Facultad de Química, UNAM Curso: Fundamentos de Espectroscopía Semestre 2015-2 Dra. Betsabeé Marel Monroy Peláez Tarea 1: Oscilador Armónico Simple, Amortiguado y Forzado

1. Puede considerarse que un automóvil está montado sobre cuatro resortes en lo que respecta a oscilaciones verticales. Los resortes de cierto automóvil de 4000 kg de masa están ajustados de modo que las vibraciones tengan una frecuencia de 5.0 Hz. a) Halle la constante de fuerza de cada uno de los cuatro resortes (suponiendo que son idénticos). b) ¿Cuál será la frecuencia de vibración si viajan en el automóvil 5 personas con una masa promedio de

72 kg cada una? 2. Un objeto de 2.52 kg de masa unido a un resorte de 22.48 N/cm de constante de fuerza se pone en

oscilación estirando el resorte 26.3 cm y dando al objeto una velocidad de 3.72 m/s hacia la posición de equilibrio del resorte. Calcule: a) La amplitud b) El ángulo de fase c) Escriba la función del movimiento armónico simple resultante.

3. En un motor, un pistón oscila con movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varía

de acuerdo con la expresión: 64cos)30.6( tcmx , donde x está en centímetros y t en

segundos. En 0t encuentre:

a) El desplazamiento de la partícula, b) Su velocidad y c) Su aceleración d) Encuentre el periodo y la amplitud del movimiento

4. Una masa de 0.25 kg unida a un resorte con 8.0 N/m de constante de fuerza vibra en un movimiento

armónico simple con una amplitud de 10.0 cm. Calcule: a) El valor máximo de la velocidad y la aceleración b) La velocidad y la aceleración cuando la masa está a 7.5 cm de la posición de equilibrio c) El tiempo que tarda la masa en moverse de x=0 a x=4.0 cm

5. Un bloque de masa desconocida se une a un resorte de constante de fuerza de 7.5 N/m y experimenta un

movimiento armónico simple con una amplitud de 12.5 cm. Cuando la masa está a la mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo, se mide su velocidad y se encuentra que es de 30.0 cm/s. Calcule: a) La masa del bloque b) El periodo del movimiento c) La aceleración máxima del bloque

6. Una masa de 50.0 g conectada a un resorte con constante de fuerza de 35.0 N/m oscila sobre una

superficie sin fricción con una amplitud de 4.0 cm. Encuentre: a) La energía total del sistema b) La rapidez de la masa cuando el desplazamiento es de 1.0 cm c) Cuando el desplazamiento es de 3.0 cm encuentre la energía cinética y potencial del sistema

7. Considerando un oscilador armónico simple:

a) Cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud, ¿qué fracción de la energía total es cinética y qué fracción es potencial?

b) ¿A qué desplazamiento es la mitad energía cinética y la otra mitad energía potencial? (Expréselo en términos de la amplitud)

8. Un objeto de 2.11 kg se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción bajo la influencia de un resorte

de constante de fuerza 12.9 N/cm. El objeto es desplazado 35.5 cm y se le da una velocidad inicial de 9.2m/s hacia la posición de equilibrio. Halle: a) La posición como función del tiempo b) La frecuencia del movimiento c) La energía potencial inicial del sistema d) La energía cinética inicial e) La amplitud del movimiento

9. En un sistema de prueba se tiene una masa de 200 kg sujeta a un resorte con una constante de fuerza de 5000 N/m. El sistema se somete a una fuerza de amortiguamiento con un coeficiente de 2500 kg/s. a) ¿Qué tipo de movimiento presenta el sistema? b) ¿Cuál debería ser el valor de k para que el sistema fuera críticamente amortiguado? c) ¿Considerando la constante inicial del resorte, cuánto debería ser el valor de b para que el sistema

oscile?

10. Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical con una constante de fuerza de 2.05×10

4N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante un coeficiente de

amortiguamiento de 3.0 kg/s. a) Calcule la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas. b) ¿En qué porcentaje decrece la amplitud de oscilación en el primer ciclo? c) ¿Cuánto tiempo le toma a la energía mecánica reducirse al 5% de su valor original?

11. Un oscilador armónico amortiguado consiste en una masa de 382 g colgando de un resorte con constante de fuerza de 105 N/m que se encuentra sumergida en un líquido viscoso cuyo coeficiente de amortiguamiento es 0.119 kg/s. a) ¿Cuánto tiempo le toma a la amplitud reducirse a la mitad? b) ¿Cuánto tiempo le toma a la energía mecánica reducirse a la mitad de su valor original?

12. Un oscilador armónico amortiguado consta de un bloque (m=1.91 kg) y un resorte (k=12.6 N/m) sometidos a una fuerza retardadora F=-b·v. Inicialmente, oscila con una amplitud de 20.0 cm; a causa del amortiguamiento, la amplitud disminuye tres cuartas partes de este valor inicial después de 4 ciclos completos. a) ¿Cuál es el valor de b? b) ¿Cuánta energía se ha “perdido” durante estos cuatro ciclos?

13. Suponga que está examinando las características de un sistema de suspensión de un automóvil de 2000 kg. La suspensión “se comprime” 10 cm cuando se ejerce sobre ella todo el peso del automóvil. Además, la amplitud de la oscilación disminuye 50% durante una oscilación completa. Asumiendo que cada rueda soporta 500 kg, calcule los valores de k y b para el resorte y el sistema amortiguador de cada rueda, respectivamente.

14. Un oscilador armónico amortiguado pierde 15% de su energía mecánica después de completar el primer

ciclo. a) ¿En qué porcentaje difiere su frecuencia de la frecuencia natural del oscilador armónico simple?

b) ¿Después de cuántos periodos la amplitud será e

1 de su valor original?

15. Una masa de 200 gramos se encuentra sujeta a un resorte horizontal inmóvil. La masa se estira a 1 cm de la posición de equilibrio y se suelta. La masa completa una oscilación amortiguada en 1 segundo y su

amplitud decrece de acuerdo a la siguiente ecuación: teAA 01.0

0

a) ¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento de la masa, la frecuencia natural de oscilación y la constante de fuerza del resorte?

b) ¿Cuánto tiempo le toma a la energía mecánica reducirse al 25% de su valor original? 16. Una masa de 2.0 kg unida a un resorte es impulsada por una fuerza externa de la forma: 3.0𝑁 · cos(2𝜋𝑡).

La constante de fuerza del resorte es 20.0 N/m. a) Considerando que no hay amortiguamiento en el oscilador calcule el periodo y la amplitud del

movimiento. b) Si se toma en cuenta la fricción con un coeficiente de amortiguamiento de 150 g/s, ¿cuál sería la

frecuencia de resonancia? c) Calcule la altura y el ancho del pico de resonancia si la fuerza externa tuviera la frecuencia calculada

en el inciso anterior. 17. Un peso de 50.0 N se suspende de un resorte con constante de fuerza de 100 N/m. El sistema se somete a

una fuerza armónica de 10.0 Hz de frecuencia. a) Cuando la fricción es despreciable se observa que la amplitud del movimiento forzado es de 2.5 cm.

¿Cuál es la máxima amplitud de la fuerza externa? b) Si se toma en cuenta que el aire ejerce una fuerza de fricción sobre el peso donde el coeficiente de

amortiguamiento es de 25 g/s, ¿cuál es la amplitud del movimiento forzado? ¿Es significativa la contribución de la fricción?

18. El amortiguamiento es despreciable para una masa de 250 g colgada de un resorte ligero de 12.6 N/m. El

sistema es impulsado por una fuerza oscilante de 4.50 N. a) ¿A qué frecuencia de la fuerza externa se hará vibrar la masa con una amplitud de 0.30 m? b) Si se considera un coeficiente de amortiguamiento del 25% del producto 𝑚 · 𝜔0 , ¿cuál debería ser la

frecuencia de la fuerza oscilante para hacer resonar el sistema? c) En el caso de entrar en resonancia, ¿cuál sería la máxima amplitud del pico?

19. Una masa de 3.5 kg colgada de un resorte de 15.2 N/m oscila sin fricción. El sistema es forzado por una fuerza cuya frecuencia es 0.98 𝜔0. a) La amplitud de la fuerza externa puede ajustarse libremente. ¿Con qué amplitud de la fuerza externa

se hará vibrar la masa con una amplitud de 35 cm? b) Considere ahora que el sistema entra en contacto con una superficie rugosa que le imprime fricción. Si

se observa que el sistema entra en resonancia bajo estas condiciones, ¿de cuánto es el valor del coeficiente de amortiguamiento entre la masa y la superficie? (OJO: ¡La frecuencia externa no cambia!)

c) Grafique el pico de resonancia en estas condiciones.

20. Considere un oscilador amortiguado forzado donde la masa es de 3.25 kg y la constante de resorte es de 15 N/m. El sistema es impulsado por una fuerza oscilante de 60 N. d) Calcule las frecuencias de resonancia cuando el coeficiente de amortiguamiento es de: 600 g/s, 300

g/s y 150 g/s. e) Grafique los picos de resonancia correspondientes a cada uno de los casos del inciso anterior en la

misma gráfica para facilitar la comparación. (Sugerencia: Calcule las alturas y anchos correspondientes a cada pico)