TABLAS Y GRÁFICOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS Y COLUMNAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA Y OBLICUA, DE ACUERDO AL PROYECTO CIRSOC 201-2002 Ing. Susana B. Gea, Dra. Ing. Liz G. Nallim Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta. Salta, Argentina

RESUMEN

La próxima puesta en vigencia de la actualización del Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, afín con la línea americana de diseño por resistencia con factores de reducción de resistencia variables y de incremento de cargas, requiere de ayudas de cálculo adecuadas. En el presente trabajo se muestra cómo, a través de los posibles diagramas de deformación en rotura y las ecuaciones de equivalencia y empleando la hipótesis de diagrama uniforme de tensiones en el hormigón, se obtuvo en forma exacta los siguientes elementos para el diseño y verificación de secciones de hormigón armado: tablas adimensionales para vigas sometidas a flexión compuesta recta, con armadura simple y doble asimétrica; diagramas de interacción para elementos con armadura doble simétrica sometidos a flexión compuesta recta y elementos comprimidos solicitados por flexión compuesta oblicua. Se incluye dichas tablas y diagramas, para diferentes calidades de hormigón y acero y variadas configuraciones de sección transversal y de armado.

ABSTRACT

Since the Argentine code for reinforced concrete structures, CIRSOC 201, is soon going to be updated according to the American Strength Design Method, new adequate design aids are to be needed. In this paper design aid tables and diagrams are developed in an exact way by means of the possible strain diagrams in failure, the equivalence equations and the rectangular compression diagram for concrete. Adimensional tables for axial load and bending in beams with both simple and non symmetric double reinforcing, interaction diagrams for uniaxial bending loaded members symmetrically reinforced and for biaxial bended, axially loaded columns are presented, each one for different concrete and steel strengths and different rectangular sections and reinforcing distribution.

1. INTRODUCCIÓN Se encuentra próximo a entrar en vigencia en Argentina el Reglamento de Estructuras de Hormigón, CIRSOC 201, el cual adopta como base la escuela americana, el ACI 318-2002. Este, a su vez, tiene entre sus características más innovadoras, respecto de la versión 1999, la incorporación de un coeficiente de seguridad variable en el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta, según se detalla en el Capítulo 2. A partir de este cambio, las ayudas de cálculo existentes, como por ejemplo las desarrolladas en ACI, 19971, pierden utilidad, siendo necesario el desarrollo de nuevas tablas y gráficos que contemplen la variabilidad de dicho coeficiente de seguridad. 2. SEGURIDAD ESTRUCTURAL Llamaremos Qd a las cargas de servicio especificadas, U a la resistencia requerida y Sn a la resistencia nominal del elemento estructural. Los coeficientes de seguridad parciales son denominados factores de reducción de resistencia, φ, y factores de mayoración de cargas, γi, conformando el método de diseño con factores de carga y resistencia.

La seguridad estructural está garantizada si se cumple: Sd ≥ U, (1) con: Sd = resistencia de diseño Sd = φ . Sn (2)

U = Σ γi . Qdi (3)

La resistencia requerida U se expresa en términos de cargas mayoradas, o

de los momentos y fuerzas internas correspondientes. Factores de Carga, γi.

Los factores de carga γi corresponden a carga permanente (γD), sobrecarga accidental (γL), presión lateral de tierra (γH), peso y presión de fluido (γF), viento (γw) y sismos (γE) y difieren en magnitud.

Además, estos factores toman diferentes valores según la combinación de cargas que se adopte y la probabilidad de que estas actúen simultáneamente, de acuerdo al capítulo 9.2 de CIRSOC 201.

Factores de Reducción de Resistencia, φ

Los factores de reducción tienen en cuenta las inexactitudes en el cálculo y fluctuaciones en resistencias, mano de obra y dimensiones.

Los factores de reducción de resistencia incluyen la importancia de las consecuencias de la falla de los elementos respecto a toda la estructura y el tipo de falla. Esto último se refiere al grado de advertencia que presenta la misma, lo cual a su vez, está relacionado con la ductilidad y esta a su vez depende de la deformación a la que esté sometido el acero en la fibra más alejada del eje neutro, εt.

Solicitación φ Secciones controladas por tracción 0,90 Secciones controladas por compresión: Elementos con armadura en espiral que satisface lo especificado en 10.9.3 Otros elementos armados

0,70 0,65

Corte y torsión 0,75 Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje de postesado) 0,65

Zonas de anclaje de postesado 0,85 Modelos de bielas (Apéndice A) 0,75

Tabla 1 – Factores de reducción de resistencia φ2

Se dice que una sección está controlada por tracción cuando εt ≥ 0.005

(considerando siempre la deformación del hormigón εcu = 0.003). Las secciones controladas por compresión son aquellas para las cuales

εt < εy. Para los aceros con tensión especificada de fluencia fy = 420 MPa, el límite es εy = 0.002. Para valores intermedios de εt se considera que la sección se encuentra en zona de transición.

Figura 1 – Variación de φ con la tensión de tracción de la armadura más alejada del eje neutro, εt

2

0.65

0.70

0.90

Espiral

Otra

Controlada por Compresión

Transición Controlada por Tracción

φ = 0,57 + 67 ε t

t ε = 0,48 + 83 φ

φ

ε t = 0,002 = 0,005 ε t

El reglamento permite que el valor de φ se incremente linealmente desde el valor dado para las secciones controladas por compresión hasta el valor dado para las secciones controladas por tracción (Tabla 1 y Figura 1).

3. HIPÓTESIS PARA EL CÁLCULO EN FLEXIÓN COMPUESTA Para el cálculo de secciones sometidas a flexión compuesta se considera las siguientes hipótesis:

1. Se cumple la hipótesis de Bernoulli; es decir, las secciones se mantienen planas hasta la rotura. Así, las deformaciones en acero y hormigón son proporcionales a la distancia al eje neutro. (Figura 2)

2.

3. La máxima deformación utilizable en la fibra comprimida extrema del hormigón en flexión compuesta se asume igual a εc = 0,003.

4. La tensión en la armadura fs por debajo de la tensión de fluencia fy se toma como el producto del módulo elástico del acero Es por la deformación específica del acero εt. Para deformaciones específicas mayores que fy/Es, la tensión en la armadura se considera independiente de la deformación e igual a fy.

5. En el diseño de los elementos de hormigón armado solicitados a flexión se desprecia la resistencia a la tracción del hormigón.

6. Se puede suponer un bloque rectangular de tensiones equivalente en el hormigón, como se muestra esquemáticamente en la Figura 3 (Ver también Tabla 2)

Figura 2 – Nomenclatura y deformaciones en una sección sometida a flexión compuesta

Nu

cu ε

ε t

b

d'

d h

d' c - d'

ε s ' c

d - c x

Mu ×

d'

d

εcu

a C = f' ba0.85 c

=0.003

t

εs

c

z

T

sy

uN

uM

0.85 f'c

Mn

Nn

Figura 3 – Distribución rectangular equivalente de tensiones en el hormigón

Tabla 2 – Valores de β1 en función de la resistencia especificada del hormigón2

4. TABLAS PARA EL DISEÑO DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN

COMPUESTA RECTA, CON ARMADURA ASIMÉTRICA

Sea una sección como la que se indica en la Figura 4, sometida a flexión compuesta, donde Mn y Nn son los esfuerzos nominales.

Figura 4 – Esquema de resistencia nominal de secciones sometidas a flexión

compuesta Las resultantes de las fuerzas internas desarrolladas en el hormigón y el acero están dadas por:

T = As fy (4) C = 0.85 f’c a b (5)

Valores de β1 f’c ≤ 30 Mpa > 30 MPa

β1

0.85

( )7

30f05.085.0`c −

−= ≥ 0.65

c β

C = f' bc

T = A f

c

α c

s s

c

a/2

T = A f

C = 0.85 f' ba a = c β

1

0.85f' c

Con a = β1c (6) La posición del eje neutro queda determinada por el diagrama de deformaciones a través de la siguiente expresión:

= =+ ε c

t

0.003c d k d0.003

(7)

La resistencia nominal a flexión compuesta está dada por: Msn = Mn - Nn . ys = C.z = T.z (8)

