Diapositivas del equipo 1 (Sergio Sánchez, Carlos Esteban)

apuntes deMatemáticas 1

Unidad l polinomios y expresiones racionales Revisión de aritmética.

En esta unidad se realizaran las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Con números enteros, racionales y con fracciones decimales. Para ello informaremos acerca de los números y sus propiedades. Clases de número

Y que nos sirven para contar.

Las matemáticas han tenido una influencia determinante en las ciencias naturales, las ciencias sociales y la tecnología. Cuando el hombre se hizo sedentario, surgió la necesidad de saber cuanta gente pertenecía a una determinada tribu, contar sus pieles, sus pertenencias etc. Para esto se utilizaban ciertos signos, puntos y rayas etc. Así nació el primer conjunto de números llamados números naturales conteniendo los siguientes elementos: N= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,......

Posteriormente inventó los números enteros Z= .....-5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,.....

El conjunto de los números racionales que esta formado por las fracciones (representadas por el cociente de dos números enteros)

Ejemplos: Q= ½, 1/3, ¼. –8/25 , -1/5 etc.

Se hace notar que el conjunto de los números racionales incluye los números enteros.

El conjunto de los números irracionales que se denota como Q’ , estos números no se pueden expresar como el consiente de dos enteros .

Ejemplos. , etc.Por último el conjunto de los números reales R esta formado por la unión de los

números racionales con los irracionales y son todos los números Ejemplos -5, -8/4, 0, 4 etc. La unión de números tiene propiedades que se han utilizado continuamente,

algunas son: propiedad conmutativa para la suma a+b=b+a ejemplos 5+8=8+5 (-6)+2=2+(-

6)propiedad asociativa de la suma (a+b) +c = a+(b+c) ejemplos. (7+9)+3=

7+(9+3)propiedad distributiva x(a+b)=ax+bx ejemplos 5(3+8)= 5(3) +5(8)ejercicios: identifique las propiedades aplicadas en los siguientes incisos. – ( 8+4) 5 = 5(8)+5(4)– (-3+15)+6=-3+(15+6)– 9+(-2)=-2+9– (21+(-5) )+13 =(21+13)+(-5)

OPERACIONES FUNDAMENTALES

suma y resta.

Cuando sumamos o restamos, debemos acomodar las cantidades, las unidades con las unidades, las decenas con las decenas, las décimas con las décimas de tal manera que el punto quede en una sola posición ejemplos.

456.78 1400.40 1400.00 + 360.13 - 1.74 .14 ______________

100. 1398.26 ___________ 2317.55

MULTIPLICACIÓN •

En la multiplicación se cuentan las posiciones del punto a la derecha en los factores, se suma el número de estas posiciones y contamos este mismo número de posiciones en el producto, ejemplo.

45.64 dos posiciones x .343 tres posiciones

_________________

13692 2+3= 5 posiciones 18256 13692 ____________-

15.65452 5 posiciones

DIVISIÓN

cociente divisor dividendo

resto o residuo

Cuando el divisor no tiene decimales pero el dividendo si ejemplo 512.3 únicamente subimos el punto decimal y realizamos la operación de la siguiente manera se busca un número que multiplicado por 5 (divisor) nos de un número igual o menor a 12 en este caso es 2 y se coloca como la primera cifra del cociente.

Operaciones con los números reales

Las operaciones fundamentales con los números naturales son la suma y la multiplicación, los elementos de la suma se llaman sumandos, y los de la multiplicación se llaman factores.

Múltiplos y divisores

con a, b c. Que pertenecen a los números naturales, si a=bc entonces a es múltiplo de b y de c ; b y c son divisores de a ejemplo 7x3=21 en donde 21 es múltiplo de 7 y 3; 7 y 3 son divisores de 21.

La divisibilidad es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que deben reunir dos números para que uno de ellos sea dividido de manera exacta entre el otro, estas condiciones se llaman caracteres o criterios de divisibilidad.Todo número es divisible entre uno, todo número terminado en cero o en cifra par es divisible entre dos , si la suma de un número es divisible entre 3 entonces todo el número es divisible entre 3 ; todo número terminado en cero o en 5 es divisible entre 5 , si la suma de las cifras que forman un número es divisible entre 9 entonces todo el número es divisible entre 9 .

Números primos

Los números naturales que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad se llaman números primos. Los números que no son primos se llaman compuestos.

Son primos los números 2,3,5,7,11,13,17,19 23 etc.

Criba de Eratóstenes

Para formar una tabla de los números primos, inferiores a cierto límite se usa el método llamado criba de Eratóstenes la cual consiste en lo siguiente.

Se Escribe la serie de los números naturales hasta el número que se quiera por ejemplo hasta el 40 .

A continuación se tachan los números que son múltiplos de los números primos . principiando con 2, 3...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40.

