Solucion_Tarea_1

5/8/2018 Solucion_Tarea_1 - slidepdf.com

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1

Universidad de los AndesDepartamento de Ingeniería IndustrialProbabilidad y Estadística I (IIND2106)Profesor Coordinador: Mario CastilloProfesores: Hernando MutisInstructores: Luis José Novoa, Juan Carlos Gutiérrez, Diana Lesmes, John Ríos, CarlosCastellanos, María Andrea Novoa.

Segundo Semestral 2010

Tarea 1

Instrucciones para la Entrega:I. Normas para la Presentación de Tareas

• La tarea debe ser entregada en hojas blancas tipo block o cuadriculadas; tamaño carta, sinorillos, de preferencia impresas o con una presentación de calidad similar a impresa.

• La tarea debe estar grapada y las páginas deben estar numeradas.

• Debe respetarse el horario de entrega de las tareas. Después de la fecha y hora límites nose recibirán.

• Las tareas no se reciben por correo electrónico.

• La tarea debe realizarse en grupos de máximo 3 personas de cualquier sección.

• En la parte superior de todas las hojas debe aparecer claramente el nombre, código ysección de cada uno de los integrantes.

• El incumplimiento de alguna de las anteriores instrucciones tendrá un impacto negativo enla nota de esta tarea.

• Cualquier sospecha de fraude será tratada de acuerdo con el reglamento de laUniversidad. Fecha Máxima de Entrega: Viernes 27 de Agosto de 2010, antes de las10:00 a.m.

• Lugar de Entrega: Casilleros Ingeniería Industrial ML - 7mo piso frente al ascensor.

• Advertencia: En caso de entregar la tarea después de la fecha máxima de entrega oen un lugar diferente al especificado anteriormente, la nota de la Tarea será 0, sinexcepciones.

Si usted encuentra algún GAZAPO1 en la solución correspondiente a esta tarea, por favor

comuníquelo a [email protected]. Si su observación es válida, se verá recompensada conun incremento del 5% en la nota de la tarea.

Punto 1 – Estadística Descriptiva (30 pts.)

Un estudio sobre los cereales que se consumen al desayuno fue realizado en los Estados Unidoscon el fin de determinar las características nutricionales de estos productos y formular políticaspara controlar el problema de obesidad presente en este país. El archivo Cereales.xls presenta losdatos obtenidos para los 67 productos que se estudiaron.

En principio se considera que los cereales son saludables y por tanto se recomienda que cumplancon las siguientes características:

• La cantidad de Calorías en una porción de 250 gramos no debe superar las 100 calorías.

• El contenido de Fibra debe ser mayor a 7 gr por cada taza (250 gr).

• La cantidad de carbohidratos debe ser menor a 12 gr por cada tasa (250 gr)

Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente y los datos del archivo Cereales.xls:

1Yerro que por inadvertencia deja escapar quien escribe o habla. (Definición según La Real

Academia de la Lengua Española)



2

a. (6 pts.) Presente las principales estadísticas para cada una de las característicasmencionadas en el estudio. (Calorías, sodio, Fibra, Carbohidratos, Azúcar).

b. (6 pts.) En general qué puede decir de estas estadísticas con respecto a lasrecomendaciones acerca del contenido de estos productos.

c. (6 pts.) Construya un histograma para analizar el comportamiento de la variable “Calorías”.Nota: Realice un histograma utilizando 5 clases equidistantes, otro utilizando 10 clasesequidistantes y otro utilizando 20 clases equidistantes. Tenga en cuenta el mínimo y elmáximo valor de esta variable para realizar sus clases. ¿Qué puede concluir?

d. (6 pts.) Construya una tabla dinámica y conteste las siguientes preguntas:

• ¿cuántos productos cumplen con la primera y la segunda recomendación?

• ¿cuántos con la primera y la tercera?e. (6 pts.) Construya una tabla dinámica y conteste la siguiente pregunta, si se escoge un

producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con la primerarecomendación?

Solución:

a. (6 pts.) Presente las principales estadísticas para todas las características mencionadas enel estudio, por separado (Calorías, sodio, Fibra, Carbohidratos, Azúcar).

b. (6 pts.) En general que puede decir de estas estadísticas con respecto a los consejosacerca del contenido de estos productos.

De la tabla anterior se puede observar que en promedio los productos no cumplen con laprimera recomendación dado que la media de calorías en una taza (250 gr) es mayor allímite establecido en la recomendación 1.

Por otro lado el contenido de fibra en promedio tampoco satisface la recomendación 2,

aunque en este caso la situación parece más crítica debido a que la media de fibra, en losproductos dentro del estudio, está muy por debajo de la especificación de tener uncontenido de fibra mayor a 7 gramos por taza (250 gr) de cereal. Finalmente la últimacaracterística (Carbohidratos), al igual que las anteriores, no cumple con lacorrespondiente recomendación que establece que el contenido saludable decarbohidratos debe ser mayor a 12 gramos por cada 250 gramos de cereal.

En general podemos justificar la preocupación de las entidades encargadas del generar políticas para el control de la obesidad debido a que las estadísticas muestran que muchosde los productos no cumplen con las especificaciones de salud requeridas.

Media 105,52 167,31 2,19 14,77 6,955223881

Errortípico 2,29 9,84 0,31 0,47 0,538618446

Mediana 110,00 180,00 1,50 14,00 6

Moda 110,00 200,00 1,00 15,00 3

Desviaciónestándar 18,77 80,58 2,51 3,86 4,408781993

Varianzadelamuestra 352,37 6493,43 6,28 14,90 19,43735866

Curtosis 2,90 0,08 7,91 -0,20 -1,18906349

Coeficientedeasimetría -0,81 -0,69 2,40 0,15 0,030860202

Rango 110,00 320,00 14,00 18,00 15

Mínimo 50,00 0,00 0,00 5,00 0

Máximo 160,00 320,00 14,00 23,00 15

Suma 7070,00 11210,00 146,50 989,50 466

Cuenta 67,00 67,00 67,00 67,00 67

Sodio Calorias Fiber Carbs Sugar



3

c. (6 pts.) Construya un histograma para analizar el comportamiento de la variable “Calorías”.Nota: Realice un histograma utilizando 5 clases equidistantes, otro utilizando 10 clasesequidistantes y otro utilizando 20 clases equidistantes. Tenga en cuenta el mínimo y elmáximo valor de esta variable para realizar sus clases. ¿Qué puede concluir?

Para generar las clases equidistantes es necesario identificar el valor mínimo y el máximode los datos (Min = 50, Max= 160).

Luego obtenemos la distancia entre ellos

11050160 =−=−= MinMaxd

Como se piden 5 clases equidistantes, la distancia entre cada clase será:

5,274/110 ==Clased

Por lo que finalmente las clases serán; 50, 72, 94, 116 138, 160.

Para el caso de 10 y 20 clases el procedimiento es el mismo es replicable.

2,129/110 ==Clased

8,519/110 ==Clased

Los correspondientes histogramas se muestran a continuación

Clase Frecuencia % acumulado Clase Frecuencia % acumulado Clase Frecuencia % acumulado

50 3 4,48% 50,00 3 4,48% 50,00 3 4,48%

77,5 2 7,46% 62,22 0 4,48% 55,79 0 4,48%

105 20 37,31% 74,44 2 7,46% 61,58 0 4,48%

132,5 39 95,52% 86,67 1 8,96% 67,37 0 4,48%160 3 100,00% 98,89 6 17,91% 73,16 2 7,46%

y mayor... 0 100,00% 111,11 41 79,10% 78,95 0 7,46%

123,33 9 92,54% 84,74 1 8,96%

135,56 2 95,52% 90,53 6 17,91%

147,78 2 98,51% 96,32 0 17,91%

160,00 1 100,00% 102,11 13 37,31%

y mayor... 0 100,00% 107,89 0 37,31%

113,68 28 79,10%

119,47 0 79,10%

125,26 9 92,54%

131,05 2 95,52%

136,84 0 95,52%

142,63 2 98,51%148,42 0 98,51%

154,21 0 98,51%

160,00 0 98,51%

y mayor... 1 100,00%

5clases 20clases10 clases



4

Histograma 1 Número de Clases: 5

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

50 77,5 105 132,5 160 y mayor...

F r e c u e n c i a

Clase

Histograma Calorias

Frecuencia

% acumulado

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

F r e c u e n c i a

Clase

Histograma Calorias

Frecuencia

% acumulado

Histograma 2. Número de clases: 10



5

Histograma 3. Número de Clases: 20

Podemos concluir que al cambiar las clases se visualizan diferentes comportamientos enlos histogramas, lo cual es importante debido a que a partir de estos histogramas podemosemitir juicios equivocados si no se escogen las clases adecuadas. En la literatura serecomienda seguir algunos criterios como los siguientes:

2

En los histogramas mostrados podemos ver como en el primero parece que la distribuciónde los datos estuviese más concentrada en los datos de la derecha de la media,contradiciendo lo sugerido por el coeficiente de asimetría. En el siguiente histograma las

cosas son más claras y acordes con las estadísticas mencionadas en el inciso a ypodemos ver que los datos se acumulan a la izquierda de la media. Finalmente elhistograma con 20 clases permite ver directamente el valor de la media y reafirma lo dichoen el histograma anterior.

Por último se debe tener en cuenta que la selección de las clases es clave para lainterpretación de los histogramas, y se debe tener cuidado al asignar muchas o pocasclases, debido a que en el primer caso se puede terminar con una grafica plana que no

2Tomado de http://www.fundibeq.org/metodologias/herramientas/histograma.pdf

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0

5

10

15

20

25

30

5 0

5 5 , 7 8 9 4 7 3 6 8

6 1 , 5 7 8 9 4 7 3 7

6 7 , 3 6 8 4 2 1 0 5

7 3 , 1 5 7 8 9 4 7 4

7 8 , 9 4 7 3 6 8 4 2

8 4 , 7 3 6 8 4 2 1 1

9 0 , 5 2 6 3 1 5 7 9

9 6 , 3 1 5 7 8 9 4 7

1 0 2 , 1 0 5 2 6 3 2

1 0 7 , 8 9 4 7 3 6 8

1 1 3 , 6 8 4 2 1 0 5

1 1 9 , 4 7 3 6 8 4 2

1 2 5 , 2 6 3 1 5 7 9

1 3 1 , 0 5 2 6 3 1 6

1 3 6 , 8 4 2 1 0 5 3

1 4 2 , 6 3 1 5 7 8 9

1 4 8 , 4 2 1 0 5 2 6

1 5 4 , 2 1 0 5 2 6 3

1 6 0

y m a y o

r . . .

F r e c u e n c i a

Clase

Histograma Calorias

Frecuencia

% acumulado



6

permita el análisis o en el segundo caso con una grafica que no permita ver la dispersiónde los datos.

d. (6 pts.) Construya una tabla dinámica y conteste las siguientes preguntas:

• ¿cuántos productos cumplen con la primera y la segunda recomendación?

• ¿cuántos con la primera y la tercera?

En la tabla podemos ver que solamente 3 de los productos cumplen con las primeras 2recomendaciones.

En la tabla podemos ver que solamente 5 de los productos cumplen con la primera y latercera recomendación.

e. (6 pts.) Construya una tabla dinámica y conteste la siguiente pregunta, si se escoge unproducto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que un producto cumpla con la primerarecomendación?

12 productos cumple con la primera recomendación por lo tanto la probabilidad de que unproducto seleccionado al azar cumpla con la esta recomendación, asumiendo que los

productos son independientes, es 37,067/25)1( ==ionrecomendac P

Punto 2 – Cálculo de Probabilidades (15 pts.)

