E 1,D -1,C 2,B -1,A

:son escoeficient losde valores losque obtiene se parciales fraccionesde suma la como X(s) Expresando

:Kramerde regla la Aplicando

££

££


Roberto Cabrera V.

- 36 -

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[ ]

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

tcos152

tcost2

senttsent1515

1ss15

1s1s215

s115

2tcost

2senttsent

2tcostsent

2tsent2

1s1s2

2tcostsent

1s1

2tcostsent

4)t(sen

2tcost

4)t(sen

2tcosu

4)tu2(sen

1s1

;du2

)tcos()tu2cos(du)ut(sen)u(sensent*sent

1s1s1

1s1

;2

tsenttcos*sent1s

s

;2

tsent4

)tcos(0

4)tcos(

2)t(tsen

tcos*sent

4)tu2cos(

2)u(usen

du2

)tu2(sen)t(sendu)utcos()u(sentcos*sent

;tcos*sent1s1s

s1s

s

222

22

22

t

022

t

0

t

02222

22

t

0

t

0

t

0

t

0

2222

++−+−=

+

+−+−=

++

+

−+

−=

+−=

−−

=

+

−

−=

+

−=

−−−=

−−

=

+

−−=−==

++=

+

==

+

=

−+−−=

−−=

−+=−=

=

++=

+

∫∫

∫∫

x(t)

£££x(t)

L

L

L

£L

L

£L

1-1-1-

1-

1-

1-

1-1-

1-

1-1-

Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:

( )

( )

+−−−+−=

++−+−=

==

+−−−−−+−=

+−−−=

+−−−=

++−+−−++−+=

−−+−=

−=

−+−−+=

++−+−=

−−=

=++

−

−

−

−

−

−

−

∫

;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

,0)0(y;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y

sent30tcos60tcost15tsent30e15y

;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y

;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y

;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x;tsent5.7tcost15'x

;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x

;x3''xe15'y

e15X3'Y''X

t

t

t

t

t

t

t

: essolucion La45;C entonces


Roberto Cabrera V.

- 37 -

Método de los valores y vectores propios

1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:

zyz

zyxy

zyxx

3'5'

4'

−=−+=

++−=

−

−

−

=

zyx

310151

114

'z'y'x

−

−

−

=

310

151

114

A det(A-λI)=0

[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(310

151114

)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=

λ−−

−λ−

λ−−

=λ−

0)3)(5)(4( =+−+ λλλ 41 −=λ 52 =λ 33 −=λ

4−=λ

=

−00

0

110191

110

zy

x

=−+

=+

09

0

zyx

zy …. zx

zy

10=

−=

−=

1

1

10

1υ

5=λ

=

−

−

−

0

0

0

810

101

119

z

y

x

=−

=+−

0

08

zx

zy ….. zxzy

== 8

=

1

8

1

2υ

3−=λ

=

−

−

0

0

0

010

181

111

z

y

x

=−

=++−

0

0

zx

zyx

z11

10

zzz10

zyx

−⇒

−⇒

z181

zz8z

zyx

⇒

⇒

z101

z0z

zyx

⇒

⇒


Roberto Cabrera V.

- 38 -

ttt ececectx 321332211)( λλλ υυυ ++=

ttt ececectx 3

35

24

1

1

0

1

1

8

1

1

1

10

)( −−

+

+

−

2) Resolver el sistema

X012011203

'X

−−

−

−

=

0

12

011

203

=

−−−

−−

−−

λλ

λ

0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λλλλ

04634

0)23(2)1)()(3(23 =−−−−−

=−−+++−

λλλλ

λλλλ

0674 23 =+++ λλλ 21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor: * 21 −=λ

≈

−−

−

00

0

212011

201

≈

−−

−

00

0

210210

201

−

00

0

000210

201

y= -2z x= 2z

−=

1

2

2

1v

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :

≈

+−−

−−

000

21300i21

)i22(206≈

+−−

−−

000

21120i21

)i22(206≈

+−−

+−

000

i21120i2120i22

=υ101

3


Roberto Cabrera V.

