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1

Año 2018: Periodo 03

TAREA 1: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta: ________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ NIVELACIÓN DESPEJE DE FORMULAS 3 5

48

r mm

p

8 3 54 (8 )

8

p r mm p

p

3 5 4 (8 )r m m p

3 5 32r m mp

3 5 ( 5 ) 32 ( 5 )r m m mp m

3 0 32 5r mp m

3 32 5r mp m

3 (32 5)r m p

3

(32 5)

rm

p

3

(32 5)

rm

p

VERIFICACIÓN Buscamos la variable m

Asumimos

r=3

p=4

Calculamos “m”

3(3) 9 9

(32(4) 5) 128 5 123m

Sustituimos todos los valores en la original

3 54

8

r mm

p

93(3) 5

91234

8(4) 123

459

36123

8(4) 123

123 459

36123 123

32 123

1152

3612332 123

1

36 36

123 123

Con lo cual se confirma el despeje

TAREA

a)5 2

4r pm

rm

, para m

2


b)5 2 3

78

p r k

pm

, para p

c)4 3 7

98

r mp r

p

, para m

3


d)4 3 7

115

r pm rp

pr

, para p

e)9 3 2

97

r k M

Mk

, para m

4


Factorice por tanteo simple dejando constancia

de los factores de c, y las combinaciones ab

Ejemplo 2 12 864x x

Factorizamos

Elaboramos la tabla de opciones

Por los que nos queda

( 36)( 24)x x

a) 2 10 2000x x

864 2

432 2

216 2

108 2

54 2

27 3

9 3

3 3

1

a b a-b

864 1 863

432 2 430

216 4 212

108 8 100

54 16 38

27 32 -5

9 96 -87

3 288 -285

24 36 -12

5


b) 2 81 1568x x

c) 2 11 900x x

d) 2 18 1768x x

e) 2 100 2304x x

6


Determine el resultado del siguiente ejercicio utilizando las reglas de las operaciones combinadas

-1

6 + 6 4 + -6 6 + 3 6 + 7 + 6 3 - 4

3 7 6 7 6 3 6 7

6 + 6 4 + -12 + 3 6 + 6 + 6 -1

7 6 7 7 3 14

6 + 6 39 6 + 6 + -1

14 7 7 7

6 + 702 + 6 + -1

49 7 7

R=

1 -1

5 + 6 7 + -4 8 + 4 6 + 6 + 8 2 - 7

3 6 4 7 2 3 6 6

R=

2 -1

-10 + 1 11 + -5 7 + 5 1 + 6 + 7 3 - 11

3 6 5 7 9 3 6 6

R=

1031 1031/49

49

316/9

-641/63

7


3 -1

-9 + 6 5 + -6 4 + 6 6 + 6 + 4 5 - 5

3 6 6 7 8 3 6 6

R=

4 -1

1 + 3 5 + -3 3 + 3 3 + 6 + 3 4 - 5

3 6 3 7 7 4 6 6

R=

5 -1

10 + 4 8 + -3 1 + 6 4 + 6 + 1 4 - 8

3 6 3 7 4 3 6 6

R=

1531/168

2074/63

49/3

8


6 -3 -4 6 23 29 -3 17 29 -4 17 23

17 23 29 17 23 29 23 17 29 29 17 23

verificacion

=

=

ok

1 -7 -2 7 ok

13 23 29

2 6 3 2 ok

13 29 31

3 -3 3 3 ok

17 29 37+ + =

+147

+18241

+ + =-3,330

+8671

+ + =+7357

+11687

+0.3529 -0.1304 -0.1379 +0.0846

+0.0846 +0.0846

-1564

11339 11339 11339

=959

11339

+ + = + +

=4002

+-1479

+

9


TEORÍA MÉTODOS 2, PARCIAL 1, VERSIÓN 2 FUNCIÓN Explicación General: Si podemos expresar un variable en términos

de uno o más variables diremos que una

variable es función o depende de una o más

variables.

Por ejemplo el costo de un pastel, depende de

los precios y cantidades de harina, huevos,

leche y mantequilla.

Por lo cual podemos decir que el costo de un

pastel es función de dichas variables, en

lenguaje matemático lo podemos expresar así:

Costo = f(harina, huevos, leche, mantequilla)

Si usáramos variables más comunes en el

lenguaje matemático tendríamos

Z=f(r, s, l, m)

Si lo expresamos como una fórmula

matemática podríamos tener algo como

f(r, s, l, m)= Z = 7r + 5s + 22l + 50m

Como todas las variables tienen exponente 1,

diremos que esta es una función lineal, de Z

respecto a r, s, l y m.