Nn = T – C (9) De las condiciones de seguridad U ≤ φ Sn se derivan las expresiones siguientes: - Equivalencia estática de fuerzas

Nu = φ (As fy – 0.85 f’c β1 kc d b) (10) - Equivalencia estática de momentos

Msu = φ ββ

c' 2 1c 1 c

k0.85 f k b d (1- )2

(11)

A fin de dar una solución universal, independiente de los valores

particulares de b y d, se adimensionaliza la ecuación (11)

c2su

su ´fdbMm

⋅⋅= (12)

Reemplazando la ec. (11) en (12) se obtiene:

⋅β

−⋅β⋅φ⋅=2k1k85.0m c1

c1su (13)

Es importante notar que, a pesar de que msu no depende directamente de

f´c, sí lo hace a través de β1. Debido a que kc depende de εt, al igual que φ, si se fija un tipo de hormigón

queda determinado β1 y se tiene para cada εt un valor de kc y su correspondiente msu.

El valor de la armadura se obtiene despejando As de la ec. (10):

β= ⋅ ⋅ +

φ ⋅

'c 1 c

sy y

0.85f k NuA d bf f

(14)

b=30cm

d´=5cm

Mu Nuys

d=55cm

h=60cm

Para una sección y una resistencia f´c dadas resulta:

= ⋅ ⋅ +φ ⋅s s

y

NuA k d bf

(15)

siendo:

y

c1'c

s fkf85.0k β

= (16)

A cada valor de εt le corresponde un valor de φ, uno de msu y uno de ks Con esto se construye una tabla (Tabla 3) que tiene validez para acero

ADN-420 (lo mismo se efectuó para AM-500). CIRSOC 201, en el cap. 10.3.5, especifica que la deformación neta de

tracción, εt, para la resistencia nominal en flexión debe ser mayor o igual que 0.004 para los elementos no pretensados con Nd < 0.1 f’c Ag (Ag = área transversal bruta). Por ello, en los casos en que msu resulta en una deformación del acero menor que 0.004 se prefiere colocar doble armadura asimétrica. La resolución de estas situaciones se puede realizar con las expresiones presentadas al pie de la Tabla 3. EJEMPLO Determinar la armadura necesaria para resistir las solicitaciones que se indican:

f’c = 25 MPa Mu = 200KNm Nu = 0.1 KN

Resolución: ys= 60/2 – 5 = 25 cm Msu = 200 KNm – 100 KN x 0.25 m = 175 KNm = 0.175 MNm

077.02555.03.0

175.0m 2su =⋅⋅

=

Para un hormigón H-25 y msu = 0.077 (sin interpolar se toma msu = 0.08) se obtiene de Tabla 3: ks=56 y φ= 0.9, correspondiendo a εt = 0.02, con lo que resulta:

