(Standard Level) Matematicas BI - David Delgado · de la parábola para el primer tramo...

M A T E M A T I C A S B I ( S T A N D A R D L E V E L )

Estudio de la gráfica de corrección horaria OBTENCIÓN DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE CORRECCIÓN HORARIA

GUILLEM CUBERTA RIFÀ

Matematicas (Standard Level) BI

08 Fall

Estudio de la gráfica de corrección horaria

Guillem Cuberta Rifà

Estudio de la gráfica de corrección horaria 2

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 3

2. GRÁFICA CORRECCIÓN HORARIA ....................................................................... 4

2.1 Intervalo 1 [0, 104] ......................................................................................................................... 7

2.2 Intervalo 2 [105, 163].................................................................................................................11

2.3 Intervalo 3 [164, 243].................................................................................................................15

2.4 Intervalo 4 [244, 358].................................................................................................................17

2.5 Intervalo 5 [359, 365].................................................................................................................20

3. CONCLUSIONES ....................................................................................................... 22




INTRODUCCIÓN:

Este verano, en una de las muchas excursiones que hice, fui a Villafranca del

Conflent, un pequeño pueblo de la Catalunya Norte situado en Francia. En este

pueblo medieval, había una iglesia con un grafico grabado en la fachada. El grafico,

que se puede ver en la portada, se trataba de un gráfico lineal en función de

segundos. Este gráfico ayudaba a la población de Villafranca del Conflent a saber,

dependiendo del día del año que era, como tenían que leer el reloj solar y cuantos

segundos, minutos originalmente pero cambiado por mi a segundos para facilitar

los cálculos y las conversiones, tenían que sumar o restar a la hora que marcaba el

reloj solar.

Des de que vi este gráfico, tuve muy claro que quería hacer este trabajo sobre la

obtención de la una ecuación a partir de un grafico y una tabla de datos.

Pero como es demasiado complicado obtener una sola función para todo el gráfico,

he dividido la función periódica en periodo de un año en 5 tramos. Para encontrar

estas 5 ecuaciones voy a usar tres ecuaciones distintas. Una es la que te da el Excel

al pedir que te formule una ecuación a partir de un trazado de una gráfica, la otra

es una ecuación sinusoide [y=p·cos(q·x)+k] y, por último, voy a utilizar la ecuación

de la parábola para el primer tramo [y=ax2+bx+c]. Para el quinto tramo, como se

parece más una recta que no una parábola el trazado de este intervalo, voy a

utilizar la ecuación [y=m·x+n]




2. Gráfica corrección horaria

La gráfica que se quiere obtener la función es la siguiente:

Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Días Corrección horaria

Días

Corrección horaria

Días

Corrección horaria

1 220 122 -182 244 -3 2 248 123 -188 245 -22 3 276 124 -194 246 -41 4 303 125 -199 247 -61 5 330 126 -204 248 -82 6 356 127 -208 249 -101 7 382 128 -211 250 -122 8 407 129 -214 251 -142 9 432 130 -216 252 -163

10 457 131 -218 253 -184 11 480 132 -219 254 -205 12 504 133 -219 255 -226 13 526 134 -219 256 -247 14 548 135 -219 257 -269 15 569 136 -218 258 -290 16 590 137 -216 259 -311 17 610 138 -214 260 -331 18 629 139 -211 261 -354 19 649 140 -207 262 -375 20 665 141 -204 263 -397 21 682 142 -199 264 -418 22 699 143 -194 265 -437 23 714 144 -189 266 -460 24 729 145 -183 267 -481 25 743 146 -176 268 -502

