Suma y resta algebraica

Expresiones algebraicas

En una panadería se tienen varias charolas, en ellas se encuentran 35 bolillos, 15 donas, 18 conchas y 12 cuernitos entre otra variedad de panes. En un momento determinado llega Juan y se lleva 5 bolillos, 3 donas y 1 cuernito, María se lleva 8 bolillos y 4 donas y Lupe toma 5 conchas y dos cuernitos, después de la compra de estos tres clientes. ¿Cuántos panes quedan en cada charola?

Para comenzar a resolver nuestro problema, es conveniente representar cada uno de nuestras variables (tipos de pan) con una letra, de esta forma, no tendrás que escribir la palabra cada vez que necesites nombrarla.

Así, se dice que representa el bolillo, las donas, las conchas y los cuernitos.

b d c

f

Puedes ordenar la información como se muestra en la siguiente tabla:

Si sumas el pan que se llevó Juan, María y Lupe podrás saber qué cantidad de cada pan se llevaron en total, así que, se suman bolillos con bolillos, conchas con conchas y así sucesivamente cada tipo de pan con el que le corresponde:

El resultado anterior indica que se vendieron 13 bolillos, 7 donas, 5 conchas y 3 cuernitos. Si se resta esta expresión a la expresión que representa el pan que tenía en un inicio la panadería se obtendrá el pan que sobró.

Pan de Juan+ pan de María + Pan de Lupe= pan vendido

Pan de la panadería – pan vendido= pan sobrante

El resultado anterior indica que sobraron 22 bolillos, 8 donas, 13 conchas y 9 cuernitos.

Como pudiste darte cuenta en el problema anterior, cuando se realiza una suma o resta de expresiones algebraicas, solamente se suman los términos que identifican una misma variable, es decir, bolillos con bolillos, donas con donas, y así sucesivamente, ya que no se pueden sumar todos a la vez, porque tienen características distintas, en este caso podría ser el precio.

A los términos que identifican una misma variable se les denomina términos semejantes.

Recuerda queLos términos semejantes son aquellos que poseen la misma parte literal y

el exponente, sin importar el coeficiente y el signo.

La suma o resta de expresiones algebraicas puede realizarse sumando o restando cada uno de sus términos semejantes. Debe considerarse:

Reglas de los signos para la SUMA

a) Signos iguales se suman y se escribe el resultado con el mismo signo

b) Signos diferentes se restan y se escribe el resultado con el signo del mayor

xxx

xxx

532

532

−=−−

=+

xxxxxx−=−

=+−3232

Ejemplos de sumas algebraicas

1)

2)

3)

• Se quitan los paréntesis

• Se quitan los paréntesis

• Se identifican términos semejantes

• Se identifican términos semejantes

• Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante.

• Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante.

En algunas ocasiones, para facilitar la suma de expresiones algebraicas, se acostumbra ordenarlos de tal manera que formen columnas de términos semejantes.

Observa cómo quedaría el ejemplo anterior: zyx

zyx

zyx

zyx

685

46

658

423

−+

++−

−+

−+

1)

• Se quitan los paréntesis y se cambian los signos del sustraendo

• Se identifican términos semejantes

Cuando resuelvas una suma algebraica tú puedes escoger el método que más se te facilite.

Para efectuar la resta de dos expresiones algebraicas, se cambia el signo a todos los términos del polinomio que será el sustraendo, debido a que se realiza una multiplicación del signo menos por los signos del polinomio del sustraendo, y se suma la expresión resultante al polinomio que es el minuendo

DiferenciaSustraendoMinuendo =−

Reglas de los signos para la MULTIPLICACIÓN

a) Signos iguales el resultado es positivo

b) Signos diferentes el resultado es negativo

Ejemplos de restas algebraicas

• Se suman algebraicamente, sólo los coeficientes de cada término semejante

2)

• Se quitan los paréntesis y se cambian los signos del sustraendo

• Se identifican términos semejantes

• Se suman sólo los coeficientes de cada término semejante

Al igual que en la suma se puede efectuar la resta algebraica acomodando los términos semejantes, sin olvidar los cambiar los signos del sustraendo.

Observa el ejemplo anterior:

Las sumas o restas algebraicas las puedes aplicar en diferentes situaciones, algunas tan simples como en la panadería que viste al inicio.

Puedes observar que es el mismo resultado, así que el método que prefieras será correcto, siempre y cuando no olvides que al restar un polinomio, el sustraendo siempre se le modifica los signos y que sólo se pueden sumar o restar términos semejantes.

