16to Concurso Nacional De Matemtica CONAMAT 2013Eliminatoria 1Solucionario de Primer ao1. Calcule el permetro de la regin limitada por un polgono regular, en donde el nmero de diagonales excede en 3 al nmero de vrtices y las longitudes de sus diagonales mayores es d.1. 2d B) 3d C) 4d D) 6d

SolucinSi el nmero de diagonales excede en 3 la nmero de vrtices entonces:n(n-3)/2 = n + 3 de donde n2 5n 6 = 0 entonces (n-6)(n+1) = 0, luego n solo puede ser 6 (n=6).

Sea la longitud del lado del hexgono regular y un hexgono regular presenta dos tipos de diagonales, 3 mayores de longitud igual a 2 y 6 menores de longitud .El permetro de la regin hexagonal es 6, siendo por dato 2 = d, por lo tanto 2p = 6 = 3d.

Respuesta B.

1. Dos segmentos que tienen un extremo comn, tienen longitudes 17 cm y 6 cm, si el producto de sus pendientes es -1, calcule la longitud del segmento que une sus extremos.1. 18 B) 19 C) 20 D) 21

SolucinSi el producto de pendientes de dos rectas es -1 entonces dichas rectas son perpendiculares, entonces en el problema los segmentos son perpendiculares y al unir sus extremos se forma un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es lo que se pide calcular.Entonces 172 + (6)2 = x2Luego 289 + 72 = 361 = x2, de donde x = 19

Respuesta B.

1. Un ngulo de 120 es dividido en n ngulos consecutivos, si la suma de sus complementos es 29 veces la suma de las medidas de los n ngulos, calcule el valor de n.

1. 30 B) 29 C) 58 D) 40

Solucin

Del dato Sms = 1 + 2 + + n-1 + n = 120Tambin C1 + C2 + + Cn-1 + Cn = 29(Sms) = 29(120) De donde n(90) _ (1 + 2 + + n-1 + n) = 29(120)Luego n(90) = 30(120), por lo tanto n = 40

Respuesta D.

1. Calcule el rea de la superficie lateral del cilindro inscrito en un prisma regular de 12 aristas todas congruentes entre s. Si la longitud de una de las diagonales del prisma es 2.

1. 2 B) 3 C) 4 D) 6

Solucin

El prisma de doce aristas congruentes, es el cubo (hexaedro regular). Si su arista tiene longitud , entonces la diagonal tiene longitud = 2.Si = 2, entonces el radio de la base del cilindro inscrito es 1.Luego el rea de la superficie lateral del cilindro inscrito es 2(1)() = 4.

Respuesta C.Solucionario de Segundo ao1. En el grfico las rectas m y n son paralelas, calcule el valor de .

1. 30 B) 36 C) 45 D) 60Solucin Por D trazamos la recta p // n entonces p // m

Como p // m: la m CDP = 3 por la propiedad de los ngulos alternos internos.En p // n: la m PDE = 180 - 2, por propiedad de ngulos conjugados.Finalmente en D: 3 + 3 + 180 - 2 = 360, de donde = 45.

Respuesta C.

1. Segn el grfico calcule m + n.

1. 100 B) 80 C) 90 D) 120

Solucin Prolongamos convenientemente los lados del polgono tratando de obtener una figura de propiedad conocida, entonces por tringulos opuestos por el vrtice la mBAD = .Adems se forma el cuadriltero ABCD: en donde se cumple la propiedad:m + n = (100 - ) + , de donde se obtiene lo que nos piden calcular.

Por lo tanto; m + n = 100

Respuesta A.

1. En un rectngulo ABCD, en BC se ubica el punto P, de manera que AP y AC trisecan el ngulo BAD e intersecan a BD en M y N respectivamente. Calcule el rea de la regin MNCP si el rea de ABCD es 24u2.1. 4 u2 B) 5u2 C) 6 u2 D) 8u2Solucin

Si AP y AC trisecan el ngulo recto BAD. Entonces la mBAP = mPAC = mCAD = 30, adems en el tringulo rectngulo ABP: BD AP. Entonces AM = 3(MP) y en el rectngulo ABCD, las diagonales AC y BD se bisecan en N.Sea 2S el rea de la regin MPC, entonces el rea de la regin AMC es 6S, por lo tanto las reas de AMN y NMC es 3S, respectivamente.El tringulo ABN es equiltero, entonces el rea de ABM tambin es 3S. De donde el rea de ABCD es 24S.Del dato 24S = 24u2. Entonces S = 1u2 y el rea de la regin pedida es 5S = 5u2.Respuesta B.

1. En un cono equiltero, la mitad de los vrtices del hexaedro regular (cubo) inscrito, son puntos medios de las generatrices que las contienen. Si dicho cubo tiene aristas de longitud , calcule la longitud de la generatriz del cono.1. 2 B) 2 C) 2 D) 3

Solucin

Como el cono es equiltero las generatrices diametralmente opuestas forman con la diagonal de la base superior del cubo un tringulo equiltero.Entonces si la diagonal de la base superior del cubo es , entonces las generatrices tienen longitudes 2 . Respuesta B.

Solucionario de Tercer ao

1. En un tringulo ABC, se traza la ceviana interior BD de modo que AB = CD, la mBDC = 30 y la mBCA = 2(mBAC). Calcule la mABD.

1. 10 B) 15 C) 20 D) 18

Solucin En la prolongacin de AC ubicamos el punto H, de modo que CH = BC = a, entonces la mBHC = mHBC = , luego el tringulo ABH es issceles de lado (AB = BH = ).Del dato CD = AB = , si se construye el tringulo equiltero DGC, los tringulos GBD y CBD son congruentes (caso L.A.L.)

Entonces BG = BC = a, luego los tringulos BGC y BCH son congruentes (caso L.L.L.), por lo tanto la mBCG = mCHB = .Finalmente en el tringulo equiltero DGC: 3 = 60 y = 20, entonces en el tringulo ABD, la m ABD = 10.

Respuesta A.

1. En un cuadrado de centro O, sean M y N puntos medios de BC y CD respectivamente, donde la interseccin de AM y BN es el punto P y la prolongacin de PO interseca a AD en Q. Calcule AQ/QD.1. 2 B) 2,4 C) 3 D) 3,6

Solucin

Si prolongamos BN y AD hasta que se intersequen en G, los tringulos GDN y BCN son congruentes,( caso A.L.A.) entonces DG = 2a = AD.En el tringulo APG: PQ es bisectriz, entonces AQ/QG = AP/PG.Como la mBGA = 53/2, en el tringulo APG; AP/PG = .Por lo tanto AQ/QG = , entonces si AQ= y QH = 2.Ahora: + m = 2a y m + 2a = 2, entonces = 2aLuego / a = 2

Respuesta A.

1. En el grfico AM=MC= a y MN=NP=BP. Calcule el rea de la regin BNP.

1. a2 B) a2 C) a2 D) a2

Solucin

En el tringulo rectngulo ABC trazamos la mediana relativa a la hipotenusa, entonces BM = AM = MC = a y la m MBC = m MCB = Como MN=NP=BP= , entonces la m PBN = m MNC = 90-, por lo tanto la m MBP = 90 y en el tringulo rectngulo MBP; BN = .Por todo ello concluimos que el tringulo PBN es equiltero y con ello = 30, siendo la mBAM = 60 y el tringulo ABM es equiltero, de lado a y el rea de la regin que limita es 3S, siendo S el rea de la regin pedida BNP.Entonces 3S = a2(/4) y S = a2

Respuesta B.

1. El desarrollo de la superficie de un poliedro est formado por tres cuadrados iguales a los que se muestra en el grfico, cortados por las lneas punteadas.

Y colocadas alrededor de un hexgono regular, como se muestra a continuacin.

Calcule el volumen de dicho poliedro.

1. 33 B) 43 C) 53 D) 63

Solucin Reconstruyendo el slido se observa que se forma la mitad de un cubo de arista 2, entonces el volumen del slido resultantes es (2)3 = 43.

Respuesta B.

16to Concurso Nacional De Matemtica CONAMAT 2013Eliminatoria 2Primer ao1. Desde dos vrtices consecutivos de un polgono se trazan como mximo dos diagonales ms que el nmero de lados de dicho polgono. Calcule el nmero de diagonales que se pueden trazar desde 3 vrtices consecutivos.1. 10 B) 14 C) 15 D) 20

Solucin

Debemos recordar que el nmero de diagonales trazados desde 2 vrtices consecutivos es 2(n-3) y esto por dato es igual a n + 2, luego 2n - 6 = n + 2, de donde n = 8Ahora desde 3 vrtices consecutivos, en un polgono de n lados, se pueden trazar 3n (4)(5)/2 = 24 10 = 14 diagonales.

Respuesta B.

1. Los vrtices A, B, C de un tringulo ABC tienen coordenadas (6; 0), (0; 0) y (0; 8). Calcule el permetro de la regin triangular cuyos vrtices son los puntos medios de ABC.1. 6 B) 8 C) 10 D) 12

Solucin

Sean M, N y Q los puntos medios de AB, BC y AC respectivamente, entonces M = (A + B)/2 = ((6,0)+(0,0))/2 = (3,0), anlogamente N = (0,4) y Q = (3,4).Luego MN = = 5, NQ = = 3 y MQ = = 4, por lo tanto el permetro de la regin triangular MNQ es 5 + 3 + 4 = 12

Respuesta D.

1. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si la medida del ngulo AOC mas la medida del ngulo BOC es el triple de la medida del ngulo BOC, calcule la medida del ngulo COD, sabiendo que las bisectrices de los ngulos AOB y COD son perpendiculares.

1. 45 B) 30 C) 60 D) 36

Solucin

Del dato; mPOQ = 90 y mAOC + mBOC = 3(mCOD), entonces reemplazando valores, 2 + + = 3(2) = 6, de donde + = 3 adems + + = 90, entonces 4 = 90.Por lo tanto la mCOD = 2 = 45

Respuesta A.

1. Calcule el rea de la superficie lateral del cilindro de revolucin inscrito en un prisma hexagonal regular cuyas bases son respectivamente coplanares y la altura del prisma es igual a la diagonal de un cubo de arista 2, adems la arista bsica del prisma tiene longitud 2.1. 6 B) 8 C) 12 D) 16

Solucin El rea de la superficie lateral de un cilindro es 2r.h, donde r es el radio de la base y h es su altura.Como el cilindro est inscrito en un prisma hexagonal regular y sus bases son coplanares entonces el crculo de la base del cilindro est inscrito en la base hexagonal del prisma.Entonces el radio del crculo es ya que la arista bsica del prisma es 2 (lado del hexgono regular).Como la altura del prisma es igual a la diagonal de un cubo de arista 2 entonces h = 2.Por lo tanto el area de la superficie lateral del cilindro inscrito es 2()() = 12.

Respuesta C.

Segundo ao1. En el grfico las rectas m y n son paralelas, calcule el valor de x.

A) 30 B) 36 C) 45 D) 60

Solucin

En el grfico colocamos letras a algunos vrtices y por los puntos A y C trazamos rectas paralelas a m y n.Luego p//q: 4x -90 + 2x = 90, luego 6x = 180, entonces x = 30

Respuesta A.

1. Del grfico calcule el valor de .

1. 45 B) 60 C) 40 D) 50Solucin Prolongamos algunos lados convenientemente para forma el cuadriltero cncavo como se muestra en la figura.

En ABCD, la mADC = 3, luego en D: 4 = 180 de donde = 45

Respuesta A

1. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, se ubican los puntos medios M y N de AB y BC respectivamente, en AC se ubican los puntos P y Q, de modo que el rea de la regin convexa MNPQ es la mitad del rea de ABC. Calcule MN/PQ.

1. 0,5 B) 0,75 C) 0,6 D) 1

Solucin

Para cualquier tringulo el rea de la regin MBN es la cuarta parte de ABC (4S).Ubicamos el punto P en AC de manera arbitraria (P, punto cualquiera de AC)entonces el rea de la regin MPN tambin es S. Si por M trazamos una paralela MQ a NP, resulta que el rea de la regin MQP tambin es S.Por lo tanto el rea de la regin MNPQ es la mitad de ABC y como MNPQ es un paralelogramo PQ = MN = b, luego MN/PQ = 1

Respuesta D

1. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolucin, es la tercera parte de un crculo de radio R. calcule la altura de dicho cono.

