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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

MATEMTICA FINANCIERA

NOTA DE CTEDRA

LA TASA DE INTERS

Cra. Susana Hernndez

Trelew Ushuaia

- 2001 -

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UNPSJB Fac de Ciencias Econmicas Cra. Susana Hernandez

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LA TASA DE INTERES

La tasa de inters es el rendimiento producido por la unidad de capital en launidad de tiempo.

Cuando la definicin anterior habla de unidad de capital, se refiere a la unidad demoneda; esto significa que si la unidad de moneda es el dlar, la tasa de inters es elinters de 1 dlar expresado tambin en esa moneda; y si la unidad de moneda es elpeso, la tasa de inters ser el inters de 1 peso.

Cabe aclarar que el capital est referido al momento inicial de la operacin y elinters al momento final.

En la prctica de las operaciones bancarias y financieras es corriente mencionarcomo tasa de inters, el rendimiento de 100 unidades de capital, y se dice tasa de intersun por ciento; cuando por definicin de tasa, corresponde decir tanto por uno.

La segunda parte de la definicin expresa ... en la unidad de tiempo. Alrespecto corresponde analizar cul es la unidad de tiempo y cmo se determina.

En las operaciones financieras, los intereses se suman al capital al final de cadaperodo de capitalizacin. Por lo tanto la unidad de tiempo, es el perodo al final del cuallos intereses se capitalizan.

De manera, que si los intereses se capitalizan mensualmente, la unidad detiempo es el mes, pero si ello ocurre anualmente, la unidad de tiempo es el ao.

Cualquiera puede ser la unidad de tiempo. As, puede referirse a un bimestre,semestre, semana, etc. Por ejemplo: 0,60 trimestral; 0,10 semanal; 0,40 cuatrimestral,significa que al final del trimestre, semana o cuatrimestre, los intereses generados secapitalizan, rindiendo 0,60; 0,10 y 0,40 respectivamente por cada unidad de capitalinvertido.

Veamos que ocurre, si digo que en una operacin financiera, la tasa es del 0,60trimestral con capitalizacin mensual.La tasa del 0,60 trimestral ha perdido homogeneidad, porque existen capitalizacionesmensuales, ha cambiado su unidad de tiempo. Ahora su unidad de tiempo es el mes,momento en el cual los intereses generados se suman al capital.Cada operacin tiene su unidad de tiempo que resulta de considerar el perodo decapitalizacin.Veamos otro ejemplo (an a riesgo de ser reiterativa).

i

momento 1

110$100

momento 0

1 + iCapital $1

1Tiempo 0

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La tasa de esta operacin es del 0,10, pero no resulta lo mismo si digo que lacapitalizacin fue de 30 das, que si expreso que fue de 6 meses. El rendimiento en unou otro caso es el mismo pero sus unidades de tiempo son distintos.

LA TASA NOMINAL Y LA TASA PROPORCIONAL

Llamamos tasa nominal (i), a la tasa que junto al mtodo de clculo, formaparte de una convencin para realizar una operacin financiera.

Es la tasa que enuncia una entidad para las operaciones. Resultan tasasnominales: el 0,80 anual vencido, el 0,75 anual adelantado, el 0,10 mensual directo, el0,90 anual con capitalizacin trimestral, el 0,45 trimestral con capitalizacin mensual,etc. Son tasas de nombre, aunque ese no sea el costo o precio de la operacin.

La costumbre en la prctica de las operaciones financieras, es establecer una tasade inters anual, aunque los intereses se capitalicen o paguen en perodos menores alao. Se hace necesario entonces, calcular la tasa de inters correspondiente a esafraccin de ao, y aqu es donde aparece la tasa proporcional.

La tasa proporcional es la resultante de considerar la tasa que correspondeaplicar al subperodo si la tasa nominal es peridica. A esos subperodos los designamoscon m, y la tasa a aplicar resulta de dividir a la tasa nominal por el nmero desubperodos (m) que tiene el perodo enunciado para la tasa.

