TALLER N° 2

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE E.D.O POR MÉTODOS NUMÉRICOS

HUGO LUIS CERRA CUBA

ANGÉLICA MARÍA GARCÍA

CAROL GELVEZ FONTALVO

LETTY MARÍA RODRÍGUEZ

ING. FRANCISCO MUÑOZ PABA

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO.

FACULTAD DE INGENIERÍA.

PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA.

03-12-2013

TALLER N° 2

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE E.D.O POR MÉTODOS NUMÉRICOS

Considere dos tanques en series, donde interactúan los niveles

a) Suponiendo que el flujo del primer tanque es linealmente proporcional a la diferencia en las alturas del tanque (F1=β1(h1 – h2)), la velocidad de flujo del tanque 2 es proporcional a la altura del tanque 2 (F2=β1h2), y los tanques son de área transversal constante (A1 y A2) mostrando las siguientes ecuaciones de modelamiento:

b) Reduzca estas dos ecuaciones de primer orden a una ecuación de

segundo en h2. c) Suponga que la velocidad de flujo en estado estacionario es 3 pie3/min, y

las alturas para los tanques 1 y 2 en estado estacionario son 7 y 3 pies

respectivamente. El área de la sección transversal es constante de 7 pie2

para cada tanque. Las condiciones iniciales son h1(o)= 6 pies y h2(o)= 5 pies.

Calcule las alturas de los tanques 1 y 2 en función del tiempo. Grafique las alturas de los tanques en función del tiempo.

d) Escriba un programa en Matlab y use la función ode45 para resolver las dos ecuaciones diferenciales dadas en a). Demuestre que la solución numérica está de acuerdo con la solución del inciso c).

Solución

Inciso b)

Ecuación 1.

Ecuación 2.

Para reducir estas dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a un sistema de E.D.O de segundo orden en h2, simplemente derivamos la ecuación 2. Se deriva de la siguiente manera:

(

)

En ese orden obtenemos una tercera ecuación:

Ecuación 3.

Como tiene que quedar una ecuación de segundo orden en h2, ahora se

reemplaza la ecuación 1 en la 3, obteniendo de esta manera una cuarta ecuación,

así:

Ecuación 4.

(

)

(

)

Inciso c)

3Fo 3ft / min

2

1 2A A 7ft

1h 7 ft ; 2h 3 ft

Condiciones iniciales 1h 0 6 ft , 2h o 5 ft

El sistema se encuentra en estado estacionario, por lo cual: 1 2 0dh dh

dt dt

A partir de las ecuaciones 1 y 2:

01 11 2

1 1

( )Fdh

h hdt A A

Ec. 1

2 1 21 2 2

2 2

dhh h h

dt A A

Ec. 2

Despejando 1 , de la ec. 1 y reemplazando los valores dados se tiene que:

2 2

0 1 01

1 1 2 1 2

3 30,75

(7 3) 4

F A F ft ft

A h h h h min min

Reemplazando los valores dados en ec.2 y 1 , se tiene que:

2 21 1 2 2 1 1 2

2

2 2 2

0,75(7 3) 0,75(4)1

3 3

h h A h h ft ft

A h h min min

Hallados los valores de 1 y de 2 , se soluciona el sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden:

11 2

3 3( )

7 28

dhh h

dt I

11 2

3 3( )

7 28

dhh h

dt II

Para solucionar este sistema se utiliza el método de Runge-Kutta de 4º, en este caso se hizo uso del software MATLAB®.

Del algoritmo de Runge-Kutta de 4º, definido como:

1 H*f t, y,z ;K

 C1 H*g t, y,z ;

K2 = H*f(t+H/2,y+K1/2,z+C1/2);

 C2 H*g t H / 2, y K1/ 2,z C1/ 2 ;

K3 = H*f(t+H/2,y+K2/2,z+C2/2);

 C3 = H*g t H / 2, y K2 / 2,z C2 / 2 ;

K4 = H*f(t+H,y+K3,z+C3);

C4 = H*g(t+H,y+K3,z+C3);

y y 1/ 6 * K1 2* K2 K3 K4 ;

z z 1/ 6 * C1 2* C2 C3 C4 ;

Donde y = h1 y z = h2 Este algoritmo es ingresado en Matlab en el editor, de la siguiente manera:

Figura 1. Algoritmo de R-K de 4°.

Al correr el programa, se obtienen los siguientes resultados: La iteración se realizo con un incremento de H = 0.01, desde 0 hasta 0.2, debido a que el sistema se estabiliza

Tabla 1. Datos Obtenidos en R-K de 4° en el Programa Matlab.

Al graficar h1 vs t se obtiene la siguiente gráfica:

Tabla 2. Datos de h1 vs t.

Figura 2. Gráfica de h1 vs t.

Ahora con h2, se procede de igual manera:

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,1

6,1

6,1

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Alt

ura

de

l tan

qu

e, h

1

Tiempo

h1

t h1

0 6,0

0,01 6,0032

0,02 6,0064

0,03 6,0096

0,04 6,0128

0,05 6,0159

0,06 6,0191

0,07 6,0223

0,08 6,0254

0,09 6,0285

0,1 6,0317

0,11 6,0348

0,12 6,0379

0,13 6,041

0,14 6,044

0,15 6,0471

0,16 6,0502

0,17 6,0532

0,18 6,0563

0,19 6,0593

0,2 6,0623

t h2

0 5

0,01 4,9939

0,02 4,9879

0,03 4,9819

0,04 4,9759

0,05 4,9699

0,06 4,9639

0,07 4,958

0,08 4,952

0,09 4,9461

0,1 4,9402

0,11 4,9343

0,12 4,9285

0,13 4,9226

0,14 4,9168

0,15 4,911

0,16 4,9052

0,17 4,8994

0,18 4,8937

0,19 4,8879

0,2 4,8822 Tabla 3. Datos de h2 vs t.

Figura 3. Gráfica de h2 vs t.

Inciso d) Se procede a escribir un programa en el editor de Matlab con la función

ode45, para poder resolver las ecuaciones diferenciales:

4,86

4,88

4,9

4,92

4,94

4,96

4,98

5

5,02

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Alt

ura

de

l tan

qu

e,h

2

Tiempo

h2

Al igual que en el método R-K de 4° utilizado en el inciso anterior se usaron los

mismos intervalos y así poder comparar los dos métodos utilizados.

Y usando la función de graficación de Matlab, se obtiene la siguiente gráfica: