Tarea2 09 sol

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad Politécnica de Valencia

INGENIERÍA DE CONTROL I

2009-10

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P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail [email protected]

J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail [email protected]

Tarea 2. Análisis del modelo de un sistema (entrega 03-11-09)

Para un generador síncrono se ha obtenido el siguiente modelo en espacio de estados

linealizado en tiempo continuo:

10000

00001C,

10

10

00

01

11

B,

31110

02000

01101

01211

01001

A

Obtener:

a. La forma canónica diagonal y analizar la controlabilidad y observabilidad del sistema.

b. ¿El sistema es estabilizable? Razona la respuesta.

c. ¿El sistema es detectable? Razona la respuesta

d. Polos del sistema.

e. Ceros del sistema, indicando de que tipo son.

f. Matriz de transferencia.

g. Realización mínima.

h. Matriz de transferencia discreta con T = 0.2 s.

i. Representación interna discreta.

j. Secuencia de acciones de control para conducir las salidas a la posición: T11Fy ,

desde una posición inicial de reposo:

- En tiempo mínimo.

- En el doble del tiempo mínimo.

Comparar el esfuerzo de control realizado en ambos casos.



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Solución

a. Forma Canónica de de Diagonal o de Jordan.

Se puede obtener con el comando de MATLAB: >> SYS = ss(A, B, C, D)

>> SYSj = canon(SYS, 'modal')

4714.0008944.02

4714.0633.1000C

121.20

06124.0

03536.0

0559.0

025.0

B,

20000

01000

00100

00010

00003

j

jjA

Ahora podemos analizar la controlabilidad y observabilidad de cada polo por separado:

- Polo en −3: controlable con la entrada 1 y observable con la salida 2.

- Polo en 1: controlable con la entrada 1 y no observable.

- Polo en −2: controlable con la entrada 2 y observable con las dos salidas.

- Dos polos en −1: solo uno es controlable porque ambo se controlan únicamente

con entrada 1, y los dos son observables porque se observan con salidas distintas.

El polo en 1 no observable, corresponde con un cero de desacoplamiento de salida. Y el

polo en −1 que es no controlable, corresponderá con un cero de desacoplamiento de

entrada.

b. ¿El sistema es estabilizable?

El sistema será estabilizable si la parte no controlable es estable. La parte no controlable

es el polo en −1, por tanto el sistema es estabilizable.

c. ¿ El sistema es detectable?

El sistema será detectable si la parte no observable es estable. La parte no observable es

el polo en +1, por tanto el sistema es no detectable.

d. Polos del sistema.

Los polos del sistema serán los valores propios de la matriz A, que coinciden con los

valores de la diagonal en la forma canónica de Jordan, y que podemos calcular con el

comando de MATLAB: >> eig(SYS) = [-3; -1; 1; -1; -2]

e. Ceros del sistema.

Del análisis del sistema en forma canónica diagonal, sabemos que el sistema tiene un

polo en 1 no observable que corresponde con un cero de desacoplamiento de salida; y

un polo en en −1 no controlable que corresponde con un cero de desacoplamiento de

entrada. Por tanto, el sistema original (SYS) sabemos que no es una realización mínima;

así que al resolver el problema del valor propio generalizado obtendremos los ceros

invariantes: >> tzero(SYS) = [-2; -1; 1]



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Y si obtenemos la realización mínima, eliminando los subespacios no controlables y no

observables del sistema, podremos determinar los ceros de transmisión: >> SYSm = minreal(SYS);

2 states removed.

>> eig(SYSm) = [-1; -3; -2]

>> tzero(SYSm) = -2

Podemos observar, como en la realización mínima han desaparecidos los polos no

controlables (−1) y no observables (1). Y al resolver el problema del valor propio

generalizado solo se obtienen el cero de transmisión (−2).

f. Matriz de transferencia.

Podemos obtener la matriz de transferencia, en forma de polos y ceros, con los

siguientes comandos de MATLAB: >> G=zpk(minreal(tf(SYSm)));

2s

1

3s1s

12s

1

1s

1

sG

g. Realización mínima.

