Ricardo Alejos

Electrónica de Radiofrecuencia

1

Tarea 01

Teoría de líneas de transmisión

Ejercicio 1

Enunciado Una línea de transmisión tiene los siguientes pará-

metros por unidad de longitud:

Por simplicidad, se asume que estos cuatro paráme-

tros son independientes a la frecuencia de operación.

(a) Calcule la impedancia característica de la línea

a y a . (b) Haga tres gráficas

en función de la frecuencia, desde hasta

, de , (constante de atenuación) y

(constante de propagación).

Solución (a) Comenzaremos calculando la impedancia carac-

terística de la línea utilizando la expresión

√

Así bien, sustituyendo los valores de cada una de las

impedancias de los componentes a , la im-

pedancia característica es:

√ ( )( )

( ) ( )( )

( )

O lo que es lo mismo

( )

Ahora, ésta misma impedancia característica pero

para una frecuencia de operación de :

√ ( )( )

( ) ( )( )

( )

O lo que es lo mismo

( )

(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los paráme-

tros requeridos, recordemos que están definidos co-

mo la parte real e imaginaria de la constante de pro-

pagación compleja :

√( )( )

Donde es la constante de atenuación y la de

propagación (como se mencionó en el enunciado del

problema).

Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado es

presentan a continuación.

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Ejercicio 2

Enunciado

La línea de transmisión con pérdidas ilustrada a con-

tinuación tiene los mismos parámetros por unidad de

longitud que el problema anterior. La impedancia de

carga consiste de un resistor de en serie con

un inductor de . Calcule la impedancia de

entrada a , a las siguientes distancias

de la carga: (a) , (b) y (c)

.

Solución

La impedancia de entrada a lo largo de la línea

es

( )

En este caso, la constante de propagación compleja

es

√[ ( )( )] [( ) ( )( )]

La impedancia de carga para una Resistencia en

serie con un inductor es , así bien, la impe-

dancia de carga para la frecuencia pedida es:

( )( )

( )

La impedancia característica para esta línea de

transmisión fue obtenida en el ejercicio anterior:

( )

Así bien, al emplear estos datos sobre la expresión

para calcular la impedancia de entrada, obtenemos:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

107

108

109

1010

46.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

50

50.5

Frequency [Hz]

abs(Z

0)

[ ]

Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line

107

108

109

1010

0.1855

0.186

0.1865

0.187

0.1875

0.188

0.1885

0.189

Frequency [Hz]

[

rad/m

]

Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line

107

108

109

1010

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Frequency [Hz]

[

rad/m

]

Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line

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3

Ejercicio 3

Enunciado

Para el siguiente circuito con línea de transmisión,

calcule el coeficiente de reflexión en la carga, , el

en la línea, la impedancia de entrada en la

entrada de la línea. Asuma que ,

( ) y (a) ; (b) .

Solución El coeficiente de reflexión en la carga se puede cal-

cular utilizando la expresión

Sustituyendo los datos dados en el enunciado, en-

contramos el valor de

Podemos aprovechar que tenemos el coeficiente de

reflexión para calcular el de a siguiente forma:

| |

| |

La impedancia de entrada se calcula:

( )

Así bien, para

( ) ( )( ) (

)

( ) ( )

( )

Y para

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

Ejercicio 4

Enunciado Una línea de transmisión sin pérdidas está conectada

a . (a) Si se mide un de en la

carga, encuentre los dos valores posibles para . (b)

¿Cuál es el valor del SWR cuando se mide a una

distancia desde la carga?

Solución (a) Sabemos que la relación de onda estacionaria

está definida así:

| |

| |

Y en este caso su valor es , de forma que el mó-

dulo de sería:

| |

Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en la carga

debe corresponder a:

Para ambos valores . Resolviendo la

igualdad anterior para estos dos valores encontramos

los dos posibles valores de la impedancia caracterís-

tica, que son:

(b) El valor de la impedancia de entrada medida a

una distancia de es el mismo que en el resto

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4

de la línea de transmisión, pues es éste no depende

de la longitud.

