Tds Intro Tipos Sistemas 2008 09

7/23/2019 Tds Intro Tipos Sistemas 2008 09

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2008

FernandoCruzRoldn

17/09/2008

Apuntes de Tratamiento Digital de

Seales


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3/73

Tema 1. Conceptos Bsicos de Seales y Sistemas. 1

Tema 2. Introduccin al filtrado Digital. Tipos de Sistemas. 13

Tema 3. Clculo de los coeficientes del filtro. 45

Bibliografa. 67


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5/73

1

Captulo 1

Conceptos Bsicos de Seales y Sistemas

1.1 INTRODUCCIN

En este primer captulo se realiza un breve repaso de los conocimientos adquiridos

en las asignaturas de seales y sistemas, y que resultan de gran utilidad para abordar

el estudio del diseo de filtros digitales.

Partimos de la definicin de sistema como todo proceso o transformacin de una o

varias seales de entrada en otra(s) de salida. Existen sistemas de mltiples entradas

y salidas (sistemas MIMO), pero en estos apuntes nos centraremos en los de una

nica entrada y salida (sistemas SISO). Las propiedades ms importantes quepueden satisfacer dichos sistemas son las de linealidad, invarianza en el tiempo,

estabilidad (BIBO), causalidad, memoria e invertibilidad [Jac 91, Opp 97]. El repaso

que se realiza en este captulo se centra en los sistemas que operan con seales de

tiempo discreto, y satisfacen simultneamente las propiedades de linealidad e

invarianza en el tiempo (sistemas discretos LTI).

La nomenclatura y notacin que utilizaremos en los apuntes es la siguiente. Cuando

la variable independiente es continua, se indica entre parntesis, y en caso de ser


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2 Conceptos bsicos de seales y sistemas

discreta, se denota entre corchetes. Las seales en el dominio del tiempo se

representan con letras minsculas, y las correspondientes a un dominio

transformado con letras maysculas. Por ejemplo una secuencia de tiempo discretopodra ser [ ]x n , y su correspondiente transformadaz, que es una seal de variable

continua, se representara como ( )X z . La variable independiente correspondiente a

la transformada de Fourier de seales de tiempo continuo es , mientras que la

correspondiente a la variable pulsacin para seales de tiempo discreto es .

1.2

CARACTERIZACIN DE SISTEMAS LTI

Dado el sistema discreto LTI de la figura 1.1, existen diversas formas de

caracterizarlo. En el dominio del tiempo, la funcin que permite obtener la salida a

partir de cualquier entrada es la respuesta al impulso [ ]h n , que se define como la

respuesta del sistema cuando a su entrada se aplica una funcin [ ]n . Conocida la

funcin [ ]h n , se puede obtener la respuesta del sistema frente a cualquier entrada a

travs de la suma de convolucin (expresin 1.1), y determinar las propiedades delmismo.

Fig. 1.1.Sistema discreto lineal e invariante en el tiempo.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k

y n x n h n x k h n k h n x n h k x n k

= =

= = = = (1.1)

El sistema es causal si su respuesta al impulso cumple que [ ] 0h n = para 0n< , es

estable (BIBO) si la respuesta al impulso es sumable en valor absoluto, es decir,

[ ]n

h n

=

< , tiene memoria cuando [ ] 0h n y [ ] [ ]h n c n , siendo c una


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Conceptos bsicos de seales y sistemas 3

constante compleja, y es invertible cuando existe otro sistema, denominado inverso,

tambin LTI, cuya respuesta al impulso [ ]ih n satisface que [ ] [ ] [ ]ih n h n n = .

En determinadas ocasiones, operar en el dominio del tiempo puede entraar una

dificultad excesiva. El clculo de la suma de convolucin puede no ser trivial, y

cuando hay que obtener una de las funciones que se convolucionan, el problema

puede ser inabordable en el dominio del tiempo. A modo de ejemplos, se puede

citar el problema en el que dado un sistema [ ]h n , se intenta obtener el sistema

inverso [ ]ih n , o el caso en el que conocida la respuesta al impulso del sistema [ ]h n

y la seal de salida [ ]y n , se trata de calcular la secuencia de entrada [ ]x n que la

ocasiona.

Alguno de los anteriores problemas puede resultar ms fcil de resolver en los

dominios transformados. De este modo, es conveniente recordar que el sistema LTI

tambin se puede caracterizar mediante la funcin del sistema, la cual se define

como

( ) [ ] nn

H z h n z

=

= , (1.2)

es decir, la transformadazde la respuesta al impulso. sta es una funcin continua

compleja de variable continua compleja, con lo que es necesario para su

representacin emplear dos grficos tridimensionales.

Es muy importante asociar a la expresin en z su correspondiente regin deconvergencia, ya que la primera por s sola puede dar lugar a ambigedades, es decir,

puede no definir unvocamente al sistema.

Ejemplo 1.1. Dada la expresin

( )1

1

112

H z

z=

, (1.3)


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dependiendo de la regin de convergencia asociada al mismo, tendremos dos

sistemas diferentes: uno causal y estable cuya respuesta al impulso es

[ ] ( ) [ ]1 2 nh n u n= y un segundo sistema no causal e inestable cuya respuesta al

impulso viene dada por la expresin [ ] ( ) [ ]1 2 1n

h n u n= . Ambos sistemas se

obtienen en funcin de la regin de convergencia asociada a la expresin en z. A

saber, 1 2z > para el primero, y 1 2z < en el caso del segundo sistema.

La funcin del sistema es una funcin de transferencia, tal y como se indica en laexpresin (1.4), y en el caso de ser una funcin racional, es posible determinar las

propiedades del sistema a partir de su regin de convergencia. En este caso, cuando

el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, el sistema

es causal si la regin de convergencia se extiende desde el polo que presente el

mayor mdulo hasta infinito (inclusive). El sistema es estable si la regin de

convergencia incluye la circunferencia de radio unidad, y el sistema es sin memoria si

su regin de convergencia es todo el planoz.

( ) ( )

( )

Y zH z

X z= (1.4)

Como ya se ha indicado, la funcin del sistema simplifica el clculo de determinados

problemas en los que aparece involucrada la operacin suma de convolucin. Sin

embargo, presenta como inconvenientes de destacar los siguientes aspectos. En

primer lugar, la variable z no tiene un sentido fsico claro, en segundo lugar, es

difcil la representacin tridimensional de las dos funciones asociadas a ( )H z

(mdulo y fase, o parte real y parte imaginaria), y en tercer lugar, hay que determinar

la regin de convergencia que va asociada a la expresin en z, y operar

correctamente con la misma.


9/73


Ejemplo 1.2. Dada una convolucin (expresin (1.5)) y una suma de seales

(expresin (1.6)) en el dominio del tiempo:

[ ] [ ] [ ]nynhnx = z

( ) ( ) ( )zYzHzX = (1.5)

[ ] [ ] [ ]nxnxnx =+ 21 z

( ) ( ) ( )zXzXzX =+ 21 (1.6)

Para resolver los anteriores problemas en el dominio z, adems de obtener el

producto o la suma de ambas seales transformadas, hay que calcular la nueva

regin de convergencia de la seal resultante. En primer lugar, debe existir

interseccin entre las regiones de convergencia de las funciones que se multiplican o

se suman para realizar dichas operaciones. En caso de que exista, la nueva regin se

obtiene a partir de dicha interseccin, pudindose modificar la misma por la

cancelacin de alguno de los polos que la delimitan [Jac 91, Opp 97].

Otra funcin que caracteriza al sistema es la respuesta en frecuencia, definida como

la transformada de Fourier de la respuesta al impulso [ ]h n :

( ) [ ]

=

=n

njenhH . (1.7)

Esta funcin s tiene un sentido fsico claro, y adems no es necesario incluir ningn

condicionante adicional a la expresin en , puesto que si existe, es para toda la

variable independiente. Al ser una funcin compleja de variable continua real, basta

con dos grficos bidimensionales para llevar a cabo su representacin. Es tambin

una funcin de transferencia que se puede obtener como el cociente de la seal de

salida y la de entrada:

( ) ( )

( )

=X

YH . (1.8)


10/73


Cuando la funcin del sistema ( )zH incluye la circunferencia de radio unidad en la

regin de convergencia, se puede calcular la respuesta en frecuencia a partir de la

anterior del siguiente modo:

( ) ( ) == jezzHH . (1.9)

En el diseo de filtros digitales se emplean dos tipos de descripciones para la

respuesta en frecuencia. Por un lado, la descripcin mdulo y fase de la respuesta en

frecuencia:

( ) ( ) ( )= HjeHH , (1.10)

donde la funcin mdulo de la respuesta en frecuencia ( )H se define como

( ) ( ) ( )+= 22 IR HHH , (1.11)

y la fase de la respuesta en frecuencia ( )H , definida a travs de la expresin

( ) ( ) ( )= RIH HHarctg , (1.12)

donde ( )RH representa la parte real de la funcin ( )H y ( )IH su parte

imaginaria. Tanto la funcin del mdulo como la de fase de la respuesta en

frecuencia presentan como principal inconveniente que en general no son funciones

analticas, y en ocasiones es necesario calcular la derivada de alguna de ellas. Sirva a

modo de ejemplo el clculo del retardo de grupo de un filtro [Opp 99]. En estoscasos, puede resultar de utilidad la descripcin de la respuesta en frecuencia del filtro

a partir de la funcin de amplitud ( )A y de la funcin de fase ( )H , tal y como

se indica en la expresin (1.13). Ambas contienen la misma informacin,

respectivamente, que las funciones mdulo y fase de la respuesta en frecuencia, y

adems son funciones analticas.