La realización mínima del sistema se obtiene con el comando minreal de MATLAB,

que elimina los modos no controlables y no observables, devolviendo el siguiente

sistema:

06178.07863.0

5.0556.04369.0C

333.13333.0

9885.09267.0

4951.07281.0

B,

111.22471.01942.0

0351.1295.1

6359.05884.0538.2

m

mmA

h. Matriz de transferencia discreta con T = 0.2 s.

Para obtener la matriz de transferencia discreta, discretizamos la matriz de transferencia

discreta con las siguientes instrucciones: >> T=0.2;

>> Gd=c2d(G,T,'zoh')

6703.0

16484.0

5488.08187.0

7661.0015437.06703.0

16484.0

8187.0

18127.0

zzz

zzzzGd

i. Representación interna discreta.

Se puede obtener discretizando la realización mínima discreta: >> SYSd = c2d(SYSm, T, 'zoh')

O se puede obtener pasando a espacio de estados la matriz de transferencia discreta: >> SYSd = minreal(ss(Gd))

Para este último caso se obtiene:



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3297.002761.00708.0

3297.03243.00C

5.00

0559.0

00

B,

0.670300

00.81870

00.51280.5488

d

ddA

j. Secuencia de acciones de control para conducir las salidas a la posición: T11Fy ,

desde una posición inicial de reposo.

Para determinar el tiempo mínimo de control, habrá que determinar el índice

controlabilidad del sistema, obteniendo las n=3 primeras columnas linealmente

independientes de la matriz de controlabilidad del sistema SYSd, >> rank([SYSd.B(:,1) SYSd.B(:,2) SYSd.A*SYSd.B(:,1)]) = 3

El índice de controlabilidad del sistema es 2; en dos instantes el sistema estará

completamente controlado. Si desarrollamos la ecuación del sistema a lo largo de dos

instantes podremos determinar la secuencia de acciones de control para llevar la salida a

la posición deseada.

Desarrollando la ecuación de salida en esos dos instantes podemos determinar la

secuencia de control:

0

2

2

#

1

0

1

0

0

2

100

2

2

1001122

xACyBBACu

u

u

uBBACxACBuCBuACxACy

BuCBuAxACBuAxCxCy

Los comandos de MATLAB para obtener esta secuencia de control y poder aplicarla

son los siguientes: >> yf = [1; 1];

>> x0 = [0; 0; 0];

>> W = [SYSd.A*SYSd.B SYSd.B];

>> U = pinv(SYSd.C*W)*(yf-SYSd.C*SYSd.A^2*x0)

>> u0 = U(1:2);

>> u1 = U(3:4);

>> x1 = SYSd.A*x0 + SYSd.B*u0;


>> X = [x0 x1 x2];

>> Y = SYSd.C*X;

14645.00

15268.00y

>> sum(U.^2) = 25.1807 %Esfuerzo de control

Desarrollando la ecuación de salida, ahora en cuatro instantes podemos determinar la

nueva secuencia de control:



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0

4

4

#23

3

0

3

0

23

0

4

4

321

2

0

3

0

4

4

3223344

xACyBBABABAC

u

u

u

u

BBABABACxACy

BuCBuACBuACBuACxACy

BuCBuAxACBuAxCxCy

Los comandos de MATLAB para obtener esta secuencia de control y poder aplicarla

son los siguientes: >> W = [SYSd.A^3*SYSd.B SYSd.A^2*SYSd.B SYSd.A*SYSd.B SYSd.B];

>> U = pinv(SYSd.C*W)*(yf-SYSd.C*SYSd.A^4*x0)

>> u0 = U(1:2);

>> u1 = U(3:4);

>> u2 = U(5:6);

>> u3 = U(7:8);





>> X = [x0 x1 x2 x3 x4];

>> Y = SYSd.C*X;

10.64940.38430.17510

10.75550.50330.25340y

>> sum(U.^2) = 20.5018 %Esfuerzo de control

El esfuerzo de control, determinado mediante la suma de todas las acciones de control al

cuadrado, es menor si se utilizan 4 instantes para controlar el sistema que si se utilizan

sólo 2 instantes.

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