USAC FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DE ESTADÍSTICA

Análisis Probabilístico Jornada Vespertina

TAREA PREPARATORIA PARA EL PRIMER EXÁMEN PARCIAL SEGUNDO SEMESTRE DE 2012

1. Se tiene la siguiente matriz de transición:

a. ¿Cuáles estados son transitorios? b. ¿Cuáles estados son recurrentes? c. Identifique todos los conjuntos cerrados de estados? d. ¿Es una cadena ergódica?

2. Para cada una de las siguientes matrices determine si se trata de una cadena ergódica, también para cada una determine los estados recurrente, transitorio y absorbente.

3. Un borracho camina por un pasillo que tiene un ancho de cinco baldosas. Comienza a caminar en la baldosa central pero no puede mantener la línea recta y se va a la izquierda o la derecha con la misma probabilidad. Cuando llega a una baldosa que está junto a la pared, se choca contra ella y esto hace que en el siguiente paso vaya a la baldosa de al lado. a. Describir la posición del borracho en el pasillo (número de la columna de la baldosa que ocupa) mediante un proceso de Markov. ¿Cúales son los estados del proceso? b. Escribir la matriz de probabilidades de transición. c. Calcular la probabilidad de estar en cada estado después de dar un paso, dos pasos, tres y cuatro pasos. d. Utilizando ecuaciones, calcular las probabilidades a largo plazo.

A B C D E FA 0 0 1 0 0 0B 0 0 0 0 0 1

T = C 0 0 0 0 1 0D 1/4 1/4 0 1/2 0 0E 1 0 0 0 0 0F 0 1/3 0 0 0 2/3

A B CA 0 0.8 0.2

T1 = B 0.3 0.7 0C 0.4 0.5 1

D E F GD 0.2 0.8 0 0

T2 = E 0 0 0.9 0.1F 0.4 0.5 0.1 0G 0 0 0 1

4. Para cada una de las siguientes cadenas de Markov:

a. determine la fracción de las veces, a largo plazo, que se ocupará cada estado b. determine todos los tiempos promedio de primer pasaje

5. Suponiendo que cada año el 50% de los alumnos de primero pasa a segundo, el 30% permanece en primero y el 20% abandona; de los alumnos de segundo el 50% pasa a tercero, el 40% permanece en segundo y el 10% abandona, y de los alumnos de tercer curso el 60% terminan o abandonan y el 40% repiten tercero, se pide: a. Escribir la matriz de transición describiendo previamente los estados del proceso. b. Si entran 950 alumnos un año en primer curso, calcular cuántos habrá en cada curso (de esos 950) al principio del tercer año. 6. Un electroimán puede cambiar (o no) su polaridad una vez por segundo. La probabilidad de que cambie es, respectivamente, 0.2 o 0.7 dependiendo de que el estado actual sea +1 o -1. a. Defina los estados y la matriz de transición b. Dentro de 24 horas. ¿Qué probabilidad hay de que el estado sea -1? c. Suponga que el estado actual es 1, calcula la probabilidad de que vuelva a serlo después de 3 segundos.

7. Un estudio menciona que en un país en desarrollo los bebés recién nacidos tienen una posibilidad del 95% de sobrevivir su primer año de vida. Si sobreviven tienen un 75% de posibilidades de llegar a mediana edad y una persona de mediana edad tiene 60% de posibilidades de llegar a viejo. A la larga ¿qué proporción de la población llega a viejo?

8. Un juego de habilidad manual consta de tres fases, 1, 2 y 3 que deben realizarse sucesivamente. Se considera que un jugador ha completado el juego cuando realiza las tres fases de forma satisfactoria. Cuando dada la dificultad de las tres fases, un jugador abandona el juego sin haberlo completado, se considera que ha perdido. En particular, el 5% de las personas abandonan en la fase 1, el 15% en la fase 2 y el 10% en la fase 3. Cuando el resultado de una fase no es satisfactorio, ésta debe repetirse; pero, en el caso de las fases 2 y 3, si el resultado es muy insatisfactorio, el jugador debe retroceder a la fase anterior. En concreto, el 20% de las personas debe repetir la fase 1; en el fase 2, el 30% debe repetirla y el 5% retroceden a la fase anterior; finalmente en la fase 3, el 35% debe repetir y el 5% debe retroceder a la fase anterior. ¿Qué porcentaje de los jugadores completa el juego? Esta tarea se entrega al auxiliar del curso al día hábil siguiente de realizarse el examen parcial en

el período y salón de clase.

A B CA 0.8 0.2 0

T1 = B 0 0.2 0.8C 0.8 0.2 0

A BT2 = A 2/3 1/3

B 1/2 1/2