En un estudio de mercado del sector de telecomunicaciones, mil cuatrocientas personas fueronencuestadas sobre la marca de teléfonos celulares que usaban. Los resultados de las encuestasrealizadas se presentan a continuación:

160 Personas solamente utilizan celulares marca Blackberry

270 tienen celulares marca Samsung y Blackberry.120 Personas tienen Samsung, Blackberry y Nokia.240 personas solamente utilizan celulares marca NokiaLa Probabilidad de que una persona utilice tanto Blackberry como Nokia es 0,107La Probabilidad de que una persona utilice tanto Samsung como Nokia es 0,1427370 personas no tenían ninguna de las marcas mencionadasPor cada 100 usuarios exclusivos de Nokia hay 104,16 usuarios exclusivos de Samsung.

a. (3pts.) Construya el diagrama de Venn que represente la situación anterior

CuentadeProd uct Cal<100

Fiber>7 0 1 T otalgeneral

0 42 22 64

1 3 3

Totalgeneral 42 25 67


Carb<12 0 1 T otalgeneral

0 35 20 55

1 7 5 12

Totalgeneral 42 25 67


0 1 T otalgeneral

Total 42 25 67



7

Nota: Aproxime sus cálculos del número de personas en cada grupo al entero mayor máscercano.

b. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga al menosuna de las marcas?

c. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga Blackberryy Samsung pero no Nokia?

d. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga unBlackberry?

e. (3 pts.) ¿Cual es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no tenganinguna de las marcas anteriores?

Solución

a. (3 pts.) Construya el diagrama de Venn que represente la situación anterior Nota: Aproxime sus cálculos del número de personas en cada grupo al entero mayor máscercano.

b. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga al menosuna de las 3 marcas?

1400

1030)( =

Ω=∪∪

enelementosde Número

N S Benelementosde Número N S B P

c. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga Blackberryy Samsung pero no Nokia?

1400

150))(( =∩∩

c N S B P

d. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga unBlackberry?



8

1400

460)( =

Ω=

enelementosde Número

Belementosde Número B P

e. (3 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no tenganinguna de las marcas anteriores?

1400

370))(( =

c ABC P

Punto 3– Conteo y Cálculo de Probabilidades (10 pts.)Doce policías se han graduado de la Academia, y serán asignados a 6 municipios deCundinamarca, entre ellos Cucunubá. Cada policía es enviado aleatoriamente a uno de los 6municipios.

a. (5 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los policías sean asignados aCucunubá?

b. (5pts) Calcule la probabilidad de que 2 de los pueblos reciban exactamente 3 policías,otros 2 pueblos reciban exactamente 2 policías y los 2 pueblos restantes reciban

exactamente 1 policía cada uno.

Solución

a. (5 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los policías sean asignados a Cucunubá?

Dado que estamos bajo un escenario equiprobable, podemos utilizar técnicas de conteopara calcular esta probabilidad. Definimos el evento A:

Cucunubá: aasignados son PoliciaslosdeCuatro A

Por lo tanto queremos hallar

Ω

=

enelementos No

Aenelementos No A P )(

El número de elementos en Ω es el número total de formas posibles de repartir 12policías en 6 municipios. Debido a que cada policía puede ser asignado a cada pueblo,

existen126 posibles formas de repartirlos entre los 6 pueblos.

Por otro lado para determinar el número de elementos en A vemos que existen

4

12

maneras de escoger el grupo de 4 policías que será asignado a Cucunubá. Los 8 policías

restantes pueden ser ordenados en cualquiera de los 5 pueblos en85 maneras distintas.

Por lo anterior tenemos que

088,06

5*4

12

)(12

8

≈

= A P



9

b. (5pts) Calcule la probabilidad de que 2 de los pueblos reciban exactamente 3 policías,otros 2 pueblos reciban exactamente 2 policías y los 2 pueblos restantes recibanexactamente 1 policía cada uno.

Definimos el evento B como:B: 2 de los pueblos reciben exactamente 3 policías, otros 2 pueblos reciben exactamente 2policías y los 2 pueblos restantes reciben exactamente 1 policía cada uno.

