Algebra Superior ITAREA 04

Combinatoria

1. Si se distribuyen m objetos en n cajas, conm > rn para algun r ≥ 1, entonces prueba queal menos una caja contiene mas de r objetos.

2. Sean A y B conjuntos finitos. Demuestra

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

3. Sean A, B y C conjuntos finitos. Demuestra

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C|− |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|

+ |A ∩B ∩ C|.

Generaliza este resultado para cuatro conjun-tos finitos.

4. Generaliza los dos resultados anteriores para nconjuntos finitos.

5. Sea A = {a, e, i, o, u}, encuentra los subcon-juntos de A con tres elementos y tambien lascombinaciones de 2 elementos de A.

6. Sea B finito y m = |B|. Prueba que si n ≤ m,entonces el numero de funciones sobreyectivasf : B → In es igual a

(mn

).

7. Si A y B son conjuntos finitos y f : A → Bes una funcion suprayectiva tal que para todob ∈ B se tiene que |f−1(b)| = k (constante),demuestra que |A| = k · |B|.

8. Prueba(n

0

)+

(n

1

)+ . . . +

(n

n

)= 2n.

9. Demuestra(n

0

)2

+

(n

1

)2

+ . . . +

(n

n

)2

=

(2n

n

).

10. Demuestra(n + m

r

)=

(n

0

)(m

r

)+

(n

1

)(m

r − 1

)+· · ·+

(n

r

)(m

0

).

11. Usa el ejercicio anterior para probar(2n

n

)=

n∑k=0

(n

k

)2

.

12. Demuestra la identidad combinatoria deFermat:(

n

k

)=

n∑i=k

(i− 1

k − 1

), n ≥ k.

Proporciona un argumento, sin calculos, paraesta igualdad basada en argumentos combina-torios.

13. Sea p un primo. Demuestra que p|(pk

)para toda

k tal que 1 ≤ k ≤ p − 1. Usando esto, pruebapor induccion sobre n que p divide a np − n.

14. Determinar el coeficiente de

a) xyz2 en (x + y + z)4.

b) xyz2 en (w + x + y + z)4.

c) xyz2 en (2x− y − z)4.

d) xyz−2 en (x− 2y + 3z−1)4.

e) w3x2yz2 en (2w − x + 3y − 2z)8.

15. De los 32 equipos de futbol que participanen el Mundial, al termino del torneo quedancuatro equipos semifinalistas que se disputanlos cuatro primeros lugares.

a) ¿De cuantas maneras pueden resultar laseliminatorias iniciales para determinar loscuatro primeros lugares?

b) ¿De cuantas maneras pueden resultar laseliminatorias para determinar los prime-ros cuatro lugares, si el equipo de Brasilsiempre debe ser uno de ellos?

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16. En una clase de musica con 73 alumnos hay52 que tocan el piano, 25 el violın, 20 la flau-ta, 17 tocan piano y violın, 12 piano y flauta,7 violın y flauta y 1 toca los 3 instrumentos,¿Hay alguno que no toque ninguno de los 3instrumentos?

17. Un comite de 8 personas se debe formar deun grupo de 10 chilenos y 15 argentinos. ¿Decuantas maneras se puede elegir este comite si:

a) debe contener 4 personas de cada nacio-nalidad?

b) debe haber mas chilenos que argentinos?

c) debe haber al menos dos chilenos?

18. De un grupo de 16 personas de Argentina,Brasil, Chile y Mexico, se deben elegir 6 pararepresentarlos en un comite. ¿Cuantas seleccio-nes se pueden hacer si:

a) cada paıs debe estar representado?

b) ningun paıs puede tener mas de dos re-presentantes?

19. ¿Cuantos numeros telefonicos de 8 cifras hay,que inicien con el numreo 5513?

20. Suponga que las placas de los automoviles dela ciudad de Mexico se forman por 3 letrasseguidas de 3 cifras. Si no hay restriccion sobrelas letras y cifras, ¿Cuantas placas se puedenformar? (El alfabeto consta de 26 letras).

21. Si una cierta asociacion consta de 40 perso-nas y se quiere elegir una comision formadapor un presidente, un secretario y un tesore-ro, ¿de cuantas maneras puede escogerse estacomision?

