SUMATORIAS

CONTENIDO

Introducción

Definición

Propiedades

Sumatorias Notables

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Conclusiones

Bibliografía

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.

Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la

escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban

mal, le puso un problema matemático al pequeño

Carl y a sus compañeros.

Los niños debían sumar todos los números del

1 al 100, es decir: 1+2+3+4+5+…+98+99+100

El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,

confiaba en que tendría horas hasta que los niños

sumaran todos los números. Sin embargo, el

pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir

hacia el profesor y darle el resultado: 5050.

¿Cómo lo había hecho?

Gauss tenía que sumar lo siguiente:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Se dio cuenta de que reordenar los elementos de esta suma, sumando

siempre los simétricos, facilitaba enormemente las cosas, es decir:

1 +100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

4 + 97 = 101

5 + 96 = 101

...

46 + 55 = 101

47 + 54 = 101

48 + 53 = 101

49 + 52 = 101

50 + 51 = 101

50 veces 101, es decir 50x101= 5050

De donde se deduce la fórmula de la sumatoria de los n primeros

números.

Conociendo esta fórmula podremos resolver el problema planteado a

Gauss, que fue de sumar los 100 primero números.

DEFINICIÓN

DEFINICIÓN

La sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de

números, el resultado es la suma total.

NOTACIÓN

Índice superior

Término general

Índice inferiorsigma

PROPIEDADES

P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria

es igual al índice superior menos el índice inferior mas la

unidad.

Ejemplo:

Hallar el número de términos de la siguiente expresión:

P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del

número de sumandos por la constante.

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

P3. La sumatoria en el que el término general es una suma

algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias

independientes.

Ejemplo:

Donde: k y k son constantes.

P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede

descomponerse de ésta manera:

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

SUMATORIAS

NOTABLES

Los n primeros números naturales

Los n primeros números pares naturales

Demostración:

lqqd

SN primeros N

Factorización

Los n primeros números impares naturales.

Demostración:

P3:

SN #pares y P2:

simplificación

lqqd

Los n primeros números cuadrados perfectos

Los n primeros números cubos perfectos.

Los n primeros números cuartos perfectos.

Los n primeras potencias.

EJERCICIOS

RESUELTOS

1. Escriba con notación ∑

a) 3+9+27+81+…(10 términos)

Resolución:

3+9+27+81+…(10 términos)

3+9+27+81+…(10 términos) =

b) 2+6+10+14+18…(10 términos)

Resolución:

2+6+10+14+18…(10 términos)

2+6+10+14+18…(10 términos) =

2. Hallar

Resolución:

:propiedad 3

:S.N y :propiedad 2

:propiedad 2

3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232

Resolución:

:factorizando

:S.N. cubos

4. Hallar n:

Resolución:

:S.N. números pares

:Ec. De 2 grado

5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

Resolución:

:Propiedad 3

15 términos

S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

15 términos

:S.N. y Propiedad 2

6. Calcular E:

Resolución:

:Decimal a fracción

:Factorizando

7. Se tiene:

Resolución:

Encontrar el valor de:

Por Tanto:

M =9

A=4

R=6

B: Hallando

2n-1=69

n=35

Aplicando S.N Números impares

8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7

pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros

más de lo que subieron en la estación anterior.

Si al llegar a su paradero final se contaron con 520

pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el

ómnibus a recoger pasajeros?

Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n° Final

7 9 11 13 __ 520

Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520

9. Un obrero ha ahorrado este mes S/. 178 soles y tiene con esto S/. 1410

en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12

más que el mes anterior.¿ Cuánto ahorro el primer mes?

Resolución:

1° 2° 3° … n°

Mes Mes Mes 1° Mes

actual pasado antepasado de ahorro

178 + 166 + 154 + … +(190-12n) =

1410

10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles

prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que

encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para

Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe

S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado?

Resolución:

EJERCICIOS

PROPUESTOS

1. Escriba con notación ∑

a) 11+13+15+17+…(7 términos)

b) 4+9+16+25+36…(10 términos)

2. Hallar

Resolución:

3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78

Resolución:

4. Hallar n:

Resolución:

5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

Resolución:

30 términos

6. Calcular G:

Resolución:

7. Se tiene:

Resolución:

Encontrar el valor de:

CONCLUSIONES

Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas

que nos permiten resolver problemas.

La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento

base en problemas de sumatorias.

Las propiedades de las sumatorias

facilitan en la resolución de problemas.

BIBLIOGRAFÍA

Ministerio de educación.(2007).Matemática primer grado de

educación secundaria. Editorial Bruño. Lima-Perú.

Razonamiento Matemático.(2009). Razonamiento Matemático.

Editorial Lumbrras. Lima – Perú

Recursos tic para la educación. (2010). Recursos. Recuperado 1

de Setiembre, 2011. de http://recursostic.educacion.es/

GRACIAS

“Ir más allá de uno mismoy dominar el mundo”