Por lo tanto queremos hallar

Ω=

enelementos No

Benelementos No B P )(

Los Elementos en Ω son los mismos que en el inciso anterior. Por otro lado para calcular

los elementos en B podemos ver que existen

2

6formas para seleccionar los 2 pueblos

que tendrían 3 policías exactamente. Una vez seleccionados los dos pueblos, hay

3

12

formas de seleccionar los policías que irán al primer pueblo y

3

9formas de seleccionar

los del segundo pueblo. De la misma manera podemos organizar los 2 pueblos con 2policías y los pueblos que quedarían con un solo policía. Finalmente el número total deelementos en B sería:

!1!1!2!2!3!3

!12*

!2!2!2

!6

1

1

1

2

2

2

2

4

2

6

2

4

3

9

3

12

2

6=

Por lo tanto:

137,06

!1!1!2!2!3!3

!12*

!2!2!2

!6

)(12

== B P

Punto 4– Conteo y Cálculo de Probabilidades (5 pts.)

En un estante de la biblioteca de un colegio hay cuatro libros distintos de matemáticas, cincodiferentes de física y 3 diferentes de biología. De cuántas formas diferentes es posible organizar estos libros teniendo en cuenta

a. (2.5 pts.) Que todos los libros de cada materia debe estar juntos b. (2.5 pts.) Que los libros de matemáticas deben ir a la izquierda y son los únicos libros que

deben estar juntos. Solución a. (2.5 pts.) Que todos los libros de cada materia deben estar juntos

B B B F F F F F M M M M Como todos los libros de la misma materia deben quedar juntos, primero organizamos loslibros en 3 bloque que se pueden organizar de 3! Formas distintas. A su vez los libros de



10

matemáticas se puede organizar de 4! Maneras diferentes, los de física de 5! Maneras yfinalmente los de biología de 3! Formas distintas.

103680!3!*5!*4!*3 = Formas distintas

b. (2.5 pts.) Que los libros de matemáticas deben ir a la izquierda y son los únicos libros que

deben estar juntos.

( ) B B B F F F F F M M M M En este caso los libros de matemáticas se pueden organizar de 4! Maneras distintas y losdemás libro puede organizarse de 8! maneras distintas

4!*8! = 967680

Punto 5 – Arboles de Probabilidad (15 pts.)

Dos boxeadores se van a enfrentar en una pelea a 3 asaltos. Los observadores opinan que cadaboxeador tiene la misma probabilidad de ganar la pelea de un golpe de knock-out y ésta es igual a0.2. Sin embargo si no se produce knock-out el boxeador 1 por tener mejor técnica gana el asaltocon probabilidad 0.75. También se sabe que si un boxeador gana 2 asaltos seguidos gana la peleay se termina.

a. (5 pts.) Con base en la información anterior, construya el árbol de probabilidad querepresenta la situación.

G1N: Gana el boxeador 1 por knock-outG2N: Gana el boxeador 2 por knock-outG1: Gana asalto el boxeador 1

G2: Gana asalto el boxeador 2



11

b. (5 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que el boxeador 1 gane la pelea y el boxeador 2 gane unasalto?

0.45(0.15)(0.2) + 0.15(0.2) + 0.15(0.45)(0.2+0.45) = 0,09

c. (5 pts.) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los boxeadores gana la pelea?

2Gana))P(Boxeador )1((1)( +−= Gana Boxeador P Gana Ninguno P

5798.0

45.0*45.0*15.045.0*45.0347.0

asaltos) por Gana1P(Boxeador out)-knock por 1()1(

=

++=

+= Gana Boxeador P gana Boxeador P



12

3796.0

15.0*15.015.0*15.0*45.0347.0

asaltos) por 2GanaP(Boxeador out)-knock por 2()2(

=

++=

+= Gana Boxeador P gana Boxeador P

0406.0

)3796.05798.0(1

2Gana))P(Boxeador )1((1)(

=

+−=

+−= Gana Boxeador P Gana Ninguno P

Punto 6 – Arboles de Probabilidad y Teorema de Bayes (10 pts.)Una empresa del sector metalmecánico colombiano está dedicada a la fabricación de partes paramotos, la empresa cuenta con tres maquinas dobladoras de lámina (A, B y C), las cuales producenrespectivamente 1750, 750 y 2500 unidades a la semana (láminas de chapa de acero galvanizaday lámina de acero lacada). Adicionalmente se sabe que los porcentajes de láminas de chapa deacero galvanizada procesadas por cada una de las máquinas son de 1 %, 5% y 2%respectivamente.

a. (5 pts.) Si una lámina es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de chapa deacero galvanizada?