22. Considera un polıgono regular de n lados.¿Cuantas diagonales se pueden trazar en dichopolıgono?

23. Una sucesion binaria de longitud n es una n-ordenacion con repeticion formada con 0 y 1.

a) ¿Cuantas sucesiones binarias de longitudn hay?

b) Liste todas las sucesiones binarias de lon-gitud 4.

c) ¿Cuantas sucesiones binarias de longitudn = p + q se pueden formar si estassucesiones deben contener p ceros y qunos, con q ≥ p − 1 y ademas no debentener dos ceros juntos?

24. La distancia entre dos sucesiones binarias delongitud n es el numero de lugares en los cua-les difieren. Por ejemplo, para las 3-sucesionesbinarias 110 y 011 su distancia es 2 ya que solodifieren en el primer y tercer lugares.

a) Fija una sucesion binaria de longitud n,¿cuantas n-sucesiones binarias distan d deella?

b) Obtenga una formula para el numero den-sucesiones binarias que distan ≤ e deuna n-sucesion fija.

25. Seis personas deben ser sentadas en una mesacircular.

a) ¿De cuantas maneras se pueden acomo-dar?

b) ¿De cuantas maneras se pueden acomo-dar si A no quiere estar sentado junto aB?

26. Considera un conjunto N el cual contiene 5 en-teros positivos ≤ 9. Demuestra que existen almenos, dos subconjuntos de N cuyos elementossuman lo mismo.

27. ¿Cuantas palabras de longitud 3 (sin repetirsignos) pueden formarse con un alfabeto de 256letras, si requerimos que nunca aparezcan dosdeterminados signos (por ejemplo las letras ay b) juntas?

28. Por un cierto canal de comunicacion se va atransmitir un mensaje usando 12 sımbolos di-ferentes. Ademas de estos 12 sımbolos, el trans-misor enviara un total de 45 espacios en blan-co entre los sımbolos con tres espacios comomınimo entre cada par de sımbolos consecuti-vos. ¿De cuantas maneras se puede mandar elmensaje?

29. Demuestra que en cualquier grupo de 6 perso-nas, o hay 3 que se conocen entre sı o hay 3que son mutuamente desconocidas.

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30. La seccion escolar informa que cada alumno deuna determinada licenciatura esta inscrito encuatro de las siete asignaturas que se ofreceny las listas de alumnos por asignaturas tienen52, 30, 30, 20, 25, 12 y 18 alumnos respecti-vamente. ¿Que conclusion puede obtenerse deesta informacion?

31. ¿Cuantos enteros hay entre 1 y 1000 que nosean divisibles ni por 2 ni por 3 ni por 5?

32. Para n ≥ 2, sea un el numero de palabras delongitud n que se pueden formar con el alfabeto{0, 1} y con la propiedad de no tener dos cerosconsecutivos. Demuestra que u2 = 3, u3 = 4,un = un−1 + un−2 para n ≥ 4.

33. ¿Cuantos numeros telefonicos de 8 dıgitostienen un dıgito que aparece mas de una vez?

34. Cosideremos la igualdad

n∑k=1

k

(n

k

)= n2n−1, n ≥ 1. (1)

a) Escribe un argumento combinatorio deesta igualdad, sin calculos, basado en lasiguiente interpretacion: De un grupo den personas, determinar de dos formas dis-tintas, el numero de posibles eleccionesde un comite de cualquier tamano y unpresidente para dicho comite. Sugerencia:

¿Cuantas posibles elecciones hay de un comite de

tamano k y su presidente? ¿Cuantas posibles elec-

ciones hay de un presidente y del resto de los

miembros del comite?

b) Prueba la igualdad (1).

c) Verifica la igualdad siguiente para n =1, 2, 3, 4, 5.

n∑k=1

(n

k

)k2 = 2n−2n(n+1), n ≥ 1. (2)

d) Escribe un argumento combinatorio deesta igualdad, sin calculos, basado en lasiguiente interpretacion: De un grupo den personas, determinar en dos formas dis-tintas, el numero de posibles elecciones deun comite de cualquier tamano, su pre-sidente y su secretario (posiblemente elmismo).

e) Prueba la igualdad (2).

f ) Ahora argumenta y prueba la igualdad

n∑k=1

(n

k

)k3 = 2n−3n2(n + 3), n ≥ 1.

35. Demuestra que hay exactamente(rk

)(n−1

n−r+k

)soluciones de

x1 + x2 + · · ·+ xr = n,

para las cuales exactamente k de las xi soniguales a cero.

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