(3x2y !8xy

2+ 5xy)! 4x

2y ! 7xy + 9xy

2( ) = !x2y !17xy

2+12xy

La expresión , es la expresión algebraica que representa el perímetro del triángulo

1)

2)

A continuación verás algunos ejemplos en donde se pueden aplicar.

Ejemplos

Encuentra una expresión algebraica que represente el perímetro de un triángulo cuya base es el doble de sus lados menos 3.

Encuentre una expresión para encontrar el perímetro de la siguiente figura

SoluciónDe acuerdo al los datos que se tienen, se establecen los lados del triángulo.

Solución: El perímetro de cualquier cuadrilátero

es la suma de sus lados.

En este caso los lados no son conocidos, por eso se les asigna una variable y la base depende de los lados

Como el perímetro de un triángulo es la suma de sus lados se tiene:

3432

−=−++=

++=

xperímetroxxxperímetro

baseladoladoperímetro

La expresión que representa el perímetro del cuadrilátero es

34 −x

1092 2 ++ xx

Perímetro = (5x ! 2)+ (2x + 3)+ (x2+ 4)+ (x

2+ 2x + 5)

Perímetro = 5x ! 2 + 2x + 3+ x2+ 4 + x

2+ 2x + 5

Perímetro = 2x2+ 9x +10

3)

4)

La Utilidad de una empresa se determina restando sus costos de sus ingresos. Determine una expresión algebraica que represente la utilidad de una empresa si se

sabe que el ingreso de la empresa, cuando se venden artículos. Está representada por y el costo es

Una compañía que vende tractores después de un análisis matemático realizado en el periodo Enero-Diciembre del 2008 ha determinado que sus ingresos se encuentran representados por la siguiente expresión .

De la misma forma determinó que la expresión de costos es , donde representa el número de tractores vendidos y las expresiones se encuentran en dólares. El gerente llama a su administrador y le comenta que no esperaba los resul-tados de las utilidades del último trimestre y el administrador no sabe por qué le está diciendo esto.

¿Le puedes ayudar al administrador a determinar porqué el gerente le hizo el comen-tario de que él no esperaba estos resultados con base en la tabla de tractores vendidos en el último trimestre?

x

xxxI 502)( 2 −=

xxC 3209500)( −=

Solución:Como en el problema lo indica,

la utilidad es igual a los ingresos menos el costo.

Solución:El problema indica que se debe analizar la utilidad de la empresa, así que lo primero

que se debe encontrar es una expresión algebraica que represente la utilidad.

por lo tanto se establece que la expresión algebraica que representa la utilidad de la empresa es

95002702 2 −+ xx

xxC 238275)( −=

x

xxxI 468)( 2 +−=

Periodo de venta Numero de tractores

vendidos

Octubre 2008 12

Noviembre 2008 16

Diciembre 2008 25

Solución: El perímetro de cualquier cuadrilátero es

la suma de sus lados.

De la misma forma se sabe que las utilidades de la venta de 16 y 25 tractores y los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Como viste en el ejemplo anterior, la utilidad es igual a los ingresos menos el costo por lo tanto se establece que

La expresión algebraica que representa la utilidad de la empresa con base en el número de tractores vendidos es la siguiente

2752848)( 2 −+−= xxxU

Sin embargo, la expresión por si misma no dice nada y en el problema indican que los resultados no fueron los esperados, por lo que se tiene que calcular que utilidad hubo en cada mes.

Comienza con el mes de octubre: el número de tractores vendidos fue 12, por lo que debes sustituir la (que representa el número de tractores) en la expresión de la utilidad. x

Sustituir significa que en el lugar de la se tiene que colocar el número de tractores vendidos y realizar las operaciones que indica la expresión algebraica.

Observa cómo se resuelve:

198127534081152

275)12(284)144(8275)12(284)12(8 2

=−+−==−+−==−+−=

UUU

x

¿Ahora te das cuenta porqué los resultados no eran los que se esperaban?

En octubre se tiene una ganancia de dólares, luego en noviembre se venden 16 tractores y la ganancia aumenta a como es de esperarse, ya que al aumentar las ventas aumentan las ganancias. Esto implicaría que en diciembre, que aumentaron las ventas a 25 tractores, se esperaría un aumento en las ganancias, sin embargo, las ganancias disminuy-eron a $1825.

¿Que te parecen los resultados? son interesantes ¿verdad?

Ahora, el administrador tendrá que analizar qué factores fueron los que en diciembre no permitieron ganancias superiores; puede ser que se gastara más en publicidad, o en mano de obra, materiales o cualquier otro factor que aumentara los costos y redujera las ganancias, pero ese tipo análisis lo realizarás en otros cursos.

00.1981$00.2221$