= ⋅ ⋅ + =⋅

2s

0.1A 56 0.3 0.55 11.9cm0.9 0.042

ACERO fy = 420 MPa

ARMADURA SIMPLEMsu = Mu - Nu ys

f'c [Mpa]β1 εt [%o] φ kc

ρmín [%]msu ks msu ks msu ks msu ks msu ks

0,040 22 0,040 27 0,040 32 0,038 36 0,036 39 45,00 0,90 0,060,044 24 0,044 30 0,044 36 0,042 40 0,040 43 40,00 0,90 0,070,050 27 0,050 34 0,050 41 0,047 45 0,045 49 35,00 0,90 0,080,057 31 0,057 39 0,057 47 0,054 52 0,052 57 30,00 0,90 0,090,066 37 0,066 46 0,066 55 0,064 61 0,061 67 25,00 0,90 0,110,080 45 0,080 56 0,080 67 0,077 75 0,073 81 20,00 0,90 0,130,101 57 0,101 72 0,101 86 0,096 96 0,092 104 15,00 0,90 0,170,135 79 0,135 99 0,135 119 0,130 132 0,124 144 10,00 0,90 0,230,138 81 0,138 101 0,138 121 0,132 135 0,126 147 9,75 0,90 0,240,140 83 0,140 103 0,140 124 0,134 138 0,128 150 9,50 0,90 0,240,143 84 0,143 105 0,143 126 0,137 141 0,131 153 9,25 0,90 0,240,145 86 0,145 108 0,145 129 0,139 143 0,133 156 9,00 0,90 0,250,148 88 0,148 110 0,148 132 0,142 146 0,136 159 8,75 0,90 0,260,151 90 0,151 112 0,151 135 0,145 150 0,138 163 8,50 0,90 0,260,154 92 0,154 115 0,154 138 0,147 153 0,141 166 8,25 0,90 0,270,157 94 0,157 117 0,157 141 0,150 156 0,144 170 8,00 0,90 0,270,160 96 0,160 120 0,160 144 0,153 160 0,147 174 7,75 0,90 0,280,163 98 0,163 123 0,163 147 0,157 164 0,150 178 7,50 0,90 0,290,167 101 0,167 126 0,167 151 0,160 168 0,153 182 7,25 0,90 0,290,170 103 0,170 129 0,170 155 0,163 172 0,156 187 7,00 0,90 0,300,174 106 0,174 132 0,174 159 0,167 177 0,160 192 6,75 0,90 0,310,178 109 0,178 136 0,178 163 0,171 181 0,163 197 6,50 0,90 0,320,182 112 0,182 139 0,182 167 0,175 186 0,167 202 6,25 0,90 0,320,186 115 0,186 143 0,186 172 0,179 191 0,171 208 6,00 0,90 0,330,190 118 0,190 147 0,190 177 0,183 197 0,175 214 5,75 0,90 0,340,195 121 0,195 152 0,195 182 0,187 203 0,180 220 5,50 0,90 0,350,200 125 0,200 156 0,200 188 0,192 209 0,184 227 5,25 0,90 0,36

msuc 0,205 129 0,205 161 0,205 194 0,197 215 0,189 234 5,00 0,90 0,380,204 133 0,204 166 0,204 200 0,196 222 0,188 241 4,75 0,87 0,390,205 138 0,205 172 0,205 206 0,197 230 0,189 249 4,50 0,85 0,400,205 142 0,205 178 0,205 214 0,197 237 0,190 258 4,25 0,83 0,41

msu* 0,206 147 0,206 184 0,206 221 0,198 246 0,190 267 4,00 0,81 0,430,207 159 0,207 198 0,207 238 0,199 265 0,191 288 3,50 0,77 0,460,207 172 0,207 215 0,207 258 0,200 287 0,193 312 3,00 0,73 0,500,208 188 0,208 235 0,208 281 0,201 313 0,194 340 2,50 0,69 0,550,209 206 0,209 258 0,209 310 0,202 344 0,195 374 2,00 0,65 0,600,223 306 0,223 382 0,223 459 0,216 510 0,210 554 1,50 0,65 0,670,238 516 0,238 645 0,238 774 0,232 861 0,226 935 1,00 0,65 0,750,254 1180 0,254 1474 0,254 1769 0,249 1967 0,243 2137 0,50 0,65 0,86

ARMADURA DOBLE

0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26ε's [%o] 2,2 2,04 1,88 1,72 1,56 1,4 1,24 1,08 0,92

f's 420 420 395 361 328 294 260 227 193k's 26,46 26,46 28,14 30,76 33,92 37,79 42,67 48,99 57,51

35

0,3760,266 0,298 0,326 0,352

d'/d

400,85 0,85 0,85 0,81 0,7720 25 30

c2su

su 'fdbM

m⋅⋅

= [ ] [ ] [ ] [ ]2uss cm

042.0MNN

mdmbkA =⋅φ

+⋅⋅=

[ ][ ] [ ]2su

ss cmm'dd

MNmM'k'A =−

∆⋅=[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]2suus cs cm

0378.01

m'ddMNmM

MNNmdmbkA =⋅

−

∆++⋅⋅=

Tabla 3 - Tabla de coeficientes adimensionales para el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta con armadura asimétrica

u

y

x d α

d‘

v

εc=0.003

εt

εsi

c

5. DISEÑO DE COLUMNAS A FLEXIÓN COMPUESTA OBLICUA En esta sección se describe el procedimiento general desarrollado para el diseño de secciones sometidas a flexión compuesta oblicua.