Los números no tachados son números primos , dado un número cualquiera para averiguar si es primo, o no sin necesidad de construir la tabla, es suficiente con determinar si es divisible entre 2,3,5,7,11 ...(números primos) si se llega hasta u divisor primo p cuyo cuadrado p2 es mayor que el número dada n sin lograr división exacta dicho número es primo .

Teorema de eratóstenes

Un número es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos cuyo cuadrado sea menor que dicho número. Ejemplo

Determinar si 37 es número primo. Vemos 22=4, 32=9 52 =25 72=49 vemos que 37 no es divisible entre 2,3,5,por lo tanto es primo

MÁXIMO COMUN DIVISOR

se llama máximo común divisor de varios números al mayor de los divisores comunes a dichos números

el máximo común divisor se indica mediante las letras m.c.d. o bien M.C.D.

para hallar el máximo común divisor de varios números se descomponen en sus factores primos , el m.c.d. es igual al producto de todos los factores primos comunes con sus menores exponentes.

Ejemplo Se dispone de 3 rollos de tubo de goma de

36,54 y 12 mts. Respectivamente, averiguar cuantos trozos iguales podemos partir de manera que se tengan la máxima longitud posible. .

Descomponemos en factores primos los tres números

Mínimo común múltiplo

Llamaremos mínimo común múltiplo de varios números al menor múltiplo común de todos ellos

La notación empleada para expresar el mínimo común múltiplo es m.c.m o M.C.M.

para hallar el mínimo común múltiplo de varios números, se descomponen primero en sus factores primos .

el mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con los mayores exponentes.

Ejemplo.

Dos trabajadores acuden a las oficinas de su empresa para cobrar cada 18 y 24 días respectivamente habiendo coincidido el día 1 de marzo en que otro día se volverán a ver en dicha oficina para volver a cobrar

Calculamos el mcm. 2x32=18

23x3=24

El mcm es 23x32=72 coincidirán al cabo de 72 días es decir el 11 de mayo.

El producto de dos números es igual al producto de su máximo comun divisor por su mínimo comun múltiplo .. se puede comprobar fácilmente con los datos del ejercicio anterior .

potencias de 10 y notación científica

• en ocasiones realizar operaciones de multiplicación o división, puede resultar muy complicado porque los números con que se trabajan tienen muchas cifras.

• • Por ejemplo:• la distancia de la tierra al sol es aproximadamente

150’000,000 de Km. • La distancia del sol al centro de la vía láctea es casi

3000 años luz y un año luz equivale aproximadamente a 9’500,000,000,000de km.

• Los virus se componen de poco menos de 10,000 átomos

potencias de 10 y notación científica

• en ocasiones realizar operaciones de multiplicación o división, puede resultar muy complicado porque los números con que se trabajan tienen muchas cifras.

• • Por ejemplo:• la distancia de la tierra al sol es aproximadamente

150’000,000 de Km. • La distancia del sol al centro de la vía láctea es casi

3000 años luz y un año luz equivale aproximadamente a 9’500,000,000,000de km.

• Los virus se componen de poco menos de 10,000 átomos

• La vida terrestre se origino hace cerca de 4,000,000,000 de años

• Hay alrededor de 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000. de átomos en el cuerpo humano.

• La longitud de onda aproximada de los rayos gamma es 0.00000001 cm.

• Si estos números a se expresan con potencia de 10 sería más fácil trabajar con ellos , la distancia de la tierra al sol puede expresarse así: 1.5x100,000,000= 1.5x108.

• el punto decimal se coloca siempre después de la primera cifra significativa , esta forma de escribir un número se llama notación científica .

• entonces un año luz equivaldría a 9.5x1012. , y el número aproximado de átomos en el cuerpo humano sería 1x1028

• cuando se manejan números con muchas cifras decimales puede ser algo parecido extendiendo la forma de escribir los números por medio de potencias negativas, puesto que 0.01= y 100= 102 puedes escribir 0.01 como

• si aparece una potencia de 10 en el denominador de una fracción se anota un signo menos en el exponente , por ejemplo la fracción 1/10 al cuadrado se escribe como 10-2

• así la longitud de los rayos gamma es aproximadamente – = 1x10-8.

• Multiplicar un número por 10n significa mover el punto decimal n cifras hacia la derecha (se agregan ceros si es necesario) , multiplicar un número por 10-n equivale a recorrer el punto decimal hasta la primera cifra significativa n cifras a la izquierda ( se añaden ceros si es necesario)

• La notación científica no solo abrevia las expresiones sino que es muy útil para llevar a cabo operaciones.

Teorema del binomio

Álgebra • Álgebra es la rama de las matemáticas que

estudia las cantidades consideradas del modo más general posible.

• El concepto de cantidad en álgebra es mucho más amplio que en aritmética, en aritmética las cantidades se representan por números, y expresan valores determinados, así 50 expresa un solo valor 50 para expresar otra cantidad mayor habrá que escribirlo ejemplo 100 .

En álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por letras, las cuales pueden presentar todos los valores así a puede representar el valor que queramos, ejemplo a=50 eso sí ; hay que tener cuidado de no darle dos valores distintos en el mismo problema.

