SIMULACION DE MONTECARLO

El método Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.

El método Montecarlo fue bautizado así por su clara analogía con los juegos de ruleta de los casinos, el más célebre de los cuales es el de Montecarlo, casino cuya construcción fue propuesta en 1856 por el príncipe Carlos III de Mónaco, siendo inaugurado en 1861.

Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios.

El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.

Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de Bufón.

La simulación de Monte Carlo también fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

Ejemplo.- Simulación del lanzamiento de un dado legal.

La simulación del experimento consistente en el lanzamiento de un dado legal, registrando el número de puntos que aparece en su cara superior después del lanzamiento.

Los componentes o entidades son el dado mismo y el lanzador. El estado del sistema lo determina en este caso el estado del dado el cual puede estar en

reposo o en lanzamiento. La actividad consiste en el lanzamiento del dado. La variable endógena es el generador o lanzador, mientras que la variable exógena o de salida es la variable aleatoria que representa la cantidad de puntos que muestra el dado y su función de probabilidad es la uniforme discreta con parámetro valor medio igual a 1/6. Aquí podemos decir que el reloj simulador se incrementará en una unidad cada vez que se efectúe un lanzamiento. El dado inicialmente se encuentra en reposo y es irrelevante la cantidad de puntos que actualmente muestra. Nos interesará analizar los datos simulados.

La variable aleatoria es:X = (1,2,3,4,5,6)Podemos proponer las siguientes alternativas de solución:

1) Haciendo uso de una tómbola.

Elaboramos 6 “papelitos” idénticos numerados del 1 al 6, los introducimos en una tómbola. Damos vueltas a la tómbola y extraemos un papelito a la vez, se observa el número del papelito. Ése número, nos indicará la cantidad de puntos que muestra el dado en su cara superior.Este propiamente es un ejemplo de simulación por analogía.

2) Haciendo uso de los números aleatorios disponibles en una calculadora o en una tabla como la que se encuentra en el anexo de este libro.En este texto representaremos a los números aleatorios uniformes, es decir, que se distribuyen según la función de probabilidad uniforme continua en el intervalo (0,1); por RND (también se les representa por r o U). Podemos proceder de dos maneras:

a) Obtener un número aleatorio de una calculadora científica y considerarlo sólo al nivel de un dígito (decimal). Si el número es alguno de 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 ó 0.6, consideraremos que el número de puntos mostrados por el dado es 1, 2, 3, 4, 5, ó 6. respectivamente. En caso contrario, ignoramos el número aleatorio y obtenemos otro. Así hasta que decidamos terminar la simulación del experimento.

b) Obtener un número aleatorio. Emplear la ecuación

X = INT(6*RND) + 1

Dónde:RND es el número aleatorio obtenido en la calculadoraINT es la operación que indica tomar sólo la parte entera del operando X es el número simulado de puntos mostrados por el dado (virtual).

A continuación simulamos una muestra o “efectuamos” cinco lanzamientos:

Lanzamiento RND RN*6 INT(RND*6) INT(RND*6)+1

1 0.090 0.540 0 1

2 0.592 3.55 3 4

3 0.167 1.002 1 2

4 0.301 1.806 1 2

5 0.710 4.260 4 5

Los puntos que muestra el dado simulado aparecen en la última columna.

3) Ahora aplicaremos el método Monte Carlo al problema del lanzamiento del dado:Haciendo uso de la función de distribución de probabilidad (f.d.p.) del experimento. Como el dado se ha supuesto legal, tenemos

f(x) = 1/6 para toda x ? X.

ahora podemos construir la función de distribución acumulada F(x)

x 1 2 3 4 5 6

F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

cuya gráfica es:

Con la distribución acumulada, podemos establecer el siguiente criterio: obtener un número aleatorio RND y si:

0 < RND <= 1/6, entonces, X=1 (punto)1/6 < RND <= 2/6, “ , X=2 (puntos) 2/6 < RND <= 3/6, “ , X=3 “3/6 < RND <= 4/6, “ , X=4 “4/6 < RND <= 5/6, “ , X=5 “5/6< RND <= 6/6, “ , X=6 “

 

Por ejemplo, si el número aleatorio obtenido en la calculadora RND es 0.592, observamos que  se encuentra en el intervalo (3/6, 4/6) = (0.500, 0.667), lo que nos indica que el dado muestra X=4 puntos. A la tabla anterior se le llama transformación inversa. Gráficamente: