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Los Cuasicristales formas estructurales complejas y ordenadas, sin repteticiones, simetríacas y matematicamente predecibles, que siguen patrones aperiódicos que no comunican información y que son extraordinariamente fuertes y muy malos conductores de la electricidad

Curso 2012/2013 1º de Joyería Artística Materials y tecnologia

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Índice

Los Cuasicristales 26/03/13........................................................................................................... 3

Características importantes de un cuasicristal ......................................................................... 5

Simetría ................................................................................................................................. 5

Patrones aperiódicos ............................................................................................................. 5

Estructura compleja y ordenada, sin repeticiones, matemáticamente predecible ............. 6

No comunica información ..................................................................................................... 6

Extraordinariamente fuertes y muy malos conductores de la electricidad .......................... 7

Los embaldosados de Penrose ...................................................................................................... 9

La geometría de los cuasicristales ......................................................................................... 9

La cadena de Fibonacci ............................................................................................................... 11

La proporción áurea .................................................................................................................... 13

Los patrones “Girih” o mosaicos islámicos ................................................................................. 15

El patrón de Kamal Alí ................................................................................................................. 17

Construcción ........................................................................................................................ 18

Conclusión ................................................................................................................................... 19

Bibliografía .................................................................................................................................. 21

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Los Cuasicristales 26/03/13

En 1982, el doctor Daniel

Shechtman1 observó un cristal

que no obedecía a las leyes

físicas que se supone que los

cristales deben obedecer. Estos

cristales se conocen actualmente

como cuasicristales, y han

cambiado la manera en que los

químicos contemplan la química

del estado sólido. El

descubrimiento del doctor

Shechtman no le sentó bien a la

elite científica, y encolerizó a

algunas personas. Casi treinta

años después, Shechtman recibió

el Premio Nobel de 2011 en

química por su descubrimiento.

En la mañana del 8 de abril de

1982 apareció una imagen en el microscopio electrónico de Shechtman que

parecía ir en contra de las leyes de la naturaleza y la ciencia establecida.

Hasta entonces se pensaba que en la materia sólida donde aparecen átomos

empaquetados dentro de cristales, los patrones simétricos se repetían una y

otra vez. Para los científicos esta repetición era imprescindible para obtener

un cristal.

Sin embargo, la imagen del científico israelí demostró que los átomos de su

cristal se empaquetaban siguiendo un patrón que no se podía repetir. Esto

se consideraba tan imposible como crear un balón de fútbol con sólo

polígonos de seis puntas, cuando una esfera necesita polígonos de cinco y

seis esquinas.

1 Investigador y científico nacido en Tel Aviv (Israel) en 1941, licenciado en 1972 en el

Technion – Israel Institute of Technology de Haifa

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El descubrimiento rompía las normas establecidas y fue extremadamente

controvertido. En el curso de la defensa de sus hallazgos, se llegó a pedir a

Shechtman que dejara su grupo de investigación. Pero al final su batalla

forzó a la comunidad científica a reconsiderar su concepción de la

naturaleza misma de la materia.

El Premio Nobel de Química 2011, ha alterado de forma sustancial como

los químicos concebían la materia sólida”, destaca en un comunicado la

Real Academia Sueca de las Ciencias, que también recuerda que los

patrones aperiódicos de los cuasicristales son similares a los de los

mosaicos del mundo árabe.

Estos mosaicos, como los medievales de la Alhambra de Granada en

España y del santuario Darb-i Imam en Irán, han ayudado a los científicos a

comprender mejor la estructura de los cuasicristales a nivel atómico. Tanto

en los mosaicos como en los cuasicristales los patrones son regulares,

siguen reglas matemáticas, pero nunca se repiten.

Shechtman se encontró de pronto con una aleación de aluminio y manganeso, a la que enfrió de golpe,

que no cumplía con esta regla básica

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Características importantes de un cuasicristal

Simetría

Antes del descubrimiento de los mismos, el paradigma dominante en

cristalografía mantenía que los cristales se definen por una celda unitaria

repetitiva y que están matemáticamente constreñidos a unas simetrías

rotacionales de sólo 2, 3, 4 ó 6 veces. Por simetría se entiende

sencillamente que se puede hacer girar la celda unitaria del cristal en un

determinado número de grados (p. ej., 45 grados, 60 grados, etc.), y la

celda unitaria se verá igual como se veía antes de girarla. Esto no se aplica

sólo a celdas unitarias, sino también a figuras geométricas de dos

dimensiones.

Por ejemplo, si se gira un cuadrado en 90°, parecerá indistinguible de cómo

parecía antes de imprimirle el giro. Pero si se gira un cuadrado en 45

grados no parece igual; tiene una simetría cuádruple. Si se gira un triángulo

equilátero en 120 grados, no se distinguirá respecto a como era antes del

giro, de modo que tiene una triple simetría. Si se gira un hexágono en 60

grados es indistinguible respecto de su posición inicial, de modo que tiene

una simetría séxtupla porque se puede girar seis veces antes de volver al

punto de partida.

Patrones aperiódicos

Estas celdas unitarias tienen que empaquetarse de manera compacta.

Matemáticamente, sólo las simetrías doble, triple, cuádruple y séxtupla

puede formar cristales, en caso contrario hay vacíos u orificios en la

estructura. Pensemos en un suelo embaldosado. Nunca veremos un suelo

embaldosado todo con pentágonos (regulares) (simetría quíntupla), porque

no se pueden empaquetar de manera compacta.

Esta teoría tan estética y elegante quedo trastornada cuando el doctor

Shechtman descubrió un cristal con una simetría quíntupla. Estos cristales

fueron posteriormente llamados cuasicristales. Generalmente, los

cuasicristales son cristales que exhiben una simetría «prohibida». Una

característica adicional de un cristal con simetría prohibida es que es

aperiódico; es decir, carece de un patrón repetitivo.

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El matemático Roger Penrose había teorizado un patrón de dos

dimensiones compuesto de una simetría quíntupla que era aperiódica2. Los

cuasicristales de Shechtman parecían seguir el patrón de Penrose. Usando

estudios de difracción de rayos X, Shechtman encontró que su material

(una aleación de aluminio-manganeso, Al6Mn) tenía todas las

características de un cristal pero presentaba una simetría prohibida.

Estructura compleja y ordenada, sin repeticiones, matemáticamente predecible

Los cuasicristales son interesantes debido a su patrón no repetitivo: tienen

una estructura compleja y ordenada que se derivan de las leyes químicas de

una estructura cristalina aperiódica. Uno de los argumentos que presentan

muchos proponentes del diseño inteligente (como William Dembski y

Stephen Meyer) es que la naturaleza o las leyes naturales pueden producir

orden, pero que se trata de un orden simple y repetitivo, como en la

tradicional red cristalina. Esto es diferente de la clase de estructura que

observamos en el ADN, donde hay un orden específico y complejo que

comunica información. En “Signature in the Cell “(La firma en la célula),

Meyer argumenta que no vemos esta clase de complejidad especificada

brotando de ningunas causas naturales conocidas. ¿Podrían ser los

cuasicristales un contraejemplo — un producto de la naturaleza que exhibe

complejidad especificada?

No comunica información

Los cuasicristales son más complejos que el cristal tradicional, pero no

comunican información. Si yo procedo a pulsar mi teclado y produzco una

cadena de caracteres como «iyubalor09fbjd[,,]ikgts;hyweog», tendría una

secuencia compleja. Es sumamente improbable que si sigo tecleando al

azar vuelta a salir una repetición de la misma secuencia. Con esto he

obtenido una secuencia compleja sumamente improbable desde el azar.

Pero, ¿comunica información esta secuencia? No.

Si procedo a teclear los mismos conjuntos de letras una y otra vez, como

«asdfjkl;asdfjkl;asdfjkl», esta secuencia tiene orden, y tiene más

complejidad que si hubiera tecleado «ababababab», pero, ¿acaso comunica

esto ninguna información? No.

El cuasicristal es sumamente complejo y sumamente ordenado, pero no

realiza repeticiones como en el segundo conjunto de letras. Además, es

matemáticamente predecible. Pero no comunica información porque no

posee propiedades que puedan traducirse a significado o función. Una 2 lo cual significa que carece de simetría translacional alguna. Dicho de manera informal, una copia

desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.

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secuencia de ADN contiene información porque dicha secuencia es

traducible a instrucciones para elaborar una proteína. Por ello sabemos que

una secuencia de ADN no es un mero encadenamiento de letras al azar,

sino que es algo intencionado, que comunica propósito en forma de una

instrucción. La estructura de un cuasicristal no comunica información.

Extraordinariamente fuertes y muy malos conductores de la electricidad

Aunque los cuasicristales no representan una información especificada,

tienen algunos usos muy interesantes. Estos cristales están hechos de

aleaciones metálicas, por lo que son extraordinariamente fuertes, como un

metal, pero son muy malos conductores de la electricidad. Su

conductividad es incluso menor que la del vidrio, aunque sus propiedades

son muy similares a una especie de vidrio metálico. Se han usado para

aplicaciones tan corrientes como hojas de afeitadoras, y en dispositivos de

rayos láser para cirugía. También se han usado para revestimientos de

baterías de cocina, y tienen potencial para el revestimiento de superficies

que deban soportar temperaturas extremas.

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Los embaldosados de Penrose

En el siglo XV los patrones de mosaicos se habían vuelto muy complejos, y

sólo unos pocos eran los que los matemáticos de hoy llaman, diseños

cuasicristalinos.

Estos diseños fueron demostrados por primera vez en Occidente por Roger

Penrose, que presentó el denominado patrón Penrose a inicios de los

setenta.

A partir de 1959, Penrose publicó una serie de trabajos entre los cuales un

trabajo sobre teselaciones no periódicas, tema sobre el que se interesó

cuando era estudiante de posgrado en Cambridge.

La geometría de los cuasicristales

Los artistas islámicos medievales llegaron a diseñar cuasicristales casi

perfectos, un complejo patrón geométrico que redescubrió, el físico y

matemático Roger Penrose en el decenio de 1970. Meter J. Lu, físico,

estudiante de doctorado en Harvard, vio en Uzbekitán tesela3dos con

características que parecían propias de cuasicristales. Un examen de

numerosas fotografías de Irán, Irak, Turquía y Afganistán le condujo, con

la colaboración del cosmólogo y experto en cuasicristales Paul J.

Steinhardt, de Princeton, a descubrir que a partir de 1200 se construyeron

en esa zona mosaicos arquitectónicos (girih) mediante la combinación de

cinco tipos de tesela: pajarita, pentágono, diamante, hexágono alongado y

decágono. El nuevo método permitió concebir patrones periódicos más

complicados. En el santuario Darb-i-Imam, o santuario de los imanes, del

siglo XV, en la ciudad iraní de Ispahán, el teselado es traslacionalmente

cuasiperiódico: las frecuencias con que aparecen los distintos tipos de

teselas no forman entre sí cocientes de números enteros. Esta ordenación

permite simetrías rotacionales prohibidas cristalográficamente. Y estas son,

precisamente, las características que definen un cuasicristal.

3 Figura geométrica que se repite y no deja ningún hueco en el plano

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Sus primeros intentos lo llevaron al éxito, pero con un gran número de

teselas. Después de trabajar más durante años, descubrió que podía

encontrar embaldosados no periódicos con sólo seis teselas, hasta que logró

lo que parecía imposible, al hallar que se podía con sólo dos teselas. No

periódico significa que el embaldosado no es invariante bajo ninguna

traslación. Algunas de las propiedades de su embaldosado son las

siguientes: en cualquier región embaldosada finita solo hay una teselación

posible; en una teselación infinita del plano, cualquier embaldosado de una

región se repite infinitamente en otras partes del plano en un radio no

mayor al doble del diámetro de la región original. En efecto, la teselación

de cualquier región infinita, a la larga aparecerá en cualquier embaldosado

de Penrose.

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La cadena de Fibonacci

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci 4es la siguiente sucesión infinita

de números naturales:

La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los

dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8...)

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta

sucesión fue descrita en Europa en el siglo XIII por el científico italiano

conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la

computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en

configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles,

en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el

arreglo de un cono.

4 Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci, fue

un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración indo-arábigo actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci.

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5 Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

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La proporción áurea

La Sección Áurea o proporción de Oro nos permite definir una superficie

armónica en sus relaciones de longitud y altura, así como, interiormente,

hallar los puntos y zonas armónicas, tomando como razón el valor 1,618.

Nos bastará con multiplicar una distancia o longitud por el valor 1,618 para

hallar la medida superior que cumpla la “Sección Áurea” o dividirlo para

hallar la inferior.

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Cuasicristales y proporción aurea

Para describir los cuasicristales de Shechtman se utiliza un concepto que

proviene de las matemáticas y el arte: la proporción áurea.

Este número fue de gran interés para los matemáticos de la Grecia antigua,

ya que a menudo aparecía en la geometría. En los cuasicristales, por

ejemplo, la proporción de diferentes distancias entre los átomos está

relacionada con la proporción aurea.

Tras el descubrimiento de Shechtman, los investigadores también han

logrado crear otros tipos de cuasicristales en el laboratorio. Además se ha

descubierto que, de forma natural, aparecen en muestras de mineral, como

algunas encontradas en un río ruso.

Por su parte, una empresa sueca también los ha descubierto en un tipo

especial de acero, donde los cristales refuerzan el material como una

armadura. En la actualidad también se experimenta con el uso cuasicristales

en diferentes productos, como sartenes y motores diesel.

Y las tarjetas de crédito, pantallas de ordenador, pantallas de tv cumplen

con la proporción Aurea, ya que la base común en todas las culturas sobre

lo que es agradable o desagradable, se aplica en el ámbito de la publicidad

y del consumismo.

Modelo atómico de una superficie de un cuasicristal de una aleación de aluminio-paladio-manganeso (Al-Pd-Mn)

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Los patrones “Girih” o mosaicos islámicos

Estos patrones girih, consisten en sets de polígonos contiguos (decágonos,

pentágonos, diamantes, hexágonos...) cada uno de los cuales es decorado

siguiendo un único patrón.

Los mosaicos islámicos medievales se basaban en patrones geométricos,

denominados diseños cuasicristalinos, que los matemáticos desentrañaron

en la década de los 70.

Según los investigadores, los artesanos islámicos del siglo XV

desarrollaron un proceso de creación de patrones para el diseño de

superficies adornadas con mosaicos que les permitía producir sofisticados

patrones que no existieron en Occidente hasta siglos más tarde.

Muchas de las paredes de los edificios islámicos medievales tienen

decoraciones geométricas con estrellas y polígonos o patrones girih, a los

que a menudo se superponía una red de líneas en zigzag. Los

investigadores han creído que los artesanos medievales construyeron estos

patrones utilizando regla y compás.

Los investigadores muestran ahora que en el siglo XV los artesanos habían

empezado a producir sus patrones utilizando un pequeño conjunto de

azulejos poligonales, que los autores denominan, azulejos girih. Este

método del azulejo girih era más eficaz y preciso que los anteriores

sistemas y supuso una importante innovación en las matemáticas y el

diseño islámicos.

En su estudio, los investigadores muestran cómo, en 1453, los arquitectos

islámicos habían creado patrones superpuestos con azulejos girih en dos

tamaños diferentes para producir patrones cuasicristalinos casi perfectos.

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Pueden tapizar el plano de forma periódica, o bien, si se desea,

aperiódicamente. Esta característica de ser aperiódicos o cuasicritalinos es

la que los hace tan interesantes, de modo que ahora se considera que l os

árabes de la edad media podrían haber precedido los conocimientos

matemáticos occidentales en cinco siglos., como demuestran sus decorados

con estas características.

Las formas de los polígonos son oscurecidas por los artistas árabes

adornando cada uno de ellos con líneas entrecruzadas. Mediante estas

líneas, el contraste de color, y otros adornos, no es posible ver los

polígonos, y en cambio se forma un efecto de complejidad y belleza.

Se compone de seis diferentes polígonos, algunos convexos, otros

cóncavos. Los seis polígonos son un decágono, un pentágono, un hexágono

(irregular), un rombo y un hexágono cóncavo.

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7

El patrón de Kamal Alí

En 1930 Karl Gerstner, es un artista suizo, de los más importantes de su

generación. Interesado por el arte islámico geométrico. En Fez, Marruecos,

encontró casualmente a un alarife (albañil) llamado Kamal Alí, a quien

compró un diseño. Gerstner, a la vuelta de su viaje, introdujo el patrón del

diseño de Kamal Alí en un programa de ordenador. Su sorpresa fue

tremenda cuando la trama reveló un número ilimitado de posibilidades

estructurales y desarrollos formales. El humilde arif de Fez no le había

vendido un diseño sino un patrón con capacidad para producir un número

indefinido de formas, una clave estructural, la semilla que habían guardado

celosamente los mudéjares andalusíes durante la expulsión y el genocidio

de los hispanomusulmanes.

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Construcción

1. Trazamos un cuadrado. Dividimos uno de sus lados en 19 partes

iguales y trazamos paralelas a los dos lados contiguos por las

divisiones.

2. Repetimos el paso nº 1 trazando paralelas a los otros dos lados.

3. Nos quedamos con cinco paralelas para cada lado. Nos queda un

cuadrado central.

4. Inscribimos una circunferencia, tangente por los puntos medios de

los lados del cuadrado central. Inscribimos un octógono estrellado,

cuatro de sus puntas tocan los puntos de tangencia de la

circunferencia con el cuadrado.

5. Elegimos dos lados de la estrella paralelos y los prolongamos.

Trazamos tres paralelas dividiendo la franja en 4 franjas iguales.