- 39 -

( )( )

.alesRez;zi21y3

;zi224x6

∈

+−=

+=

Entonces: .

Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de

i213 −−=λ es:

( )( ) ,i

022

31

2

3i21

i22

zyx

v

,

z

z3

i231

z3

i232

zyx

v

ba321321

+

−=

+−

+

=

=

=

+−

+

=

=

:3z si v, de forma la tenga que propio vector un usar Podemos

Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :

−= −

12

2ex t2

1

Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la siguiente forma iβ+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( );btseneatcosex

;btcoseatsenextt

3

tt2

β−β=

β+β=αα

αα

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2sene31

2t2cose

022

t2sene31

2t2cosex tttt

2

+

−=

−−

−−= −−−−

.alesRez

;z3

i231y

;z3

i232x

∈

+−=

+=


Roberto Cabrera V.

- 40 -

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2cose31

2t2sene

022

t2cose31

2t2senex tttt

3

+

−−=

−+

−−= −−−−

Por lo tanto la solución general es:

( ) ( ) ( ) ( ) ;022

t2cose31

2t2seneC

022

t2sene31

2t2coseC

12

2eCx

;xCxCxCx

tt3

tt

2

t21

332211

+

−−+

+

−+

−=

++=

−−−−−


Roberto Cabrera V.

- 41 -

Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador

1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.

a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante

‘’t’’. b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t=π segundos.

Como no hay amortiguador C=0; En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación

π−δ−=

2t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.

La ecuación diferencial que representa al sistema es:

;2

t3Ky9dt

yd2

2

π−δ−=+

Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys

;2=tδ3y9

dtyd

s22

2

2

π−

−=+−−

−−=

+ LL

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

( )

;2

tu2

t3sent3cos)t(y

;9s

e39s

s9s

e39s

s)t(y

;9s

e39s

s9s

e3s)s(y

;e3s)s(y9s

;e3)s(y9s)s(ys

2

s2

22

s2

2

2

s2

22

2

s22

s2

s2

π−

π−−=

+−

+

=

+−

+=

+−

+=

+−

=

−=+

−=+−

π−

π−

π−

π−

π−

π−

1-1-1- LLL

)t(fKydtdy

Cdt

ydm 2

2

=++


Roberto Cabrera V.

- 42 -

a)

π≥

π−−

π<

=

2t

2t3sent3cos

2t;t3cos

)t(y

b)

m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y

,m22)4/3cos()4/(y

=−−−=π−π−π=π

−=π=π

2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definida así:

[ )( ]

∈−

∈=

4,2t;t1004002,0t;t100

)t(f

La ecuación diferencial que representa al sistema es:

);t(fKydtdy

cdt

ydm 2

2

=++

Asumiendo que la gravedad es 2s/m10 :

21020

gwm === Kg.

);t(fy4dtdy

6dt

yd2 2

2

=++

Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar la función f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cada uno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f

);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f

);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f

);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f

−−+−−−=

−+−−+−−−+−−−−−=

−+−+−−−+−+−−=

−+−−−+−−=

−+−−−−−+−−=

−−−−−+−−=

La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:

( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy

6dt

yd2 2

2

−−+−−−=++


Roberto Cabrera V.

