Soluciones al ponte a prueba de integrales indefinidas
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717
11SOLUCIONARIO
125 Calcular la integral # ln x
xdx
2.
(Castilla y León. Junio 2008. Prueba A. Problema 2)
u x dux
dx
dvx
dx vx
ln1
1 12
F
ln ln ln lnx
xdx
x
x xdx
x
x xk
x
xk
2 2
1 1 1
PREPARA TU SELECTIVIDAD
1 Dada la función f xx
x5 42:
a) Calcula la integral #f x dx( ) . b) Halla la primitiva F de f que cumple que F(1) 1.
(Cataluña. Septiembre 2005. Cuestión 2)
a) F x f x dxx
x
dxx
x
dx x( () )5 4
1
10
10
5 4
1
55
2 2
2 4 k
b) F(1) 1 → 1
51
4
5k k → F x x( )
1
55 4
4
5
2
2 Determina f ( x ) sabiendo que f x x f f f'" " '( ) ; ( ) ; ( ) ( )24 0 2 0 1 0 0y .
(Castilla-La Mancha. Junio 2005. Bloque 1. Pregunta B)
f x x f x x dx x k''' ''( () )24 24 12 21
Como f k f x x'' ''( ) (0 2 2 12 212)
f x x f x x dx x x k'' '( ( ( )) )12 2 12 2 4 22 2 32
Como f k f x x x' '( ) (0 1 1 4 2 123)
f x x x f x x x dx x x x k'( ( ( )) )4 2 1 4 2 13 3 4 233
Como f k f x x x x( ) ( )0 0 034 2
3 Sea f : R → R la función definida por f x x ex( ) ( )1 2. Calcula la primitiva
de f cuya gráfica pasa por el punto (1, e2).
(Andalucía. Año 2004. Modelo 3. Opción B. Ejercicio 2)
u x du dx
dv e dx v ex x
1
F
F x x e dx x e e dx x e e kx x x x x( ( ) ( ) ( )) 1 1 1 (( )x e k
x2
F e e k e k e e F x x e e ex( ) ( ( )1 22 2 2 2)
718
Integrales indefinidas
4 Dada la función f : [1, e] → R definida por f xx
x( ) ln1
, calcúlese una función
primitiva de f ( x ) que pase por el punto P(e, 2).
(Castilla y León. Septiembre 2004. Prueba B. Problema 2)
u x dux
dx
dv dx v x
ln1
u x du dx
F
F xx
x dxx
dx x dx x( ln ln ln)1 1
xx x x kln
F e k k F x F x x x x x( ) ( ( ln ln2 1 2 1 1) )
5 Dada la función f : R → R definida por f ( x ) Ln (1 x2), halla la primitiva de f cuya
gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano).
(Andalucía. Junio 2007. Opción B. Ejercicio 2)
u x dux
xdx
dv dx v x
ln ( )12
1
2
2
F
F x x dx x xx
xdx( ln ( ) ln ( )) 1 1
2
1
2 22
2
x xx
dx x xln ( ) ln ( )1 22
112
2
2 22 2x arc tg x k
F k F x x x x arc tg x( ) ( ) ln ( )0 0 0 1 2 22
6 Hallar una primitiva de la función f ( x ) x ex.
(Extremadura. Junio 2006. Repertorio B. Ejercicio 2)
u x du dx
dv e dx v ex x
F
xe dx xe e dx xe e kx x x x x
7 Calcula la siguiente integral: # x
xdx
( )1 3
(Castilla-La Mancha. Septiembre 2007. Bloque 2. Pregunta A)
x
xdx
x xdx
( ) ( ) ( )1
1
1
1
1
13 2 3 (( ) ( )x x
k1
1
2 1 2
8 Resolver # 2
3 33 2
x
x x xdx .
(Canarias. Septiembre 2006. Opción A. Cuestión 1)
2
4 3
1
1
3
32
x
x xdx
x xdx xln 11 3 3ln x k
719
11SOLUCIONARIO
9 Calcular la primitiva que sigue:
# x x
xdx
3 2
2
1
4
(País Vasco. Julio 2007. Bloque D. Cuestión D)
x x
xdx x
x x
3 2
2
1
41
13
4
1
2
3
4
1
2dx
xx x x k
2
2
13
42
3
42ln ln
10 Calcule # x
x xdx
5
4 32.
(Galicia. Junio 2008. Bloque 3. Opción 2)
x
x xdx
x xdx x
5
4 3
2
1
1
32
2ln 11 3ln x k
11 Utilizando el cambio de variable t ln x, calcular # ln (ln )
ln
x
x xdx .
(Aragón. Septiembre 2006. Opción B. Cuestión 2)
t x
dtxdx
ln
1
F
ln (ln )
ln
ln (ln ) (ln (ln ))x
x xdx
t
tdt
tk
x2 2
2 22k
12 Dados a y b dos números reales, calcula la integral indefinida:
# sen x
a b cos xdx
( )2
Presta atención a las posibilidades a 0 o b 0.
(La Rioja. Septiembre 2004. Propuesta B. Ejercicio 5)
Si a 0 y b 0: senx
a bcos xdx
b a bcos xk
( ) ( )2
1
Si a 0 y b 0: senx
bcos xdx
bcos xk
2
1
Si a 0 y b 0: senx
adx
cos x
ak
2 2
a y b no pueden ser 0 simultáneamente, pues no existiría la función
que tenemos que integrar.