Las funciones tienen una característica muy

importante, para cada grupo de valores de las

variables independientes (r, s, k, m), solo existe

un resultado posible para la variable

dependiente (Z)

Por ejemplo si r=5 libras de harina, s = 24

huevos. L=2 litro de leche, m=1 libra de

mantequilla diremos:

Z = f(5, 24, 2, 1) = 7(5) + 5(24) + 22(2) + 50(1)

= 35 + 120 + 44 + 50=249 lempiras

En esta clase solo trataremos con funciones de

una variable independiente. Y al resultado de

la función la relacionaremos con la variable

“y” que llamaremos variable dependiente y la

independiente será la “x” y esto lo

expresaremos así:

Y= f(x)

Para el caso tenemos la formula

Y=3X+2

Podremos decir que Y es función de x y la

expresaremos así

F(x)=3x+2

Si x=2

Calculamos f(2)= 3(2)+2 = 6+2=8

Y diremos que y=f(2)=8

Representación gráfica: Una función lineal puede ser representada en

el plano cartesiano como una línea recta, que

cumple con la condición que si trazamos una

línea imaginaria vertical, solo toca un punto.

Conceptos matemáticas relacionados con la función

A. CONJUNTOS

B. PAR ORDENADO

C. PRODUCTO CARTESIANO

D. RELACION

E. FUNCION

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Como podemos ver para poder llegar al

concepto de función debemos comprender

varios conceptos previos.

A. CONJUNTO Es el concepto más general. Es una colección

de elementos que se denota por una letra

mayúscula y cuyos elementos se expresan de

dos maneras:

a) Por extensión: describiendo todos los

elementos: { , }A rojo verde

b) Por comprensión: describiendo la

lógica detrás de los elementos

{( , ) , 1}A x y x y x ℝ ℝ Esto se lee:

A es el conjunto de todos los pares de

datos representados por (x, y) que

pertenece al producto todos los pares

ordenados de los reales, y que cumple

la condición que 1y x

B. PARES ORDENADOS Dentro del concepto de conjunto está el de par

ordenado que es un conjunto de dos

elementos en los cuales importa el orden y se

representan por (x, y), de tal maneara que (3,2)

no es lo mismo que (2,3).

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,3) representa el par ordenado (x,

y), de manera que x=4, y y=3.

Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en

la dirección de x, y 3 unidades en la dirección

de y

C. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto

que resulta de combinar dos conjuntos simples

A y B .

{1, 2,3, 4}A

{ , }B a b

El cual se puede graficar así en el plano

cartesiano

En el caso de conjuntos que representan intervalos de números

1,4A x

1,3B y

El producto cartesiano en términos graficos será el siguiente:

D. RELACIÓN Es un subconjunto del producto cartesiano

Por ejemplo del producto cartesiano

y

(4,3)

x

B=

AxB a b

1 ( 1,a) ( 1,b)

A= 2 ( 2,a) ( 2,b)

3 ( 3,a) ( 3,b)

4 ( 4,a) ( 4,b)

4

3

2

1

1 2 3 4

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Graficado asi

Tenemos el subconjunto C que llamaremos

relación C del producto cartesiano AXB

C= relación de AxB = {(1, a), (1, b)} y su grafica

es asi

Dado el producto cartesiano

Tenemos dos ejemplos de relaciones

E. Función: es un subconjunto del producto

cartesiano que cumple la regla, que todo

elemento del dominio solo tiene como pareja

un elemento del rango.

Por ejemplo del producto cartesiano

Tenemos la función D que llamaremos funcion

D del producto cartesiano AXB

D= función de AxB = {(1, a), (2, b)}

Que graficamos así:

Que cumple la regla que un dato del origen “A”

no tiene más de un dato de destino “B”

Del producto cartesiano

La grafica de una función seria la siguiente

4

3

2

1

1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

0

0 1 2 3 4

4

3

2

1

1 2 3 4

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Que cumple la regla que si paso una línea

vertical imaginaria solo tocaría un punto.

El circulo abierto indica que ese punto

precisamente no se incluye, y el circulo negro cerrado indica que si se incluye. Otros ejemplos de funciones son las siguientes

Formalmente podemos expresar una función

A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la

regla de la ecuación.

1/ 3 1/ 3y x Y los valores de “x” están

limitados entre 1 y 4, y los de “y” entre 1 y 3

Se expresa así:

{( , ) , 1 / 3 1/ 3,A x y talque y x

1,4 , 1,3 }x y

Y su grafica es:

APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO Y DE LA FUNCIÓN

José debe tener una decisión en dos etapas:

La primera decisión es si se transporta en auto

o en moto. La segunda decisión es si va al cine

o aun restaurante.