Definimos los siguientes eventos

A = La lámina es procesada por la máquina número 1B = La lámina es procesada por la máquina número 2C = La lámina es procesada por la máquina número 3G = La lámina es de acero galvanizado

G = La lámina es de acero lacado

Primero se debe construir el árbol de probabilidad que describa la situación anterior:

De acuerdo con la información dada, tenemos que

02.0)|(,05.0)|(,01.0)|( === C G P BG P AG P

Por otra parte

35.05000

1750)( == A P 15.0

5000

750)( == B P 5.0

5000

2500)( ==C P



13

La probabilidad que buscamos es )(G P , por tanto:

021.0)(

)5.0)(02.0()15.0)(05.0()35.0)(01.0()(

)()|()()|()()|()(

=

++=

++=

G P

G P

C P C G P B P BG P A P AG P G P

b. (5 pts.) Si se elige una lámina al azar y resulta ser de chapa de acero lacada, ¿cuál es laprobabilidad de que haya sido procesada por la máquina dobladora B?

La probabilidad que buscamos es )|( G B P , por tanto:

( )

1456.0

021.01

)15.0)(05.01(

)(1

)()|(1

)()()|()|(

=

−

−=

−

−=

=

G P

B P BG P

G P B P BG P G B P

Punto 7– Cálculo de probabilidades (10 pts.)

Un sistema eléctrico consta de 8 componentes, como se ilustra en la figura. El sistema funciona sies posible enviar cierta corriente desde A hasta D. Cada uno de los componentes tiene unaprobabilidad p de funcionar (y por tanto una probabilidad 1 - p de que falle). Los componentesfuncionan de manera independiente.



14

a. Calcule la probabilidad de que el sistema funcione. Ayuda: Un sistema en paralelo funcionacuando al menos uno de sus componentes funciona. Un sistema en serie funciona si todossus componentes funcionan.

Solución:

Podemos dividir este sistema en 3 subsistemas de la siguiente manera:

Para que llegue corriente de A a D, debe ocurrir que los 3 subsistemas S1, S2 y S3 funcionen,pues forman un sistema en serie. Ahora, para hallar las probabilidades de que cadasubsistema funcione definimos los eventos:

Sabemos que un sistema en paralelo funciona cuando al menos uno de sus componentesfunciona. Un sistema en serie funciona si todos sus componentes funcionan.

Para el subsistema S1 tenemos que dividir nuevamente el subsistema en 2 subsistemas más,de la siguiente forma:

Entonces,



15

( )

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] p p pS P

p p p p p p pS P

A A A P A A P A A P A P A A P A P A P S P

A A A P A P A A P A P A P S P

S S P S P S P S P

S S P S P

s

s

33)(

)(

)()()()()()()()(

))(()()()()()(

)()()()(

)(

23

1

32221

321323132111

32132111

54541

541

+−=

−+−+−+=

−+−+−+=

+−+−+=

−+=

+=

Ahora, para el subsistema S2 tenemos:

( )

42

2

422

2

765476542

76542

2)(

)(

)()()()(

)()()(

p pS P

p p pS P

A A A A P A A P A A P S P

A A A A P S P

−=

−+=

−+=

+=

Para el subsistema S3 solamente tenemos 1 componente:

pS P

A P S P

=

=

)(

)()(

3

83

Finalmente, si denotamos por F el evento en que el sistema funcione (transmita corriente de Aa D), tenemos que:

( )

( )( )( )87654

4223

321

321

366)(

233)(

)(*)(*)()(

)(

p p p p p F P

p p p p p p F P

S P S P S P F P

S S S P F P

−+−−=

−+−=

=

=

Solucion_Tarea_1

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