Ejercicio 5

Enunciado Una línea coaxial tiene una impedancia característica

, una longitud física de , y está

rellena con un dieléctrico cuyo . Si su fre-

cuencia de operación es y está conectada a una

impedancia , calcule el coeficien-

te de reflexión en la carga, , el coeficiente de refle-

xión en la entrada, , el SWR en la línea, y la

impedancia en la entrada de la línea coaxial, .

Solución Calculamos primero el coeficiente de reflexión en la

carga :

Posteriormente, lo calculamos per ahora a una dis-

tancia de desde la carga:

( )

Para poder hacer éste cálculo expresaremos la longi-

tud en términos de lambda para así poder cancelar

los términos .

( ) ( )

( ) ( )

Note que la magnitud no cambia, ya que estamos en

un caso de una línea de transmisión sin pérdidas.

El cálculo del se realiza de la siguiente forma:

| |

| |

Finalmente, calculamos la impedancia de entrada

al final de la línea ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 6

Enunciado El siguiente circuito con líneas de transmisión tiene

, , ,

. Calcule la potencia promedio entregada a la

carga si: (a) ; (b) .

Solución El procedimiento a seguir será primero obtener el

voltaje a la entrada de la línea de transmisión, para

así poder trabajar el circuito como en los ejercicios

anteriores. El voltaje a una distancia de la carga se

puede obtener mediante la expresión que correspon-

de al divisor de voltaje:

Para el primer caso (a) donde , la impedan-

cia de entrada es:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

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5

( )

Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje, obtenemos

el voltaje en el nodo de entrada de la línea de trans-

misión

( √ )( )

( )

Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea, obten-

dremos ahora el voltaje incidente en la carga (ya que

la potencia entregada corresponde únicamente a la

parte incidente del voltaje). Sabemos que si el volta-

je a lo largo de la línea es:

( ) ( )

Entonces podemos escribir el voltaje incidente

en función del voltaje en la línea:

( )

( )

Para el caso descrito en el inciso (a):

( )

( )

( )

Una vez habiendo obtenido el voltaje incidente, es

posible ahora calcular la potencia entregada a la

carga:

( | | )

Para la longitud del inciso (b) se entregará la misma

potencia a la carga, ya que estamos tratando con una

línea sin pérdidas.

Ejercicio 7

Enunciado

Un radio transmisor de se conecta a una ante-

na a través de una línea coaxial de . La antena

puede ser representada por un resistor de

en serie con un inductor cuando se opera

a . Si el transmisor puede entregar

cuando está conectada a una carga acoplada. (a)

¿Cuál es el valor equivalente de la fuente de voltaje

?; (b) ¿Cuánta potencia es entregada a la antena a

?

Solución Para encontrar el valor equivalente de la fuente, ha-

gamos el supuesto entonces de que la carga está

completamente acoplada a la línea de transmisión, es

decir:

Así bien, podemos utilizar la expresión de potencia

promedio para obtener el voltaje de entrada de la

línea de transmisión y la carga :

( | | )

√

( | | )

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6

Dado que la línea está correctamente acoplada, la

impedancia de entrada de la línea será también de

, de modo que para encontrar el valor de

la fuente equivalente del transmisor podemos utilizar

el divisor de voltaje conformado por la impedancia

de entrada y la impedancia de salida de la fuente:

( )

Donde es el voltaje en el nodo de entrada de la

línea de transmisión. Así bien:

Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora pode-

mos calcular la potencia entregada a la carga. Para

facilitar los cálculos hagamos que la longitud de la

línea de transmisión tenga un valor de (po-

demos hacer esta suposición ya que la potencia en-

tregada es independiente de la longitud de la línea

para el caso sin pérdidas), así bien, podemos seguir

el mismo procedimiento que el ejercicio anterior.

Primero obtengamos la impedancia de entrada de la

línea, que después utilizaremos como parte del divi-

sor de voltaje.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Recordemos ahora que la tangente de tiende a

infinito, de modo que podemos simplificar la expre-

sión a

( ) ( )

( ) ( )

Ahora ejecutamos el divisor de voltaje

( ( ))

( )

( )

También necesitaremos calcular el coeficiente de

reflexión en la carga :

( )

Y ahora podemos calcular el voltaje incidente en la

carga :

( )

( )

( ( ) )

( )

Por lo tanto, la potencia entregada a la carga es:

( | | )

( )