Taller 2 2015-2

Aplicaciones primer orden

1. Determine la curva de la familia de las trayectorias ortogonales a las curvas

3xy2 = 2 + 3Cx , C 2 R

que pasa por el punto (0; 4)

2. Un estanque que contiene una solucin salina es llenado a razn de 4 lt/s con una solucin a una concentracinja de c1 gr/lt. El estanque pierde a la vez 2 lt/s de la solucin bien mezclada, e inicialmente contiene V0litros de agua pura.

a) Determine la concentracin de sal C = C(t) en el estanque a tiempo t (en segundos).

b) Determine V0 si se sabe que C(20) =3c14.

3. Una agencia gubernamental tiene actualmente una plantilla de 6000 empleados, entre los cuales 1500 sonmujeres. Los empleados van dejando su trabajo de manera aleatoria a un ritmo de 100 personas por semana.Se contratan sustitutos a un ritmo de 50 personas por semana, con la condicin de que la mitad sean mujeres.

Dena porM(t) la cantidad de mujeres en t semanas y escriba una ecuacin diferencial que modele la variacinde mujeres en la plantilla de empleados.

Cul es el tamao de la plantilla de la agencia tras 40 semanas? Qu porcentaje sern mujeres en esemomento?

4. A dos kilmetros del nal de una carrera un piloto queda sin bencina, y su mvil sigue en movimiento sujeto auna desaceleracin proporcional al cuadrado de su rapidez. Determine en funcin de la rapidez v0, al momentode quedar sin bencina, el tiempo que tarda el mvil en llegar a la meta si se sabe que su rapidez se ha reducidoa la mitad a un kilmetro del nal.

5. A las 22:00 horas un pub cuyas dimensiones son 12,5 metros por 10 metros por 3,2 metros est lleno declientes. La mayora de estos clientes fuma, de modo que el humo, que contiene 1,2 gramos de monxido decarbono por metro cbico, se extiende por el local a una velocidad de 0,004 metros cbicos por minuto. Antesde las 22:00 horas no hay rastro de monxido de carbono en el pub. Este local dispone de ventiladores quehacen que se forme una mezcla uniforme de aire y humo que es expulsada al exterior a una velocidad de 0,04metros cbicos por minuto.

Segn el departamento de sanidad, una exposicin prolongada a la concentracin de monxido de carbonomayor o igual a 0,004 gramos por metro cbico puede resultar peligrosa. Si el pub cierra sus puertas a las3:00 horas se pueden quedar los clientes hasta el cierre del local sin poner en riesgo la salud por efecto de lacontaminacin?

Segundo orden

1. La curvatura de una curva y = f(x) se dene por

k(x) =y00h

1 + (y0)2i 32

Determine una funcin cuya curvatura es constante, k(x) = 1 (puede ignorar las constantes de integracin).

2. Encuentre la solucin general de las siguientes ecuaciones

a) y00 4y0 + 4y = 6e2x + 25sen xb) y00 + 2y0 3y = 16xexc) y00 2y0 + 2y = exsec xd) y00 3y0 + 2y = 11+exe) x2y00 2xy0 + 2y = x4ex

3. Determine la solucin general de la e.d.o.

y00 y0 2y = ex cosx+ (6 + x)ex:

Determine, si las hubiera, todas las soluciones que satisfacen lmx!1 y(x) = 0.

4. Encuentre la solucin general de la ecuacin 2xy00 + (4x+1)y0 + (2x+1)y = 3pxex; sabiendo que y1 = ex

es una solucin de la ecuacin homognea asociada.

5. a) Para x > 0 determinar f(x) para que la ecuacin diferencial:

xy00 2y0 + f(x)y = 0

admita dos soluciones particulares tales que una de ella sea el cuadrado de la otra. Hallar todas las solucionesde la ecuacin diferencial.

b) Usando la funcin f(x) de la parte a), resuelva la ecuacin

xy00 2y0 + f(x)y = ln(x)x

6. Considere la e.d.o. y00 + (ex 1)y0 + 14e2xy = 18e3x + 14e2x. Usando el cambio de variable t = 12ex , encuentrela solucin general de la ecuacin no homognea.