6. Repetimos el paso 5º para los otros tres pares de lados paralelos.

Repetimos los pasos 1º, 2º y 3º girando el cuadrado inicial 45º.

El resultado es el mismo que el modelo original de Kamal Alí. En el diseño

original Kamal Alí trazó solo dos pares de franjas oblicuas que

perpendiculares en el primer cuadrado, posteriormente repitió el mismo

proceso girando el inicial 45º.

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Conclusión Relación entre el descubrimiento de los cuasicristales de Shechtman,los

teselas de Perose, los patrones de Girih y Kamal Ali, la proporción aurea y

Fibonacci.

Un cristal es un sólido cuyos átomos o moléculas siguen un patrón

periódico, como los mosaicos que decoran la Alambra de Granada

(patrones Girih y Kamal-Ali), igual que puede recubrirse el plano con

triángulos, cuadrados o hexágonos regulares, pero no con pentágonos (pues

quedarán huecos sin cubrir) tampoco un cristal puede presentar cualquier

tipo de simetría sólo las de orden 2, 3, 4 y 6 están permitidas. En 1982

Shechtman encontró una aleación con una simetría de orden 10, y por tanto

imposible desde el punto de vista cristalográfico. Pasados casi 30 años, y

después de una intensa controversia, ha logrado el máximo reconocimiento

en su especialidad. Lo sorprendente es que las matemáticas necesarias para

explicar esta simetría imposible habian surgido una década antes de forma

totalmente inesperada. El físico matemático Roger Penrose descubrió en la

década de los 70 ciertos tipos de baldosas, estrechamente relacionadas con

de forma no periódica. En un primer momento su interés en los mosaicos

no periódicos fue puramente estético y recreativo. Incluso patentó sus

teselas para su posible comercialización como puzles o motivos

decorativos. Pero ya en 1976 conjeturó la posibilidad de otras aplicaciones:

utilizando como unidades fundamentales los sólidos no periódicos.se

llegará a cristales cuasi periódicos provistos de direcciones de hendidura

aparentemente imposibles. Pues bien, estos cristales cuasi periódicos

conjeturados por Penrose no son otra cosa que los cuasicristales

encontrados por Shechtman, cuyos átomos se disponen de manera regular,

pero no periódica, dando lugar a patrones de difracción antes prohibidos.

Los cuasicristales se utilizan hoy en día como antiadherentes para sartenes

o en la fabricación de material quirúrgico. Su descubrimiento contemplado,

una vez más, como una teoría matemática elaborada inicialmente por su

interés intrínseco acaba encontrando representaciones reales en la

naturaleza.

Lo curioso de la aleación de Sherman, y los tesales de Perose, es que,

ambos eran matemáticos del siglo XX con todas las herramientas a su

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alcance para poder hacer las comprobaciones necesarias poder verificar sus

descubrimientos. No obstante ya en el siglo XV los artesanos islámicos, sin

apenas matemáticas ni aparatos sofisticados de medición y combinando de

forma regular pero no periódica las baldosas consiguieron representar

figuras (en el mundo islámico la figura humana no se podía representar y lo

conseguían mediante los tesales), a la vez que los tesales por si solos

(combinado colores) tienen la misma apariencia que los cuasicristales

vistos a través de un microscopio.

Por otro lado, en todas las culturas existe una base común por lo que resulta

agradable o desagradable, los cuasicristales tal y como se representan

cumplen con la Proporción Aurea, tienen una especie de diseño básico que

se repite y que trasmiten armonía, y son matemáticamente previsibles tal y

como contempla la cadena de Fibonacci.

Los cuasicristales son formas presentes en la naturaleza, que han formado

parte de la misma, desde siempre, que cumplen con todos los cánones de

armonía, simetría y son matemáticamente previsibles, que siguen unos

patrones aperiódicos pero que cumplen con la Proporción Aurea,

descubiertos en el siglo XX y que sin apenas los recursos científicos ni

matemáticos de nuestra era, ya los utilizaba el ser humano en el siglo XV.

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Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci

http://es.wikipedia.org/wiki/Dan_Shechtman

https://www.google.es/search?q=Girih&hl=es&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=XAkpUZTZN5G7hAe6wICAAQ&sqi=2&ved=0CEYQsAQ&biw=1441&bih=654

http://www.shapeways.com/model/199541/girih-tile1.html

http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/12862423/Se-burlaban-de-el-y-ahora-recibio-un-Nobel.html

Fibonacci : el primer matemático medieval / Ricardo Moreno Castillo-- Madrid : Nivola, 2004