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1

12

2

3

34

4

5

56

6

7

78

8

9

10

0

11

1

12

2

13

3

14

4

15

5

16

6

17

7

18

8

19

9

21

0

22

1

23

2

24

3

25

4

26

5

27

6

28

7

29

8

30

9

32

0

33

1

34

2

35

3

36

4




26 756 147 -169 269 -523 27 768 148 -162 270 -543 28 780 149 -154 271 -564 29 790 150 -146 272 -584 30 800 151 -137 273 -603 31 809 152 -128 274 -623 32 818 153 -119 275 -642 33 825 154 -109 276 -661 34 832 155 -98 277 -680 35 837 156 -88 278 -698 36 842 157 -77 279 -716 37 846 158 -66 280 -733 38 850 159 -54 281 -750 39 852 160 -43 282 -767 40 854 161 -31 283 -783 41 855 162 -19 284 -799 42 855 163 -6 285 -814 43 854 164 6 286 -829 44 853 165 19 287 -843 45 851 166 32 288 -857 46 848 167 44 289 -870 47 844 168 57 290 -882 48 840 169 70 291 -894 49 835 170 83 292 -905 50 829 171 97 293 -916 51 823 172 110 294 -926 52 816 173 123 295 -935 53 808 174 136 296 -944 54 800 175 148 297 -952 55 791 176 161 298 -959 56 782 177 174 299 -965 57 771 178 186 300 -971 58 761 179 199 301 -976 59 750 180 211 302 -980 60 738 181 222 303 -983 61 726 182 234 304 -986 62 713 183 245 305 -988 63 700 184 257 306 -989 64 686 185 267 307 -989 65 673 186 278 308 -988 66 658 187 288 309 -987 67 643 188 298 310 -984 68 628 189 307 311 -981 69 613 190 316 312 -977 70 593 191 324 313 -972 71 581 192 332 314 -966 72 565 193 340 315 -959 73 548 194 347 316 -952 74 531 195 354 317 -943 75 514 196 360 318 -934 76 497 197 366 319 -924 77 479 198 371 320 -913 78 472 199 375 321 -901 79 444 200 379 322 -889 80 426 201 383 323 -875 81 408 202 386 324 -861 82 390 203 388 325 -846 83 372 204 390 326 -830 84 354 205 391 327 -813 85 336 206 392 328 -796 86 318 207 392 329 -778 87 299 208 391 330 -759 88 281 209 390 331 -739 89 263 210 388 332 -719 90 246 211 386 333 -698




91 228 212 383 334 -676 92 210 213 379 335 -654 93 192 214 375 336 -631 94 175 215 370 337 -607 95 158 216 365 338 -583 96 141 217 359 339 -558 97 124 218 352 340 -533 98 107 219 345 341 -507 99 91 220 337 342 -481

100 75 221 329 343 -454 101 59 222 320 344 -427 102 44 223 311 345 -399 103 29 224 300 346 -371 104 14 225 290 347 -343 105 -1 226 279 348 -314 106 -15 227 267 349 -286 107 -29 228 255 350 -257 108 -42 229 242 351 -227 109 -55 230 229 352 -198 110 -68 231 215 353 -168 111 -80 232 201 354 -139 112 -92 233 186 355 -109 113 -103 234 171 356 -79 114 -114 235 155 357 -50 115 -124 236 139 358 -20 116 -134 237 123 359 10 117 -143 238 106 360 39 118 -152 239 89 361 69 119 -160 240 71 362 98 120 -168 241 53 363 127 121 -175 242 35 364 156

243 16 365 185

Para simplificar el cálculo de la función se realizara por intervalos. Los intervalos

considerados son los siguientes:

Intervalo 1: [0, 105)

Intervalo 2: [105, 163]

Intervalo 3: (163, 244)

Intervalo 4: [244, 359)

Intervalo 5: [359, 365]




2.1 Intervalo 1 [0, 105) El intervalo considerado es el siguiente:

Los valores han sido obtenidos de la tabla que se muestra a continuación. En la

columna de corrección horaria, los valores se muestran en segundos.

y = 2E-05x4 - 0,0022x3 - 0,3017x2 + 31,073x + 181,51 R² = 0,9999

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1

4

7

10

1

3

16

1

9

22

2

5

28

3

1

34

3

7

40

4

3

46

4

9

52

5

5

58

6

1

64

6

7

70

7

3

76

7

9

82

8

5

88

9

1

94

9

7

10

0

10

3

Se

gu

nd

os

Días




El programa de Microsoft Office que he usado, Excel, ofrece una herramienta con la que puedes crear una función que se parece a tu gráfico. En mi caso, esta función tenia que ser poligonal ya que el tramo es una parábola.

Estos son los procedimientos realizados para obtener el resultado si aplicamos la formula que Excel nos da:

Primero substituimos la x por un punto para encontrar la “y” y poder determinar si el resultado que da se aproxima al resultado que tendría que dar. Esto último se llama calcular el error.




Para calcular el error usamos la siguiente formula:

Error

Ejemplo:

El error en este punto, x=56, es de -0,4168, pero como solo es un punto no podemos concluir que este es el error de la función. Aplicando la ecuación que nos da el Excel y calcular el error de cada x en el cual la función está definida, el promedio de error es de 0,10530897.

Mi profesor, al ver este proyecto, me sugirió que utilizara la siguiente ecuación:

Para este tramo, esta ecuación queda así:

Para encontrar la K se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de k.

Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo lo tienen el día 41 y el día 42, por lo tanto, le doy el valor de 41,5.

Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(1,220).

Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar 330.




Desgraciadamente, 292 es demasiado distinto a 330.

Por último, si usamos la ecuación de la parábola: “ ” también podremos determinar la ecuación de este primer intervalo.

Para ello necesitaremos 3 puntos conocidos de este intervalo: P1 (1, 220) 200 = a+b+c P2 (42, 855) 855 = 422

a+42b+c P3 (105, -1) -1 = 1052a+105b+c

Ecuaciones:

PRIMERA:

SEGUNDA:

TERCERA:




Habiendo hallado todas las incógnitas, podemos determinar que una ecuación para este intervalo es:

Si substituimos la x por un punto conocido, por ejemplo el 5, sabremos el valor de la “y” y, por lo tanto, podremos calcular el error.

P (5,330)

De momento podemos observar que 323,392 no es 330, pero se acerca mucho más que la formula anterior.

Por lo tanto, podemos determinar que la ecuación :

es más exacta que:

;

pero no más exacta que:

2.2 Intervalo 2 [105, 163]

El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se

muestra a continuación:

y = -0,0005x3 + 0,3028x2 - 16,554x + 19,765 R² = 0,9992

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

10

5

10

7

10

9

11

1

11

3

11

5

11

7

11

9

12

1

12

3

12

5

12

7

12

9

13

1

13

3

13

5

13

7

13

9

14

1

14

3

14

5

14

7

14

9

15

1

15

3

15

5

15

7

15

9

16

1

16

3

Se

gu

nd

os

Dias




Estos son los procedimientos realizados para obtener el resultado si aplicamos la formula que el Excel nos da:

Cuando nos da el resultado, calculamos el error para poder determinar si el resultado se puede considerar bueno. Para calcular el error usamos la siguiente formula.

Ejemplo:

Aplicando la ecuación que nos da el Excel, el promedio del error es de 6,868914431.

Si intentamos encontrar una ecuación a esta grafica analíticamente, lo podemos hacer con esta ecuación:



Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo lo tiene el 29, por lo tanto, le doy el valor de 29.




Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(10, -114).

Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar -55.

A primera vista se puede observar que -50,5 es bastante parecido a -55.

Una vez sabemos el error de todas las formas de averiguar la ecuación de este segundo intervalo, podemos concluir que:

es más exacta que

pero por poca diferencia.




2.3 Intervalo 3 [164, 243] El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se


Como se puede observar en esta tabla, los resultados han empezado dando bien, pero a medida que el valor de x en el gráfico iba aumentando, el valor de e iba distanciándose del valor real y, por lo tanto, el error era cada vez más grande. Tenemos que tomar los últimos 15 números como erróneos. Excel nos da la siguiente formula:

–

En este caso he tenido que buscar una ecuación de mayor grado para obtener unos resultados más ajustados. El promedio del error, calculado sumando todos los errores y dividiéndolos por el número de errores , es igual a 21,125 pero si excluimos esos 15 últimos valores, entonces nos dará un valor de 0,887.







Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo esta entre 43 y 44, por lo tanto, le doy el valor de 43,5.

Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(1, 6).

Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=30, la “y” tendría que dar 340.

Desgraciadamente, 383 es distinto a 340.

Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación

–

es más exacta que

aunque el error de esta ultima ecuación tampoco sea exageradamente elevado.




2.4 Intervalo 4 [244, 358]

El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se


y = 0,0013x3 + 0,0877x2 - 26,98x + 73,189 R² = 0,9946

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

24

4

24

8

25

2

25

6

26

0

26

4

26

8

27

2

27

6

28

0

28

4

28

8

29

2

29

6

30

0

30

4

30

8

31

2

31

6

32

0

32

4

32

8

33

2

33

6

34

0

34

4

34

8

35

2

35

6

Se

gu

nd

os

Dias




Como se puede observar en esta tabla, los resultados han empezado a dar un error mayor en los extremos, pero a medida que nos acercábamos a los centros, el valor era más exacto y el valor menor.

Excel nos da la siguiente formula:

En este caso, como más pequeño era el grado, más exacto me daba. Por lo tanto, con una ecuación de grado 3, es la ecuación con la que obtengo unos resultados más exactos. El promedio del error es igual a 28,53 pero si excluimos 5 valores al inicio y 5 valores al final nos da un error de esos 15 últimos valores, entonces nos dará un valor de 1,611.




Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo esta en el punto 64.

Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(10, -184).




Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=20, la “y” tendría que dar -397.

Desgraciadamente, -384,12 es distinto a -397.

Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación

es más exacta que

–

aunque el error de esta ultima ecuación es menos elevada si se quitan los 5 números de cada extremo.




2.5 Intervalo 5 [359, 365] El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se

muestra a continuación

Posición en el gráfico Días Corrección horaria ('')

1 359 10 2 360 39 3 361 69 4 362 98 5 363 127 6 364 156 7 365 185

Como se puede observar en esta tabla, los resultados son muy parecidos, para no decir exactos. Excel nos da la siguiente formula: El promedio del error es igual a 0,09215



y = -0,0595x2 + 29,655x - 19,714 R² = 1

0 20 40 60 80

100 120 140 160 180 200

359 360 361 362 363 364 365

Se

gu

nd

os

Días




Para encontrar la n se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de n.

Para encontrar la m se substituye la x y la y per unos valores conocidos, en este caso p(1,10).

Una vez tenemos la “n” y la “m”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar 127.

Desgraciadamente, 122 es distinto a 127.

Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación es más exacta que “ aunque el error de esta ultima ecuación también es bajo.




3. Conclusiones

Existen varias formas de encontrar una ecuación para este gráfico, pero de las que

he hecho yo, obtenemos las siguientes

1er tramo:

.

2º tramo:

3er tramo: –

4º tramo:

5º tramo: y = -0,0595x2 + 29,655x - 19,714

El problema existente es que ninguna ecuación es al 100 por 100 exacta ya que para

determinar la corrección horaria solar hay un factor que interviene que es la

posición solar. Pero dentro de lo ocurrido los resultados son muy parecidos y se

pueden dar por buenos.

Tengo un conflicto ya que mi objetivo principal era permitir a cualquier persona

poder calcular los segundos que le tenia que añadir o restar a la hora que le daba el

reloj solar para saber la hora real. Para ello, tendría que existir una ecuación para

todo el grafico y no 5 ecuaciones, una para cada tramo. Porque como es lógico, no

podemos pretender que una persona se aprenda 5 ecuaciones, y encima ecuaciones

complicadas de recordar. Desafortunadamente, no tengo conocimientos suficientes

para poder hallar una sola ecuación para todo el gráfico. Sin embargo, teniendo en

cuenta mis conocimientos, considero que mi trabajo ha sido todo un éxito.

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