Notación algebraica. Los símbolos usados en álgebra para representar

cantidades son los números y las letras.• Los números se emplean para representar

cantidades conocidas y determinadas, las letras se emplean para representar cantidades desconocidas o conocidas, una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolo por medio de comillas por ejemplo a’, a” etc. que se leen a prima, a segunda etc. O también por medio de subíndices ejemplo a1, a2. etc. Que se leen a subono, a subdos etc.

Formulas

• Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las formas algebraicas.

• Formula algebraica: es la representación por medio de letras de una regla o de un principio general.

• Así la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura luego llamando A al área, b a la base, y h a la altura tenemos que : A=bxh . la fórmula representa de un modo general el área de cualquier rectángulo pues un rectángulo especifico de dos metros de base, por 3 metros de altura tendrá un área de A = 2X3 = 6 M2.

SIGNOS DEL ÁLGEBRA

• Los signos empleados en el álgebra son de 3 clases, • Signos de operación• Signos de relación• Signos de agrupación. • Signos de operación.

• Suma (+) resta (-) multiplicación (*) (x) división ( ÷) elevación a la potencia ax y signo radical

• En el signo de la multiplicación suele emplearse un punto u omitir y simplemente presentar juntas las letra ejemplo abc indica que se estan multiplicando.

• Coeficiente • En el producto de dos factores, cualquiera de los

dos factores es llamado coeficiente del otro factor asi en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando 3 veces o sea 3a = a+a+a .

Signos de relación

• Se emplean para indicar la relación que existe entre dos cantidades , las principales son:

• = se lee igual, > mayor que se lee mayor que < menor que así a=b, a>b, a<b .

signos de agrupación

• los signos de agrupación son el paréntesis ordinario, ( ) el paréntesis angular o corchetes [ ] las llaves la barra ___.

• Estos signos indican que las operaciones colocadas entre ellos deben efectuarse primero así, (a+b)c indica que el resultado de la suma de a+b debe multiplicarse por c , a+b÷c-d indica que la suma de a y b, debe dividirse entre la diferencia de c y d.

Lenguaje algebraico

• Se dice que el paso más importante para la resolución de un problema es plantearlo adecuadamente, esta afirmación vale sobre todo en matemáticas, si un problema se formula de manera correcta, se ha avanzado más de la mitad del camino, el lenguaje algebraico, es una herramienta que permite plantear con precisión y claridad una cantidad de problemas.

Operaciones con expresiones algebraicas

• Términos semejantes

• En las expresiones algebraicas, reducir términos semejantes, tiene por objeto convertir en un solo término dos o mas términos semejantes.

Suma y resta

• En álgebra los términos suma y resta se usan en el mismo sentido que en aritmética si se aplican a números positivos, sin embargo su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de suma a esta operación se le conoce como, suma algebraica y se describe en la regla siguiente: la suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los números precedida de su signo común, la suma algebraica de dos números con el signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.

• Para realizar la suma de varios términos semejantes, se efectúa la suma aritmética de los coeficientes, y se agrega el grupo de literales.

Signos de agrupación

• Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica, van a ser manejados como un solo número, se encierran en paréntesis, ( ) en corchetes o en llaves estos signos también se usan para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones, y el orden en el cual deben efectuarse por ejemplo:

• (2x +4y –2) + (3x –2y +3z) significa que el número representado por la expresión del primer paréntesis, debe sumarse al representado por la expresión del segundo paréntesis. Se necesita quitar dichos símbolos antes de llegar a la operación final. De lo anterior se tiene

• (2x +4y –2) + (3x –2y +3z) = 2x+4y-2+3x-2y+3z=5x+2y+3z-2

• cuando se realizan las diferentes operaciones algebraicas, se deberá llevar a cabo la siguiente regla: Eliminar paréntesis, eliminar corchetes, y eliminar llaves. Se agrupan en términos semejantes, y se reducen estos.

• Eliminar los signos de agrupación en la sig. Expresión. • 2x -3x + [4x – (x -2y) +3y]-4y+2y • 2x-3x +[4x –x+2y +3y]-4y+2y eliminamos paréntesis.• • 2x-3x+4x-x+2y+3y-4y+2y eliminamos corchetes.• • 2x-3x-4x+x-2y-3y+4y+2y eliminamos llaves.• • -4x+y

Ley de los signos

• En cualquier suma o resta con dos cantidades con diferentes signos, el resultado tendrá el signo de la cantidad mas grande

• Si las cantidades tienen el mismo signo el resultado tendrá también el signo de las cantidades sumadas

• Restar equivale a cambiar el signo del sustraendo y de esta manera toma las reglas de la suma o sea es igual a multiplicar sustraendo por el signo menos.

• En la multiplicación y división signos iguales nos dan más y signos diferentes nos dan menos.

Es todo por este semestre

• Alumno: Sergio Sánchez