TAREA FÍSICA ELECTRÓNICA

KARINA CATALÁN SANDOVAL ROL: 2904008-7FECHA DE ENTREGA: lQ) -ºª-/20l2

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L ~ 1 [nm]

4 Ecuación de Schrödinger (en 1 dimensión)

4.2 Resuelva la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) para el caso de ancho 1[nm]. Calculelas energías, dibuje las ecuaciones de onda (en función de la posición), y dibuje la función de probabilidad (enfunción de la posición) hasta n=3. Utilice preferentemente Matlab para los cálculos y gráficos (el softwareMathematica también puede ser usado).

Energías

En =n2π2~2

2me

n = 1 E1 = 6.0234 · 10−29

n = 2 E2 = 2.4093 · 10−28

n = 3 E3 = 5.4211 · 10−28

Ecuaciones de onda

n=1

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-40 000

-20 000

0

20 000

40 000

n=2

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-40 000

-20 000

0

20 000

40 000

1

n=3

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-40 000

-20 000

0

20 000

40 000

Funciones de probabilidad

n=1

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-2 ´ 109

-1 ´ 109

0

1 ´ 109

2 ´ 109

n=2

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-2 ´ 109

-1 ´ 109

0

1 ´ 109

2 ´ 109

n=3

2

0 2. ´ 10-10 4. ´ 10-10 6. ´ 10-10 8. ´ 10-10 1. ´ 10-9

-2 ´ 109

-1 ´ 109

0

1 ´ 109

2 ´ 109

La función de probabilidad ‖ ψ(x) ‖2 es la probabilidad de encontrar a la partícula dentro del pozo en unpunto x del espacio.

3

5 Kronig-Penney Model

5.1 Lea los puntos 2.3.8 y 2.3.9 en:

http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_3.htm#2_3_8, los cuáles explican la derivacióndel modelo de Kronig-Penney. Escriba un programa (Usando Matlab preferentemente) para obtener el gráficoE-k (unidades eV y 1/nm respectivamente) usando ecuación (2.3.58). Use a=1 nm, b=1 nm, V=5eV, m=me(masa electrón). Grafique solo primera sección como ejemplo mostrado en clases.

Usando la ecuación 2.3.8

α2 − β2

2αβsinh(αb) sin(β(a− b)) + cosh(αb) cos(β(a− b)) = cos(ka)

donde α =

√2m(Vo−E)

~ y β =√2mE~ , con m = me = 9.109 × 10−31[Kg], ~ = 1.054 × 10−34[J · s], V0 =

8.0109× 10−19[J ] y a = b = 10−9[nm]

Graficando la parte izquierda de la ecuación, obtenemos:

2. ´ 10-18 4. ´ 10-18 6. ´ 10-18 8. ´ 10-18 1. ´ 10-17

-1

1

2

3

4

Ahora resolvemos la ecuación (utilizando el comando “FindRoot”) para E (en función de valores fijos de k)y obtenemos el siguiente gráfico E-k, correspondiente a la primera banda de energía:

@eVD

@kD

5.0 ´ 108 1.0 ´ 109 1.5 ´ 109 2.0 ´ 109 2.5 ´ 109 3.0 ´ 109

3.2452

3.2454

3.2456

3.2458

3.2460

3.2462

3.2464

donde k → {0, πa}

5.2 Usando los resultados de 5.1 obtenga “effective mass” explique los que se asume físicamente para derivarla masa efectiva.

Como es muy complicado tomar en cuenta cada una de las fuerzas internas que actúan sobre el electrónmientras se mueve dentro del “lattice”, lo que se hace es tomar una “masa efeciva” que contenga implícitamenteeste efecto que tienen las fuerzas sobre la partícula. La forma de derivarla es la siguiente:

1

1

~2d2E

dk2=

1

m∗

donde m∗. Para determinar la “effective mass” lo que hacemos es aproximar el “bottom” de la primera bandade energía a una parábola, para esto aplicamos el comando “fit square” y obtenemos la siguiente expresión:

E = 3.24 + 1.72 · 10−13k + 1.76 · 10−22k2

que graficamente se ve como:

@eVD

@kD

-3 ´ 109 -2 ´ 109 -1 ´ 109 1 ´ 109 2 ´ 109 3 ´ 109

3.2455

3.2460

3.2465

3.2470

3.2475

Superponiendo los dos gráficos comprobamos que es una buena aproximación.