El conjunto de todas las posibilidades resulta

ser un producto cartesiano.

Donde A= conjunto de los medios de

transporte

Donde B = conjunto de los destinos

Una relación C seria C = {(auto, restaurante), (auto, cine)}

Para la decisión de ir en auto existen dos

opciones, restaurante o cine. Por lo que es no

es una decisión única.

Una función “D” seria D= {(moto, restaurante), (auto, cine)}

Como se puede ver la relación produce

decisiones ambiguas, pero la función produce

decisiones exactas:

si se va en moto se va ira al restaurante

si se va en auto se ira al cine

FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano.

REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano

representa una función si se cumple que al

4

3

2

1

1 2 3 4

A X B restaurante cine

moto (moto,restaurante) (moto,cine)

auto (auto,restaurante) (auto,cine)

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trazar una línea vertical solo suceden dos

casos. Solo toca un punto, o no toca ningún

punto. Si toca dos puntos en algún momento

entonces no es una función es una relación.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO

1. Variable dependiente “y” 2. Variable independiente x (sola) 3. Expresión algebraica

( ) _ _y f x formula de x

4. Evaluación de una función

Si:

( ) 3 2y f x x

(2) 3(2) 2 8f

(3) 3(3) 2 11f

5. Dominio: es el conjunto de todas las

“x”, que forman parte de la gráfica.

6. Rango o Recorrido: es el conjunto de

todas las “y” que forman parte de la

grafica

Línea vertical solo toca un punto: si se traza

una línea vertical en cualquier parte de la

función f(x) solo se tocara un punto. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO

Las funciones pueden ser racionales e

irracionales a las que también se les llama

funciones algebraicas; asimismo, existen las

funciones trascendentes dentro de las

cuales se ubican las funciones

exponenciales, logarítmicas y

trigonométricas.

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EJEMPLOS DE FUNCIONES DE POLINÓMICAS Lineal: ( )f x ax b

Cuadrática:

2( )f x ax bx c

2( )f x a mx b c

Cubica: 3 2( )f x ax bx cx d

Funciones racionales

( )

ax bf x

x a x b

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INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES EN EL CONTEXTO ECONÓMICO:

Sean dos conjuntos de datos relacionados por

pares cartesianos como ser:

Precio =p

Cantidad = q = quantity (cantidad en

inglés)

Si decimos que ambas variables están

relacionados por la ecuación: 7p-14q=7

Matemáticamente podemos despejar para p y

tendremos la ecuación:

7 14 7p q

2 1p q

Donde podemos decir que p es una función

respecto a q expresada como:

( ) 2 1p f q q

Siendo

la variable independiente q

la variable dependiente p

Nota: es importante recordar que en el

contexto real, normalmente la decisión se

toma en el precio, y la cantidad es la

consecuencia del precio, por lo que la función

debería ser cantidad en términos de precio q=

f(p), pero por convención o costumbre en el

contexto económico, se grafica la función

p=f(q)Pero por

:

En el contexto matemático:

El dominio de p=f(q) son los reales

El rango de p=f(q) también son los

reales

Pero en el contexto económico:

El domino de la función: p=f(q) son

todos los números positivos y el cero

El rango de la función: son todos los

números mayores o iguales a y=1

Esto debido a que los precios ni las cantidades

pueden ser negativos

y=precio=lps

4

3

2

1

0

-1

-2

-1 0 1 2 3 4 5 6

f(x)

x=q=quantity=unidades

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FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma:

f(x) mx b

Características de la ecuación:

El exponente de las variables es 1

La función se acostumbra que “y”

depende de “x”

Características de la grafica:

Intercepto en x: Ix(?, 0)

Intercepto en y: Iy(0, ?)

Pendiente m, si m= positiva es

creciente, si m = negativa es decreciente

Características de la función

Variable dependiente = x

Variable independiente = y

Dominio = reales

Rango = reales

Y su representación grafica es

Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye

2 1

2 1

y yym

x x x

A continuación tipos de pendientes de una función

Nota: una recta vertical no es una pendiente

Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x1, y1) en la siguiente formula:

1 1( )y y m x x

LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un

valor en x. De manera que los puntos (2,3),

(2,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es

función.

Si aplicamos la formula

2 1

2 1

(4) (3) 1

(2) (2) 0

y ym indefinido

x x

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EJERCICIOS: CASO 1: Dados dos puntos determinar

ecuación de la recta

(1, 2) y (3,5) Paso 1: determinamos

X1=1, y1= 2

X2=3, y2=5

Paso 2: aplicamos la fórmula:

2 1

2 1

y yym

x x x

(5) (2) 3

(3) (1) 2m

Paso 3: determinar la ecuación de la recta

aplicando

1 1( )y y m x x

3( (2)) (1)

2y x

3 32

2 2y x

3 32

2 2y x

3 1

2 2y x

Paso 4: verificación X=3

3 1(3) 10 / 2 5

2 2y

Se cumple (3,5)

Paso 5: intercepto en y o sea Iy(0, ¿) Sabemos que x=0

Sustituimos en la ecuación

3 1 1(0)

2 2 2y

Planteamos formalmente

10,

2Ix

Paso 6: Intercepto en x o sea Ix(¿, 0) Sabemos que y= 0

Sustituimos en

3 1

2 2y x

3 10

2 2x

Y despejamos

1 3

2 2x

1 2

2 3x

1

3x

Plateamos formalmente

1,0

3Ix

Paso 6: tabla de valores

Tipo x y (x, y)

Iy 0 3 1 1(0)

2 2 2

(0,1/2)

Ix -1/3 3 1 1( ) 0

2 3 2

(-1/3,0)

Paso 7: graficamos

Paso 8: las características de la función

Dominio (valores de x) = Reales= ,

Rango (valores de y) = Reales= ,

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TAREA 2: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ Datos los puntos (1,3) y (7,4)

1. Determinar la pendiente (m)

2. Determinar le ecuación (Y) y verificar

3. Determinar Intercepto en X

4. Determinar Intercepto en Y

5. Tabla de Valores

6. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)

7. Dominio y Rango

19


2. Dados los puntos (-3,-4) y (-2,5)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

20


3. Dados los puntos (5,6) y (8,2)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

21


4. Dados los puntos (3 ,4) y (9 ,2)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

22


5. Dados los puntos (-3,3) y (3,-3)





5. Tabla de Valores


7. Dominio y Rango

23


DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA: 2( ) 2 2 24y f x x x

1. Determine el vértice de la ecuación

( , ) ( , )v vh k x y

Igualamos 2 22 2 24y x x ax bx c

Y determinamos: a=2, b=-2 , c=-24

Calculamos el valor en x del vértice con la formula:

( 2) 2 1

2 2(2) 4 2v

bh x

a

Para calcular el valor en y del vértice calculamos la función

( ) ( )v vf h f x k y

21/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 24y f

2 2 4924

4 2 2

formalmente

( , ) ( , ) (1/ 2,49 / 2)v vh k x y

2. Determinar Intercepto en Y El intercepto en y es Iy(0, ¿) Calculamos

20 2 0 2 0 24 24y f

Formalmente (0, 24)Ix

3. Determinar los intercepto en “x” o sea Ix ( ¿, 0) y verifique

Para encontrar los intercepto en x hacemos y=0

20 2 2 24y x x

Aplicamos la función cuadrática a=2, b=-2 , c=-24

Discriminante: 2 4b ac 2( 2) 4(2)( 24)

4 192 196 Calculamos las raíces

2

1 2

4,

2 2

b b ac bx x

a a

1 2

( 2) 196 2 14,

2(2) 4x x

1 2

2 14 2 144, 3

4 4x x

Si queremos presentar la expresión factorizada aplicamos

2

1 2( )( )ax bx c a x x x x 22 2 24 2( (4))( ( 3))x x x x 22 2 24 2( 4)( 3)x x x x

Ix(¿,0) cuando (x-4)= 0 o sea cuando x=4

(x+3)=0 o sea cuando x=-3

Formalmente Ix1(4, 0) , Ix2(-3, 0)

4. Tabla de Valores

Tipo x y (x, y)

Ix2 -3 0 (-3, 0)

Iy 0 -24 (0, -24)

(xv, yv) ½ -49/2 (1/2, -49/2)

Ix1 2 0 (2,-20)

Ix1 4 0 (4,0)


6. Dominio y Rango

Dominio = ]-00, +00 [ = Reales

Rango = ]-24.5, +00[ =]-49/2, +00[

24


DADA LA ECUACIÓN CUADRÁTICA:

1) 23 6 24y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y


3. Determinar los intercepto en “x” y verifique

4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

25



2) 25 30 35y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

26



3) 23 17y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

27



4) 27 28 21y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

28



5) 24 2 16y x x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

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TAREA 3: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ CONCEPTO DE DOMINIO Y RANGO EJEMPLO 1: Sean los conjuntos: A= {1,2,3,4} B={a, b} El producto cartesiano AXB es igual a

En este producto cartesiano al conjunto A lo

llamaremos conjunto de origen o dominio.

Y al conjunto B lo llamaremos conjunto de

destino, o de Rango o de las imágenes.

