en el nivel primario(Segunda Versión)

Técnicas de enseñanza de la

en el

matemática

Problema

3X9

6X6-3X3 3X9

6X3+3X3 9X3

La Paz, enero de 2011

Elaborado por: Equipo de Matemática de La Paz

2AUTORES:

El equipo de Matemáticas está conforma-do por ex becarios que realizaron cursos de matemáticas patrocinados por la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA). Un grupo de ellos se interesó y de-dicó su compromiso y empeño en la elabo-ración del presente documento. Estos son:

Nélida López Pinto – Ex becaria JICA Sapporo – JapónCurso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”. Gestión 2008

Hugo Colque Jiménez – Ex becario JICA Tsukuba – JapónCurso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”. Gestión 2009

Irma Arpazi Huanca Ex Becaria JICA – PROMECA Kyoto – Japón. Curso: Estudio de Clase. Gestión 2004

Walter Orihuela Rabaza – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007

Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, cuarta capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2009

Con la participación de:Oscar Demetrio Quintana Huaylluco – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007.

Déposito Legal: 4-1-414-11

Diseño y diagramación:Dalia Nogales

Diseño de Tapa:Richard Cornejo

Impreso:Preview Gráfica

2011, Bolivia

Esta publicación ha sido posible gracias al auspicio financiero y la asistencia técnica de JICA.

3Prólogo

El presente texto, enfocado en el desarrollo y aplicación de técnicas de enseñanza de la Mate-mática para el nivel Primario, es fruto de un conjunto de actividades, experiencias e iniciativas que las y los autores, todos ellos ex becarios de cursos de capacitación realizados en Japón y Honduras, han sabido aprovechar, implementar y contextualizar en sus unidades educativas.

Desde julio de 2003 y durante 7 años continuos, la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) conjuntamente con el Ministerio de Educación desarrollaron el Proyecto de “Me-joramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) con el objetivo de mejorar el desempeño de las maestras y maestros bolivianos orientado a promover el protagonismo de los niños y niñas en su aprendizaje.

Uno de los valiosos impactos del PROMECA fue la organización de forma voluntaria de equipos de trabajo en las áreas de Lenguaje y de Matemática, por solicitud e iniciativa de las maestras y maestros con el propósito de mejorar y profundizar su capacitación en sus respectivas áreas.

De esta forma, en esta oportunidad podemos presentar el trabajo del Equipo de Matemática del Departamento de La Paz, que ha tenido la continuidad necesaria en su trabajo, contando con el apoyo de la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica de la Dirección Departamental de Edu-cación (ex SEDUCA) de La Paz.

El presente texto incluye diversas técnicas de enseñanza de la Matemática para los diferentes cursos del nivel Primario que, sobre la base de los componentes temáticos del currículum japo-nés y por medio del método de Estudio de Clases japonés, los autores han sabido aplicar en sus aulas y adaptar al contexto educativo boliviano.

El Estudio de Clases (Jugyou Kenkyu) es una actividad de capacitación continua que permite no solamente compartir experiencias y conocimientos para aprender unos de otros, sino también aportar con el estudio de un área para el mejoramiento de la calidad de educación.

Agradecemos la meritoria contribución de los autores, cuya dedicación e iniciativa se encuentra plasmada en cada uno de los trabajos presentados.

Esperamos que este trabajo, que constituye una segunda versión, responda a las necesidades y expectativas de las maestras y maestros bolivianos que trabajan en el área de la Matemática, y se constituya en un real aporte de difusión y enriquecimiento de la educación primaria en Bolivia.

Hirofumi MATSUYAMADirector – Representante Residente

JICA Bolivia

4 Presentación

El Ministerio de Educación y la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA), han im-plementado desde el año 2003 hasta julio de 2010 el “Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) en las Unidades Educativas seleccionadas del Departa-mento de La Paz, con el propósito de que los maestros/as del nivel primario perfeccionen las estrategias pedagógicas y métodos de gestión educativa, de esta manera los niños y las niñas sean protagonistas en sus aprendizajes.

El Ministerio de Educación y la Institución JICA han beneficiado también a varios docentes de las Unidades Educativas donde se implementó el PROMECA con las becas a los países de JAPÓN Y HONDURAS.

Las experiencias de los docentes beneficiados con becas y la adecuación de la experiencia ja-ponesa al contexto regional se desarrollaron en las Unidades Educativas donde se implementó PROMECA.

En ese contexto, actualmente la Dirección Departamental de Educación de La Paz, a través de la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica organizo un equipo de matemáticas con algunos maestros/as ex becarios, con el propósito de fortalecer las estrategias de aprendizaje-enseñanza de los docentes de nivel primario en el área de matemáticas y difundir las experiencias adquiri-das en el área. De esta manera estos materiales le servirán como un material de consulta a las y los docentes y estudiantes de las Escuelas Superiores de Formación de Maestros y a las maestras y maestros interesados en el área de la Matemática de nuestro Sistema Educativo Plurinacional.

Prof. Esteban Quispe AlanocaJEFE DE LA UNIDAD DE ASISTENCIA TÉCNICO PEDAGÓGICA

DIRECCIÓN DEPARTAMENTAL DE EDUCACIÓN DE LA PAZ

5Introducción

El Equipo de Matemáticas de la ciudad de La Paz, conformado por docentes ex becarios de JICA en Japón y en terceros países, en este caso Honduras, motivado por todas las experiencias reci-bidas, especialmente de los maestros/as y expertos/as japoneses, y preocupado por difundirlas, tal y como aprendimos de la filosofía de los auspiciantes: “adoptar y adaptar”, decidimos acudir una vez más a JICA Bolivia para la difusión de las técnicas adquiridas en los cursos en ambos países, que fueron desarrolladas y validadas en nuestras escuelas con niñas y niños bolivianos. El presente texto se constituye en la sistematización de dichas técnicas.

Las Técnicas expuestas fueron adquiridas tanto por observación directa de clases públicas desa-rrolladas por maestros japoneses, como por observación de las mismas en videos o por transmi-sión directa e indirecta de los maestros/as japoneses en charlas, conferencias o talleres. Entonces, dichas técnicas fueron aplicadas por cada uno de los miembros del equipo in situ, con nuestros propios estudiantes, en los diferentes grados en los que nos desenvolvemos cotidianamente y en talleres de réplica de conocimientos adquiridos. Por tanto fueron validadas, adecuando y/o modificándolas de acuerdo a nuestras necesidades y nuestras realidades.

El esquema propuesto (componente o ámbito, contenido, año de escolaridad, objetivo, descrip-ción y procedimiento) proviene de un análisis realizado por el Equipo, resaltando que todos los integrantes participaron en el Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar (PROMECA) desde su respectivo lugar de trabajo.

El presente documento constituye segunda entrega a los maestros de nuestro país; sin embargo en esta versión se pone mayor énfasis a la socialización de técnicas en los cuatro ámbitos que propone el currículo japonés: Números y cálculo, Cantidad y medición, Figuras y Relación entre cantidades. Para cada uno de ellos proponemos también algún ejemplo.

En esta versión presentamos el detalle de los ámbitos o componentes mencionados, así como la estructuración de las clases, el esquema de Plan de Orientación (Plan de clase) de enseñanza de la matemática, al estilo japonés, que resalta la importancia del proceso seguido en el aprendiza-je y el protagonismo de los niños y niñas, y finalmente incluimos los roles del maestro/a durante las clases, por la gran importancia que tiene para nosotros la difusión del proceso pedagógico que se desarrolla en el aula japonesa, especialmente en matemática ya que ésta podría ser, entre otros, la diferencia en el logro de resultados alcanzados en la educación matemática. Por tanto, se destaca el Modelo de resolución de problemas, centrado en el proceso y no en el resultado, ya que lo interesante en todo momento siempre ha sido y siempre será analizar las maneras que tienen los estudiantes de resolver un ejercicio o problema; pues nuestra función como educadores es brindarles las oportunidades de que lo hagan y, al hacerlo, expresen su pensamiento.

Al igual que en nuestra primera versión, resaltamos la importancia de la “Consigna Desafian-te”, para detonar en el estudiante el interés por resolver una situación conflictiva matemática-mente, haciendo de ésta asignatura un espacio entretenido, alegre y mágico de aprendizaje.

Ponemos, a consideración de los lectores la presente propuesta, esperando sea del interés y uti-lidad para nuestra permanente formación profesional en beneficio de nuestros estudiantes, que son los “protagonistas del aprendizaje”.

Nélida López PintoCoordinadora Equipo de Matemáticas

La Paz – Bolivia

6 Agradecimientos

Expresamos un especial agradecimiento a la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA) en Bolivia, y al Gobierno japonés que nos brindaron la oportunidad de acceder a nuevos conocimientos que enriquecen nuestra práctica profesional, y que ahora nos brindan la oportu-nidad de difundir nuestras experiencias a través de la publicación de este texto.