( ) ( ) ( )

=HjeAH . (1.13)


11/73


Ejemplo 1.3. Consideremos el filtro cuya respuesta al impulso viene definida por

[ ] [ ] [ ]1= nnnh . Su respuesta en frecuencia se puede especificar como se indica

en la expresin (1.14) descripcin mdulo y fase-, o como la expresin (1.15)

funciones de amplitud y de fase-. La figura 1.2 representa a las mismas.

( ) ( )( )( )1 cos

2 2cos

senjarctg

H e

= (1.14)

( ) 2 222

j

H sen e

=

(1.15)

3 2 1 0 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

pulsacion

Modulo de la Respuesta en Frecuencia

3 2 1 0 1 2 32

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

pulsacion

Funcion de Amplitud

(a) (b)

3 2 1 0 1 2 3

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

pulsacion

Fase de la Respuesta en Frecuencia

3 2 1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

pulsacion

Funcion de Fase

(c) (d)Fig. 1.2.Ejemplo. (a) Mdulo, (b) funcin de amplitud, (c) fase y (d) funcin de fase de la

respuesta en frecuencia.


12/73


1.3

SISTEMAS DESCRITOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIASLINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES

Los filtros digitales lineales e invariantes en el tiempo pueden ser descritos mediante

una ecuacin en diferencias lineal de coeficientes constantes como la de la expresin

(1.16). Cuando el sistema descrito mediante esta expresin parte del reposo inicial,

cumple las propiedades de linealidad, invarianza y causalidad [Opp 97].

[ ] [ ] [ ]0 0

M N

k k

k k

y n b x n k a y n k= =

= + (1.16)

Atendiendo a la duracin en el tiempo de la respuesta al impulso del sistema

descrito por la ecuacin en diferencias (1.16), se pueden encontrar dos grandes

grupos de filtros: los sistemas de respuesta al impulso de duracin finita (FIR) y los

de duracin infinita (IIR). Obsrvese en la expresin (1.16) cmo para que el

sistema sea IIR, es necesario que se satisfaga que algn coeficiente 0ka . Sin

embargo, esta no es una condicin suficiente.

Ejemplo 1.4. Consideremos el filtro cuya respuesta al impulso viene definida por

[ ] ( ) [ ] [ ]( )1 2 8n

h n u n u n= . Este sistema, cuya respuesta al impulso es de

duracin 7 (FIR), se puede caracterizar por dos ecuaciones en diferencias

equivalentes, a saber:

[ ] [ ]7

0

12

k

k

y n x n k=

=

, (1.17)

[ ] [ ] [ ] [ ]8

1 18 1

2 2y n x n x n y n

= +

. (1.18)

Dado un sistema LTI caracterizado por la expresin (1.16), la funcin del sistema

se puede calcular aplicando la transformadaza dicha expresin y considerando que


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es una funcin de transferencia (1.19). Los ceros se definen como aquellos puntos

del plano z en los que se anula la funcin del sistema, y los polos como aquellos

puntos del planozen los que dicha funcin tiende a infinito. Obteniendo las races

de los polinomios numerador y denominador encontramos, respectivamente, los

ceros ic y polos ip que se encuentran en puntos finitos del planoz.

( ) ( )

( )

( )

( )

1

0 10

1

0 1

1

1 1

MMk

ik

k i

N Nk

k i

k i

c zb zY z

H z bX z

a z p z

= =

= =

= = =

, ,i ic p . (1.19)

Cuando los coeficientes ka y kb de la ecuacin en diferencias son nmeros reales,

los polos y ceros complejos aparecen por parejas conjugadas, y en el diagrama de

polos y ceros existe simetra con respecto al eje real. Es decir, todos los polos y

ceros que se sitan en el semiplano superior, tienen su correspondiente pareja en el

semiplano inferior (el complejo conjugado). En el diagrama de polos y ceros

tenemos toda la informacin de la funcin del sistema, salvo la constante de

ganancia 0b del mismo.

La respuesta en frecuencia del filtro estable se puede obtener mediante la expresin

(1.20).

( ) ( )

( )

( )

( )

0 10

0 1

1

1 1

MMjj

ik

k i

N Nj j

k i

k i

c eb eY

H bX

a e p e

= =

= =

= = =

, ,i ic p . (1.20)

Ejemplo 1.5. Dado el sistema LTI causal caracterizado por la ecuacin en

diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1.7321 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= + + . (1.21)

En la figura 1.3 se representan el diagrama de polos y ceros, la funcin

( )( )20log H z , para { }1.1 Re 1.1z < < y { }1.1 Im 1.1z < < , y la que sera la funcin


14/73


mdulo de la respuesta en frecuencia. Esta ltima, junto con la fase de la respuesta

en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.4.

Fig. 1.3.Ejemplo1.5. Representacin del diagrama polo cero y de funciones relacionadas con elfiltro dado.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1200

100

0

100

200

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

20

0

20

40

Mdulo(dB)

fase(grados)

Pulsacin Normalizada (rad/muestra)


Fig. 1.4.Ejemplo1.5. Representacin del mdulo y de la fase de la respuesta en frecuencia delfiltro dado.


diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1.7321 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= + . (1.22)




15/73



en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.6. A diferencia del

ejemplo 1.5, en este caso los polos estn ms prximos al punto 1z= , y la

ganancia de la respuesta en frecuencia del filtro aumenta en = , mientras que la

ganancia del sistema en 0 = disminuye (comprese con la figura 1.4).


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1200

100

0

100

200

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 160

40

20

0

20

40

60



Mdulo(dB)

fase(grados)



diferencias

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]20 1 2 0.9 1 0.81 2y n x n x n x n y n y n= + + . (1.23)


16/73





en frecuencia, se representan de manera conjunta en la figura 1.8.


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100

50

0

50

100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

0

5

10

15

20

25

30

Mdulo(dB)

fas

e(grados)




Al estar los polos muy prximos a los ceros, la funcin del sistema es prcticamente

constante y del mismo valor para todos los puntos del plano z alejados de dichos

polos y ceros.


17/73

Captulo 2

Introduccin al Filtrado Digital. Tipos de Sistemas

2.1 DEFINICIONES

Un filtro es un sistema que va a producir cambios selectivos en las caractersticas de

amplitud y/o de fase de una seal, con el objetivo de mejorar la calidad de la misma

(reduciendo el ruido) o de extraer determinada informacin de dicha seal. Un filtro

digital es el sistema que realiza las operaciones anteriores con tcnicas digitales, y

como veremos ms adelante, ser un programa que lleva a cabo un algoritmo

matemtico con multiplicaciones y sumas de distintos elementos.

Al igual que los analgicos, los filtros digitales pueden presentar tambincaractersticas selectivas en frecuencia, del tipo paso-bajo, paso-banda, banda-

eliminada, etc. Los filtros digitales presentan diversos inconvenientes frente a los

analgicos y numerosas ventajas, la mayora de ellos relacionados con la tecnologa

que lleva a cabo el proceso de filtrado [Che 92, Ell 87, Ham 89, Mit 93, Par 87]. Se

pueden destacar los siguientes aspectos:

a)

Los filtros analgicos que presentan fase lineal [Sch 00] son poco selectivos ydiscriminantes en frecuencia. Sin embargo, los filtros digitales que presentan

13


18/73

14 Introduccin al filtrado digital. Tipos de Sistemas

esta caracterstica pueden ser diseados con una banda de transicin muy

estrecha y una elevada atenuacin en la banda eliminada.

Ejemplo 2.1. La figura 2.1 muestra la respuesta al impulso y el mdulo y la fase de la

respuesta en frecuencia de un filtro digital de fase lineal. Este filtro es FIR, de 64

coeficientes, y como se aprecia en la figura 2.1 (a), la respuesta al impulso es

simtrica. En la figura 2.1 (b) puede observarse la elevada discriminacin que

presenta dicho sistema.

10 20 30 40 50 600.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Respuesta al Impulso de un Filtro FIR de Fase Lineal

Amplitud

n

(a)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11400

1200

1000

800

600

400

200

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1120

100

80

60

40

20

0


Mdulo(dB)

fase(grados)

Pulsacin Normalizada (rad/muestra) (b)

Fig. 2.1.Ejemplo 2.1. (a) Respuesta al impulso y (b) mdulo y fase de la respuesta en frecuenciade un filtro digital de fase lineal.


19/73

Introduccin al filtrado digital. Tipos de Sistemas 15

b) El comportamiento de los filtros digitales en la regin de muy bajas

frecuencias es excelente. Por ello, se utilizan constantemente en aplicaciones

biomdicas [Aka 01].

c) Los filtros digitales, trabajando de manera conjunta con sistemas que

producen la interpolacin o el diezmado de una seal de tiempo discreto

[Opp 99], se aplican frecuentemente en la codificacin de seales

biomdicas, de audio, imgenes o video [Str 97], e incluso en la transmisin

de seales digitales con modulaciones multiportadora [Aka 96, Aka 99].