- 43 -

Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2dtdy

3dt

yd

;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dtdy

6dt

yd2

2

2

2

2

−−+−−−=

++

−−+−−−=

++

LL

LL

La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

++=

+++

++−

++=

+++

++−

++=

+−=++

+−=++

+−=+−+−−

−

−−

−−

−−

−−

−−

)1s(2ss50)t(y

;e)1s(2ss

50e)1s(2ss

100)1s(2ss

50)s(y

;e2s3ss

50e2s3ss

1002s3ss

50)s(y

;es50e

s100

s502s3s)s(y

;es50

es

100s50

)s(y2)s(sy3)s(ys

es50

es

100s50

)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys

21

1

y

s42

y

s22

y

2

s422

s22222

s42

s222

2

s42

s222

2

s42

s222

2

)s(3)s(2)s(1

L

444 3444 21444 3444 2144 344 21

Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:

Si ( )

)t(f)1s(2s

501 =

++−L , entonces

( )dud)(f

)1s(2ss50 t

0

u

02

1 ∫ ∫ θθ=

++−L

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

=+

=+

+++++

=

++

+=

++−−−

50B2A0BA

;1s2s

2s1sA1s2s

A)1s(2s

50 111 BB LLL

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: B = 501, A = -50;

( ) ( ) ( );50e50

2s50

1s50

)1s(2s50 t2t11 −−−− −=

+−

+=

++LL

Entonces:

( )( ) ;dud50e50d)(f

)1s(2ss50 t

0

u

0

2t

0

u

02

1 ∫ ∫∫ ∫ θ−=θθ=

++θ−θ−−L


Roberto Cabrera V.

- 44 -

[ ] ( )[ ] [ ]

[ ] [ ] ( )[ ]

[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50

;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50

;du2525e50du255025e50du25e50

t2tt

0

u2u

t2tt0

u2ut

0

u2u

t

0

u2ut

0

u0

u2ut

0

u0

2

−+−=++−

−−+−=+−=++−

++−=+−−+−=+−

−−−−

−−−−−−

−−−−θ−θ−

∫

∫

∫∫∫

Por lo tanto:

( );5.37t25e5.12e50)t(y

;5.37t25e5.12e50)1s(2ss

50

t2t1

t2t2

1

−+−=

−+−=

++−−

−−−L

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e

)1s(2ss50)t(y

);2t(u5.372t25e5.12e502e)1s(2ss

502)t(y

e)1s(2ss

502e)1s(2ss

100)t(y

4t24ts42

13

2t22ts22

12

s22

1s22

12

−−−+−=

++=

−−−+−=

++=

++=

++=

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

L

L

LL

Ahora y(t) es:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50

)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y

);t(y)t(y)t(y)t(y

4t24t

2t22tt2t

321

−−−+−+

−−−+−+−+−=

++=

−−−−

−−−−−−

Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( )

≥−+++−++

<≤−++−+

<≤−+−

=−−

−−

−−

;4t;350t100ee21e5.12ee21e50

;4t25.212t75e21e5.12e21e50

;2t05.37t25e5.12e50

)t(y84t242t

4t22t

t2t


Roberto Cabrera V.

- 45 -

3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine: a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.

b) La posición del objeto en t = 4π

segundos

a)

Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tanto f(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje de referencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg. La ecuación diferencial que representa al sistema es:

;0kydt

yd5 2

2

=+

Se debe encontrar el valor de k:

Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad 2m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la

masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular mediante:

lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m. Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

[ ]

;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5

;0y25dt

yd5

2

2

2

=+−−

=

+ LL

)t(fKydtdy

Cdt

ydm 2

2

=++


Roberto Cabrera V.

- 46 -

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3: Reemplazando las condiciones se obtiene:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )t5sen

151t5cos)t(y

;5s3

15s

s5s3

15s

s)t(y

;5s3

15s

s)s(y

31s)s(y5s

35s5)s(y25s5

;0)s(y2535s5)s(ys5

2222

22

2

2

2

+=

++

+=

++

+=

++

+=

+=+

+=+

=+−−

1-1-1- LLL

b) La posición del objeto en 4/π segundos es:

1528

1516

22

1511

22

22

151

22

4y

45sen

151

45cos

4y

−=

−=

+−=−−=

π

π−

π=

π


Roberto Cabrera V.