=mi

tasa proporcional

Dadas dos o mas tasas de inters con distintas unidades de tiempo se llaman tasasproporcionales a aquellas que son proporcionales a las respectivas unidades de tiempo.Ejemplos:

i = 2,40 anual con capitalizacin bimestral

40,06

40,2==

m

iproporcional bimestral

i = 0,60 semestral con capitalizacin cada 15 das

05,01260,0

15/18060,0 ===

m

i proporc. p/15 das

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LA TASA EFECTIVA

La aplicacin de tasas proporcionales en la capitalizacin subperidica produceuna modificacin de la tasa enunciada. A la que queda implcita la llamamos tasaefectiva; y la definimos como aquella que aplicada a un rgimen de capitalizacin

peridica produce, para un mismo capital y en el mismo tiempo, un monto igual al quese obtiene utilizando tasas proporcionales en la capitalizacin subperidica. A la tasaefectiva la simbolizamos con i.

Esta definicin nos permite, igualando los montos sealados, escribir:

( )nnm

iCm

iC '11

.

+=

+

de donde se deduce:

11'

+=

m

m

ii

Ejemplo: Calcular la tasa efectiva anual correspondiente a la tasa de inters del2,40% anual con capitalizacin bimestral.

529536,6'

16

40,21'

6

=

+=

i

i

Significa que $ 1 de capital impuesto en las condiciones expresadas, en un aoganar 6,529536 de inters, o sea, cada unidad de moneda se transformar en $7,529536, resultado de 1 + 6,529536.

Podemos agregar que la tasa de inters efectiva, es el inters que realmentegenera un capital unitario en un perodo, cuando se aplican tasas proporcionales en lacapitalizacin subperidica.

TASA EFECTIVA: ES EL RENDIMIENTO QUE EFECTIVAMENTE PRODUCE LAUNIDAD MONETARIA, PUNTA CONTRA PUNTA, ES DECIR DESDE LA FECHA DECOLOCACIN HASTA EL VENCIMIENTO. PODEMOS DECIR ADEMS, QUE LA TASAEFECTIVA CAPITALIZA EN FORMA SIMPLE, UNA SOLA VEZ EN EL PERODO BAJOANLISIS.

Puede generalizarse an ms el concepto de tasa efectiva, ya que no es necesarioque se apliquen tasas proporcionales a la capitalizacin subperidica para que la tasaefectiva peridica pueda ser calculada en la misma forma.

Si decimos que se aplica la tasa del 0,40 bimestral con capitalizacin en iguallapso, ese 0,40 es tasa nominal subperidica, y reemplazando en la frmula de i, latasa proporcional (i/m) por la tasa subperidica enunciada (0,40), llegamos a la

conclusin que la tasa efectiva anual es del 6,529536 como en el ejemplo anterior.

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LA TASA EFECTIVA ES MAS UN CONCEPTO QUE UNA FRMULA.

Supongamos que nos pregunten: cul es la tasa efectiva bimestral del 2,40anual con capitalizacin bimestral?.

La respuesta ser 0,40, ya que en un bimestre, $ 1 se convierte en $ 1,40 demonto, al que restndole la unidad de capital nos da la tasa de 0,40, con lo cual la tasaproporcional es tasa efectiva subperidica.

Si el subperodo de capitalizacin es de un mes, el valor de m para hallar la tasaefectiva anual es 12; si es de 30 das, m = 365/30; si es de 3 meses, m = 12/3.

Al pasar junto a un banco o en los diarios, se puede observar cuando sepublican en pizarra las operaciones ms comunes, que se est informando acerca de laTNA, la capitalizacin (operaciones de 30 das, operaciones de 7 das) y la TEA. Estoobedece a una disposicin del Banco Central de la Repblica Argentina, el cualactuando como autoridad monetaria, entiende que el inversor debe tener una medida derendimiento menos opaca que la Tasa Nominal, dado que sta deja de informar acercadel rendimiento cuando existen capitalizaciones subperidicas. Es la Tasa Efectiva laque gua a las unidades de gasto deficitarias y superavitarias en la seleccin dealternativas que propone el mercado.

Tambin el BCRA exige a las entidades financieras que en todas las operacionescorresponde que en los contratos, recibos. Notas de dbito donde se expliciten

tasas o importes de intereses, se haga expresa mencin de la tasa nominal anual de

inters o de descuento aplicada y de la tasa efectiva anual resultante.LA TASA EQUIVALENTE

Supongamos que se realizan dos operaciones financieras distintas:

Operacin 1: a la tasa de inters del 0,10 mensualOperacin 2: a la tasa de inters del 2,1384 anual

Calculemos el valor que asume $ 1 de capital inicial con estas tasas en distintosmomentos:

Para el primer da:

( )

( ) 003138375,11384,21

0031384,110,01002739726,0

032876712,0

=+

=+

OBSERVACIN: Para calcular el valor del exponente, se debe tener en cuenta launidad de tiempo que corresponde a la tasa de inters dada. Cuando la tasa esanual, y el plazo es de 1 da, el valor del exponente m = 1/ 365 = 0,0027397;cuando la tasa es mensual, debe tenerse en cuenta que el ao tiene 12 meses y

por lo tanto 1 da es igual a 1/365 partes de 12 meses; o sea, que m = 12/365 =0,0328767.

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Al final del primer mes:

( )

( ) 10,11384,21

10,110,0112/1 =+

=+

Al final del primer ao:

( )

( ) 1384,31384,21

1384,310,01 12

=+=+

Como puede observarse, el capital inicial de $ 1, a medida que transcurre eltiempo va asumiendo el mismo valor, en consecuencia, decimos que las operaciones 1 y2 son equivalentes, pues teniendo tasas con distintas unidades de tiempo, producen el

mismo monto.Dos tasas de inters son equivalentes cuando corresponden a operaciones

financieras equivalentes.

Para que las tasas de inters sean equivalentes deben cumplir dos requisitos:

a) Deben referirse a distintas unidades de tiempo;b) Al cabo del mismo tiempo, con ambas tasas las unidades de capital deben

producir el mismo monto.

Cuando las tasas cumplen con estos requisitos, decimos que son tasas equivalentesentre s. En nuestro supuesto: el 0,10 mensual es equivalente al 2,1384 anual yviceversa.

Llamamos tasa equivalente, y la simbolizamos conmi , a aquella que aplicada a un

rgimen de capitalizacin subperidica produce, para el mismo capital en el mismotiempo, el mismo monto que la tasa con capitalizacin peridica.

Esta definicin nos permite escribir:

( ) ( )

nnm

m iCiC +=+ 11.

de donde se deduce:

11 += mm ii

m puede ser entero o fraccionario y representa el nmero de veces que la unidad detiempo para la cual se quiere calcular la tasa equivalente, est contenida en la unidad detiempo de la tasa dada.

El problema para calcular tasas equivalentes es sencillo, una vez determinadacorrectamente m, todo se limita a la aplicacin de la frmula.

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Siguiendo con el ejemplo numrico, la tasa mensual equivalente a la tasa anualde 12,1384 ser:

10,0

11384,21

12

1212

=+=

i

i

podemos decir que:

TASA EQUIVALENTE: ES UN SUSTITUTO DE LA TASA EFECTIVA. ES UNMECANISMO ALGEBRAICO PARA PODER ANALIZAR QUE PASA EN LOS SUBPERIODOS.POR LO TANTO, DOS TASAS SON EQUIVALENTES CUANDO EN EL MISMO HORIZONTE DETIEMPO PRODUCEN EL MISMO CAPITAL FINAL, PERO CAPITALIZANDO EN PERODOSDISTINTOS, SIEMPRE EN FORMA COMPUESTA.

DIFERENCIAS Y SEMEJANZAS ENTRE...