Adems de los citados anteriormente, existen diversos libros en los que se

analiza el diseo y la aplicacin de los filtros digitales en este entorno de

trabajo [Vai 93, Fli 99, Vet 95].

d) El principal inconveniente que impide la utilizacin de los filtros digitales en

determinadas aplicaciones es la limitacin de la velocidad a la que opera el

sistema, impuesta por el ciclo de reloj o ciclo de trabajo del sistema digital.

ste delimita el ancho de banda mximo de las seales con que se puede

operar.

e) Otro inconveniente de los filtros digitales se debe a los efectos derivados de

la utilizacin de registros con un nmero de bits limitado (de longitud de

palabra finita). En el sistema digital aparecen, entre otros, los ruidos debidos

a la cuantificacin de la seal de entrada del convertidor A/D, los debidos a

la cuantificacin de los coeficientes del filtro digital, los ocasionados durante

las operaciones al efectuar procesos de redondeo o truncamiento, los efectosde saturacin o desbordamiento en los registros, etc.

2.2 CLASIFICACIN DE LOS FILTROS DIGITALES

En el captulo anterior se clasificaron los filtros digitales atendiendo a la duracin de

su respuesta al impulso, encontrndonos con sistemas IIR y FIR. Para filtros IIR la

relacin entrada-salida siempre viene establecida por una expresin como la (2.1), ya

que es condicin necesaria en los mismos que algn 0ka para 1 . Pork N


20/73


tanto, el clculo de la seal de salida se realizar de forma recursiva. El orden del

filtro IIR ser el mayor de los nmeros Mo , siendoN ,M N +Z

]k

ka b

y .,M N<

( )H z

[ ] [=

+=0

k

M

k

k nynxbny [ ] k

[h k

[kh0

=1k

a

[n

[n

(2.1)

Los filtros FIR son sistemas que por definicin presentan una respuesta al impulso

de duracin finita. Si se considera el sistema causal, la expresin (2.2) tambin

caracteriza a un filtro FIR. La longitud o nmero de coeficientes del filtro FIR es ,

y el orden .

L

1L

[ ] ] ]1

0

L

k

h n k

=

= (2.2)

Un algoritmo que lleve a cabo el clculo de la salida mediante la expresin (2.1)

requiere N+M+1 multiplicaciones y N+M sumas de dos en dos elementos. Si el

algoritmo utilizado desarrolla la expresin (2.2), el nmero de multiplicaciones y el

de sumas es y , respectivamente. En los sistemas IIR, no es posible llevar a

cabo el clculo de la salida mediante convolucin directa (expresin (2.3) si

suponemos el sistema causal), debido a que el nmero de operaciones necesarias es

infinito.

L 1L

(2.3)[ ] ] ]kxnyk

=

=

La funcin del sistema IIR causal se rige por la expresin (2.4), y ser siempre elcociente de dos funciones polinmicas. Si los coeficientes y de son

reales, los polos y los ceros que aparecen en el sistema son nmeros reales, o

complejos acompaados del correspondiente conjugado. Para que el sistema sea

estable y causal, todos los polos deben situarse en cualquier punto situado en el

interior de la circunferencia de radio unidad, y al menos uno situado fuera del

origen, no habiendo restriccin para la posicin de los ceros. La presencia de los

polos en cualquier punto tal que

k

pz 1pz < , proporciona mayor flexibilidad en la


21/73


fase de diseo: si se desea ms ganancia en una banda de frecuencias, basta con

situar algn polo en un punto del planozprximo a dicha regin.

( ) [ ] 00

1

1

Mk

kn k

knk

k

b z

H z h n z

a z

=

=

=

= =

(2.4)

Si el sistema es FIR causal, la funcin del sistema (expresin (2.5)) tiene los 1L

ceros situados en cualquier punto del plano z, mientras que los polos estn

todos situados en el origen. Lo anterior implica que dadas unas especificaciones de

un filtro digital, normalmente el filtro IIR necesita menos coeficientes que el

correspondiente FIR. El riesgo que se corre es que, al utilizar aritmtica de precisin

finita, en el filtro IIR se pueden degradar notablemente las caractersticas en

frecuencia, e incluso, si presenta polos muy cercanos a la circunferencia de radio

unidad, el filtro se puede convertir en inestable.

1L

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]1

1

0

0 1 1L

n n

n

H z h n z h h z h L z

L

=

= = + + + L (2.5)

La respuesta en frecuencia se obtiene, si el sistema es estable, sustituyendo por

. Con respecto a la fase de la respuesta en frecuencia, los sistemas I.I.R. causales

no van a poder presentar una caracterstica exactamente lineal. Como se ver ms

adelante, los filtros FIR que tienen una respuesta al impulso simtrica o

antisimtrica, s presentan una caracterstica de fase lineal.

z

je

Ejemplo 2.2. Uno de los mtodos de diseo de filtros IIR se basa en tcnicas de

aproximacin de filtros analgicos. La figura 2.2 muestra el mdulo y la fase de un

filtro digital IIR diseado a partir de un filtro elptico analgico. Se puede observar

cmo la fase de la respuesta en frecuencia es aproximadamente lineal en la banda de

paso, pero este comportamiento se degrada en frecuencias prximas a la banda de

transicin.


22/73


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1500

400

300

200

100

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1100

80

60

40

20

0


Mdulo(dB)

fase(grados)


Fig. 2.2.Ejemplo 2.2. Mdulo y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro digital diseado apartir de un filtro elptico analgico.

A la hora de abordar el diseo de un filtro digital hay que elegir entre un sistema

FIR o IIR. En los apartados anteriores se han comentado algunos aspectos

referentes a la funcin del sistema y la respuesta en frecuencia que pueden

condicionar la eleccin. Ms adelante, se estudiarn distintas tcnicas de diseo y

estructuras para la realizacin de los filtros, las cuales proporcionarn ms elementos

de juicio para realizar una eleccin acertada entre los mismos. En dicha eleccin

entre FIR e IIR intervienen numerosos factores, y no siempre hay una opcin

claramente favorable, siendo en ocasiones conveniente realizar dos diseos

completos, uno FIR y otro IIR antes de tomar una decisin basada en factores de

tipo prctico [Che 92, Ell 87, Ham 89, Mit 93, Par 87].

2.3

SISTEMAS ESPECIALES

2.3.1 Sistema Inverso

Como se explic con anterioridad, dado un sistema LTI, el sistema inverso es aquel

que conectado en cascada con el inicial, proporciona como seal de salida la seal

de entrada al primero (figura 2.3). Es fcil demostrar que el sistema inverso a uno


23/73


LTI debe cumplir tambin las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo

[jac 91, Opp 97].

Fig. 2.3.Interconexin en cascada de un sistema LTI y su inverso.

El clculo del sistema inverso en el dominio del tiempo es bastante complicado, y en

ocasiones, inabordable. La resolucin en el dominio z se plantea en la expresin

(2.6), que establece que la funcin del sistema del inverso a uno dado, se obtiene

intercambiando los polos y los ceros entre s. Con respecto a la regin de

convergencia (R..C.) de la funcin del sistema inverso hay que considerar varios

aspectos. Inicialmente, debe tener interseccin con la del sistema original, y en este

caso, elegirla de modo que satisfaga las condiciones de diseo, ya que puede haber

ms de un sistema inverso al dado. La expresin 2.6 tambin indica que la

interseccin de ambas regiones de convergencia es todo el planoz.

( ) ( ) zCRCRzHzH iHHi == ....1 ( ) ( )zHzHi 1= (2.6)

Ejemplo 2.3. Dado el sistema LTI causal

( )( )1 1

1 1

11 2 1

4

1 1

1 12 4

z z

H z

z z

=

+ +

,

podemos encontrar varios inversos al mismo. En primer lugar, la funcin del

sistema

( )( )

1 1

11 1

1 11 1

2 4

11 2 1

4

i

z z

H z

z z

+ +

=

, 2z > ,


24/73


representa a un sistema inverso causal. En segundo lugar,

( )( )

1 1

21 1

1 11 1

2 41

1 2 14

i

z z

H z

z z

+ +

=

,1 4 2z< < ,

se corresponde con un sistema inverso estable, y por ltimo,

( )( )

1 1

31 1

1 11 1

2 4

11 2 1

4

i

z z

H z

z z

+ +

=

, 1 4z < ,

es una funcin cuya regin de convergencia no cumple el criterio de tener

interseccin con la regin de convergencia del sistema original.

La figura 2.4 representa el diagrama de polos y ceros, con la correspondiente regin

de convergencia, de cada uno de los sistemas.

1/2 1/4 1/4 1 2

R.C. |z|>0.5Parte Imaginaria

Parte Real

1/2 21/41/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z|>2

Parte Real

(a) (b)

1/2 21/41/4 1

Parte Imaginaria

R.C. 0.25 < |z| < 2

Parte Real

1/2 21/41/4 1

Parte Imaginaria

R.C. |z| < 0.25

Parte Real

(c) (d)


25/73


Fig. 2.4.Ejemplo 2.3. Diagrama de polos y ceros de varios sistemas. (a) Sistema dado. (b)Sistema inverso causal. (c) Sistema inverso estable. (d) Sistema inestable y no causal, cuya regin de

convergencia no tiene interseccin con el sistema dado.