@eVD

@kD

-3 ´ 109 -2 ´ 109 -1 ´ 109 1 ´ 109 2 ´ 109 3 ´ 109

3.2455

3.2460

3.2465

3.2470

3.2475

Ahora resta determinar la segunda derivada con respecto a k y reemplazarlo para obtener m∗

1

~2d2E

dk2=

1

m∗

donde d2Edk2 = 5.64133 · 10−41

m∗ = ~2

5.64133 · 10−41= 1.96925 · 10−28[Kg]

2

6

6.1 Averigüe la dependencia de Bandgap Energy (Eg) en temperatura (T ). Grafique Eg (eV ) versus T (K)

para Silicio y Germanio (en el mismo gráfico).

La dependencia entre las energías de bandas prohibidas y la temperatura para distintos elementos (en estecaso Germanio y Silicio), viene dada por la siguiente expresión.

Eg(T ) = Eg(0)−αT 2

T + β

Los valores de las contantes se muestra en la siguiente tabla:

Germanio SilicioEg(0) [eV ] 0.7437 1.166α [eV/K] 4.77× 10−4 4.73× 10−4

β [K] 235 636

Egvs T , Germanio

T @KD

E @eVD

200 400 600 800 1000 1200

0.4

0.5

0.6

0.7

Egvs T , Silicio

T @KD

E @eVD

200 400 600 800 1000 1200

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

Comparación entre el Silicio y el Germanio

T @KD

E @eVD

200 400 600 800 1000 1200

0.6

0.8

1.0

1

7 Effective Masses

7.1 La estructura de banda del Silicio es un poco más compleja de la calculada usando em modelo deKronig-Penney, el cuál asume un potencial periódico. Esto es debido a la estructura cristalina del Si-licio que produce distintos potenciales periódicos dependiendo de la dirección en el espacio. Esto, a suvez, produce que la masa efectiva del electrón cambie dependiendo de la dirección del cristal (lea punto2.3.7 http//ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2_3.htm#2_7_8). Para simplificar los cálcu-los matemáticos se define la masa efectiva del electrón para cálculos de conductividad y para cálculos dedensidad de estados (DOS). Usando estas masas efectivas, se pueden calcular propiedades eléctricas del sili-cio asumiendo que es un cristal homogéneo en cada dirección. La masa efectiva para cálculos de conductividades definida por:

m∗e,conductividad =

31ml

+ 1mt

+ 1mt

Donde ml, mt, mt son las masas efectivas en las direcciones (100), (010), (001), respectivamente. La masaefectiva para cálculo de densidad de estados (DOS) es definida por:

m∗e,DOS = M2/3

c3√mlmtmt

Donde Mc es el número equivalente de mínimos de banda (Mc = 6 para el silicio). Explique conceptualy matemáticamente porque las definiciones de masas efectivas son diferentes en cada caso (enfóquese en laforma de cálculo de cada masa).

a) La energía de un electrón libre cuya masa es diferente en cada dirección es dada por ... E =f(kx, ky, kz,mx,my,mz). (f significa función)

b) Es de mucha ayuda derivar la masa efectiva de un electrón libre para el caso de ayuda (a) y ladensidad de estados para cada caso ayuda (a).

c) Acordarse de conceptos básicos en las derivaciones explicadas en clases, esto quiere decir, los quese asumió físicamente para derivar cada fórmula.

Respuesta:

DOS Efective Mass

Matemáticamente se define la masa efectiva para efectos de cálculo de densidad de estados como la mediageométrica entre 1 masa longitudinal y 2 masas transversales (masa efectivas en esas direcciones), estomultiplicado por el número equivalente de mínimos de banda. Conceptualmente esto tiene la finalidad dearrojar un un valor consistente para la energía mínima en un “lattice” tridimensional. Esto, tomando encuanta el comportamiento de las paredes del lattice, que vienen dados por las masas efectivas en cada unade la direcciones.

Conductivity Efective Mass

Con respecto a la masa efectiva para efectos de cálculo de conductividad, se tiene que la conductividades inversamente proprocional a las masas efectivas en cada una de las direcciones. Matemáticamente estáderivada de tal forma que entregue información tanto de la movilidad, difusión e impurezas dentro del“lattice”. Esta expresión entrega finalmente la forma de un elipsoide en el que en cada punto, la masa efectivade conductividad, y por ende la energia en esos puntos, es la misma.

1

m∗e,conductividad =

31ml

+ 1mt

+ 1mt

13ml

m∗e,c

+1

3mt

m∗e,c

+1

3mt

m∗e,c

= 1

2