- 47 -

Aplicaciones de Circuitos Eléctricos

1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20 segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s. E 20 10 30 t

)(1

''' tQC

RQLQ ε=++ =20u(t-10)-20u(t-30)

)]t([]QC1[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll

−=++

−−

see

sQssQsQsss 3010

2 20)(100)(12)(

−=++

−−

se

se

sQssss 3010

2 20)()10012(

++−

++=

−−

)10012()10012(20)(

2

30

2

10

ssse

ssse

sQss


Roberto Cabrera V.

- 48 -

10012

1001

1001

11001210012

222

−=

−=

=

=++++⇒++

++

C

B

A

CsBsAAsAsssCBs

sA

++

+−

1001212

1001100

1

2 sss

s

++−

+++

−−

++−

+++

−= −

64)6(6

64)6(61

64)6(6

64)6(61

51

)(22

3022

10

sss

sess

ssesQ ss

[ ])()( 1 sQtQ −= l

)t(U)30t(8sene43)30t(8cose1

51

)t(U)10t(8sene43)10t(8cose1

51)t(Q

30)30t(6)30t(6

10)10t(6)10t(6

−−−−−

−−−−=

−−−−

−−−−

Cuando t=5s

0)5( =Q Condensador descargado Cuando t=20s

)10(8203

)10(8cos51

51

)( )10(6)10(6 −−−−= −−−− tsenetetQ tt

80203

80cos51

51

)20( 6060 seneeQ −− −−=

)993.0(203

)110.0(51

51

)20( 6060 −−−−= −− eeQ

coulombsxQ 251008.2)20( −=


Roberto Cabrera V.

- 49 -

2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la corriente inicial es cero, determine: a) La carga en cualquier instante de tiempo b) La corriente del circuito en t=20s.

( )( )

4

150 0 0

1 ' 0 0

2 10

R r Q

L H Q

C F−

= =

= =

= ×

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 10

0 10 10 10

0 10 10

'' ' 1/

'' 150 ' 5000 10

'' 150 ' 5000 10 10 100 100

'' 150 ' 5000 10 10 10 100

LQ RQ C Q V t

Q Q Q t t t

Q Q Q t t t t t t

Q Q Q t t t t t

µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ

+ + =

+ + = −

+ + = − + −

+ + = − − −

Encontrando la transformada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10 102

2 2

2 10 102 2

10 102 2

10 10 1000 ' 0 150 150 0 5000

10 10 100150 5000

10 10 10050 100

s s

s s

s s

e es Q s sQ Q s Q s Q Q s

s s s

s s Q s e es s s

s s Q s e es s s

− −

− −

− −

− − + − + = − −

+ + = − −

+ + = − −

§ ( ) ( )2 2

1/ 5003/ 5000010

1/1250050 100 50 1001/ 50000

ABA B C DCs s s s s s sD

= = −= + + + ⇒

=+ + + + = −

§

V(t)

100

0 10 t


Roberto Cabrera V.

- 50 -

Q(20segundos)=0

( ) ( )Q ti t

t∂

=∂

i(20segundos)=0


Roberto Cabrera V.

- 51 -

Series

De Fourier

Contenido:

Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par. Serie de Fourier de una función impar. Convergencia de una serie de Fourier. Extensiones pares e impares periódicas de una serie de Fourier


Roberto Cabrera V.

- 52 -

Serie de Fourier de una función f(x)

Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie de Fourier de f es la serie trigonométrica:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa

)x(fππππππππ

Donde:

.n,....,,,n,Nn

dxpxn

sen)x(fp

b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

p

p

n

p

p

n

p

p

321

1

1

10

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫

−−−−

−−−−

−−−−

ππππ

ππππ

Series de Fourier cuando f(x) es par

Si la función f(x) es una función par se dice que:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3210

2

2

n

n

n

p

n

p

pxn

cosaa

)x(f

.n,....,,,n,Nn

;b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

ππππ

ππππ

Series de Fourier cuando f(x) es impar

Si la función f(x) es una función impar se dice que:

∑∑∑∑

∫∫∫∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

00

n

n

p

n

n

pxn

senb)x(f

.n,....,,,n,Nn

;dxpxn

sen)x(fp

b

a

a

ππππ

ππππ


Roberto Cabrera V.

- 53 -

1) Exprese la función f definida por

<<<<<<<<

<<<<<<<<====

1x0 ,x

0x1- ,)x(f

1 como un desarrollo en series de

Fourier.

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa


[ ] [ ]

23

23

21

1

21

1

1

00

10

201

1

0

0

1

1

1

0

0

=⇒=+=

+=+==

=

=

−

−−

−

∫∫∫

∫

a ,a

;xxxdxdxdx)x(fa

dx)x(fp

a

pp

p

( ) ( ) ( )

[ ]11111

1

0

1

00

1

222222

2222

1

022

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

−−π

=

π−

π−

=

=∈∀−=π

=∈∀=π

π

−ππ

+

ππ

+

ππ

=

ππ

+

−ππ

+

ππ−

−=

ππ

−

ππ

+

ππ

=

ππ

=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫∫∫

∫

−

−−

−

nn

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

)(nnn

)(a

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sennn

)ncos(n

)sen(nn

)n(sena

n)xncos(

n)sen(n

n)n(sen

a

dxn

x)sen(nn

x)sen(nx

nx)sen(n

a

nx)sen(n

v )dx xcos(ndv

dx,du xu

dxxncosxdxxncosdxxncos)x(fa

dxpxn

cos)x(fp

a


Roberto Cabrera V.

- 54 -

( ) ( ) ( )

π−=

=∈∀−=π

=∈∀=π

−ππ

+

ππ

−

ππ

−π

−=

ππ

+

−ππ

−

ππ

−π

−=

ππ

+

ππ

−

ππ

−=

ππ

−=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫∫∫

∫

−

−−

−

nb

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen

n)n(sen

n)cos(n

n)cos(n

nb

n)xn(sen

n)cos(n

n)cos(-n

nb

dxn

x)cos(nn

x)cos(nx

nx)cos(n

b

nx)cos(n

v )dx x(nsendv

dx,du xu

dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(fb

dxpxn

sen)x(fp

b

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

11

0

01

01

1

22

1

022

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Convergencia de una Serie de Fourier

Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− , entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto de continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:

)x(fLim)a(f

)x(fLim)a(f

:donde ,)a(f)a(f

ax

ax

+

−

→

+

→

−

+−

=

=

+2

Ejemplo:

<<π−

π<<+=

011

x- ,x

x0 ,x)x(f

En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la serie

de Fourier en x=0 es:

[ ] ( ) ( )∑∞

=

ππ

−π−−π

+=1

22

111

143

n

n xnsenn

xncos)(n

)x(f

1

1

02

112

==

−==

=+−

=+

+

−

→

+

→

−

+−

)x(fLim)a(f

)x(fLim)a(f

:donde ,)a(f)a(f

ax

ax


Roberto Cabrera V.

- 55 -

Extensión periódica de la función f(x) Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa


Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:

T.p nTEntonces np

Tf

trando , enconp

nπp

nπf

ando f:, despejp

nππf

πf, w, donde p

nπw

f

f

==

====

=⇒

==

2

2122

2

2

Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de manera talque

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

nn pxn

senbpxn

cosaa

)x(fππππππππ , y donde Rx ),x(f)px(f ∈=+ 2 .

Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a 2

)x(f)x(f +− + , si es

que f es discontinua en x.


Roberto Cabrera V.

- 56 -

2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.

<<

<<−=

2x1 0,

1x0 x,1f(x)

a) En términos de senos. Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x) Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener el desarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder a hacer una extensión periódica impar de f(x).

2pT donde 0xp- f(-x),-

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,

f

Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑∑∑∑

∫∫∫∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

00

n

n

p

n

n

pxn

senb)x(f

.n,....,,,n,Nn

;dxpxn

sen)x(fp

b

a

a

ππππ

ππππ

Encontrando los coeficientes:


Roberto Cabrera V.

- 57 -

( )

( )

( )

( )

[ ]

ππ

−π

=⇒

ππ

−π

=

−

ππ

−−π

−=⇒

ππ

−

π−

π−=⇒

ππ

−

ππ

−−=⇒

ππ

−=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

π=

∫

∫

∫∫

∫∫

∫

242

242

02

410

2

24

21

2

22

22

1

22

2

1

21

20

21

2222

22

22

2222

1

022

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

2

0

0

nsen

nnb

nsen

nnn

sennn

b

;xn

senn

xncosx

nb

dxxn

cosn

xncos

nxb

;xn

cosn

dxxn

sendv

;dxdu,xu

;dxxn

senxb

dxxn

sen.dxxn

senxb

dxxn

f(x)sendxxn

f(x)senb

dxxn

f(x)senp

b

n

n

n

n

n

n

n

p

n

v

Ahora la función en términos de senos es:

∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

π

ππ

−π

=

π

ππ

−π

=

π=∴

==

122

122

1

2242

2242

n

nn

n

xnsen

nsen

nn)x(f

xnsen

nsen

nnpxn

senb)x(f

0a y 0,a :entonces ,impar es Como 0n


Roberto Cabrera V.

- 58 -

b) En términos de cosenos: Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos de cosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión periódica de forma par. Es decir:

2pT donde 0xp- f(-x),

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,

f

Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lo tanto el período T es 4. Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3210

2

2

n

n

n

p

n

p

pxn

cosaa

)x(f

.n,....,,,n,Nn

;b

dxpxn

cos)x(fp

a

dx)x(fp

a

ππππ

ππππ

Encontrando los coeficientes 0n a,a :

( )

( )

21

2100

211

21

01

2

0

1

0

21

0

0

2

1

1

0

0

2

0

0

0

0

=

=

+−−=

−=−=

+−===

=

∫

∫∫∫

∫

a

xxdxxa

dx.dxxadx)x(fa

dx)x(fp

ap


Roberto Cabrera V.

- 59 -

( )

( )

( ) ( )

( )

[ ]

π−

π=⇒

π−

π=

−

ππ

−−π

=⇒

ππ

−

π−

π=⇒

ππ

+

ππ

−=

π−=⇒

ππ

=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

∫∫

∫

∫∫∫

∫

214

2141

24002

24

212

22

221

21

22

2

1

21

20

21

2

2

22

2222

1

022

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

0

ncos

na

ncos

nn

cosnn

a

xncos

nxn

senxn

a

dxxn

senn

xnsen

nxdx

xncosxa

xnsen

nv,dx

xncosdv

;dxdu,xu

;dxxn

cosxa

dxxn

cos.dxxn

cosxdxxn

cos)x(fa

dxP

xncos)x(f

pa

n

n

n

n

n

n

P

n

Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn = La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π−

π+=

π−

π=

=

=

π+=

122

22

0

1

0

2214

41

214

21

2

2

n

n

n

n

xncos

ncos

n)x(f

ncos

na

a

p

pxn

cosaa

)x(f


Roberto Cabrera V.

- 60 -

EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este problema viene dado por:

Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separación de variables, se asume la solución de la siguiente manera:

Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.

Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:

Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lo de “y”.

Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:

La solución para esta ecuación se asume como : Se obtiene: Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma: Para

, por lo tanto las raíces son:

Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para

, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :


Roberto Cabrera V.

- 61 -

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda la trivial: , entonces Para , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del radical.