2.3.2 Sistemas Paso-Todo

Un sistema paso todo es aquel cuyo mdulo de la respuesta en frecuencia es

constante y del mismo valor para todo . En general, la funcin del sistema de un

filtro paso-todo causal de ordenNse representar como [Vai 93]

( ) ( )

( )

N

ap

z A z

H z A z

=

%

, (2.7)

donde y( )0

Nk

k

k

A z a z

=

= ( ) ( )* *1A z A z=% . Supongamos un filtro paso todo

sencillo de orden uno, con dos coeficientes, tal que

( ) ( )

( )

* *

0 11

1

0 1

ap

a a zH z z

a a z

+ =

+

. (2.8)

Si el filtro presenta un polo en 00j

a r e = , con a , (los coeficientes seran 0 1a =

y ), la funcin del sistema se puede expresar como1

a = a

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

* 1*

1 *

1

1 11

1 1ap

a za zH z z a

a z a z

= =

1. (2.9)

En este caso, se observa que adems del polo 00 0

jp a r e

= = , en el filtro paso todo

debe aparecer un cero situado en ( ) ( )00 01 1 0* 01j jc a r er e = = = . Es decir, cada

polo va acompaado por un cero en una posicin inversa conjugada, con la misma

fase que el cero, pero de mdulo inverso.

Si el sistema es estable, la respuesta en frecuencia del sistema paso todo viene dada

por


26/73


( ) ( )

( )( )( )

* *1

1

j

j j

ap j

a e FH e e

Fa e

= =

, (2.10)

donde . Se puede comprobar fcilmente en (2.10) que( ) (1 jF a e = )

( ) 1 =apH . Un sistema paso todo de orden se obtiene mediante la

interconexin en cascada de sistemas paso todo de orden uno. La expresin

general del sistema paso todo cuando presenta

N

r

N

M polos y ceros reales, y cM

polos y ceros complejos es la dada en (2.11) [Opp 99], con kd y ., kc e

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) =

=

=

2

11*

1

1

*1

11

1

111

cr M

k k

k

k

kM

k k

kap

ze

ez

ze

ez

zd

dzczH (2.11)

Si el filtro paso todo causal es de coeficientes reales, es decir, ka , se satisface

que ( ) ( 1 )A z A z=% . En este caso, la expresin (2.7) se puede simplificar a

( ) ( )

( )

( )

( )

1 1

1 0

1

0 1

N N

N NN

ap N

N

z A z a a z a zH z z

A z a a z a z

+ + + = =

+ + +

L

L

. (2.12)

La fase de la respuesta en frecuencia del sistema paso todo se puede expresar como

se indica en la expresin (2.13) [Pei 94]. Si la funcin racional ( )H z tiene todos los

polos dentro de la circunferencia de radio unidad, como le ocurre a los sistemas

paso todo estables y causales, se satisface [Opp 99] que ( )H es montnona

decreciente, lo que implica que el retardo de grupo es siempre positivo.

( )( )

( )

0

0

2arctan

cosap

N

k

kH N

k

k

a sen k

N

a k

=

=

= +

(2.13)

Ejemplo 2.4. La funcin del sistema de un filtro paso todo causal y estable presenta

un polo en el punto


27/73


3

41

0.8j

p e

= .

Si la respuesta al impulso es real, adems del anterior polo es necesario aadir otro

polo conjugado, y los correspondientes ceros en posiciones inversas conjugadas:

3

42

0.8j

p e

= ,3

41

1.25j

c e

= y3

42

1.25j

c e

= .

La funcin del sistema resultante es

( ) ( )

( )

( )

( )

1 2 1 2

1 2 1

1 1.767767 1.5625 1 1.767767 1.56251

0.641 1.13137085 0.64 1.5625 1.767767ap

z z z zH z

z z z z

+ + + + = =

+ + + + 2

,

con regin de convergencia 0.8z > .

La figura 2.5 representa el diagrama de polos y ceros,, la funcin ( )( )20log H z ,

para { }1.4 Re 1.4z < < y { }1.4 Im 1.4z < < , y la funcin mdulo de la respuesta en

frecuencia. Esta ltima, junto con la fase de la respuesta en frecuencia, y el retardo

de grupo, se representan en las figuras 2.6 y 2.7, respectivamente.

Parte Imaginaria

Parte Real

10.8

R.C. |z|>0.8

(a) (b)Fig. 2.5.Ejemplo 2.4. (a) Diagrama polo cero y (b) representacin de funciones relacionadas

con el filtro paso todo.


28/73


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1800

600

400

200

0

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 12.5

3

3.5

4

4.5

5

Mdulo(dB)

fase(grados)



Fig. 2.6.Ejemplo 2.4. Representacin del mdulo y de la fase de la respuesta en frecuencia delfiltro paso todo.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R

etardodeGrupo(muestras)


Fig. 2.7.Ejemplo 2.4. Retardo de grupo del filtro paso todo.

En la figura 2.4b se puede comprobar que el filtro paso-todo cumple el teorema del

mdulo mximo [Vai 93]. De este teorema se desprende que si ( )apH c = ,

entonces

( )

1

1

1

ap

para zc

H z c para z

c para z

= =< >

,


29/73


salvo en el caso de sea constante para todo z. Con la excepcin de los

sistemas paso todo elementales de la forma

( )H z

( ) 0nH z c z= , cualquier sistema que

satisfaga la expresin (2.11) es IIR, ya que presentar polos en puntos finitos delplano z distintos del origen, que no se cancelarn con ningn cero.

2.3.3 Sistemas de Fase Mnima

En general, un sistema LTI no puede ser descrito nicamente a partir del mdulo de

la respuesta en frecuencia, ya que una funcin ( )H dada puede provenir de

distintas funciones del sistema ( )H z [Opp 99]. Se puede demostrar fcilmente a

partir de la funcin , definida en la expresin (2.14). Particularizandozen la

circunferencia de radio unidad, se obtiene (2.16).

( )C z

( ) ( ) ( )C z H z H z= % (2.14)

( ) ( ) ( ) ( )2

* 1j j j jC e H e H e H e

= =

(2.15)

Sea una funcin definida como en la expresin (1.19). Si suponemos los

coeficientes y reales, se cumple lo siguiente. Si

( )H z

kb ka ( )H z presenta un cero (polo)

en , la funcin presenta un cero (polo) eno

z ( )H z% *1 oz . As, al representar el

diagrama de polos y ceros de la funcin ( )C z , nos encontramos con que por cada

polo o cero que exista en un punto finito del planoz, debe aparecer otro polo o ceroen una posicin inversa conjugada. Seleccionando adecuadamente polos y ceros de

, podemos encontrar distintos sistemas que tengan el mismo mdulo de la

respuesta en frecuencia salvo una constante de ganancia, que no est especificada

en dicho diagrama de polos y ceros-.

(C z )


30/73


Ejemplo 2.5. De una funcin ( ) ( ) ( )C z H z H z= % racional de coeficientes reales se

conoce que presenta un cero y un polo en los siguientes puntos del planoz:

Cero: ,1 0 '25 0 '25c j=

Polo:1 0 '25 0 '25p j= +

Se puede completar los polos y ceros que faltan para obtener la funcin de

orden mnimo que cumple los requisitos anteriores:

( )C z

Ceros: ,2 0 '25 0 '25c = + j 3 2 2c j= y 4 2 2c j= + .

Polos:2

0 '25 0 '25p j= ,3

2 2p j= + y4

2 2p j= .

Por tanto, la funcin ser de la forma( )C z

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

1 1 1 1

1 2 3 4

0 1 1 1 11 2 3 4

1 1 1 1

1 1 1 1

c z c z c z c z

C z k p z p z p z p z

=

Todas las funciones del sistema que se indican a continuacin, presentan el mismo

mdulo de la respuesta en frecuencia, salvo una constante de ganancia , 1 1 :kl 6

))

l

( ) ( ) (

( ) (

1 1

1 4

1 1 1 1

1 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( ) ( )( )( )

1 1

1 4

2 2 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( ) ( )(

( )())

1 1

1 4

3 3 1 1

1 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( ) ( )( ) ( )

1 1

1 4

4 4 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( ) ( )(

( )())

1 1

2 3

5 5 1 1

1 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( ) ( )( ) ( )

1 1

2 3

6 6 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( ) ( )(( ) ( ))

1 1

2 3

7 7 1 1

1 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

= , ( ) ( )( )( ) ( )

1 1

2 3

8 8 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

= ,


31/73


( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

1 2

9 9 1 1

1 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( ) ( )( )( )

1 1

1 2

10 10 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 2

11 11 1 1

1 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( ) ( )( )( )

1 1

1 2

12 12 1 1

3 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( ) ( )( )

( ) ( )

1 1

3 4

13 13 1 1

1 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

, ( )

( )( )( )( )

1 1

3 4

14 14 1 1

2 3

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

3 4

15 15 1 11 2

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

,

( )

( )( )

( )( )

1 1

3 4

16 16 1 13 4

1 1

1 1

c z c zH z k

p z p z

=

.

Con la constante de ganancia k adecuada, la diferencia entre las funcionesl ( )H l ,

, se encuentra en la fase de la respuesta en frecuencia. La figura 2.8

representa el diagrama de polos y ceros de la funcin

1 1 l 6

( )C z .

Parte Imaginaria

Parte Real

1 2 2

2j

2j

Fig. 2.8.Ejemplo 2.5. Diagrama de polos y ceros de la funcin dada.

En lo siguiente, nos centraremos en los sistemas que cumplen simultneamente la

propiedad de estabilidad y causalidad, es decir, aquellos que tienen todos los polos

en el interior de la circunferencia de radio unidad, y la regin de convergencia se

extiende desde el mdulo mayor de todos sus polos hasta infinito. El sistema de fase

mnima se define como aquel que presenta un retardo de fase o de grupo( )minH z


32/73


mnimo. Si no presenta ningn cero situado en la circunferencia de radio

unidad, se puede obtener a partir de l un sistema inverso

( )minH z

( ) ( )min1invH z H z= que

tambin es causal y estable.

Los sistemas de fase mnima presentan varias propiedades [Opp 99], de la que

tambin conviene destacar, adems de las anteriores, que son sistemas de retardo de

energa mnimo [Opp 99].

Ejemplo 2.6. Si se considera que la funcin del sistema ( )H z que produce la

del ejemplo 2.5 se corresponde con un sistema causal y estable, las nicas soluciones

posibles son , ,

( )C z

(3H z ) ( )7H z ( )11H z y ( )15H z . El motivo es que con las

condiciones anteriores, los polos deben estar situados en el interior de la

circunferencia de radio unidad. Si adems se impone la condicin de que la

respuesta al impulso del sistema sea real, la soluciones se restringen a y

, ya que cada cero debe ir acompaado de su correspondiente conjugado.

( )z11H

( )15H z

La figura 2.9 representa el diagrama de polos y ceros,, la funcin ( )( )20log H z ,

para { }4.1 .1


33/73


(a) (b)

3 2 1 0 1 2 318

20

22

24

26

28

30

32

34

Mdulo(dB)

Mdulo de la respuesta en frecuencia de los sistemas H11(z) y H15(z)

Pulsacin (rad/muestra)

(c)

Fig. 2.9.Ejemplo 2.6. Representacin de funciones relacionadas con (a) y (b)

. Las constantes de ganancia son

( )11H z

( )15H z 11 20.8k = y 15 2.6k = . (c) Mdulo de la respuesta enfrecuencia de ambos sistemas.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

1

RetardodeGrupo(muestras)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.9

1.95

2

2.05

2.1



Sistema H11(z)

RetardodeGrupo(muestras)

Sistema H15(z)

Fig. 2.10.Ejemplo 2.6. Retardo de grupo de los filtros ( )11H z y . Las constantes de

ganancia son

( )15H z

11 20.8k = y

15 2.6k = .


34/73


Ejemplo 2.7. Cualquier sistema se puede descomponer de la siguiente forma( )H z

( ) ( ) ( )zHzHzH ap min=

A modo de ejemplo, supongamos el sistema estable caracterizado por la funcin

( ) ( )( ) ( )( )1 11 1 1 1H z j z j z = + .

Este sistema no es paso todo, ni tampoco es el que menor retardo de grupo

presenta de todos los que tienen el mismo mdulo de la respuesta en frecuencia. Sin

embargo, se puede expresar como la interconexin en cascada de otros dos

sistemas:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )min

1 1

1 1

1 1

1 1 1 11 0.5 0.5 1 0.5 0.5

1 0.5 0.5 1 0.5 0.5

ap

H z

H z

j z j zH z j z j z

j z j z

+ = +

+

1444444424444444314444444244444443

La figura 2.11 representa el diagrama de polos y ceros de cada uno de los sistemas

anteriores, y la figura 2.12 el mdulo y la fase de la respuesta en frecuencia de los

mismos.

2

(a) (b)

2


35/73


(c)

Fig. 2.11.Ejemplo 2.7. Diagrama de polos y ceros de (a) ( )H z , (b) y (c)( )apH z ( )minH z .

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1800

600

400

200

0

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

0

5

10

15

Mdulo(dB)


fase(grados)

Pulsacin Normalizada (rad/muestra)1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

800

600

400

200

0

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

5.5

6

6.5

7

7.5

Mdulo(dB)


fase(grados)


(a) (b)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100

50

0

50

100

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

5

0

5

10

Mdulo(dB)


fase(grados)


(c)

Fig. 2.12.Ejemplo 2.7. Mdulo y fase de la respuesta en frecuencia de (a) , (b)( )H z ( )apH z

y (c) ( )minH z .

2.3.4 Sistemas de Fase Lineal

Una de las propiedades ms importantes que pueden presentar los filtros digitales es

una fase de la respuesta en frecuencia exactamente lineal, ya que en numerosas

aplicaciones es imprescindible que no se distorsione la caracterstica de fase de la

seal de entrada. Como es bien sabido, cuando dicha seal atraviesa un filtro se

modifica su caracterstica de amplitud y de fase. Esta variacin va a depender del

mdulo y de la fase de la respuesta en frecuencia que presente el filtro. El retardo de

fase y de grupo proporcionan una medida de cmo el filtro va a llevar a cabo estas


36/73


modificaciones [Opp 99]. Un filtro que presente una caracterstica de fase no lineal

puede ocasionar una distorsin de fase en la seal que lo atraviese, pues cada

componente en frecuencia puede sufrir un retardo no proporcional a dicha

frecuencia, modificndose la relacin entre armnicos. Se puede evitar de diversas

maneras. Una de ellas es mediante el diseo y la realizacin de filtros de fase cero

[Mit 01], pero al no poder cumplir simultneamente la causalidad y la propiedad de

fase nula, son sistemas no aplicables para tratamiento de seales en tiempo real.

Se pueden disear filtros FIR con una caracterstica de fase exactamente lineal.

Como se demuestra en diversos trabajos (por ejemplo, en [Mit 01] en la seccin

4.4.3), basta con que se satisfaga una de las dos condiciones mostradas en la

expresin (2.16) impuestas a la respuesta al impulso. Estas condiciones imponen la

propiedad de simetra o antisimetra en dicha , y en funcin de la longitud del

filtro FIR, se pueden distinguir cuatro tipos distintos de filtros de fase lineal (tabla

2.1). Para los cuatro tipos de filtros, se pueden determinar exactamente las funciones

de amplitud y de fase de la respuesta en frecuencia con los valores de los

coeficientes de la respuesta al impulso y de la longitud del filtro.

[ ]h n

]1[][ nLhnh = (2.16)

Los filtros que tienen retardo de fase y de grupo constantes (tipos I y II) son filtros

de fase lineal, mientras que los que tienen slo el retardo de grupo constante (tipos

III y IV) se denominan filtros de fase lineal generalizada [Opp 99].


37/73


TABLA2.1FILTROS FIRDE FASE LINEAL.

Nmero deCoeficientesL

Tipo deFiltro ( )A ( )H = Respuesta al Impulso

Impar I( )IA

0= Simtrica

[ ] [ ]1h n h L n= Par II

( )IIA ( )1 2L=

Impar III

( )IIIA 2 = Antisimtrica

[ ] [ ]1h n h L n= Par IV ( )IVA ( )1 2L=

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2

1

1 2 2 1 2 cosL

I

k

A h L h L k k

=

= +

( ) [ ] ( )( )

2

1 2 2 cos 0.5

L

IIkA h L k k=

=

( ) ( ) ( )

( )1 2

1

2 1 2L

III

k

A h L k sen

=

= k

( ) [ ] ( )( )2

1

2 2 0.5L

IV

k

A h L k sen k=

=

Es importante indicar que en los cuatro tipos de filtros de fase lineal se puede

demostrar que, si aparece un cero en cualquier punto finito del plano z, debe

aparecer otro cero en una posicin conjugada, es decir, en

0z

( )01 z . En efecto, si el

filtro cumple la expresin (2.16), entonces se satisface lo siguiente:

( ) ( ) ( ) (1 1 1

1 1 1

0 0 0

[ ] [ 1 ] [ ]L L L

L p Ln n

n n p

H z h n z h L n z h p z z H

= = =

= = = = )z (2.17)

En la expresin (2.17) se puede comprobar fcilmente si en (punto finito del

plano z) existe un cero de la funcin del sistema, es obligatorio que tambin haya

otro en

0z

( )01 z :

Si ( )0 0H z = , ( )10 0H z = ya que (2.18)( )1

0 0

L

z

Si adems la respuesta al impulso es real, la funcin del sistema ser una

funcin racional con coeficientes reales, y cada cero debe ir acompaado por su

( )zH


38/73


conjugado. En consecuencia, en este tipo de sistemas los ceros aparecen por

cuartetos recprocos conjugados con las siguientes excepciones:

1. Los ceros sobre la circunferencia unidad (salvo en 1=z ) aparecen porparejas, ya que coinciden con sus recprocos.

2. Los ceros reales no situados en la circunferencia unidad aparecen por

parejas, pues coinciden con sus conjugados.

3. Los ceros en coinciden con su recproco y su conjugado, pudiendo

aparecer solos.

