Taller teoría probabilística

1. Historia breve sobre la probabilidad

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVIII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal trataron de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar, debido a su popularidad, Cristian Huygens en 1657 publicó el primer libro sobre probabilidad: Calculating in Games of chance, un tratado sobre juegos de azar, entre otras publicaciones que destacan el Teorema de Bernoulli y la distribución binomial, Gauss con la teoría de errores y Mendel con sus trabajos de genética de forma aleatoria, hasta el siglo XX cuando la probabilidad se definió de manera axiomática.

2. Conceptos fundamentales

a. Población (U): Se refiere al marco muestral, es decir, aquellos individuos con probabilidad de ser seleccionados.

b. Espacio muestral (S): Conjunto de todos los eventos o resultado posibles de un experimento. Ejemplo: Conjunto de resultados al tirar un dado (1, 2, 3, 4, 5, 6).

c. Experimento aleatorio o probabilístico: Es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.

d. Suceso o evento: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.

e. Resumen sobre conjuntos:

e1. Conjunto: Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase que pertenecen y responden a la misma categoría o grupo.

e2. Determinación de un conjunto:

Por extensión: Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Por comprensión: Se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

e3. Relación entre un conjunto y sus elementos:

e4. Cardinalidad: Determina el número de elementos de un conjunto. Ejemplo: La Cardinalidad del conjunto A= {vocales} es 5 y se representa |A| = 5.

e5. Operaciones básicas entre conjuntos: Son formas específicas de combinar conjuntos para

formar nuevos conjuntos. Las operaciones más importantes son: complementación, intersección, unión y diferencia.

e.6 Diagrama de Venn: Muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U; pueden emplearse para representar un espacio muestral y los eventos contenidos en este.

f. Definición de probabilidad (Clásica): Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico, la probabilidad de un evento que se está llevando a cabo se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles resultados.

Probabilidadde unevento= Numerode resultados favorablesNumerototal de posibles resultados

g. Enfoque sobre la probabilidad

Enfoque clásico de la probabilidad (a priori)

Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori. Es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables y no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Enfoque de frecuencias relativas

Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.

A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos.

También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.

Enfoque subjetivo de la probabilidad

Señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta.

Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.

h. Axiomas o postulados de la teoría probabilística

i. Teorema fundamental sobre la probabilidad: Permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas.

j. Suceso imposible: Un Suceso imposible , , es el que no tiene ningún elemento. El suceso imposible nunca se cumple.

k. Suceso total o seguro: Un Suceso seguro, E ,  está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

l. Suceso compuesto:

m. Suceso mixto o combinado: Tiene lugar cuando se dan simultáneamente todos los sucesos elementales.

n. Suceso mutuamente excluyente:

o. Sucesos colectivamente exhaustivos:

p. Sucesos dependientes:

Dos sucesos , A y B, son dependientes cuando la probabil idad de

que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Ejemplo: Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición,

son sucesos dependientes .

q. Sucesos independientes: Dos sucesos , A y B,

son  independientes  cuando la probabil idad de que suceda A

no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo: Al

lanzar dos dados los resultados son independientes.

r. Sucesos semejantes: Son dos o mas resultados similares producidos en

un experimento aleatorio.

3. Teorema de Bayes: Expresa la probabilidad condicional de un evento

aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del

evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

4. Probabilidad Condicional

Ejemplo:

5. Leyes de Morgan

Primera ley: El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

Segunda Ley: El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:

Web grafía

http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/20052006/ESI/1711003/ Apuntes/Leccion2.pdf

http://campus.cva.itesm.mx/nazira/Tc1003/PDF/Apuntes/ 0300Tc1003_Conjuntos.pdf

http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf http://es.slideshare.net/greenangelvv/relacin-de-pertenencia-e-

inclusin https://books.google.com.co/books?

id=x_WpnOkRyogC&pg=PA76&lpg=PA76&dq=suceso+combinado&source=bl&ots=c2ITMKupLw&sig=mYJ8Rx6t1W_J8TdBkg7aX7RkzNc&hl=es&sa=X&ved=0CBwQ6AEwAGoVChMIifWP4qKGxgIVQiisCh0PxACh#v=onepage&q=suceso%20combinado&f=false