66 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden

En los pro ble mas 21 a 26, re suel va el pro ble ma con va-

lor ini cial.

27. Pa ra ca da una de las si guien tes ecua cio nes, de ter mi-

ne la fun ción más ge ne ral M(x, y) de mo do que la

ecua ción sea exac ta:

28. Pa ra ca da una de las si guien tes ecua cio nes, de ter mi -

ne la fun ción más ge ne ral N(x, y) de mo do que la

ecua ción sea exac ta:

29. Con si de re la ecua ción

(a) Mues tre que es ta ecua ción no es exac ta.

(b) Mues tre que al mul ti pli car am bos la dos de la

ecua ción por y 2 se ob tie ne una nue va ecua ción

que es exac ta.

(c) Use la so lu ción de la ecua ción exac ta re sul tan te

pa ra re sol ver la ecua ción ori gi nal.

(d) ¿Se per die ron so lu cio nes en el pro ce so?

30. Con si de re la ecua ción

(a) Mues tre que la ecua ción no es exac ta.

(b) Mul ti pli que la ecua ción por xnym y de ter mi ne

va lo res de n y m que ha gan exac ta a la ecua ción

re sul tan te.

(c) Use la so lu ción de la ecua ción exac ta re sul tan te

pa ra re sol ver la ecua ción ori gi nal.

31. Jus ti Þ que que, en la de mos tra ción del teo re ma 2, la

fun ción g se pue de con si de rar co mo

lo que pue de ex pre sar se co mo

Es to con du ce en úl ti ma ins tan cia a la re pre sen ta ción

(18)

Eva lúe es ta fór mu la di rec ta men te, con x0 ! 0, y0 ! 0

pa ra re sol ver nue va men te

(a) El ejem plo 1.

(b) El ejem plo 2.

(c) El ejem plo 3.

32. Trayectorias ortogonales. Un pro ble ma geo mé-

tri co que apa re ce con fre cuen cia en in ge nie ría es el

de de ter mi nar una fa mi lia de cur vas (tra yec to rias or-

to go na les) que in ter sec te a una fa mi lia da da de cur-

vas en for ma or to go nal en ca da pun to. Por ejem plo,

nos dan las lí neas de fuer za de un cam po eléc tri co y

que re mos de ter mi nar la ecua ción de las cur vas equi-

po ten cia les. Con si de re la fa mi lia de cur vas des cri tas

por F(x, y) ! k, don de k es un pa rá me tro. Re cuer de,

En los ejercicios 11 a 18 resolver si es exacta

Sección 2.4 Ecuaciones exactas 67

del aná li sis de la ecua ción (2), que pa ra ca da cur va de

la fa mi lia, la pen dien te es tá da da por

(a) Re cuer de que la pen dien te de una cur va que sea

or to go nal (per pen di cu lar) a una cur va da da es

jus ta men te el ne ga ti vo del re cí pro co de la pen-

dien te de la cur va da da. Use es te he cho pa ra

mos trar que las cur vas or to go na les a la fa mi lia

F(x, y) k sa tis fa cen la ecua ción di fe ren cial

(b) Use la ecua ción di fe ren cial an te rior pa ra mos trar

que las tra yec to rias or to go na les a la fa mi lia de

cír cu los x2 ! y2 k son jus ta men te las lí neas

rec tas que pa san por el ori gen (véa se la Þ gu ra

2.10).

(c) Mues tre que las tra yec to rias or to go na les de la fa-

mi lia de hi pér bo las xy k son las hi pér bo las x2

" y2 k (véa se la Þ gu ra 2.11).

33. Uti li ce el mé to do del pro ble ma 32 pa ra ha llar las tra-

yec to rias or to go na les pa ra ca da una de las fa mi lias

da das de cur vas.

[Su ge ren cia: Ex pre se pri me ro la fa mi lia en la for ma

F(x, y) k].

34. Use el mé to do des cri to en el pro ble ma 32 pa ra mos-

trar que las tra yec to rias or to go na les a la fa mi lia de

cur vas x2 ! y2 kx, don de k es un pa rá me tro, sa tis-

fa cen

(2yx"1)dx ! (y2x"2 " 1)dy 0 .

De ter mi ne las tra yec to rias or to go na les re sol vien do

la ecua ción an te rior. Bos que je la fa mi lia de cur vas,

jun to con sus tra yec to rias or to go na les. [Su ge ren cia:

Tra te de mul ti pli car la ecua ción por xmyn co mo en el

pro ble ma 30].

35. Uti li ce la con di ción (5) pa ra mos trar que el la do de-

re cho de (10) es in de pen dien te de x, vien do que su

de ri va da par cial con res pec to de x es igual a ce ro.

[Su ge ren cia: Co mo las de ri va das par cia les de M son

con ti nuas, el teo re ma de Leib niz per mi te in ter cam-

biar las ope ra cio nes de in te gra ción y de ri va ción].

36. Ve ri Þ que que F(x, y) de Þ ni da en (9) y (10) sa tis fa ce

las con di cio nes (4).

Figura 2.10 Las tra yec to rias or to go na les pa ra cír cu los con cén tri cos son las rec tas que pa san por el cen tro

Figura 2.11 Fa mi lias de tra yec to rias or to go na les