1=z

Adems, se puede demostrar lo siguiente [Opp 99]. En los filtros tipo II debe

aparecer al menos un cero en 1=z , lo que significa que no pueden realizar

caractersticas del tipo paso alto, que en los filtros tipo III deben aparecer al menos

un cero en y otro en , con lo que no sirven para sistemas que permitan

el paso de las bajas y/o de las altas frecuencias, y que para los tipo IV, existe al

menos un cero obligatorio situado en

1=z 1=z

1=z , con lo que no se pueden emplear como

filtros paso bajo. Los filtros de fase lineal tipo I no presentan ninguna de lasrestricciones anteriores. En todos ellos, si el filtro es causal (expresin 2.5), los

polos estn situados en el origen.( 1L )

Ejemplo 2.8. Un filtro de fase lineal tipo I, causal, y de respuesta al impulso real,

presenta los siguentes ceros en puntos del planoz:

Ceros: ,1

1c = 2

0 '25 0 '25c j=

El sistema de orden mnimo que cumple los requisitos anteriores tiene los siguientes

ceros y polos:

Ceros: ,3 0 '25 0 '25c = + j 4 2 2c j= , 5 2 2c j= + y .6 1c =

Polos: (de orden 6).1,6 0p =


39/73


La condicin de fase lineal impone que, acompaando a , aparezca el cero2c

5 1c c= 2 j. Los ceros y3c 4 2 2c = son consecuencia de que la respuesta al

impulso sea real, lo que obliga a que cada cero vaya acompaado de su conjugado.Por ltimo, el cero permite que el filtro de fase lineal sea tipo I.6c

La figura 2.13 representa la respuesta al impulso (simtrica) y el diagrama de polos

del filtro. En la figura 2.14 se dibuja el mdulo y la fase de la respuesta en frecuencia

del mismo.

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

n

Amplitud

Respuesta al impulso de un filtro de fase lineal tipo I

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Parte Real

ParteImaginaria

2 6

(a) (b)Fig. 2.13.Ejemplo 2.8. (a) Respuesta al impulso y (b) diagrama de polos y ceros de un filtro defase lineal tipo I.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 11000

800

600

400

200

0

200

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1100

50

0

50

Mdulo(dB)

fase(grados)



Fig. 2.14.Ejemplo 2.8. Mdulo y fase de la respuesta en frecuencia de un filtro de fase lineal.

Ejemplo 2.9. El filtro del ejemplo 2.1 es de fase lineal tipo II (simtrico y 64

coeficientes reales). La figura 2.15 muestra el diagrama de polos y ceros del mismo.


40/73


Se puede ver claramente cmo los ceros que se encuentran en el eje real o en la

circunferencia de radio unidad aparecen por parejas, con la excepcin del cero que

est situado en . Los ceros restantes se pueden agrupar en cuartetos. Los

polos estn todos ubicados en el origen.

1z=

1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

0.5

0

0.5

1

Parte Real

ParteImaginaria

63

Fig. 2.15.Ejemplo 2.9. Diagrama de polos y ceros del filtro de fase lineal del ejemplo 2.1.


41/73


2.4 ETAPAS EN EL DISEO DE FILTROS DIGITALES

El diseo de un filtro digital, entendido como el proceso completo que comprendedesde el punto inicial de partida dnde se indican las caractersticas del filtro, hasta

la construccin del mismo, se puede dividir en cinco etapas diferentes [Ife 02]:

1. Especificacin de los requisitos de filtro.

2. Clculo de los coeficientes del filtro o etapa de aproximacin.

3. Representacin del filtro empleando una estructura o etapa de realizacin.

4. Anlisis de los efectos de la longitud de palabra finita.

5. Construccin del filtro.

Para disear con xito el filtro deseado, no es obligatorio (pero s recomendable)

abordar todas las etapas anteriores y en ocasiones, puede ser necesario iterar varias

veces en alguna de ellas. A modo de ejemplo, nos podemos encontrar con que tras

obtener los coeficientes del filtro (etapa 2), y elegir una estructura (etapa 3), al

emplear registros de longitud de palabra finita y analizar o simular los efectos que se

producen en el sistema diseado (etapa 4) no se satisfagan las especificaciones

iniciales. Podemos vernos obligados a cambiar de estructura (es decir, volver a la

etapa 3), y tras probar con varias, superar con xito el anlisis de los efectos de

longitud de palabra finita.

En los siguientes subapartados se comentan algunos de los detalles ms importantes

de cada una de las anteriores etapas.

2.4.1 Especificaciones del Filtro

En esta primera etapa, en lo que atae al filtro digital, se suele indicar la siguientes

aspectos


42/73


Caractersticas de la seal de entrada a filtrar, con respecto a si se trata de

una secuencia de tiempo discreto, o por el contrario, es una seal de tiempo

continuo. En este ltimo caso, se indica su ancho de banda, el

procedimiento mediante el cual se realiza la seleccin de muestras (con el

correspondiente perodo de muestreo). Si la seal filtrada resultante hay que

convertirla de nuevo en una de tiempo continuo, tambin se indicar como

se lleva a cabo el proceso de reconstruccin.

Con respecto a las caractersticas del filtro que hay que disear,

generalmente se especifica el mdulo y fase de la respuesta en frecuencia

deseadas, as como las tolerancias permitidas para la obtencin de las

anteriores funciones.

El coste del filtro, la forma de construirlo, etc.

Las caractersticas del filtro digital normalmente se suelen especificar en el dominio

de la frecuencia. Para filtros selectivos (por ejemplo, paso bajo), las especificaciones

del mdulo de la respuesta en frecuencia del filtro se dan como esquemas de

tolerancia o de atenuacin, siendo ms frecuente la primera manera.

En la figura 2.16 se muestran dos ejemplos de esquemas de tolerancia para el

mdulo de la respuesta en frecuencia de un filtro IIR (figura 2.16a) y de un filtro

FIR (figura 2.16a). Las lneas rayadas indican los lmites permitidos.

En dichas plantillas se indican una serie de parmetros:

p : desviacin de la banda de paso

2 : parmetro de rizado de la banda de paso

s : desviacin de la banda eliminada

p : pulsacin de corte de la banda de paso

s : pulsacin de corte de la banda eliminada


43/73


p

1

1 2

+

(a)

p

(b)Fig. 2.16: Esquemas o plantillas de tolerancia para filtros paso bajo de respuesta al impulso real

(a) IIR y (b) FIR.

La desviacin de las bandas de paso y eliminada se pueden expresar en escala lineal

o en decibelios, indicando las atenuaciones requeridas. De esta manera, se

especifican los parmetros rizado en la banda de pasopA y atenuacin mnima en

la banda eliminada sA :

( )1020 log 1p pA = dB (2.19)

( )1020 logs sA = dB (2.20)

Para filtros de respuesta al impulso infinita (IIR) la desviacin mxima en la banda

de paso es 21 1 + . En este caso, la atenuacin mxima de la banda de paso maxA

viene dada por

( )2

max 1020 log 1A = +

dB (2.21)


44/73


Cuando se cumple que 1p


45/73


2.4.3 Realizacin

La etapa de realizacin implica pasar de la funcin de sistema a un algoritmo

computable a travs de una estructura, que va a indicarnos el procedimiento

computacional que hay que seguir para construir el filtro digital. Para la

representacin de sta se emplean con frecuencia diagramas de bloques o

flujogramas. En la figura 2.17 se dibujan los elementos bsicos que representan las

operaciones de un filtro lineal e invariante en el tiempo.

x[n] x[n-1 ]

k

x[n] kx[ n]

(a) (b)

x[n] x[n]+y[ n]

y[n]

(c)Fig. 2.17: Representacin mediante diagramas de flujo de las operaciones y elementos de un filtro

LTI. (a) Retardo. (b) Multiplicacin por una constante. (c) Suma.

La estructura va a depender de si deseamos un sistema FIR o IIR:

Formas Directas (IIR y FIR).

Estructuras en cascada (IIR y FIR).

Estructuras en paralelo (IIR).

Estructuras en celosa (IIR y FIR).

Estructuras de fase lineal (FIR).

Estructuras de muestreo en frecuencia (FIR).


46/73


2.4.4 Anlisis de los efectos de Longitud de Palabra Finita

En las etapas de aproximacin y realizacin se asume precisin infinita. Sin

embargo, cuando se lleva a cabo la realizacin prctica del sistema es necesario

representar los coeficientes del filtro empleando un nmero limitado de bits y usar

precisin finita en las operaciones aritmticas de la ecuacin en diferencias.

Lo anterior se deriva de que las ecuaciones que se emplean para describir los filtros

digitales estn idealizadas, ya que utilizan coeficientes y secuencias de muestras de

precisin infinita. Sin embargo, las realizaciones prcticas se llevan a cabo con

elementos con precisin limitada, medida en nmero de bits. Por esta razn, elanlisis de un filtro digital no termina hasta que no se determinan los efectos

producidos por dicha precisin finita.

Los datos en un sistema digital se representan como conjuntos de nmeros binarios

con dos formatos aritmticos posibles:

Coma fija, basada en la representacin nQ . Suponiendo que la longitud del

cdigo que se emplea es de l bits, se emplean n bits para la parte

fraccionaria y nl bits para el mdulo y el signo. El margen dinmico es

reducido y puede presentar serios problemas de desbordamiento.

Coma flotante, la cual utiliza una factorizacin mantisa-exponente. Los bits

dedicados a representar la mantisa dan cuenta de la precisin mientras que

los del exponente se relacionan con el margen dinmico, solventando en

este aspecto el problema de la coma fija.

El efecto de la cuantificacin se mantiene constante para el sistema de coma flotante

durante un gran margen de valores de la cantidad que se cuantifica. Sin embargo, en

los sistemas de coma fija este tipo de distorsin depende del valor a cuantificar y

slo es comparablemente alto para un margen dinmico mucho menor. Desde el

punto de vista del coste del filtro es ms cara la circuitera que opera en coma

flotante y suele conllevar un mayor consumo elctrico que la de coma fija.


47/73


Pueden aparecer formatos sin signo y con signo, reservando el bit de mayor peso

para indicar si se trata de un nmero positivo o negativo (si se trata de nmeros con

signo). Los nmeros negativos se representan en complemento a uno o en

complemento a dos.

Los efectos de usar un nmero finito de bits sern degradar la respuesta del filtro y

en algunos casos hacerla intil. El diseador debe analizar estos efectos y elegir

longitudes de palabra adecuadas (es decir, un nmero suficiente de bits) para los

coeficientes del filtro, las variables del filtro (las muestras de entrada y salida) y para

las operaciones aritmticas.

Las principales fuentes de degradacin al efectuar el filtrado son:

a) Cuantificacin de las seales de entrada y reconstruccin de las de salida.

b) Cuantificacin de los coeficientes del sistema.

c) Errores aritmticos de redondeo y/o truncamiento.

d) Errores de desbordamiento, los cuales ocurren al sumar o acumular

resultados parciales en un registro de longitud limitada y cuando el

resultado excede del valor mximo representable.

La degradacin de estos errores depende de la longitud de palabra y del tipo de

aritmtica usada para desarrollar el filtro, del mtodo empleado para cuantificar los

coeficientes y las variables, y de la estructura del filtro. De los conocimientos de

estos factores el diseador puede reducir los efectos indeseados.

En la realizacin de la prctica se van a analizar los efectos producidos al cuantificar

los coeficientes de la funcin del sistema, y se va a estudiar la importancia que tiene

la estructura elegida. Se operar con datos en coma fija con truncamiento, y

corrigiendo el desbordamiento mediante saturacin.


48/73


2.4.5 Construccin del Filtro

Una vez superadas las etapas anteriores debe llevarse a cabo la construccin del

filtro. Por ejemplo, si se ha obtenido un programa de una ecuacin en diferencias

como la siguiente

[ ] [ ] [ ]==

+=

N

k

k

M

k

k knyaknxbny

10

(2.23)

tendremos que emplear un sistema en el que se realicen de forma rpida y efectiva

multiplicaciones, sumas y actualizaciones en los registros de almacenamiento o

posiciones de memoria para los retardos. Por tanto, para construir el filtro es

conveniente emplear

Memoria (por ejemplo ROM) para almacenar los coeficientes.

Memoria (RAM) para almacenar los valores presentes y pasados de la seal

de entrada y salida.

Multiplicadores hardware o software.

Sumadores o unidades de clculo aritmtico-lgicas.


49/73

Captulo 3

Clculo de los Coeficientes del Filtro

3.1

DISEO DE FILTROS IIR

3.1.1 Ubicacin de polos y ceros

Este mtodo se basa en la propia definicin de polo y cero. Un cero es un punto del

plano z en el que la funcin del sistema se hace nula, mientras que en un polo el

valor de dicha funcin tiende a infinito. En puntos del plano z prximos a un polo,

el valor del ( )H z es elevado, mientras que en puntos cercanos a un cero el valor

del ( )H z se reduce considerablemente.

Este mtodo consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z de manera que

se obtenga un mdulo de la respuesta en frecuencia aproximado al que se desea.

Como la respuesta en frecuencia se evala en la circunferencia de radio unidad del

plano z, si existe un polo prximo a dicha circunferencia, el valor de ( )jH e ser

elevado en aquellos puntos cercanos a dicho polo. Si se coloca un cero cercano a


50/73

Clculo de los coeficientes del filtro 46

dicha circunferencia, se conseguir reducir el valor del ( )jH e . Se obtiene

atenuacin total en una frecuencia 0 situando un cero en 0jz e = .

As, se pueden disear distintos filtros en los que no se especifica de manera

meticulosa la plantilla de especificaciones y calcular de manera sencilla filtros paso

bajo, paso alto,... . Es obvio que este mtodo se emplea en contadas ocasiones y

para funciones de sistema extremadamente simples.

3.1.2

Diseo de filtros digitales empleando prototipos analgicos

Es la forma tradicional de diseo de sistemas I.I.R. por varias razones:

El diseo de filtros analgicos es un problema muy estudiado.

En bastantes aplicaciones interesan filtros digitales que simulen el

funcionamiento de un filtro analgico.

Los mtodos de aproximacin convencionales funcionan bien en los filtros

analgicos pero no dan lugar a frmulas sencillas de diseo cuando se

aplican directamente a los sistemas discretos.

Los mtodos se basan en el diseo del equivalente analgico que cumpla las

plantillas dadas para convertirlo posteriormente en uno digital.

Fig. 3.1: Diseo de filtros digitales empleando prototipos analgicos.


51/73


La especificacin de partida se har siempre en el dominio discreto. Aprovechando

que el diseo de filtros analgicos es un campo bien estudiado, se traslada elproblema de la aproximacin al dominio s. De aqu se obtendr una funcin del

sistema analgico ( )aH s (expresin (3.1)).

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

=N

k

k

M

k

k

N

k

kk

M

k

kk

a

ds

cs

s

s

sH

1

1

0

0

(3.1)

Una vez que se han obtenido los coeficientes k y k , o bien los ceros y los polos

kc y kd del filtro analgico, se emplean algunas transformaciones para convertirlo

en un filtro digital. Esta tcnica ser efectiva si tiene unas propiedades:

a. El eje jdel plano sdebera transformarse en la circunferencia unidad del

plano z. De esta forma la transformacin conserva en lo esencial el

comportamiento en frecuencia del sistema continuo.

b. La transformacin debe conservar la estabilidad del sistema. Cada punto del

semiplano izquierdo del plano sdebera transformarse en otro interior a la

circunferencia unidad.

Existen diversos mtodos para realizar la conversin de la funcin de sistema

analgica en la digital, destacando por su utilizacin la transformacin invariante deimpulso y la transformacin bilineal. La relacin dificultad/eficiencia de estas

tcnicas es muy baja.

Invarianza al impulso

Se basa en tomar como respuesta al impulso del filtro digital una versin muestreada

de la respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo empleando un perodo de

muestreo T (expresin 3.2). Dicho valor es irrelevante cuando la especificacin


52/73


original se da en el dominio discreto. Adems, no tiene porqu coincidir con el valor

del perodo que introduce el convertidor A/D.

[ ] ( )Tnhknh a = (3.2)

Cuando empleamos la transformacin invariante de impulso para disear un sistema

de tiempo discreto a partir de una especificacin de su respuesta en frecuencia, es

especialmente importante la relacin entre las respuestas en frecuencia de los

sistemas de tiempo continuo y discreto. Si prescindimos del solapamiento

(suponiendo espectros limitados en banda muestreados a suficiente velocidad), las

frecuencias de los sistemas de tiempo discreto y de tiempo continuo se relacionan

de forma lineal como se indica en la expresin (3.3). El primer problema surge

porque no hay sistemas analgicos limitados en banda y el solapamiento ser

inevitable.

T = (3.3)

Para demostrar como se consigue el sistema de tiempo discreto, vamos a partir de la

funcin de sistema dada en la expresin (3.1). Supondremos queM < Ny que todos

los polos de ( )aH s son simples. En caso contrario el mtodo se complica,

necesitando realizar algunas modificaciones en lo que se explica a continuacin.

En primer lugar se desarrolla en fracciones simples la funcin de sistema (3.4),

donde las constantesk

A se calculan a partir de la expresin (3.5).

( )( )

=

=N

k k

Ka

ds

AsH

1

(3.4)

( ) ( )kdskak

dssHA == (3.5)

La respuesta al impulso del sistema causal de tiempo continuo resultante (3.6) se

obtiene calculando la Transformada Inversa de Laplace. La respuesta al impulso del


53/73


sistema de tiempo discreto (3.7) ser la del sistema analgico muestreada a 1 T

muestras por segundo.

( ) ( )=

=N

k

td

ka tueAthk

1

(3.6)

[ ] ( ) [ ]=

==N

k

nTd

ka nueAnThnhk

1

(3.7)

La funcin del sistema se obtiene calculando la Transformada zde la respuesta al

impulso [ ]h n .

( ) [ ] ( )

= =

=

==0 10 n

N

k

nnTd

k

n

nzeAznhzH k (3.8)

( ) ( )( ) = =

=

==

N

kTd

kN

k n

nTd

kze

AzeAzH

k

k

11

1 0

1

1 (3.9)

De las expresiones (3.4) y (3.9) se deduce que un polo en kds= en el plano s se

transforma en un polo en Tdkez = , siendo los residuos de los desarrollos en

fracciones simples iguales.

Fig. 3.2: Transformacin de planos empleando la transformacin invariante de impulso.


54/73


La figura 3.2 muestra la transformacin del plano s en el plano z. Cada banda

horizontal del plano sde anchura 2 T se transforma en todo el planoz. Por tanto,para que el filtro digital se corresponda exactamente con el analgico de partida esnecesario que este ltimo sea de banda limitada, es decir, que ( ) 0aH = para

T > .