, por lo tanto las raíces son: Por lo tanto, para este caso la solución es: Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda , donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo que si puede suceder es que Donde , luego se despeja

Ahora es :

Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:

Como , entonces:

Expresando en sumatoria:

Ahora se usa la condición inicial :

Donde:


Roberto Cabrera V.

- 62 -

Se procede a integrar por partes:

Otra vez por partes:

La solución es:


Roberto Cabrera V.

- 63 -

Transformada de Laplace de ciertas funciones

Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones


Roberto Cabrera V.

- 64 -

Problemas propuestos

1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0. Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego halle por cualquier método la segunda solución linealmente independiente. a) ;0yx4'y''xy 3 =+−

b) ;0y)x43('xy4''yx4 22 =−+− c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+− d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−− e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−

f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2 =−+−− g) 0xy'y2''xy =−+

h) 0y)2x('xy4''yx 22 =+++ 2.-) Halle: a) [ ]( )[ ][ ][ ]( )[ ];3e5

;t5senh4t5cosh3;)tcossent(

;1t

;t5sen2sen10

2t2

2

22

−

−

−

+

L

LLL

L

b) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :

;tcoset t2 −

( )

;t3cost2sen5

;e

t2sent

;tcos1t2

;t2senht5

t2

3

4

3

−

−

c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :

( );)t2sentcos3(

;t2sene2

;t3cosht5senh10;t2cost2sen5;t2tsen3cos6

2

2t3

−

−

[ ][ ][ ][ ]( )[ ];e2t

;t4sene2

;et

;t4cosh

;)t2(cos4

t2

t3

t32/3

2

2

+

−

LLLLL


Roberto Cabrera V.

- 65 -

d) Halle:

e) Halle:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]

;due

u2sent

;senhtt

;sente si f(t),)t('ft

;tcost

;t2cos2t2sen3t

t

0u2

2

3

t2

22

=

−

∫ −

−

L

L L

LL

f) Halle:

[ ];

ttsen

;t2tsen2cost5

;t

t3senh

;t

btcosatcos

;t

ee

2

2

1

btat

−

−

−

−−

L

L

L

L

L

g) Halle:

( )

;duu

senu

;duue1

;dueuu

t

t u

tu2

−

+−

∫

∫

∫−

−

0

0

0

L

L

L( )

( ) ;dusenhuu

;duu3cos

t2

t2

∫

∫

0

0

L

L

;)1t(1t

e1

;)t(t

t2sen

)1t(

−δ

−−

δ

−−

L

L

;5t2t

)t()3t(32

2

++δ−+L

[ ][ ][ ][ ][ ];)5t(u)3t(

;)t(u)t(sen;)1t(uet

;)2t(u)t(senh.te

;)t(u)t(3coste

2

t32

t2

t2

−−

π−

−

−

π−π−

−

−

LLLLL


Roberto Cabrera V.

- 66 -

3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:

≥

<≤

<≤

<≤

=

≥

<≤+

<≤

<≤−

=

=3 t , 0=3t=2 sent; 5-

=2t =; 0=t0 sent; 5

g(t)

15 t; 015t10; 5t

10t5; 05t0; 1t

f(t)

4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de cada una de ellas: a)

b)

c)

d)

≥

<≤−

<≤

<≤

=

9 t; 09t6; 20 6t3 ; 10

3t0 ; 5

h(t)


Roberto Cabrera V.

- 67 -

5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:

( )

( )

( )

( )( )

( )