Con frecuencia el proyectista conoce el esfuerzo normal de compresión y los momentos requeridos que solicitan a una sección de columna, como por ejemplo la de la Figura 5. Figura 5 – Ejemplo de sección rectangular sometida a flexión compuesta oblicua

A fin de generar diagramas de interacción para flexión compuesta oblicua que permitan, con las solicitaciones Mxu, Myu y Nu, determinar las correspondientes armaduras, se plantea el esquema de la Figura 6. Figura 6 – Planteo esquemático de sección sometida a flexión compuesta oblicua Entre los sistemas coordenados de referencia (x,y) y (u,v) existe la siguiente relación : u = x sen α - y cos α (17) v = x cos α + y sen α (18)

x

y

Mxu

Myu

Nu

b

h ×

Para cada valor de α son barridos todos los posibles valores de c (Figura 6) y en cada caso se determina:

a. La resultante de compresiones en el hormigón, de acuerdo a la hipótesis de bloque rectangular de tensiones (Fig. 3):

∫ ×β××φ=*A

1'ccd dAf85.0N (19)

donde la integral se efectúa usando el sistema de coordenadas (u,v) y sobre el área activa de la sección y φ el valor que corresponde de acuerdo a εt (Figuras 1 y 6).

b. La resultante de fuerzas en el acero:

∑ σ×φ=i

sisisd AN (20)

donde Asi es la sección transversal de la i-ésima barra de acero que está sometida a la tensión σsi, de acuerdo a su deformación εsi.

c. El valor del esfuerzo normal Nd: Nd = Ncd + Nsd (21)

d. El momento resultante de las tensiones de compresión en el hormigón:

gcdcd vNM ×= (22) donde vg es la distancia desde el centro de gravedad de la sección activa de hormigón al eje v.

e. El momento de diseño resultante de las fuerzas de compresión y tracción de las barras de acero.

∑ ×=i

isisd vNM

donde vi es la ordenada de la barra i-ésima en en el sistema (u,v)

f. El valor del momento de diseño resultante en el sistema (u,v): Md = Mcd + Msd (23)

g. De (1) se puede igualar: Nu = Nd (24)

Mu = Md (25)

A través de la transformación inversa de (17) y (18) y de las coordenadas del centro de gravedad del área activa de hormigón (xg,yg) se obtiene los momentos Mux y Muy en el sistema de coordenadas (x,y). h. A continuación se fija una configuración de armaduras; por ejemplo, barras

concentradas en las esquinas o distribuidas en el perímetro (Figura 7)

Figura 7

También se fija valores determinados para As, hb ,

hd

=γ , f’c y fy = 420 MPa

(que es la resistencia a fluencia que corresponde al único tipo de acero en barras admitido por CIRSOC 201 para armaduras longitudinales).

i. A fin de dar generalidad al problema, se define los adimensionales:

'c

uu fbh

Nn =

(267)

'c

2xu

xu fbhMm = (26)

= ydyu 2 '

c

Mm

b h f (27)

'c

ys

ff

bhA

=µ (28)

donde ∑=

isis AA

De esta manera, con las consideraciones realizadas en (j) y reemplazando las expresiones (19) a (23) en las (27) a (28), estas quedan como función únicamente de α, εt y c.

Las expresiones (19) a (28) fueron empleadas para desarrollar un programa

con el que, en primer lugar, se obtuvo las superficies de interacción como las que se indica en la Figura 8. Para ello, se tuvo en cuenta la limitación que impone CIRSOC 201 al valor de Nd: Nu máx = 0.85 φ [0.85 fc’ (Ag – As) + fy As] (30)

Figura 8 – Superficies de interacción: a) Sección cuadrada, armadura distribuida, µ=0.2; b) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas,

µ=2.0; c) Sección rectangular b/h=0.3, armadura concentrada en esquinas, µ=1.8; d) Sección cuadrada, armadura concentrada en esquinas, µ=0.6 a 1.2,

representadas en un solo cuadrante Con el propósito de otorgarles un uso práctico, se volcó las curvas de nivel para una serie de cuantías mecánicas μ. La simetría permite que estas curvas puedan ser representadas en octantes, por lo que cada gráfico abarca ocho series de curvas de nivel, cada serie correspondiendo a un plano nd = cte. Se muestra en las Figuras 9 a 13 algunos ejemplos de las series. En todas estas figuras se ha tomado γ=0.9. Las curvas presentadas en las Figuras 9 a 12 corresponden a hormigones con fc’≤30 MPa, mientras que la Figura 13 corresponde a fc’=40 MPa. Por otro lado, la forma de la sección transversal, definida a través de b/h, y las configuraciones de armado son diferentes en las Figuras 9 a 12.