Las caractersticas del filtro digital diseado son:

Tiene el mismo nmero de polos que el prototipo analgico.

La transformacin de los polos kds= enTdk

ez

= garantiza elmantenimiento de la estabilidad en la transformacin.

Cuando el solapamiento sea irrelevante, la respuesta en frecuencia es una

versin plegada de la respuesta en frecuencia del filtro analgico,

conservndose las propiedades ptimas de este.

En resumen:

a. La respuesta al impulso del filtro discreto es idntica a la del filtro analgico

en los instantes Tnt = .

b. La frecuencia de muestreo afecta a la respuesta en frecuencia del filtro

invariante al impulso. Se necesita una frecuencia muy alta para que el

sistema discreto sea igual que el analgico.

c. El mtodo debe usarse para filtros paso bajo con banda de transicin muy

reducida, y empleando una frecuencia de muestreo elevada. No puede

emplearse para filtros paso alto o filtros banda eliminada, pues el

solapamiento en estos es inevitable.


55/73


Transformacin bilineal

El mtodo descrito en el apartado anterior tiene un grave inconveniente: la

transformacin de cada tramo de longitud 2 T del eje jdel plano s en toda la

circunferencia de radio unidad va a conllevar en ocasiones un solapamiento, de

forma que la tcnica es impracticable en algunos tipos de filtros. Con la

transformacin bilineal evitamos esos problemas. Las relaciones algebraicas que la

caracterizan son las indicadas en 3.10.

( )( )

+

=+

=

sT

sT

zz

z

Ts

21

21

1

121

1

(3.10)

Esta transformacin conserva el comportamiento en frecuencia del sistema

continuo, ya que si s j= , se tiene el cociente de dos nmeros complejos

conjugados, luego 1z = para cualquier valor de . Con esto se demuestra que el eje

jse transforma en la circunferencia unidad del planoz. Cada uno de los valores

de se transforma en un solo punto de , de forma que


56/73


( )

( )

+

+

=

+

++

=

221

221

21

21

Tj

T

Tj

T

jT

jT

z

(3.12)

Fig. 3.3.Transformacin de planos empleando la transformacin bilineal.

La funcin del sistema del filtro digital se obtiene mediante un cambio de variableen la funcin de sistema del filtro analgico (expresin 3.13). Hay que advertir que si

bien se conserva el orden del denominador en ambos sistemas, sin embargo, el

orden del numerador puede ser mayor en el sistema discreto que en el continuo

debido a que los ceros en del plano sse transforman en ceros en 1z= .

( ) ( )

( )( )11

112

+=

=

zz

Ts

sHzH (3.13)

La transformacin bilineal presenta como inconveniente que aparece distorsin en

el eje de frecuencia digital . Si se estudia la relacin entre los dos ejes de

frecuencia se podr corregir la distorsin en la etapa de diseo del filtro. Esta

relacin se puede obtener comprobando en qu se transforma el eje j

(expresiones 3.14 y 3.15).


57/73


( )

( )( )

=

=

+

2tg

2

2cos

2sen2

1

12j

Tj

Te

e

Tj

j

j

(3.14)

=

2tg2T (3.15)

Fig. 3.4.Transformacin del eje de frecuencias de tiempo continuo en la circunferencia de radiounidad.

2

2Tdtan

FHG

IKJ

Fig. 3.5.Representacin del efecto de la no linealidad en la aplicacin de la transformacinbilineal..

En la figura 3.4 se representa la funcin establecida por (3.15). En la figura 3.5 se

puede observar el efecto que trae consigo la relacin no lineal que existe entre la

frecuencia analgica y la digital. Esta no linealidad limita la aplicacin de la

transformacin bilineal a respuestas en frecuencia analgicas idealmente formadas


58/73


por tramos constantes, caso en el que se mantienen las caractersticas del diseo

analgico (decrecimiento montono, rizado constante, etc.).

Por ello, cuando las especificaciones se dan en el dominio discreto es conveniente

realizar una predistorsin de los valores extremos de las bandas para fijar la

especificacin del filtro analgico de partida.

Se puede resumir el mtodo de la transformacin bilineal en los pasos siguientes:

Especificar el conjunto de frecuencias crticask

del filtro digital deseado.

No hay limitacin para el nmero de estas frecuencias.

Predistorsionar dichas frecuencias crticas para obtener las frecuencias

crticas analgicask

mediante la expresin (3.16).

=

2tg

2 kk

T (3.16)

Disear un filtro analgico con las frecuencias crticas analgicas calculadas.

Las aproximaciones ms utilizadas en esta fase son las de Butterworth,

Chebyshev o elptica.

Obtener la funcin del sistema discreto empleando la transformacin

bilineal (expresin 3.13)

Cuando no interesa mantener la respuesta al impulso o la fase de la respuesta enfrecuencia del filtro analgico, la transformacin bilineal siempre resulta mejor que

la invariante de impulso debido a que no tiene problemas de solapamiento.

Simulacin de sistemas de tiempo continuo

En numerosas aplicaciones, el filtro digital a disear est destinado a procesar

seales de tiempo continuo, mostrndose la seal filtrada resultante como una


59/73


funcin tambin de tiempo continuo, tal y como se muestra en la figura 3.6. El

bloque denominado C/D convierte la seal de tiempo continuo en tiempo discreto,empleando un muestreador ideal con perodo de muestreo

sT , ( )dH es el filtro de

tiempo discreto que hay que disear, y el bloque D/C realiza el proceso de

reconstruccin de la secuencia de tiempo discreto resultante [ ]dy n en una de

tiempo de continuo ( )cy t . El sistema D/C contiene un filtro analgico paso bajo

ideal de gananciar

T y pulsaciones de corter

T yr

T . Cuando el perodo de

reconstruccin rT coincide con el de muestreo sT , la seal de entrada ( )cx t estlimitada en banda a 0 , y 02 2s sT = > , el sistema de la figura 3.6 equivale a un

sistema de tiempo continuo cuya respuesta en frecuencia efectiva ( )aH se

relaciona con la del filtro digital ( )dH tal y como se indica en la expresin (3.17).

Fig. 3.6.Procesado de seales de tiempo continuo mediante sistema de tiempo discreto.

( ) ( )

0

sd s

a

s

TH T

H T

(3.17)

Del mismo modo, si el sistema analgico es de banda limitada, y se elige el perodo

de muestreos r

T T= de manera que ( ) 0aH = para sT > , puede ser simulado

por un sistema de tiempo discreto de manera que la relacin entre las respuestas en

frecuencia es la indicada en la expresin (3.18).


60/73


( ) ( ) peridica 2d a sH H T = < (3.18)

Cuando las especificaciones de partida del filtro se indican en el dominio analgico,

y se satisfacen los requisitos indicados en el prrafo anterior, al problema del diseo

del filtro digital le precede la resolucin de la simulacin del sistema de tiempo

continuo empleando filtros de tiempo discreto. La figura 3.7 resume todo el proceso

de diseo, suponiendo que el filtro digital se obtienen empleando una de las dos

tcnicas expuestas con anterioridad basadas en prototipos analgicos. Es importante

no confundir el proceso de simulacin con el diseo del filtro digital.

Fig. 3.7.Proceso de simulacin y diseo del filtro de tiempo discreto empleando prototiposanalgicos.

Transformacin de frecuencias

Hasta aqu hemos estudiado cmo obtener filtros paso bajo digitales a partir de

prototipos analgicos, tambin paso bajo. Cuando se desean filtros con otro

comportamiento en frecuencia como paso alto, paso banda o banda eliminada se


61/73


parte tambin de un prototipo analgico paso bajo al que hay que aplicar dos

transformaciones:

Una para convertir el filtro analgico en digital.

Otra para trasladar la banda de paso donde sea conveniente (ser la

transformacin de frecuencias).

Estas dos operaciones se pueden hacer en el orden que se desee (figura 3.8), pero si

se realiza en primer lugar la transformacin de frecuencias, no podremos aplicar la

transformacin invariante de impulso en todas las ocasiones.

Fig. 3.8.Proceso de transformacin de un filtro paso bajo analgico en un filtro digital.

Las transformaciones de frecuencia en el plano z son muy similares a latransformacin bilineal. Sea ( )H l la funcin del sistema discreto paso bajo

obtenida a partir del prototipo analgico, y ( )H z la funcin del sistema discreto

transformado.

La proyeccin del plano sobre el planozse define a travs de una funcin ( )G

(expresin 3.19). Si ( )H l es la funcin racional de un sistema causal y estable, se


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debe conseguir que ( )H z (3.20) sea una funcin racional tambin de un sistema

causal y estable.

( )11 = zG (3.19)

( ) ( )( )1 1G z

H z H

== l (3.20)

Por otra parte, la transformacin ( )G debe controlar el comportamiento en

frecuencia del filtro transformado a partir del comportamiento en frecuencia delfiltro prototipo. Para satisfacer estas necesidades, la funcin de transformacin

( )G debe presentar las siguientes caractersticas:

1. ( )1zG debe ser una funcin racional de 1z .

2. El interior del circulo unidad del plano debe proyectarse en el interior del

circulo unidad del planoz.

3. La circunferencia unidad del plano debe proyectarse en la circunferencia

del planoz.


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Clculo de los coeficientes

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