2s3sse)S(F

se)S(F

1s1)S(F

2s1s11s15s5)S(F

;)3s)(2s(1s

4s2)S(F

;1ss

1)S(F

;s11ln)S(F

;as

s)S(F

;3s2

1)S(F

;3s2s

7s3)S(F

;16s8s

2s4)S(F

20s4s4s6)S(F

;s

1)S(F

;3s

1)S(F

;2s

s)S(F

;s1)S(F

;9s

1)S(F

2

s2

2

s2

5

3

2

2

23

2

222

2

2

2

2/3

2

2

4

2

++=

=

+=

−+−−

=

−−+−

=

+=

+=

+=

+=

−−+

=

+++

=

+−−

=

=

−=

+=

=

+=

−

−

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ;5s2ss2)S(F

;1s9sln)S(F

;1s

1sln)S(F

);1scot(ar)S(F

;25s6s

se4)S(F

;4s

36s40s3s3)S(F

;1s

1)s(F

;4s

s)s(F

;1s2s

1)s(F

;3ss

2s)s(F

;1ss

1)s(F

;bsasln

s1)s(F

1s2sln

s1)s(F

;1s2sln)s(F

2s2s

1s)s(F

5s2se)S(F

22

2

2

2

2

2

s2

22

23

32

22

2

5

2

3

22

22

22

2

s2

+−=

++

=

−+

=

+=+−

=

−

+−−=

+=

+=

−+=

++

=

+=

++

=

++

=

++

=

++

+=

+−=

−

−


Roberto Cabrera V.

- 68 -

6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace:

( )

2; y(0) (t) y'

y(t)

10) y(sent;-y(t)(t) y'

0;(0) y'1, y(0)y2y''ty'

2;(0) y'1, y(0)yty'' y'

0)( y'1, y(0)'ty'

(0)y' y(0)y' y'

-2(0) y'1, y(0)y' y'

9(0) y'1, y(0)tey'' y'

-4(0) y'5, y(0)10y7y'' y'

t

0

t

0

t

0

t

==θθ−

+=θθ−θ+

=−=θθ−θ+

===+−

===+−

=π==++

==π−δ+π−=+

==π−−=+

=−==+

==+=+−

∫

∫

∫

θ− ;tde)(y2)j

;3td)t)((y)i

d)t(sen)(y)h

;2t)g;1)f

;;0ty'ty2)e.0);2t(e)t(u44)d

);2t(ut2sen3t2sen3)c;25)b

;sent7tcos9)a

t

32

t2

7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con respecto a t.

8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) 0(0)y'(0)x'x(0) , 2y(0)

2(0)x' 1,x(0) :dadas

====

=++−

=−+

=++−

−=−++

==

=+++−

=+++−

;0y2Dx

;0yx2D)c

;tcos4y2Dx3D;senty1Dx2D

)b

;ey4D4DxD2D

;tyD2Dx4D4D)a

2

2

t22

22

9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

=++−

=−+

−−=

+−=

;02''

;045'' )

;cos4'

;23' )

yyx

yxxe

tyxy

sentyxxd

0;z(0)(0)y'y(0) 0;y2z''y' ===

=++

=+−− ;sentz2y2'z'y)a

0;(0)'z' 4,z(0)

2;(0)y' -1,y(0)

-1.z(0) 1,y(0)

===−

==−=+−

==

=−

−=++

−

−

−

;sent'z''ty

;tcos3te''z3''y3)c

;ez'y

;e)1t('tzzty)b

t

t

t

=++

=−+

−=

=

1;yy'x'

;5x'y'x)b

;yx2'y,y3'x

)a


Roberto Cabrera V.

- 69 -

10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

−

−=

−=

=−−

=++

=

−

−

=

610

,'X1236

)c

;0y3x5'y2

;0)b

201

,X122212221

)a

X(0) X

5y3x2x'

X(0) X'

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. El resorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire) 2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Un amortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso. Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definida así:

[[ 4).-f(tf(t) 2,4)t 100t-400

0,2)t =

∈

∈= ;

;t100)t(f

3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de un sistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con una fuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5 segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesar definitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.

a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos? 4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y un condensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema es perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo. 2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:

a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg. b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.

Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos. Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir el conocimiento, los cuales pongo a continuación: Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez. Dedicado a todos mis compañeros politécnicos. Roberto Cabrera Velasco.


Roberto Cabrera V.

- 70 -

Referencias

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamérica

Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998

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