En el ejemplo anterior: El dominio de AXB = {a, b}, que en este caso

resulta ser A= {a, b}

El rango de AXB = {1,2,3,4}, que en este caso

resulta ser B = {1,2,3,4}

EJEMPLO 2: De la siguiente relación

Determinamos que El dominio seria {1,4}

Y el rango seria {a,b}

Nota: Esta relación no es una función porque el

dato del origen “1” tiene dos contrapartes en

el conjunto del destino o sea “a” y “b”.

EJEMPLO 3:

Dada la siguiente función

Observamos que es una función continua:

En este caso el Dominio que son los valores

validos de x, van desde 1 hasta 8, sin tomar en

cuenta el 1 y si tomando encuentra el 8 y lo

representamos como un intervalo:

Dominio de f(x) = ]1, 8]

Para el rango es un poco más complicado

Porque tenemos tres grupos de rango

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

F(x)

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

F(x)

30


Primera parte = ]1, 8[

Segunda parte = [2.5, 8]

Tercera parte = [2.5, 6]

Esto se puede expresar como la unión de

todos los intervalos

Rango de f(x) = ]1, 8[ U [2.5, 8] U [2.5,

6]

Si ponemos las tres gráficos al mismo tiempo

Y trazamos líneas verticales imaginarias nos

daremos cuenta que al fusionarlos nos queda

este intervalo:

Este análisis lo podemos hacer directamente

en la gráfica así

O sea que nos quedaría si:

EJEMPLO 4:

Si identificamos los grupos de dominio y rango

tendríamos los siguientes:

Podemos ver que el dominio y el rango es la

unión de dos partes:

Dominio de F(x) = ]1, 3 ] U [4, 6[

En el caso del rango podemos ver que hay dos

grupos un grupo es [9, 10]

El otro es la unión de ]1, 8] U [2.5, 8] U [2.5, 6],

si observamos podemos resumirlo a uno solo

]1, 8] que contiene a los tres, por tanto:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7 8

Dominio = ]1, 8]

Ran

go =

] 1

, 8 ] F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

31


Rango = ] 1, 8 ] U [9, 10]

Y nos queda así:

EJEMPLO DE DOMINIO Y RANGO DE UNA

RELACIÓN QUE NO ES FUNCIÓN:

Esta relación no es una función porque una

línea vertical toca dos puntos.

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

Dominio = ]1, 3 ] U [4, 6[

F(x)

Ran

go =

] 1

, 8 ]

U [

9, 1

0]

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

Dominio =[1, 6[

Ran

go =

] 1

, 8 ]

U [

9, 1

0]

32


Identifique el dominio y el rango de las

siguientes gráficas, mediante rectas

numéricas e intervalos:

1)

2)

3)

4)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

33


5)

6)

7)

8)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

y

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

X

1 2 3 4 5 6 7

F(x)

34


Conteste las siguientes preguntas:

1) Que es un producto cartesiano?

2) Que es una relación?

3) Que es una función?

4) Que es un par ordenado?

5) Una función puede ser a la vez un a

relación?

6) Cuál es el dominio de una función?

7) Cuál es el rango de una función?

8) En una gráfica continua, si trazamos

una recta vertical imaginaria y se tocan

dos puntos de la gráfica, como

clasificáramos esta grafica

a. Como solo función

b. Como función y relación

c. Como solo relación

9) En la función y = x+3. Quien es la

variable independiente, y quien la

variable dependiente?

35


FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definimos valor absoluto como

, 0

, 0

x xx

x x

Y también como 2

x x

Ejemplos

Ecuación

y a mx b c

Si ( )g x mx b

También Tenemos la forma

( )y a g x c

Forma de la grafica

SI a es positivo

Si a es negativo

Característica de la grafica Vértice (xv, yv)

Xv: es igual a x si ( ) 0g x

bXv

m

Yv:

Xv= f(h)= ( )a m h b c

Yv= f(h)= c

Intercepto en y = Iy =(0, ?)

Intercepto en x = Ix =( ?,0)

Dominio = ℝ =Reales

Rango

SI a es positivo [ , [k

Si a es negativo

] , ]k

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x

Paso 1: determinar vértice

(xv, yv)

( ) 0g x

3x-6=0

X=6/3=2

3(2) 6 3y

6 6 3y

0 3y

3y

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)

X=0

3(0) 6 3y

6 3y

(6) 3y

3y

Iy(0,-3)

Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)

Y=0

0 3 6 3x

3 3 6x

33 6

1x

3 3 6x

36


+ -

3 3 6x

3 3 6x

3 6 3x

9

3x

3x

3 3 6x

3 3 6x

3 3 6x

3 3x

3

3x

1x

Ix(3, 0)