a) b)

c) d)

A los fines de este trabajo se mantiene la escala en todas las figuras, lo cual permite evaluar comparativamente las soluciones correspondientes a diferentes relaciones b/h y configuraciones de armaduras.

Se observa que las diferencias son mínimas entre los diagramas de interacción para fc’ ≤ 30 y fc’ = 40 (Figuras 12 y 13), ya que sólo cambia β1, de 0.85 a 0.79 respectivamente (Tabla 2).

6. DIMENSIONAMIENTO A FLEXIÓN COMPUESTA RECTA

Se trató a la flexión compuesta recta como un caso particular de la flexión oblicua, obteniendo una serie de diagramas de interacción, para diferentes configuraciones de armado, relaciones de forma b/h, γ y fc’. En la Figura 14 se muestra una de estas series. 7. CONSIDERACIONES FINALES

En este trabajo se presenta un conjunto de tablas y diagramas que permiten el diseño de secciones de hormigón armado sometidas a flexión compuesta oblicua, según las especificaciones y exigencias del próximo reglamento.

Para el trazado de estas curvas se desarrolló un algoritmo general que fue programado en computadora. El mismo considera todas las posibilidades que pueden presentarse en este tipo de solicitación, quedando incluida como caso particular la flexión compuesta recta.

El programa es sumamente versátil, pues permite considerar diferentes configuraciones de armadura, relación de forma de la sección transversal, tipo de hormigón y recubrimiento de armaduras.

Es importante resaltar que en todas estas ayudas de cálculo se ingresa con las solicitaciones U obtenidas del análisis con las cargas mayoradas con los factores de carga γi y que el factor de reducción de resistencia φ (variable según la sección se encuentre controlada por tracción, compresión o se encuentre en zona de transición) ya está incluido en las tablas y diagramas.

Además, los resultados que se muestra a través de las superficies de la Figura 9 permiten apreciar de manera global y conceptual la capacidad resistente de secciones de diferentes configuraciones y geometrías. Se aprecia claramente en estas la forma que les otorga el factor φ y el aplastamiento superior producido por la limitación en la capacidad resistente de columnas, dada por el reglamento (ec. 29).

Figura 9- Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección

cuadrada, armadura concentrada en las esquinas, γ=0.9, fc’≤30 MPa

m2 m2

m2

m1 m1

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m1

m2

m2

m2

m2

m2

nd=1,0

nd=0,8

nd=0,6

nd=0,0

nd=0,1

nd=0,2

nd=0,3 nd=0,5

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.0 μ=0.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5 μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 0.0

Myu

Mxu

Nu

b

h d

As/4

As/4 As/4

×

'c

2xu

xu fbhM

m = 'c

uu fbh

Nn = 'c

2yu

yu hfbM

m =

Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu

Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 'y

'c

s ffhbA ⋅⋅⋅µ

=

Para fc’ ≤ 30 MPa

γ = d/h = 0.9

fy = 420 MPa

Figura 10 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección cuadrada, armadura distribuida, γ=0.9, fc’≤30 MPa

'c

2xu

xu fbhM

m = 'c

uu fbh

Nn = 'c

2yu

yu hfbM

m =

Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu

Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 'y

'c

s ffhbA ⋅⋅⋅µ

=

Myu

Mxu

Nu

b

h d ×

m2 m2

m2

m1 m1

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m1

m2

m2

m2

m2

m2

nd=1,0

nd=0,8

nd=0,6

nd=0,0

nd=0,1

nd=0,2

nd=0,3 nd=0,5

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.0 μ=0.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 2.0 μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 2.0

μ= 1.5

Para fc’ ≤ 30 MPa

γ = d/h = 0.9

fy = 420 MPa

Figura 11 – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección rectangular, armadura concentrada en las esquinas, γ=0.9, fc’≤30 MPa.