1. B) C) D)

Solucin

El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolucin es un sector circular, si adems el desarrollo es la tercera parte de un crculo, el sector circular es uno de 120 radianes. si R es el radio del crculo, entonces R es la generatriz del cono (g = R).La longitud el arco del sector circular de 120 es 2R/3 siendo esta, la longitud del permetro de la base del cono. De donde r = R/3, siendo r el radio de la base del cono.Con r y g conocidos podemos calcular la altura del cono.

h = = = 2R/3

Respuesta C.

Tercer ao1. En el grfico las rectas m y n son paralelas, calcule el valor de x. Si = 40.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50

Solucin

Prolongamos adecuadamente los lados, buscando el ngulo ABC, de donde observamos que la mABC = x.Entonces por ngulos entre paralelas, x = = 40

Respuesta C

1. Los cuadrados EFGH y JKLM estn inscritos en los tringulos ABC y EBH, si AC = b y LM = a. Calcule el lado del cuadrado EFGH.

1. B) C) 2 D)

Solucin Como EH//AC entonces los tringulos EBH y ABC son semejantes y los cuadrados son elementos homlogos de dicha semejanza (cuadrados inscritos en tringulos semejantes), entonces a/x = x/b de donde x = .

Respuesta B

1. En el grfico AB = 2(MN), BM=MC, AN= AB + NC. Calcule el rea de la regin ABC si (MN)2 + (MN)(NC) = .

1. B) 2 C) 3 D) 4

Solucin Sea MN = a/2 y NC = b entonces del dato AB = a y AN = a +b

Desde B trazamos BQ//MN, entonces QN = NC = b y AQ= aEn el tringulo QBC del teorema de los puntos medios BQ = a, por lo tanto el tringulo ABQ es equiltero de lado a y la mBAQ = 60.Calculemos el rea de la regin ABC en funcin de a y b.Entonces: = (a)(a+2b)sen 60 = (a2/4 + ab/2) = ((MN)2 +(MN)(NC)) = 3

Respuesta C.

1. Un prisma recto est circunscrito a un cilindro de revolucin, cuyo radio de su base es 2u. Si el volumen del prisma es mnimo, calcule el permetro de la base sabiendo que es un nmero entero y las bases de los slidos son coplanares.

1. 12 B) 13 C) 14 D) 15

Solucin Como el prisma est circunscrito al cilindro, el volumen del prisma es mayor que el volumen del cilindro, adems las bases son coplanares por lo que sus alturas son iguales, entonces la razn de volmenes solo depende de las reas de sus bases, entonces el rea de la base del prisma es mayor que el rea de la base del cilindro.

Luego: p.r > r2, de donde p > r = (3,1416)(2) = 6,28322p > 12,5664 entonces el permetro mnimo es 13

Respuesta B.

1. En un tringulo equiltero ABC, se traza la altura AM, desde M se traza MN perpendicular a AC (N en AC). Si Q es punto medio de MN, calcule la medida del ngulo que forman BN y AQ.

1. 45 B) 60 C) 90 D) 75

Solucin Graficando segn el enunciado, ABC es tringulo equiltero y nos piden calcular x.

Trazamos la altura BH, entonces los tringulos CBH y MAN son semejantes de 30 y 60 Y en dichos tringulos, las medianas BN y AQ respectivamente son homlogas.Como las hipotenusas de dichos tringulos son perpendiculares, sus medianas tambin sern perpendiculares.Por lo tanto x = 90

Respuesta C.

1. En una pirmide cuadrangular regular, se inscribe un cilindro de revolucin (cilindro recto de base circular) de modo que dos caras laterales opuestas son tangentes a la superficie lateral del cilindro. Si la altura de la pirmide es el triple del radio de la base del cilindro, calcule la medida del ngulo diedro que forman estas dos caras laterales.

A) 30 B) 45 C) 53 D) 60

Solucin

Para poder apreciar a las dos caras laterales del prisma tangentes a la superficie lateral del cilindro es necesario observar la pirmide, proyectada en un plano perpendicular a las aristas bsicas AB y CD, siendo las caras VAB y VDC, las caras tangentes a la superficie cilndrica, entonces el cilindro se observa como un crculo y la pirmide como un tringulo.

Es en esta vista en donde aprovechamos el dato (la altura es el triple del radio de la base del cilindro)Segn el grfico podemos apreciar que el ngulo que forman estas caras laterales opuestas de la pirmide es 60.

Respuesta D.