Ix(1, 0)

Paso 4: elaborar grafica

Paso 5: determinar dominio y rango

Dominio

= ℝ =Reales

Rango:

Como “a” es negativo

] ,3]

37


DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:

1) 3 2 8 5y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

38



2) 2 6 3 4y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

39



3) 3 3 12 7y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

40



4) 5 2 5 3y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

41



5) 6 3 4 2y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

42


TAREA 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ FUNCIÓN RADICAL Ecuación

y a mx b c

Si ( )g x mx b

Forma de la grafica

SI a es positivo y

m positivo

Si a es negativo y

m positivo

SI a es positivo y

m negativa

Si a es negativo y

m negativo

Vértice (h, k)

h: es igual a x si ( ) 0g x

k:

k= f(h)= ( )a m h b c

k= f(h)= c

Intercepto en y = Iy =(0, ?)

Intercepto en x = Ix =( ?,0) Dominio

SI m es positivo [h, [

Si m es negativo

] , ]h

Rango

SI a es positivo [ , [k

Si a es negativo

] , ]k

EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3y x

Paso 1: determinar vértice

(h, k)

( ) 0g x

3x-6=0

X=6/3=2

X=2

3(2) 6 3y

6 6 3y

0 3y

3y (h,k)=(2,3)

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?)

X=0

3(0) 6 3y

6 3y

En este caso no hay intercepto en y

43


Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)

Y=0

0 3 6 3x

3 3 6x

223 3 6x

9 3 6x

9 6 3x

(9 6)

3x

5x

Ix = (5,0)

Paso 4: agregar otros puntos para tener 3 puntos graficables Para no tener que probar puntos a ambos

lados podemos calcular el dominio

cuando

( ) 0g x 0mx b

3 6 0x

3 6x

6

3x

2x Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores

x y

-1 No Definido

0 No definido

1 No Definido

2 3

5 0

6 (Nota: este punto

fue elegido a

voluntad)

3(6) 6 3y

12 3y

2 3 3 0.46y

Paso 5: determinar dominio y rango

Dominio

Por simple inspección a la gráfica o sino

observando que m es positivo

Rango:

Por simple inspección a la gráfica o sino

observando que a es positivo

] ,3]

44



1) 6 2 10 5y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

45



2) 2 9 3 1y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

46



3) 5 3 2 7y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

47



4) 4 2 7 3y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

48



5) 5 8 3 2y x


(Xv, Yv)=(h, k) = ( , )v vx y



4. Tabla de Valores


6. Dominio y Rango

49


DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 1): ( )

( ) , ( ) 0( )

p xy f x q x

q x

Asíntotas: son líneas verticales, horizontales o

inclinadas imaginarias a las cuales la gráfica se

acerca sin tocar nunca en:

Menos Infinito

Mas infinito

Por la izquierda a un punto prohibido

Por la derecha a un punto prohibido

Punto faltante: son factores que están en el

polinomio de arriba y el polinomio de abajo y

se pueden cancelar.

Dada la grafica (3 3)

( ) 1(3 9)

xy f x

x

Fusionamos en una sola fracción (3 3) (3 9)

( )(3 9) (3 9)

x xy f x

x x

(3 3 3 9)( )

(3 9)

x xy f x

x

(6 6)( )

(3 9)

xy f x

x

Debemos lograr esta grafica

1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.

Los factores de arriba solo pueden ser

intercepto en x, o puntos faltantes,

Los factores de abajo solo pueden ser

valores prohibidos, o puntos faltantes

Los puntos faltantes ocurren cuando el

mismo factor está arriba y abajo

En este caso vemos que solo hay un factor

arriba (6x-9) que sería el intercepto en x

En este caso vemos que solo hay un factor

abajo (3x-9) y no esta repetido por lo tanto

seria el que define el valor prohibido y la

asíntota vertical

Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor

Tipo

Arriba (6x-6) X=1 Intercepto en x

Abajo (3x-9) X=3 Asíntota vertical

2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical

Vemos que el polinomio (3x-9) no puede ser

igual a cero porque se produciría un error

matemático.

Por lo cual el valor prohibido de x ocurre

cuando:

3x-9=0

Despejando nos queda X=9/3=3

Formalmente Asíntota Vertical (AV): x=3

3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:

(6 6)0

(3 9)

x

x

Nos queda 0(3 9) (6 6)x x

0 (6 6)x

Despejando nos queda x=6/6=1

Formalmente Intercepto en x = Ix (1, 0)

50


4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0

Sustituimos (6(0) 6) 6 2

( ) 0.67(3(0) 9) 9 6

y f x

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, 2/3)

5) Asíntota Horizontal La asíntota horizontal es una línea horizontal

imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el

infinito, puede o no cruzarla la gráfica.