'c

2xu

xu fbhM

m = 'c

uu fbh

Nn = 'c

2yu

yu hfbM

m =

Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu

Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 'y

'c

s ffhbA ⋅⋅⋅µ

=

Myu

Mxu

b

d h

Nu

×

m2 m2

m2

m1 m1

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m1

m2

m2

m2

m2

m2

nd=1,0

nd=0,8

nd=0,6

nd=0,0

nd=0,1

nd=0,2

nd=0,3 nd=0,5

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.0 μ=0.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5 μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5 μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 1.5

Para fc’ ≤ 30 MPa

γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5

fy = 420 MPa

Figura 12 - – Diagramas de interacción en flexión compuesta oblicua para sección rectangular b/h=0.5, distribuida, γ=0.9, fc’≤30 MPa.

'c

2xu

xu fbhM

m = 'c

uu fbh

Nn = 'c

2yu

yu hfbM

m =

Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu

Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 'y

'c

s ffhbA ⋅⋅⋅µ

=

Myu

Mxu

b

d h

Nu

×

Para fc’ ≤ 30 MPa

γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5

fy = 420 MPa

m2 m2

m2

m1 m1

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m1

m2

m2

m2

m2

m2

nd=1,0

nd=0,8

nd=0,6

nd=0,0

nd=0,1

nd=0,2

nd=0,3 nd=0,5

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.0 μ=0.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5 μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.5

μ= 1.0 μ= 0.5

Figura 13 - – Diagramas de interacción para en flexión compuesta oblicua para

sección rectangular b/h=0.5, armadura distribuida, γ=0.9, fc’=40 MPa.

'c

2xu

xu fbhM

m = 'c

uu fbh

Nn = 'c

2yu

yu hfbM

m =

Cuando mxu > myu à m1 = mxu ; m2 = myu

Cuando mxu < myu à m1 = myu ; m2 = mxu 'y

'c

s ffhbA ⋅⋅⋅µ

=

m2 m2

m2

m1 m1

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0

0.8 0.7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m1

m2

m2

m2

m2

m2

nd=1,0

nd=0,8

nd=0,6

nd=0,0

nd=0,1

nd=0,2

nd=0,3 nd=0,5

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.1

0.2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Myu

Mxu

b

d h

Nu

×

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 0.0 μ= 1.0 μ=0.5

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 0.5 μ= 0.0

μ= 1.5 μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 2.0 μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 2.0

μ= 1.5

μ= 1.0

μ= 1.5 μ= 1.0

μ= 0.5

μ= 1.5

μ= 1.0 μ= 0.5

μ= 2.0

Para fc’ = 40 MPa

γ = d/h = 0.9 – b/h = 0.5

fy = 420 MPa

Figura 14 – Diagramas de interacción para γ=0.9, fc’ ≤ 30 MPa y armaduras concentradas en dos bordes paralelos.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

mu

n u

Para fc’ ≤ 30 MPa

γ = d/h = 0.9

fy = 420 MPa

'c

2u

u fbhM

m =

'c

uu fbh

Nn =

Mu = Momento flector obtenido con las cargas mayoradas Nu = Esfuerzo normal obtenido con las cargas mayoradas

Ast/2

Ast/2

d

d‘

h

b

'y

'c

st ffhb

A⋅⋅⋅µ

=

μ = 2.0

μ = 1.5

μ = 1.0

μ = 0.5

μ = 0.0

BIBLIOGRAFÍA

1. American Concrete Institute - Design Handbook: Beams, One-Way Slabs,

Brackets, Footings, Pile Caps, Columns, Two-Way Slabs, and Seismic Design in accordance with the Strength Design Method of 318-95 – USA - 1997

2. CIRSOC – Proyecto de Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón

CIRSOC 201 – Noviembre 2002.

3. Gea, Susana - Flexión Oblicua en Hormigón Armado – Consejo de Investigación , Universidad Nacional de Salta - 1990

4. Portland Cement Association - Notes on ACI 318-02 Building Code

Requirements for Structural Concrete with Design Applications – USA – 2002.