! Tasa efectiva y equivalente subperidica: ambas son efectivas, cada una en suplazo. La relacin de equivalencia se d siempre entre tasas efectivas. Para unaoperacin determinada, slo existe una tasa efectiva e infinitas equivalentes,tantas como se nos ocurra.

! Tasa equivalente y nominal: la tasa nominal es proporcional al plazo, laequivalente es el resultado final de su proceso de acumulacin.

De las relaciones analizadas:

'11 im

im

+=

+ (1)

( ) ii mm +=+ 11 (2)

podemos encontrar los valores de distintas tasas despejando la tasa buscada por pasajede trminos, y asignando los valores que asuma m, segn el planteo del problema.

As, de la igualdad (1) podemos encontrar:

la proporcional: 1'1 += m m

i

la nominal: mii m += 1'1

De la igualdad (2) podemos encontrar tasas equivalentes peridicas osubperidicas:

( ) 11 += mmii ; 11 +=

mm ii

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COMPONENTES DE LA TASA DE INTERES

Los elementos que integran normalmente la tasa de inters son:

a. El inters propiamente dicho.b. El riesgo de la operacin: esta dado por la probabilidad estimada o conocida deincobrabilidad. A esto se lo denomina riesgo de crdito. Al trasladarse el riesgode crdito a la tasa de inters, es evidente que se produce un incremento de ella.

c. El gasto administrativo: para el acreedor por la administracin del crdito, parael deudor el costo de la gestin, comisiones, impuestos, etc.

d. La desvalorizacin monetaria: dado por el cambio de valor de la moneda en queha sido realizada la operacin financiera, y puede ser el principal por sumagnitud. La inflacin representa la perdida del poder adquisitivo en el tiempo.Quien preste capital pedir tasa de inters mas alta para compensar esa prdida.La relacin entre tasa de inters y tasa de inflacin, es una relacin que se realiza

entre tasa de inters actual y tasa de inflacin esperada. Esto es lo que hacedifcil de medir empricamente, puesto que la inflacin esperada es una medicinno objetiva.

e. Amplitud del perodo de inversin: generalmente el nivel de las tasas de inters acorto y a largo plazo en cualquier momento que se la considere son diferentes, loque se denomina estructura a plazos de las tasas de inters. En la prctica lastasas a largo plazo son mayores que las de corto plazo.

De los componentes enunciados, los tres primeros constituyen el costo financieroglobal para el tomador del crdito, el d) es un componente de ajuste a valoreshomogneos.

SIGNIFICADO DE EXPRESIONES DE USO COMUN.

Tasa activa: es la tasa de inters que el tomador de fondos paga, o sea, lo que el Bancoo institucin financiera le cobra a quien le pide un prstamo.

Tasa pasiva: es la tasa de inters que el depositante cobra, o sea, lo que el Banco oinstitucin financiera paga a los que realizan los depsitos.

Spread: es la diferencia que existe entre la tasa activa y la tasa pasiva, es el costo de

intermediacin financiera.Tasa Libor: es una tasa de inters interbancaria Londinense (London inter bank offeredrates). Es usada internacionalmente sobre prstamos otorgados.

Prime rate: es la tasa que cobran por prstamos a sus principales clientes, los grandesBancos de E.E.U.U.

Call money: los bancos para cubrir sus necesidades financieras o para no tenerexcedentes ociosos, piden y prestan dinero dentro del circuito bancario, esto es lo que seconoce con este nombre. El call oficial se refiere a los Bancos oficiales y el call privado

a las entidades privadas.

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BIBLIOGRAFA CONSULTADA

1. Matemtica Financiera en un contexto inflacionario Rodolfo APREDA Editorial Club de Estudio 1985 -

2. Intereses y Anualidades Ciertas Jos GONZLEZ GAL Ediciones Macchi 1979 3. 170 respuestas que su dinero necesita Claudia y Gerardo SAPOROSI Ediciones Macchi 1991 -

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