Para determinarla se divide el termino

principal del polinomio de arriba entre el

termino principal del polinomio de abajo

6: 2

3

xAH y

x

Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2

(6 6)2

(3 9)

xy

x

Y despejamos 2(3 9) (6 6)x x

6 18 6 6x x 18 6 es falso

Por tanto no cruza la horizontal 6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 (6( 100) 6)1.96

(3( 100) 9)

(-100, 1.96)

Iy 0 (6(0) 6) 2

(3(0) 9) 3

(0,0.67)

Ix 1 (6(1) 6) 00

(3(1) 9) 6

(1,0)

AV-∆

3-0.01

(6(2.99) 6)398

(3(2.99) 9)

(2.99, -398)

AV 3 (6(3) 6) 12

(3(3) 9) 0

No definido

No Definido

AV+∆

3+0.01

(6(3.01) 6)402

(3(3.01) 9)

(3.01, 402)

+00 +100 (6(100) 6)2.04

(3(100) 9)

(100, 2.04)

7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas

AV: X=3

AH: y=2

Segundo ubicamos las tendencias e

interceptos

51


Tercero unimos por el camino mas corto

Y finalmente tenemos la grafica

8) Determinamos el dominio

El dominio lo podemos definir como todos los

números reales menos los valores prohibidos,

el valor prohibido en este caso es la asíntota

vertical.

Dominio = 3ℝ

O Dominio = , 3

9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los

reales menos la asíntota horizontal, a menos

que la función cruce la asíntota horizontal.

AH: y=2

Rango = 2ℝ

Rango = , 2

Rango = , 2 2,

52


DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL:

1) 5 2

14 3

xy

x

1. Fusione en una fracción

2. Determine la asíntota vertical

3. Determine la asíntota horizontal

4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal


6. Determinar el intercepto en “x”

7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

53



2) 3 4

22 5

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

54



3) 2 4

35 3

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

55



4) 3 7

46 6

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

56


DADA LA ECUACIÓN RACIONAL:

5) (3 )

56 4

xy

x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

57


TAREA 5: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 2):

( )( ) , ( ) 0

( )

p xy f x q x

q x

A continuación haremos ejemplos con puntos faltantes Dada la grafica

2

2

( 5 6)( )

( 3 10)

x xy f x

x x

Factorizamos por tanteo ( 3)( 2)

( )( 5)( 2)

x xy f x

x x

Como vemos existe un facto repetido que es (x+2) por lo cual lo podemos cancelar

( 3)( )

( 5)

xy f x

x



Tipo

Arriba (x+3) X=1 Intercepto en x

(x+2) X=-2 Punto faltante

Abajo (x-5) X=5 Asíntota vertical

(x+2) X=-2 Punto faltante


Vemos que el polinomio (x-5) no puede ser

igual a cero porque se produciría un error

matemático.

Por lo cual el valor prohibido de x ocurre

cuando:

x-5=0

Despejando nos queda X=5

Formalmente

Asíntota Vertical (AV): x=5

En el caso del punto faltante también tenemos

un punto prohibido en el factor (x+2)

Que nos dice que x=-2 no se puede evaluar.

Sin embargo si factorizamos esa limitación es

removible y se le llama punto faltante.

Podemos calcular el valor de y sustituyendo en

( 2 3) 1( )

( 2 5) 7y f x

Por tanto el punto faltante es (-2, - 1/7)


( 3)0

( 5)

x

x

Nos queda 0( 5) ( 3)x x

0 ( 3)x

Despejando nos queda x=-3

Formalmente Intercepto en x = Ix (-3, 0)

4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0

Sustituimos ((0) 3) 3 3

(0) 0.60((0) 5) 5 5

y f

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -3/5)

5) Asíntota Horizontal 2

2: 1

xAH y

x

Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2

( 3)1

( 5)

xy

x

Y despejamos 1( 3) ( 5)x x

3 5x x

58


3 5 es falso Por tanto no cruza la horizontal

6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 (( 100) 3)1.96

(( 100) 5)

(-100, 0.92)

Ix -3 (( 3) 3) 00

(( 3) 5) 8

(1,0)

Iy 0 ((0) 3) 30.60

((0) 5) 5

(0,-0.60)

AV-∆

5-0.01

((4.99) 3)799

((4.99) 5)

(4.99, -799)

AV 5 ((5) 3) 8

((5) 5) 0

No Def.

AV+∆

5+ 0.01

((5.01) 3)801

((5.01) 5)

(5.01, 801)

+00 +100 ((100) 3)1.08

((100) 5)

(100, 1.08)

7) Elaboramos la grafica Ubicamos las asíntotas. AV: X=5 AH: y=1

Segundo ubicamos las tendencias, intercepto

y punto faltante.

Tercero unimos por el camino más corto

Y finalmente tenemos la grafica

8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los

números reales menos los valores prohibidos,

el valor prohibido en este caso es la asíntota

vertical.

Dominio = 2,5 ℝ

O Dominio = , 2,5

Dominio = , 2 2,5 5,

9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los

reales menos la asíntota horizontal, a menos

que la función cruce la asíntota horizontal.

Rango = 1/ 7,1 ℝ

Rango = , 1/ 7,1

59


DADA LA ECUACIÓN DE RACIONAL (NIVEL 2):

1) 2

2

( 2)( 5 6)

( 2 8)

x xy

x x

1. Factorice y clasifique factores






7. Determine el punto faltante

8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

60



2) 2

2

( 7)( 9 14)

( 4 21)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

61



3) 2

2

( 7 18)

( 11 18)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

62



4) 2

2

( 16 55)

( 8 33)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

63



5) 2

2

( 19 84)

( 10 24)

x xy

x x








8. Tabla de Valores


10. Dominio y Rango

64


DADA LA ECUACIÓN RACIONAL (NIVEL 3): ( )

( ) , ( ) 0( )

p xy f x q x

q x

A continuación haremos ejemplos con dos asíntotas verticales, y asíntota horizontal Y=0 Dada la grafica

2

( 4)( )

( 56)

xy f x

x x

Factorizamos por tanteo ( 4)

( )( 8)( 7)

xy f x

x x

Como vemos el grado del polinomio de arriba es 1, y el de abajo es 2, y no hay factores repetidos para puntos faltantes



Tipo

Arriba (x+4) X=-4 Intercepto en x

Abajo (x-8) X=8 Asíntota vertical

(x+7) X=-7 Asíntota vertical


En este casos los valores prohibidos son -7 y 8,

y constituyen las asíntotas verticales cuando

x-8=0

x+7=0

Despejando nos queda X=8

X=-7

Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= 8

Asíntota Vertical (AV): x= -7


( 4)0

( 8)( 7)

x

x x

Nos queda 0( 8)( 7) ( 4)x x x

0 ( 4)x

Despejando nos queda x=-4

Formalmente Intercepto en x = Ix (-4, 0)

4) Calculamos el intercepto en y, que

ocurre cuando x=0 Sustituimos

((0) 4) 4 4 1( )

((0) 8)((0) 7) ( 8)( 7) 56 14y f x

Formalmente Intercepto en y = Iy (0, -1/14)

5) Asíntota Horizontal Calculamos

2

1:

xAH y

x x

Nota: como no nos queda una constante

debemos evaluar que ocurre en – infinito y +

infinito

Usamos -1000 y nos queda 1/(-1000)=10.001

Usamos +1000 y nos queda 1/(+1000)=+0.001

Lo cual nos dice que tiene a la recta horizontal

y=0

REGLA GENERAL: cuando el grado del

polinomio del numerador sea menor que el del

denominador la asíntota horizontal siempre

será y=0 Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=1

( 4)0

( 8)( 7)

x

x x

Y despejamos ( 8)( 7)0 ( 4)x x x

0 ( 4)x

X=-4, por lo tanto si cruza cuando x=-4

65


6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y)

-00 -100 ( 100 4)

( 100 8)( 100 7)

= -0.010

(-100, -0.010)

AV-∆ -7 -0.01

-20.053 (-7.01, -20.053)

AV -7 No definido No Definido

AV+∆ -7+ 0.01

19.947 (-6.99, 19.947)

Ix -4 0 (-4,0)

Iy 0 =-1/14= -0.071 (0, -0.071)

AV-∆ 8-0.01 -79.987 (7.99, -79.987)

AV 8 No definido No Definido

AV+∆ 8+ 0.01

80.013 (8.01, 80.013)

+00 +100 +0.011 (100, 0.011)

7) Elaboramos la grafica

Primero ubicamos las asíntotas

AV: X=-8, x=7 AH: y=0

Segundo ubicamos las tendencias, interceptoS

Tercero unimos por el camino más corto

Cuarto unimos y logramos la grafica

8) Dominio

Dominio = 8,7 ℝ

9) Rango

Rango = 0ℝ

66



1) 2

( 3)

( 2 35)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

67



2) 2

( 7)( 2)

( 2 8)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

68



3) 2

( 3)

( 3 10)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

69



4) 2

(2)

( 8 20)y

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

70



5) 2

( 1)

( 3 15)

xy

x x







7. Tabla de Valores


9. Dominio y Rango

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