Sumar y restar polinomios

Un polinomio es algo así como esto:

ejemplo de polinomio

este tiene 3 términos

Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son

términos similares?

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2)

son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen".

Ejemplos:

Términos Por qué son "similares"

7x x -2x porque las variables son todas x

(1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2

Sumar polinomios

Dos pasos:

Pon juntos los términos similares

Suma los términos similares

Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)

= 5x2 + 4x + 4

Aquí tienes una animación que te lo enseña:

(Nota: el -7 del otro polinomio no tiene ningún "término similar", así que no tuvimos

que sumarlo.)

Sumar en columnas

También puedes sumarlos en columnas así:

Sumar varios polinomios

Puedes sumar varios polinomios juntos así.

Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy) , (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)

Ponlos alineados en columnas y suma:

2x2 + 6y + 3xy

3x2 - 5xy - x

6xy + 5

5x2 + 6y + 4xy - x + 5

Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.

Restar polinomios

Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en

otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.

Así:

Nota: después de restar 2xy menos 2xy sale 0, así que ya no hace falta escribir el

término en "xy".

Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio

este tiene 3 términos

Están hechos de:

constantes (como 3, -20, o ½)

variables (como x e y)

exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - × sumas, restas y multiplicaciones...

... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

3x

x - 2

3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido

3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser

0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)

también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres?

¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan

poco)

Muchos términos

Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?

Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.

Por ejemplo sabemos que:

Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio

Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un

polinomio al final.

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo

grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los

monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Sumando y Restando Polinomios

Objetivo de Aprendizaje

Sumar y restar polinomios

Introducción

Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes pueden ser combinados.

Sumando Polinomios

Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios Términos Explicación

3x

14x

semejante las mismas variables con los mismos exponentes

16xyz2

-5xyz2

semejante las mismas variables con los mismos exponentes

3x

5y

no semejante

diferentes variables con los mismos exponentes

-3z

-3z2

no semejante las mismas variables con

diferentes exponentes

Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:

Ejemplo

Problema

Simplificar

Reescribir la expresión usando la Propiedad Distributiva

Sumar los términos en los paréntesis

Reescribir usando la Propiedad Distributiva

Solución

Acabamos de ver cómo sumar dos monomios que tienen términos comunes. También podemos aplicar las propiedades de los números cuando sumamos polinomios. Para sumar polinomios, reorganiza la expresión juntando los términos comunes para combinarlos más fácilmente:

Ejemplo

Problema

(8x2 + 4x + 12) + (2x2 + 7x + 10)

(8x2 + 2x2) + (4x + 7x) + (12 + 10) Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa

10x2 + 11x + 22

Sumar términos comunes

Solución

10x2 + 11x + 22

El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:

Ejemplo

Problema

(-5x2 – 10x – 7y + 2) + (3x2 – 4 + 7x)

(-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) – 7y + (2 – 4)

Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa

-2x2 + (-3x) – 7y – 2

Combinar términos comunes

Solución

-2x2 – 3 x – 7y – 2

Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la misma línea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque les es más fácil asegurarse que están combinando términos semejantes. El proceso de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El ejemplo de abajo muestra este método "vertical" de sumar polinomios:

Ejemplo

Problema

(3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8)

3x2 + 2xy – 7

+ 7x2 – 4xy + 8

Escribir un polinomio debajo del otro

3x2 + 2xy – 7

+ 7x2 – 4xy + 8

10x2 – 2xy + 1

Combinar términos comunes poniendo atención en los signos

Solución

10x2 – 2xy + 1

Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada término debajo de su semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan ordenado. Cuando no existe un término semejante para cada término, quedará un lugar vacío en el arreglo vertical.

Ejemplo

Problema (4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2) + (–4x2 – 8xy + 10)

4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2

+ – 4x2 – 8xy + 10

4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Escribir un polinomio bajo el otro, alineando verticalmente los términos comunes

Dejar un espacio en blanco arriba o abajo de cada término que no tenga término semejante

Combinar términos semejantes, poniendo atención en los signos

Solución

4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Restando Polinomios

Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Problema (15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5)

(15x2 – 9x2) + (12xy – 10xy) + (20 – 5)

Distribuir -1 a los términos en el segundo polinomio, luego reagrupar para que coincidan los términos semejantes

6x2 + 2xy + 15

Combinar términos semejantes

Solución 6x2 + 2xy + 15

Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un término negativo.

Ejemplo

Problema (14x2y + 3x2 – 5y + 14) – (7x2y + 5x2 – 8y + 10)

(14x2y + 3x2 – 5y + 14) + (-7x2y – 5x2 + 8y – 10) Distribuir (-1)

(14x2y – 7x2y) + (3x2 – 5x2) + (-5y + 8y) + (14 – 10)

Reagrupar términos comunes usando la Propiedad Asociativa

7x2y – 2x2 + 3y + 4 Combinar términos comunes

Solución 7x2y – 2x2 + 3y + 4

Al igual que con las operaciones enteras, la experiencia y la práctica hacen cada vez más fácil sumar y restar polinomios.

Resuelve.

(4a + 5by + 7b) – (8a + 3b + 2b2y)

A) -4a + 3b2y + 4b

B) -4a + 10b + 5by + 2b2y

C) -4a + 4b + 5by – 2b2y

D) 12a + 5by – 2b2y + 10b

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Sumario

Cuando sumes o restes polinomios, busca términos semejantes, que son los términos que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Usa la Propiedad Conmutativa de la Suma para reagrupar los términos en una expresión y formar conjuntos de términos semejantes. Los términos semejantes se combinan sumando o restando los coeficientes mientras que las variables y los exponentes se mantienen.

Los polinomios no son considerados simplificados hasta que todos los términos comunes han sido combinados.