Agradecemos también:

Al Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar (PROMECA-JICA), por su invaluable aporte a la educación boliviana, especialmente en el “protagonismo de los niños y de las niñas”.

Al personal de las Escuelas Anexas a las Universidades de Educación de Tsukuba y Hokkaido en Japón, muy especialmente a los profesores japoneses que compartieron con nosotros sus ex-periencias y nos motivaron en la búsqueda de nuevas técnicas de enseñanza de la matemática para hacer de ésta una asignatura interesante, ágil, divertida y alegre.

Al personal de las Universidades de Educación de Hokkaido en Japón y de la Universidad Peda-gógica Francisco Morazán en Tegucigalpa, Honduras.

A los asesores y líderes del 1º y 2º Cursos de “Métodos de enseñanza de la matemática para paí-ses sudamericanos” en Japón, desarrollados en las gestiones 2008 y 2009, y del PROMETAM ¡Me gusta Matemática!, en Honduras, gestiones 2007 y 2009.

Por último, a los colegas de países latinoamericanos que participaron con nosotros durante nuestra estadía en Japón y en Honduras, por haber compartido su experiencia y su amistad.

Los autores

7División temática de los contenidos matemáticos en primaria (Japón)

Sistematización elaborada por Nélida López Pinto, con base en documen-

tos entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáti-

cas para países sudamericanos”, gestión 2008.

El presente texto toma como referente la División Temática de los Contenidos Matemáticos en la Escuela Primaria de Japón, a fin de orientar el trabajo de manera más sistemática. Dichos contenidos, si bien no difieren de los abordados en nuestro país, pueden variar, quizás en cuanto a la agrupación en los ámbitos correspondientes.

Los ámbitos propuestos son:

A) Números y cálculo

Enteros, decimales, fracciones, operaciones aritméticas, relaciones

Numerales, ordinales, cardinales, naturales, enteros, decimales, fracciones, las cuatro operaciones, cálculo mental, aproximación, redondeo, valor posicional, propiedades de interrelación +, –, X, /., entre otros contenidos.

B) Cantidades y medida

Longitud, peso, superficie, capacidad y volumen, tiempo y hora, velocidad, ángulos

Medición concreta de la longitud, el volumen, los ángulos y el peso; sistemas de unidades, métodos de medición (mediante comparación directa, comparación indirecta, unidades arbitrarias, unidades convencionales), relación proporcional, tiempo, cálculo de superficie (área, capacidad), volumen, desarrollo de la percepción de magnitudes, cálculos de superficie, equivalencias fraccionarias, etc.

C) Figuras Figuras planas, figuras sólidas

Líneas, cuadriláteros, (cuadrado y rectángulo, paralelogramo); triángulo (triángulo rectángulo, triángulo equilátero, triángulo isósceles); círculos, esferas, polígonos, componentes paralelos y perpendiculares y componentes de las figuras, distinción y dibujo, por ejemplo.

D) Relaciones cuantitativas o entre cantidades

Expresiones con fórmula, funciones, estadística

Expresar datos en gráficos, clasificándolos y ordenándolos; expresar cambios en gráficos de columnas, lineales, circulares y de barras, expresar mediante fórmulas dos cantidades que varían en forma proporcional, leyes asociativas, relaciones cuantitativas y propiedades de las cuatro operaciones, regularidad en multiplicación, proporción, intervalos numéricos, promedio, entre otros.

8 Estructuración de las clases

Sistematización elaborada por Nélida López Pinto en base a documentos

entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas

para países sudamericanos”, Japón, gestión 2008.

Procesos educativos Acciones del maestro/a Acciones de los niños/as

INTR

O-

DU

CC

IÓN Revisión de cono-

cimientos previos.Comprende el estado de los niños/as sobre preparación para aprender.

Responden preguntas

Presentación del tema a estudiar

Define el tema y lo da a conocer. Observan, hacen preguntas

DES

AR

RO

LLO

Debate del tema Desarrolla el contenido de la clase anterior. Impulsa, motiva y despierta el entusiasmo.

Ven el tema de diversos ángulos. Definen la idea acerca del tema.

Planteamiento de los pronósticos e hipótesis

Extrae las ideas de los niños/asCrea un ambiente para el debate.Aprecia las impresiones propias de los niños/as.

Plantean el pronóstico.Definen el fundamento.

Análisis del mé-todo para su reso-lución

Da instrucciones. Apoya el desarrollo del pensamiento. Promueve el pensar juntos para encontrar otra idea, revisa las relaciones en-tre el tema y el procedimiento.

Piensan, seleccionan informa-ción, verifican el pronóstico.

Expresión del mé-todo de resolución e ideas

Indica el método y procedimiento para el resumen, analizan juntos, hace ingeniar una explicación lógica.

Tienen definida su propia idea y procedimiento. Expresan cómo desarrollaron su idea. Inventan el método de expresión

CO

NC

LUSI

ÓN

Debate con base en la presentación

Educa para que admitan otras ideas, hace razonar a los niños/as.

Comparan sus ideas y formas de pensar, aceptan otras ideas, pro-fundizan sus ideas

Resumen del con-tenido y método educativo

Reconoce el cambio en los niños/as, resume el tema, el método de resolución y la forma de pensar, evalúa el desempeño de los niños/as.

Reflexionan en el estudio, sin-tetizan el contenido y el proce-dimiento, reconocen el cambio ocurrido en sí mismos

Aviso para la si-guiente clase

Notifica el tema para la siguiente clase, eva-lúa los planes y procesos educativos.

PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA PARA LA UNIDAD COMPLETA(Modelo Japonés)

Lugar: Grado: Cantidad: Niños: Niñas:Dirigido por: Elaborado por:I. NOMBRE DE LA UNIDADII. SOBRE LA UNIDAD Nombre del ámbito relacionado con la unidad: Grado de importancia (relación con aprendizajes futuros – próximo año–) III. SOBRE LOS NIÑOS IV. PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA PARA LA UNIDAD COMPLETA (períodos) Reseña de cada clase (secuencia)V. OBJETIVOS DE LA UNIDAD COMPLETAVI. OBJETIVOS DE LA CLASE ACTUALVII. DESARROLLO DE LA CLASE

Proceso de orientación Estrategias del maestro/a Actividades de los niños/as

Introducción (10 min)

Desarrollo (25 min) Consigna desafiante - propósito de la clase

Conclusión (10 min)

VIII. EVALUACIÓNIX. TAREA

9Cómo explican y estructuran su clase los maestros/as japoneses

Sistematización elaborada por Hugo Colque Jiménez en base a documen-

tos entregados en el Segundo Curso: “Métodos de enseñanza de matemá-

ticas para países sudamericanos”, gestión 2009.

Proceso de las clases como “resolución estructurada de problemas”

Revisión de la clase anterior. Presentación de los problemas del día. Trabajo individual o grupal de los alumnos. Discusión de los métodos de resolución. Puesta en relieve y resumen del punto principal.

Roles del maestro/a durante las clases

Hatsumon en la presentación del problemaAl comenzar la sesión, hacer una pregunta clave para atraer el pensamiento del alumno sobre un punto particular en una clase.

Kikan-shido durante la resolución de problemas por los alumnos.Significa “instrucción en el escritorio del alumno”, el maestro/a se mueve por el aula.Evalúa el progreso de la resolución de problemasToma nota mental (forma esperada y otra de interés)

Neriage es una discusión de toda la clase.Proceso de “pulir” las ideas del estudiante y obtener una idea matemática.Ofrece la palabra para que presenten sus métodos de resolución en la pizarra

Matome como recapitulación (indispensable en la clase)Revisa brevemente lo que han discutido y recapitula lo que han aprendido.

10 ¿Cuántos bloques hay?

Adaptación de la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, en base

a un video de una clase desarrollada por un maestro Japonés, validada

en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE: FigurasCONTENIDO: Cuerpos sólidosAÑO DE ESCOLARIDAD: Primer año de primariaOBJETIVO: Involucrar a los estudiantes en la visualización de una pila de bloques, para que determinen la cantidad que la compone, a través de la formulación de diferentes formulaciones matemáticas.DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en mostrar de manera concreta una pila de bloques (cu-bos), desde diferentes ángulos y proponer a los estudiantes que determinen la cantidad de cubos que la compone.PROCEDIMIENTO: Previamente el maestro/a debe haber puesto una pila de cubos sobre un buen soporte.

El maestro/a muestra la vista delantera de una pila de cubos y pide a los estudiantes que deter-minen el número de bloques.

La mayoría de los estudiantes, al ver solo la vista delantera dirán “4 bloques”. El maestro/a dibuja.

Posteriormente, el maestro/a hace girar el soporte, de tal manera que se pueda visualizar otro ángulo de la pila y pide que determinen el número de bloques que piensan que hay. Nuevamen-te dibuja en la pizarra.

Este mismo gráfico (de la pizarra), es distribuido en fotocopias a cada uno de los niños/as. El maestro/a pide que escriban la manera en que calculan el número de bloques y su respuesta.

No es tan importante la respuesta, como la forma en que piensan los niños/as para conseguir el número.

Algunas de las expresiones elaboradas por los niños/as, para determinar la cantidad de bloques, son:

4 + 3 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 4 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2

Cada vez que una nueva expresión sea formulada, el maestro/a pide que expliquen su trabajo a la clase y pregunta si alguien más hizo el mismo razonamiento que su compañero e indaga acerca del proceso de razonamiento: ¿por qué piensan que es así?

Para concluir, el maestro pide a los estudiantes que se acerquen al frente, de modo que puedan ver claramente la pila y comprueben cuántos bloques hay en la pila.

11¡Cómo aprender la multiplicación!

La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por

Irma Arpazi Huanca ex becaria JICA a Japón 2004, validada en sesiones

de capacitación a docentes de primaria.

COMPONENTE: Números y cálculoCONTENIDO: Multiplicación de números naturalesAÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primariaOBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación a través del diagra-ma del árbol para que les permita representar el algoritmo con facilidad.DESCRIPCIÓN: Tanto las faldas como las blusas tienen que ser de diferentes coloresPROCEDIMIENTO: Resolución del problema

El maestro o maestra debe pensar y planificar con anticipación sobre las actividades a realizar en el aula para que favorezcan el aprendizaje de los niños y niñas, puede ser como sigue:

1er Paso Presentación del problemaCarola tiene 3 faldas y 4 blusas de diferentes co-lores. ¿De cuántas maneras distintas puede ves-tirse con estas ropas? ¿Cuántas formas de vestir puede combinar con estas prendas? ¿Cuántas combinaciones distintas puede preparar para vestirse con las prendas?2do Paso Comprensión del problemaPara que el problema sea bien comprendido es necesario dar una buena lectura y las preguntas deben estar bien formuladas, porque los niños y niñas tienen que descubrir los distintos caminos para llegar al resultado.3er Paso Elaboración del plan Reconocimiento de la acciónEs necesario hacer identificar a los niños y niñas la acción del problema y se puede ayudar con algunas preguntas sobre lo conocido, para que la resolución del problema le resulte fácil como se detalla a continuación.¿Qué es lo que tiene Carola?

¿De qué colores son las blusas y faldas?

¿Qué necesita hacer Carola?

4to Paso EjecuciónCada niño o niña debe encontrar la forma de combinar las prendas de vestir (faldas y blusas de muñeca, de papel y requiere mucha creativi-dad de los niños y niñas), luego debe ser socia-lizado en plenaria. Pero es necesario llegar a un mismo resultado, una alternativa de presenta-ción de las respuestas es la siguiente:

12

Faldas

Blusas Roja AzulVerde claro

Amarillo

Rojo

Azul

Celeste

Blusas

FaldasAmarillo Rojo Azul Celeste

Roja

Azul

Verde Claro

5to Paso Análisis de Solución o ResultadoUna vez que hayan llegado al resultado, el docente promueve el análisis a través de las siguien-tes preguntas:

¿Cuántas formas de combinación hemos obtenido?

¿Por qué hemos obtenido esa cantidad?

¿De dónde salió?

¿Cómo podemos presentar con números?

Presentación del algoritmo de la multiplicación:

De manera horizontal De manera vertical

3 3 x 4 = 12 x 4 12

Al mismo tiempo se puede demostrar la propie-dad conmutativa de la siguiente manera:

Presentación del algoritmo:Recordamos: 3 faldas por 4 blusas o 4 blusas por 3 faldas

3F x 4B 4B x 3F 3 x 4 4 x 3 12 12

13Multiplicaciones divertidas

Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las

experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en la U.E. La

Merced A y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.

COMPONENTE: Números y cálculoCONTENIDO: Cálculo mental, multiplicación.AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primariaOBJETIVO: Estimular el cálculo mental, a través de la observación cuidadosa de algoritmos, para que resuelvan ejercicios de multiplicación mentalmente. DESCRIPCIÓN: Plantillas de ejercicios de multiplicación, cuyos rangos decenales de ambos mul-tiplicandos sean los mismos y cuya suma de unidades de ambas cantidades sean siempre diez.PROCEDIMIENTO:

El maestro/a presenta en una plantilla el ejercicio:

Los niños/as desarrollan el ejercicio y luego verifican con su compañero para ver si tienen el mis-mo resultado. Si están equivocados se les indica que no borren la respuesta sino que la corrijan.

Luego se les presenta el siguiente ejercicio:Se sigue el mismo procedimiento anterior.

Posteriormente se les presenta el ejercicio:

En este momento un niño podría darse cuenta que falta una multiplicación en la serie (23 x 27) y pasar a presentar la operación faltante y resolverla. Este momento servirá para darnos cuen-ta de que empiezan a descubrir la regla. En todo caso el maestro/a anima a ir encontrando la relación que hay entre la secuencia de números, les ayuda escribiendo en la pizarra sus ideas.

Pide que expliquen las características de las operaciones.

¿Qué observamos en los multiplicandos? R. ambos son del mismo grupo de decenas.

¿Qué se puede decir de las unidades? R. Que si las sumamos nos dan diez

¿Cómo serían las características de estas expresiones? 30 x 30 y 29 x 31 R. Los estudiantes expli-can utilizando lo aprendido.

El maestro/a pregunta: ¿Cómo explicamos los resultados de estas expresiones? Presenta la serie de ejercicios:

21 x 29

22 x 28

23 x 27

24 x 26

25 x 25

22 x 28 = 616

24 x 26 = 624

25 x 25 = 625

14

El maestro/a pregunta ¿Hay alguna regla para encontrar el resultado? Todos los niños/as mues-tran interés en resolver los ejercicios y pasar a explicar el procedimiento que han usado y al descubrir la regla.

Una vez descubierta una de las reglas

Los últimos dígitos del resultado son iguales al producto de las cifras de las unidades de los multiplicandos.

El maestro/a construye la regla final con las ideas de todos los estudiantes:

Las otras cifras del resultado provienen de multiplicar la decena de uno de los multiplicandos por el número que le sigue.

Es decir si la decena es 2, entonces se debe multiplicar 2 x 3, considerando que 3 es el número que sigue al 2.

Los niños/as proponen otros ejemplos: 35 x 35; 33 x 37; 31 x 39 y descubren que la regla tam-bién se cumple para ellos:

32 x 38 = 1216 34 x 36 = 1224 35 x 35 = 1225 33 x 37 = 1221 31 x 39 = 1209

Este es un interesante ejemplo de aplicación de metodologías que permiten al niño analizar por si mismo, las situaciones matemáticas y llegar a descubrir reglas que le facilitan la interpreta-ción de los resultados obtenidos.

15La construcción del pensamiento multiplicativo

La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por

Irma Arpazi Huanca ex becaria de Japón.

COMPONENTE: Números y operacionesCONTENIDO: Multiplicación de números naturalesAÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de primariaOBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación mediante los prin-cipios combinatorios para contribuir al desarrollo del pensamiento lógico. DESCRIPCIÓN: La bandera puede ser nuestro o de otro país, lo importante es que sea de tres colores diferentes.PROCEDIMIENTO: Resolución del problema

1er Paso Presentación del problemaPintar y modificar la bandera del Estado Plurinacional, de tal modo que en dos franjas seguidas no se repita el mismo color, pero sí, se puede repetir dos franjas del costado. ¿Cuántas banderas diferentes podemos combinar?2do Paso Comprensión del problema a través de la lecturaPara comprender el problema es necesaria una buena lectura para que los niños/as descubran distintas maneras de llegar al resultado.3er Paso Elaboración del plan - Reconocimiento de la acciónEs necesario reconocer la acción del problema y puede ayudarse con algunas preguntas sobre lo conocido, para que la resolución del problema le resulte fácil.¿Qué tenemos?

¿Cuántas franjas tiene nuestra bandera y de qué colores?

¿Qué debemos hacer?

¿Cuántas banderas diferentes podemos combinar?

¿Cómo podemos combinar?

4to Paso EjecuciónPara facilitar el procedimiento, el docente puede presentar la bandera y cada niño o niña encon-trará la estrategia para llegar a combinar a través del movimiento de las franjas de la bandera. Posteriormente realizar la socialización.5to Paso Conclusión Sobre las decisiones que hayan tomado para las combinaciones puede ser como sigue:

Primera decisión: Escoger el color para la primera franja.

Segunda decisión: Escoger los colores para la segunda franja, no puede ser la misma que la primera franja.

Tercera decisión: Escoger los colores para la tercera franja, no puede ser los mismos colores que la segunda franja, más bien se puede repetir los colores de la primera franja.

16 Regularidades

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, en base a

una presentación del Prof. Takao Seiyama de la Escuela Anexa a la Uni-

versidad de Tsukuba – Japón, validada en la U.E. Gral José de San Martín

y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: Regularidades en la multiplicaciónAÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto-Quinto grado de PrimariaOBJETIVO: Encontrar la fórmula que tenga como respuesta una cifra inferior en uno, para resolver situaciones de multiplicación DESCRIPCIÓN: Planteamiento de una situación de multiplicación aparentemente complica-da, pero que a través de ejercicios sencillos, los estudiantes pensando, encuentran la regulari-dad, la regla que permitirá solucionar el desafío o situación problemática.PROCEDIMIENTO: Se puede dar clases con este tema: Por ejemplo:

Escribir 50 x 50 = 2500Ahora escribir una respuesta inferior en uno

50 x 50 = 2500

? = 2499

Entonces se tiene una respuesta que es inferior en uno al primer resultado.

CONSIGNA: Debemos encontrar una fórmula de multiplicación que tenga como respuesta una cifra inferior en uno.

Entonces como con números grandes es complicado para pensar, vamos a achicar el número y averiguaremos la fórmula: 3 x 3 = 9

? = 8 Preguntamos: ¿Cómo se va a hacer para que tenga una respuesta?

¿Cómo debe ser la fórmula?

Puede ser esto… Se puede presentar más ejemplos...

3 x 3 = 9 4 x 4 = 16

4 x 2 = 8 5 x 3 = 15 Hasta este nivel los estudiantes de primaria pueden solucionar, por ejemplo:

8 x 8 = 64

9 x 7 = 63 Entonces preguntamos ¿cuál es la fórmula para encontrar la respuesta inferior en uno?

50 x 50 = 2500 51 x 49 = 2499

.1

.1

.1 .1

.1

.1

17Empezando por cifras pequeñas, sencillas, pensando los estudiantes encuentran alguna regla que existe, ellos pueden imaginar fácilmente esta fórmula.

Entonces lo importante es hacer preguntas:

¿Cómo concluyeron en esa idea?, ¿Cómo se formó esa idea?, ¿por qué dicen eso?

Lo que se quiere es que el niño o la niña, diga que a través de esas tres fórmulas encontró una regla. 50 x 50 = 2500 51 x 49 = 2499

3 x 3 = 9 4 x 4 = 16 8 x 8 = 64

4 x 2 = 8 5 x 3 = 15 9 x 7 = 63

Vamos a probar con otros números:

60 x 60 = 3600 61 x 59 = 2499

¿Cuál es la fórmula?

60 x 60 = 3600

+1 x –1 = 2499

Inicialmente un ejercicio parece difícil, pero por medio de encontrar una regla que tiene, a tra-vés de cálculos iniciales sencillos, se lo puede resolver con facilidad.

Ahora hagamos la aplicación:

50 x 50 = 2500

= 2496

¿Cómo será la fórmula ahora?

Dejar que piensen y respondan, que hagan cálculos…

De igual manera, para que comprendan mejor, se puede empezar con números pequeños.

3 x 3 = 9 4 x 4 = 16 8 x 8 = 64 5 x 1 = 5 6 x 2 = 12 10 x 6 = 60 Preguntar: Hasta aquí, ¿Pueden encontrar alguna regla?

Responden:

50 x 50 = 2500

52 x 48 = 2496

.1

.1

.1

–4

–4

–4

–4 –4

.1.1 .1

18Vamos a probar con otros números:

60 x 60 = 3600 60 x 60 = 3600¿Cuál es la fórmula?

61 x 59 = 3596 +1 x –1 = 3596

Entonces cuando se da una fórmula, la explicación para cursos superiores sería:

(a + b) (a – b) = a2 + b2

Aplicando las cifras del desafío:

50 x 50 = 2500 (50 + 1) (50 – 1) = 502 – 12

= 2500 – 1 ? = 2499 51 x 49 = 2499

50 x 50 = 2500 (50 + 2) (50 – 2) = 502 – 22

= 2500 – 4 ? = 2496 52 x 48 = 2496

Ahora con - 9

50 x 50 = 2500 = 2491

¿Y cómo va a ser ahora?

50 x 50 = 2500 (50 + 3) (50 – 3) = 502 – 32

3x3 = 2500 – 9

53 x 47 = 2491 53 x 47 = 2491

Ahora con - 16, ¿Cuánto será?

50 x 50 = 2500 (50 + 4) (50 – 4) = 502 – 42

4x4 = 2500 – 16 54 x 46 = 2484 54 x 46 = 2484

Para finalizar con - 25, ¿Cuánto será?

50 x 50 = 2500 (50 + 5) (50 – 5) = 502 – 52

5x5 = 2500 – 25

55 x 45 = 2475 55 x 45 = 2475

Los estudiantes pueden seguir probando con otros números para su aplicación.

–4

.1

–4

–9

–9

–16

–25

–4

19

Esta estrategia para trabajar ofrece la oportunidad a los estudiantes de trabajar en equipo y tomar interés en la búsqueda de soluciones.Los estudiantes disfrutan de la acti-vidad y aprenden jugando.A partir de sus experiencias propias y de trabajo en comunidad, pueden realizar la producción de textos ma-temáticos.

Son ellos quienes construyen su propio material de trabajo y de esta forma son más responsables en el cuidado del mismo y también exploran los ma-teriales necesarios para la actividad.Ayuda a reforzar el aprendizaje me-diante el trabajo en parejas y conti-nua siendo un recurso que brinda la oportunidad de establecer relaciones entre números, dentro de un ambien-te de seguridad y compañerismo.

TRABAJO REALIZADO CON LOS PRO-FESORES. Antes de poner en práctica con los estudiantes estos materiales, es conveniente reunirse con otros profe-sores del colegio, ciclo o año de esco-laridad para practicar y así evitar po-sibles problemas que se presenten con los estudiantes o detectar dificultades que supongamos tengan los estudian-tes. De esta manera se puede realizar adecuaciones necesarias.

Relación entre números

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,

“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-

tión 2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: Mayor qué, menor qué e igual aNIVEL: PrimarioOBJETIVO: Desarrollar en los estudiantes un pensamiento crítico y reflexivo con relación al valor posicional de las cifras y la relación que existe entre dos números (>, =, <), por medio del juego.DESCRIPCIÓN: La matemática debe buscar desarrollar una actitud positiva y el pensamiento científico en los estudiantes a través de la práctica investigativa que permitan la construcción per-manente del conocimiento a partir del trabajo en solidaridad dentro del ambiente comunitario.

Esta actividad busca que los estudiantes relacionen la posición de una cifra con su valor cuando ordena o cuantifica cantidades, a partir de la realización de diferentes juegos efectuando com-paraciones para conocer la relación que existe entre los números y usando los signos mayor que, menor que e igual a. jugando en parejas o en grupos.

20 Actividades Recursos Puntos de atención

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 minutos

1. Explicar que se desarrollará una actividad de comparación de dos números, utilizando 2 juegos de tarjetas de números del 0 al 9.

2. Solicitar a dos niños (as) que pasen al frente.

3. Proporcionar a cada niño un juego de tarjetas del 0 al 9.

4. Solicitar a cada niño que saque seis tarjetas en turnos alternos, colocando cada tarjeta en la tabla que se encuentra en el pizarrón, de tal manera que formen el número mayor.

5. Cada niño deberá pensar en qué lugar colocará la tarjeta que vaya sacando (podrá pedir apoyo de sus compañeros para colocar la tarjeta en el lugar que crea conveniente para formar el número mayor)

6. Luego de haber formado los dos números, preguntar a todos los niños/as CUÁL ES EL NÚMERO MAYOR.

7. Presentar los signos mayor que, menor que, igual que, luego pedir a un niño que coloque el signo correcto entre los dos números formados.

8. Preguntar a todos los niños/as POR QUE es el número mayor el señalado. Pedir 3 intervenciones de tal manera que se les induzca hacia la respuesta correcta.

9. Concluir indicando la regla de comparación que se aplica a la comparación de los números formados.

- Tarjetas de números

- Tarjetas con signos de > mayor que, < menor que, = igual que.

1. Tomar en cuenta la posición de los números formados para la colocación del signo de desigualdad correcto.

10.Reglas de comparación de dos números naturales:

a. Comparar la cantidad de cifras. El que tenga más cifras es el mayor.

b. Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparar la primera cifra de la izquierda de cada número. El que tenga la cifra mayor es el mayor.

c. Si las primeras cifras son iguales, comparar la segunda cifra de cada uno; el que tenga la mayor cifra es el mayor.

d. Si las primeras dos cifras de ambos números son iguales, comparar la tercera cifra y así sucesivamente con el mismo procedimiento.

e. Si uno tiene menos casillas, entonces tienen el número menor.

Si al final todas las cifras son iguales, los dos números son iguales.

En los casos de modificación de la posición de los números, pasar a niños/as a colocar el signo de comparación de cantidades (> < =) y que expliquen POR QUÉ colocó el signo.

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.

10. Realizar el mismo juego en parejas para lo cual se debe explicar cómo llenar la hoja de trabajo y como construir sus materiales para jugar.

Reglas, tijeras, fotocopias, lápices.

ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.

11. Presentar los otros casos, tomando en cuenta el resultado del ejercicio anterior (modificar la posición de algunas tarjetas de manera que la comparación de los dos números se resuelvan de la siguiente manera:

a. Que la primera cifra de la izquierda en ambos números sean diferentes o iguales

b. Que las primeras dos cifras a la izquierda sean iguales

c. Que las primeras tres cifras de la izquierda sean iguales y así sucesivamente.

d. Verificar también que la cantidad de cifras de los números sean diferentes (23567>457)

21MODELO DE HOJA PARA EL JUEGO:

Comparación de números

Fecha: Curso:

Nombre del niño o niña de la izquierda Nombre del niño o niña de la derecha

Resultados del juego

Primer juegoNúmero del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)

Segundo juegoNúmero del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)

Tercer juegoNúmero del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)

Cuarto juegoNúmero del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)

Quinto juegoNúmero del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)

=

MODELO DE FICHAS PARA EL JUEGO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

MODELO DE RAYADO EN LA PIZARRA PARA EL JUEGO:

oooRR

22 Problemas de longitud y espacialidad

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,

“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-

tión 2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo

COMPONENTE: Cantidad y medidaCONTENIDO: Cálculo de longitudes y orientación espacialNIVEL: PrimarioOBJETIVO: Poder determinar longitudes, realizar ejercicios de orientación y establecer lugares a través del uso de una rejilla. Además de determinar o formular problemas sobre estos aspectosDESCRIPCIÓN: Este tipo de dibujos se puede usar para la formulación de problemas como decir

¿Juan quiere ir a su escuela desde su casa y debe recorrer tres cuadras en forma horizontal y dos en vertical. Donde está la escuela

Juan olvido sus cuadernos y su mamá debe mandarlos y decide enviarlos en un taxi a quien debe indicar la dirección ¿dónde es la el colegio?

ESCUELA DE JUAN

CASA DE

JUAN

EMPRESA DE TÁXIS

23Misterios del cálculo de la multiplicación

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba

– Japón, 2009, validado en la U.E. Gral. José de San Martín y en capaci-

taciones a docentes de primaria.

COMPONENTE: Números y cálculoCONTENIDO: Regularidades en la multiplicaciónAÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto grado de primariaOBJETIVO: A través de la actividad de hacer “el cálculo interesante”, intentar que los/as niños/as puedan explicar de manera lógica sus respuestas y aprecien la alegría de descubrir la regla.DESCRIPCIÓN: Utilización de múltiplos de tres en tres problemas matemáticos como una pista para introducir los problemas matemáticos, dejar un tiempo para pensar solos y luego de tener los resultados anotados en tarjetas, invitar a poner en orden e incitar a encontrar la regla.PROCEDIMIENTO:Presentar la siguiente expresión matemática:

37 x 3 = ¿Cuál es el resultado?

Solicitar que un estudiante resuelva el ejercicio. Luego copiar la expresión en un cartel. PegarEscribir la siguiente expresión:

37 x 6 = ¿Cuál será el resultado? Repetir el anterior procedimiento.

Presentar otra expresión:

37 x 9 = ¿Cuál será el resultado?

En este punto de la lección se pueden formular preguntas que despierten el interés de los alum-nos:

¿Cuál es el próximo número que sigue?

¿Por qué?

Presentar otro ejercicio:

37 x 12 = ¿Cuál será el resultado?

¿Habrá otras expresiones?

¿Podríamos encontrarlas? ¿Cómo?

Se puede decir a los/as niños/as: para ayudar a nuestro pensamiento, sería bueno ordenar las expresiones, (mejor si hay algún estudiante que lo proponga).

La pizarra quedaría así:

24

Otras expresiones que se pueden formar:

SUGERENCIASDe acuerdo al grado, se sugiere que se inicie con operaciones más altas por el nivel de los ni-ños/as por ejemplo 37 x 15, pero ese es un criterio, cada uno hace su clase según su experiencia, conocimiento y habilidad.  

En la clase se debe conocer la regla y expresarla con diferentes palabras. 

Nosotros como docentes queremos encontrar reglas nuestras y a veces decimos que no esta bien si no compartimos algo correcto que el niño indique.

Hay que escuchar a los alumnos. En oca-siones los estudiantes nos dan otras res-puestas, hay otras reacciones, entonces el docente tiene que tener capacidad acadé-mica de escuchar y no solo de enseñar.

En el siguiente proceso se puede ofrecer otras secuencias como:

Aplicaciones de la regla:

37 x 42

  30 y 12 = 37 x 30 + 37 x 12 = 1110 + 444 = 1554

37 x 3 = 111

37 x 6 = 222

37 x 9 = 333

37 x 12 =

37 x 15 =

37 x 18 =

37 x 21 = 37 x 27 =

37 x 24 =

Los multiplicadores son múltiplos de 3

3 x 1 el factor 3 indica las veces que se repite el producto

La suma de los dígitos del resultado da siempre la cifra del multiplicador 2 + 2 + 2 = 6

Es la cifra que se debe repetir

El multiplicando siempre es 37

+111

+111

+111

+222

+222

+222

3x1

3x2

3x3

3x4

3x5

37 x 30 = 1110

37 x 33 = 1221

37 x 36 = 1332

37 x 39 = 1443

37 x 42 = 1554

37 x 45 = 1665

25Introducción al estudio de la estadística en nivel primario

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,

“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-

tión 2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo

COMPONENTE: Relaciones entre cantidades - Estadística.CONTENIDO: Estudio de tablas y gráficos estadísticos.NIVEL: PrimarioOBJETIVO: Representar en tablas y gráficos diferentes tipos de datos numéricos; para compren-der mejor su significado a partir de experiencias vividas en un contexto conocido.DESCRIPCIÓN: El estudio de la estadística se puede iniciar desde los primeros años del nivel primario e ir afianzando los conceptos necesarios para el nivel secundario, considerando la diver-sidad cultural y social de los estudiantes y el objetivo o contenidos que se quieran desarrollar. En el siguiente trabajo se presenta de forma general pautas para introducirse en el estudio de la estadís-tica; la cual puede ser adaptada para cursos inferiores o superiores.

Se puede trabajar entre todos los estudiantes o en grupos predefinidos considerando como una de las variables el tiempo que disponga el profesor para su clase. En ambos casos deben tomar nota de los datos observados, para posteriormente socializarlos en sala. En este caso, como el colegio se encuentra cerca de una parada de transporte público (micros), se pide a los estudian-tes que vayan analizando el comportamiento de la cantidad de micros que se encuentran en la parada estacionados cada determinado tiempo y posteriormente realizan un análisis estadístico en tablas y gráficos de barra. De acuerdo a la metodología empleada esta forma de trabajo es orientada constantemente por el docente.

PRIMERA JORNADAa) Definir la actividad a realizar: Observación de la cantidad de micros en la parada.b) Determinar los intervalos de tiempo: Cada media hora, de hrs. 9:00 hasta las 14:00.c) Conformar grupos de estudio de acuerdo al número de observaciones.d) Realizar las observaciones necesarias y registro de la cantidad de micros que se encuentran

estacionados cada media hora: Cada grupo verá la mejor forma de registrar los datos que vayan observando. Muchos estudiantes se verán en conflicto y no sabrán como comenzar y pedirán un ejemplo de cómo y dónde deben anotar los datos que observen. El profesor debe-rá procurar que sean los estudiantes quienes encuentren la mejor forma. No se les debe dar un formato de la tabla de recolección de datos, puesto que lo que se busca es que sean ellos los protagonistas en la búsqueda de soluciones a partir del trabajo grupal.

Se sugiere que solamente los grupos asignados salgan del aula a realizar sus observaciones para paralelamente continuar con el avance de otros contenidos.

SEGUNDA JORNADAa) Cada grupo escribe en la pizarra y socializa el trabajo realizado en la anterior jornada: En

esta etapa tomar en cuenta que cada grupo debe anotar en la pizarra las observaciones realizadas, además de explicar la forma en la que registraron los datos en el momento de realizar las observaciones; pero como todavía no se les dio el modelo de la tabla el registro de los datos puede ser de forma numeral, literal o con dibujos. Los grupos pueden escribir de la forma que lo consideren mejor.

b) El maestro/a y los estudiantes sistematizan los datos obtenidos.

26

SISTEMATIZACIÓN POR PROFESOR Y ESTUDIANTES

TÍTULO: Análisis de datos estadísticos con tablas y gráficos de barraOBJETIVO: Representar en tablas y gráficos, da-tos numéricos; para com-prender el significado a partir de experiencias vividas en nuestra comu-nidad.

REGISTROESTUDIANTESGrupo A. Mi grupo observó dos micros a las nueve de la mañana

Grupo C.5 micros a las 10:00

Grupo F.

11: 30

Grupo H. No observamos ningún micro.

(registrar de los once grupos)

PRIMERA OBSERVACIÓNHoras 9:00. Dos micros

CUARTA OBSERVACIÓN Hora 10:30. Seis micros

SÉPTIMA OBSERVACIÓN A las 12:00 Un micro

QUINTA OBSERVACIÓN Hora 11:00. Cinco micros

OCTAVA OBSERVACIÓNHora 12:30-13:00 Cero micros

SEXTA OBSERVACIÓN Hora 11:30. Cuatro micros

NOVENA OBSERVACIÓNHora 13:30-14:00. Un micro

SEGUNDA OBSERVACIÓN Horas 9: 30. Dos micros

TERCERA OBSERVACIÓN Horas 10: 00. Cinco micros

TABLA TIPO IntermedioTabla de datos

Hora de Observación

Número de micros

9:00 2

9:30 2

10:00 5

10:30 6

11:00 5

11:30 4

12:00 1

12:30 0

13:00 0

13:30 1

14:00 1

TABLA TIPO InicialTabla

de

datos

Hora Micros observados

9:00

9:30

10:00

10:30

11:00

11:30

12:00

12:3013:00

13:30

14:00

A partir de esta u otras formas de registro que hayan realizado los estudiantes el maestro/a juntamente con los estudiantes buscará una forma adecuada para el llenado de las tablas, aclarando los conceptos de celda, fila, columna, tabla y posteriormente gráfico (barra, torta…).

Una vez socializado y buscada la mejor forma de registrar los datos, el maestro/a deberá haber logrado que los estudiantes logren realizar una tabla correcta de esas formas son las siguientes, tomando en cuenta en año de escolaridad.

27

PARQUE AUTOMOTOR(Número de vehículos)

Particular

Automóvil

Camión

Minibús

Particular

Automóvil

Camión

Minibús

a)

c)

b)

d)

9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 14:00

GRÁFICO DE BARRAS. Inicial

Diagrama de barras

9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00

7

6

5

4

3

2

1

0

mic

ros

cantidadde micros

horas

Tabla de datos (cantidad de micros/tiempo)Tiempo 9:00 9.30 10.00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:00 14:00

Cantidad de micros 2 2 5 6 5 4 1 0 0 1 1

Cantidad de micros estacionados

GRÁFICO DE BARRAS. Avanzado

Posteriormente se realiza el vaciado de los datos obtenidos en uno de los gráficos que se quiera estudiar en este caso dos formas de vaciar los datos en un gráfico de columnas.

TABLA TIPO. Avanzado. (Este tipo también se lo realiza a partir del análisis de los anteriores datos y pude ser aplicado a los últimos años del nivel primario).

Intérvalos de tiempo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

9:00-9:29 2 2/23=0.09 2

9:30-9:59 2 2/23=0.09 4

10:00-10:39 5 5/23=0.22 9

10:30-10:59 6 6/23=0.26 15

11:00-11:29 5 5/23=0.22 20

11:30-11:59 1 1/23=0.04 21

12:30-12:59 0 0/23=0.00 21

13:00-13:29 0 0/23=0.00 21

13:30-13:59 1 1/23=0.04 22

14:00-14:30 1 1/23=0.04 23

Total datos 23 1.00

Es estudio de la estadística o el comportamiento de datos estadísticos en un determinado periodo se puede realizar a partir de simples observaciones como:a) El kiosco de la escuela. ¿Cuántas unidades de un producto vende por día? ¿Qué productos

vende más?b) El jardín de casa o la escuela. ¿Cuántas clases de flores hay?¿Qué plantas dan más flores por año?c) Un video, una fotografía de la ciudad. ¿Cuántos vehículos pasan por hora? ¿Cuántos son

particulares? d) Cuadros de datos. ¿Cuántos automóviles particulares hay? ¿Cuántos camiones?

28 Fracciones equivalentes

Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA

– PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestión 2009, validado en la U.E.

San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: FraccionesCONTENIDO: Fracciones con distinto denominadorAÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de PrimariaOBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes DESCRIPCIÓN: Es un juego para dos jugadores. Material: Dado tetraédrico numerado: 2, 3, 4, 6 (Numerador). Dado cúbico numerado: 4, 6, 8, 9, 10, 12 (Denominador). Seis fichas para cada jugador.

Reglas: Salida a mayor puntuación a cara / cruz. Tiradas alternas. Se tiran los dos dados y se anota la fracción resultante Numerador / Denominador:

a) Se simplifica y se coloca una ficha sobre una casilla que la represente.b) Si no se puede simplificar (2/9, 3/8, 4/9, 3/10) se retira una de las fichas que el jugador

ya tenía colocadas. No se puede ocupar casilla que ya tenga ficha. Gana quien antes coloca sus seis fichas.

1 1/6 1/4 1/5 1/2 3/4

1/3 1/2 2/3 1 3/5 2/5

2/3 1/3 1/2 2/5 1/6 3/5

3/4 1/3 2/5 1 1/4 1/3

1/5 3/5 3/4 1/5 1/3 1/4

1/2 1/6 1/2 1 1/2 1/2

1/4 1/3 3/4 1 2/3 2/5

29Explorando el desarrollo de un prisma

Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo,

2008, desarrollada con estudiantes de la U.E. La Merced A, durante el III

Encuentro Internacional de PROMECA.

COMPONENTE: FigurasCONTENIDO: Cuerpos sólidosAÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primariaOBJETIVO: Que los estudiantes desarrollen su pensamiento abstracto, al analizar y explicar las características de las plantillas de un cuerpo geométrico y desarrollando diferentes tipos de ellas.DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el análisis del cuerpo concreto (prisma) y de las carac-terísticas de su plantilla elemental, para proceder a la transferencia de sus conocimientos en la elaboración de otras plantillas.PROCEDIMIENTO:A manera de retroalimentación y anclaje con este nuevo contenido, el maestro puede presentar diferentes desarrollos (plantillas) de cubos y preguntar:

¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un cubo? ¿por qué?

Una vez que los estudiantes señalen las plantillas que corresponden a un cubo (en este caso, todas), explican las condiciones para serlo: “Tiene que tener seis cuadrados de las mismas medi-das y se tiene que poder unir las aristas, no tienen que sobreponerse, porque si no, no se armaría el cubo”. El maestro invita a los estudiantes a analizar los elementos de un prisma rectangular:

Tiene seis caras paralelas Sus lados opuestos son iguales Sus lados son rectángulos

Posteriormente, solicita que desarmen el prisma rectangular obteniendo así la plantilla (desa-rrollo, patrón o también llamado molde), para su análisis correspondiente.

Los estudiantes concluyen: La plantilla del prisma:

Tiene seis caras paralelas. Tiene seis lados rectangulares. Sus lados son paralelos u opuestos.

En este momento, el maestro debe solicitar ideas de los estudiantes que ayuden a identificar las caras opuestas del prisma cuando está desarmado.

Algunos estudiantes indicarán, por ejemplo:

30– Podemos armar el prisma y antes de desarmarlo podemos poner una marca cualquiera

como por ejemplo una “X”, una “Y”, o lo que sea– Podemos pintar los dos lados que son opuestos, de un mismo color.– Se puede poner un punto, un cuadrado, etc.– Podemos enumerar cada pareja de lados.

Una vez elegida una de las opciones (u otra), proceder de tal forma que al tener la plantilla se visualice cada par de caras y analizar sus características, estableciéndose:

– En una plantilla de prisma, cada par de lados opuestos están separados por un rectángulo diferente.

Entonces, el maestro/a podrá presentar varias plantillas para desafiar el ingenio de los estudian-tes, preguntando:

¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un prisma rectangular? ¿Por qué?

a) b) c) d)

Una vez discutidas cuáles son plantillas de prismas rectangulares (incisos a y d) y ¿por que?, puede proceder a recortarse estas plantillas y tratar de armar los prismas rec-tangulares. En este punto el maestro/a anima a la clase a elaborar modelos alternativos para el de-sarrollo de prismas rectangulares.

A modo de plantearles mayores desafíos presenta otras plantillas con las características un tan-to diferentes: ¿Creen que se forme un prisma rectangular con estas plantillas?

31El tetraedro

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba

– Japón, 2009, validado en sesiones de capacitación a docentes de pri-

maria y en la U.E. Gral. José de San Martín.

CONTENIDO: Cuerpos sólidosAÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto grado de primariaOBJETIVO: Pensar sobre el número de lados en el desarrollo del tetraedro.DESCRIPCIÓN: Un sobre manila tamaño carta, en el que a través del procedimiento anterior (Dobleces para encontrar el triángulo regular), se encuentran esta vez cuatro triángulos regula-res o cuatro caras de un tetraedro.PROCEDIMIENTO:CONSIGNA: Ahora usando este sobre, encuentren con el mismo procedimiento un triángulo regular.

Distribuir sobres. – Se debe trabajar más fino.

Esta línea es importante, hay que resaltar (hacer doblez a uno y al otro lado)– Ahora se debe encontrar el otro lado del triángulo:

Este lado también hay que resaltar. (Doblar para los dos lados). En Japón a los estudiantes se les dice doblar en forma de montaña, ahora en forma de valle.

Ahora tomando como referencia el vértice de arriba, vamos a doblar paralelamente con la base al otro lado.

Ahora tenemos otra vez el triángulo regular.

Analizamos con los estudiantes: El sobre tiene un lado y otro lado; en este lado tenemos un triángulo, en el dorso también tenemos otro triángulo…

En este lado tenemos un triángulo medio de triángulo regular, en el dorso tenemos otro medio de trián-gulo regular, sumados los dos tene-mos otro triángulo regular.

En este otro lado también tene-mos una mitad de triángulo regu-lar medio, y en el dorso existe otro triángulo regular medio, sumados ambos, hay otro triángulo regular.

32Entonces: ¿Cuántos triángulos regulares hay?

R. Con este trabajo ya tenemos cuatro triángulos regulares.

Ahora observen:

(Meter la mano dentro del sobre, abrir, resaltar los triángulos regulares o caras. (la parte restante del sobre doblar contra una de las caras del sólido).

¡Sorpresa!

El estudio del tetraedro se lo hace en primaria superior, pero un triángulo plano aprenden los niños/as de primaria.

Si se amplia su reconocimiento de esta manera con seguridad les va a gustar los estudiantes.

33Cálculos interesantes de sustracción

Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las

experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en sesiones de

transferencia a docentes de primaria.

COMPONENTE: Números y cálculoCONTENIDO: Cálculo mental, sustracción, multiplicación.AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto año de primariaOBJETIVO: Estimular la capacidad de observación de los estudiantes, a través de la resta de dígitos y multiplicación por 9, para que descubran la “regla oculta”. DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el uso de lotas en los que se anotará ejercicios de sus-tracción de manera divertida. Los resultados serán analizados para descubrir la “regla oculta”.PROCEDIMIENTO: El maestro solicita a un estudiante que le dicte su número favorito de dos dígitos, uno de los números dados, puede ser por ejemplo: 86

Ahora da la siguiente consigna a todo el curso: Inviertan los dígitos de este número y réstenlo del anterior. Por ejemplo:

86 – 68 = 18

Este ejemplo es anotado en una plantilla rectangular que pone en la pizarra; para posterior-mente solicitar otros y seguir el mismo procedimiento.

Después de un rato, la pizarra puede presentar la siguiente lista, por ejemplo:

86 – 68 = 18

43 – 34 = 9

98 – 89 = 9

53 – 35 = 18

62 – 26 = 36

73 – 37 = 36

Dirigiendo la observación a la lista presentada, ya los estudiantes o el mismo maestro pueden solicitar acomodar las lotas de acuerdo al resultado obtenido de la siguiente manera:

43 – 34 = 9

98 – 89 = 9

86 – 68 = 18

53 – 35 = 18

62 – 26 = 36

73 – 37 = 36

Consigna: ¿qué observan en los resultados?

Los estudiantes pueden indicar:“todos son múltiplos del 9”, si esta respuesta no se da, el maestro/a podría orientar hacia la observación de este detalle.

34

Entonces: la Regla oculta es:

Restar los dígitos del minuendo y el resultado multiplicarlo por 9.

Comprobando esta regla en cada uno de los ejercicios planteados, se podría concluir con otros ejemplos similares.

4

8

6

3

6

2

9

18

36

9

18

36

– 3 4 =

9 8 – 8 9 = 9

5 3 – 3 5 = 1 8

7 3 – 3 7 = 3 6

– 6 8 =

– 2 6 =

4 – 3 = 1

8 – 6 = 2

6 – 2 = 4

1 x 9 =

2 x 9 =

4 x 9 =

Consigna: ¿Cómo podemos explicar que todos los resultados son múltiplos del 9; pero que no todos son el mismo número?

Con esta consigna, se plantea el desafío a los estudiantes, quienes ahora deben analizar cada detalle de las cantidades propuestas, hasta descubrir la “regla oculta”, de la siguiente manera:

35Patrones en la multiplicación

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba

– Japón, 2009, validado en sesiones de capacitación a docentes de pri-

maria y en la U.E. Gral. José de San Martín.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidades CONTENIDO: MultiplicaciónAÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto-Sexto grado de primariaOBJETIVO: Resolver situaciones problemáticas de multiplicación a través de encontrar patro-nes en multiplicaciones que tengan cifras pequeñas. DESCRIPCIÓN: Situación multiplicativa entre factores que tienen 6 dígitos repetidos, y que con la calculadora hay error en la respuesta, por lo que surge la necesidad de realizar un cálculo es-crito a mano, en el que a través de ejercicios con cifras pequeñas se puede encontrar un patrón, que se aplicará en la solución del desafío o situación problemática. PROCEDIMIENTO:CONSIGNA: Con calculadoras resuelvan lo siguiente:Situación problemática o desafío, ¿cuánto será?

Damos un tiempo para que los/as niños/as hagan el cálculo (utilizando la calculadora).Nota.- Cuando se hace cálculos con una calculadora que tiene 8 dígitos, ésta aparece como

error, entonces intencionalmente usamos la calculadora para crear necesidad de reali-zar otro tipo de cálculo.

Continuamos; con calculadora no se puede, pero si hacemos el cálculo a mano sería mucho mejor, para ello empezamos con cifras pequeñas:

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 ¿qué cálculo sigue ahora?, esperar la respuesta 111 x 111 = 12321 hasta aquí algunos estudiantes ya podrían encontrar el pa-

trón preguntar por el siguiente cálculo. 1111 x 1111 = 1234321 Seguir encontrando los otros cálculos, hasta el que tenga seis

dígitos, pedir que escriban la solución. 111111 x 111111 = 12345654321

¿Por qué dieron esta respuesta? Se ve que encontraron el cálculo de otra manera. Solicitar a un estudiante que explique:

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321

111111 x 111111 = 12345654321

777777 x 999999 =

Se enumera los dígitos: 1, 2 y se

retrocede hasta 1 = 121

Cuento 123456 y retrocedo hasta

uno 54321 = 12345654321

36Hasta aquí es sólo la introducción, para que los estudiantes, puedan encontrar el patrón.

Si aun no pueden, continuamos averiguando con una cifra más chica:

7 x 9 = 63 ahora ¿qué sigue? 77 x 99 = 7623 777 x 999 = 776223 Hasta aquí, ya se puede sacar el patrón

777777 x 999999 = 777776222223

La clase no debe terminar aquí, hay que buscar la explicación y realizar aplicaciones. Por ejem-plo:

Entonces los estudiantes empezarán a analizar y averiguar cómo se llegó al anterior resultado. 9 – 7 = 2

777777 x 999999 = 777776222223

Ahora puede resolver el anterior ejercicio:

8 x 9 = 72 ahora ¿qué sigue? 88 x 99 = 8712 888 x 999 = 887112 Y aquí ya tiene la regla ¿Cómo resuelve y explica el

estudiante?

888888 x 999999

9 x 8 = 72

= 888887111112

Ahora comprobamos si la regla es correcta con cualquier número multiplicado por 9

444444 x 999999 = 4 x 9 = 36 9-4= 5

444443555556

A estas alturas de la clase los niños/as estarán entusiasmados por seguir probando y averiguan-do la eficacia de la regla, es importante que expliquen siempre en cada etapa, el por que dan determinadas respuestas.

777777 x 999999 =

888888 x 999999 =

Sale de multiplicar7 x 9 = 63

¿Cómo se ex-plica el 8 y 1?

¿De dónde sale el 7 y 2?

Uno sale de restar9 – 9 = 1

Baja aquí

37Arreglo de puntos

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, partici-

pante del Curso “Métodos de Enseñanza de Matemáticas para Países

Suramericanos”, 2009. (Presentado por el Prof. Kozo Tsubota Escuela

Anexa a la Universidad de Tsukuba– Japón). Validado en la U.E. Gral.

José de San Martín y en capacitaciones a docentes.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: Aplicación del concepto de multiplicaciónAÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto Grado de PrimariaOBJETIVO: Encontrar maneras de contar el número total de puntos en un cuadrado con cuatro puntos en cada lado, y representar cada manera de contar como una expresión. Interpretar el significado de las expresiones. DESCRIPCIÓN: En esta clase, los estudiantes encuentran el número de puntos en una configuración (arre-glo) de puntos, y encuen tran las maneras de contar el número de puntos en el arreglo.Algunos estudiantes representan sus maneras de contar usando expresiones y otros in-terpretan el significado de cada expresión.

PROCEDIMIENTO:CONSIGNA: Voy a sacar unos círculos (desordenados), ¿Cuántos son?Dan diversas respuestas.¿Por qué no pueden contar exactamente?¿Si están ordenadas pueden contarlas?Ante la respuesta afirmativa, presentar la hoja:Mirando la figura siguiente, piensen: ¿Cuántos puntos hay en la figura?

Mostrar nuevamente y volver a preguntar.Confirman que hay 25 puntos.

Piensen en cómo representar la manera de contarlos usando una expresión. (agrupando)Los estudiantes representan sus maneras de contar las expresiones, y otros interpretan sus expresiones.

Por que están desordenadas:

- Muestre la figura a los estudiantes rápidamente, sólo por un momento, de modo que ellos construyan una imagen del arreglo de puntos de la figura.

- Cada estudiante debe tratar de representar mediante una expresión su propia manera de contar.

- Los estudiantes ven las expresiones hechas por otros estudiantes, y piensan en las interpretaciones de esas expresiones.

1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

38

(3 x 3) + (4 x 4) = 25

5 x 5 = 25

Concluyen que hay varias maneras de con tar, y que para cada expresión hay varias interpretaciones posibles.

Otras expresiones: 6 × 4 + 1 = 25 3 × 8 + 1 = 25 11×2 + 3 = 25

Encuentrenformas de contar

¿Cuántos puntos hay en la figura?

En el centro cuento 3 x 3 y luego agrego 4 veces 4 en las esquinas4 x 4 = 163 x 3 = 16 + =

(4 x 4) + (3 x 3) =

39Aumentando el multiplicador

Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo -

Japón, 2008, validado en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: MultiplicacionesAÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primariaOBJETIVO: Que los estudiantes descubran la relación entre los productos de un mismo número por otros, a través de la manipulación de material concreto.DESCRIPCIÓN: Es importante que los estudiantes, antes de memorizar la tabla de multipli-cación de una determinada cifra, la conceptualicen y entiendan el procedimiento, para ello se manipularán diferentes materiales concretos, planteando un ejercicio sencillo en torno a lo que se observa y manipula, para posteriormente generalizar la regla que relaciona un número con otro.PROCEDIMIENTO: Con diferentes materiales concretos del contexto, por ejemplo bolitas en-sartadas, planteamos la siguiente consigna:

¿Cuál sería la expresión matemática que representa este ejemplo?

Como cada varilla tiene 3 bolitas y hay cinco va-rillas, entonces expresamos 3 X 5 = 15Entonces: ¿cómo podemos calcular la respuesta de 3 X 6?En este punto, los niños/as deben descubrir ellos mismos la respuesta, el maestro orienta el aná-lisis preguntando la diferencia entre un ejercicio que ya saben y otro que todavía no saben, los es-tudiantes dan su opinión, pueden decir por ejem-plo:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, entonces:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

Otra respuesta puede ser aumentando una varillaSon los niños/as deben encontrar esta parte Se recomienda que en 3er grado, se abor-de el cambio de producto, cuando el multiplicador aumenta de uno en uno, este concepto que fue aprendido con el ejemplo de las bolitas en la varilla.

3 X 5 + 3 = 3 X 6

40 Dados y fracciones equivalentes

Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA

– PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestión 2009, validado en la U.E.

San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: Números enterosCONTENIDO: Fracciones con distinto denominadorAÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de PrimariaOBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes DESCRIPCIÓN: Los Juegos matemáticos constituyen una herramienta de ayuda para el tra-tamiento de diversos contenidos del currículum de matemáticas, tanto en el nivel primario, Secundaria y en Bachillerato.

Hemos visto la utilidad de los juegos en el tratamiento de la diversidad, como recurso motivador para los estudiantes con mayores dificultades y también como origen de posibles investigaciones para estudiantes destacados. También hemos apreciado la relación intrínseca de muchos juegos con los procesos típicamente matemáticos y con las estrategias de resolución de problemas.

En particular los juegos permiten potenciar el uso de diversas estrategias como:

PROCEDIMIENTO: Los dados y fracciones equivalentes, es un juego para dos o más jugadores y se necesita un dado cúbico normal (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fracción, y un dado cúbico cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizará para el deno-minador.

Cada jugador elige una fracción y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos da-dos y construye la fracción resultante. Si la fracción es equivalente a la que el jugador eligió, se anota un punto, si no es así, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.

Gana quien tenga más puntos después de 15 turnos.

a) Después de jugar algunas partidas, investiga qué fracción (o fracciones) merece la pena elegir para tener más posibilidades de ganar el juego.

b) Volver a jugar después de haber hecho la investigación. ¿Te ha ido mejor ahora?

41Cálculo del área de figuras geométricas

Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,

“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, ges-

tión 2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo

COMPONENTE: Cantidades y medidaCONTENIDO: Cálculo del área de figuras geométricas con medidas no convencionales.NIVEL: PrimarioOBJETIVO: Calcular el área de figuras geométricas usando medidas no convencionales como unidad de medida. (Cuadrados, rectángulos y triángulos), para poder encontrar áreas de nues-tra vida comunitaria.PROCEDIMIENTO: PRIMERO. Se recuerda con los estudiantes los contenidos aprendidos anteriormente, como son las características de un perímetro, cuadriláteros, cuadrados y rectángulos.SEGUNDO. Explicar cuál será el objetivo de la presente jornada o periodo.TERCERO. Se procede a realizar un juego que consiste en ganar el terreno a la otra pareja.

JUEGO EN PAREJAS

Cada integrante de la pareja lanza una vez el dado, y el que obtenga el número mayor pinta un cuadrilátero de un solo color.Se vuelve a lanzar los dados y nuevamente el que saque el número mayor pinta de un solo color un cuadrilátero contiguo al anterior pintado.Cada jugador debe pintar de un solo color todos los cuadriláteros.

El ganador es el que haya pintado mayor cantidad de cuadriláteros.

CUARTO. Se presenta en la pizarra varias figuras geométricas, pidiéndoles que estimen cual figura tendrá el área mayor y cuál el área menor en forma oral con todo el curso.QUINTO. Se presentan, las mismas figuras en hojas individuales y se pide que también calculen el área de estas figuras de forma individual, tomando como unidad de medida un casino.

42

MATERIA:............................ FECHA:........................

NOMBRE:..................................................................

¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor área?

¿Cuánto tiene más?

A B

Respuesta:.............................................................................................................................

A B

Respuesta:.............................................................................................................................

La Paz, agosto 24 de 2007

Nombre:

OBJETIVO DEL DÍA DE HOY

Calcular el área de figuras geométricas usando medidas no convencionales.

AUTOEVALUACIÓN:

( ) 1. Pude encontrar el área de las Geométricas.( ) 2. Expliqué mi procedimiento a mis Compa-

ñeros.( ) 3. Respeté la participación de mis compañe-

ros.

OBJETIVO DE LA SIGUIENTE CLASE

Conocer la unidad oficial del área (centímetro cuadrado).

COEVALUACIÓN

Mencionar tres aspectos positivos

Mencionar tres aspectos para mejorar

( ) 1. Encontró el área correctamente.( ) 2. Explicó bien el procedimiento.( ) 3. Respetó las opiniones de sus compañeros.

Mis sugerencias para mejorar

Atentamente:

Objetivo

Instrucciones

Título

Sistematización de la situación didáctica

Cuadro o gráfico de las figuras geométricas

Evaluación de la claseTema

siguiente

SEXTO: Se socializa los resultados en la pizarra

SÉPTIMO. Para verificar su los estudiantes lograron comprender el concepto de área de forma práctica se les pide que resuelvan de forma individual una hoja donde se les pide que comparen el área de dos figuras y puedan establecer la relación entre ambas.OCTAVO. También pedirles que llenes las dos fichas de evaluación de conocimientos.

43Dobleces

Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA Tsukuba

– Japón, 2009, validad en la U.E. La Merced A y en sesiones de capacita-

ción a docentes de primaria.

COMPONENTE: FigurasCONTENIDO: Triángulo regularAÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer grado de primariaOBJETIVO: Identificar y caracterizar triángulos regulares, dentro del conjunto de triángulos y reforzar el sentido de los niños/as con respecto a creación de figuras DESCRIPCIÓN: Una hoja de papel tamaño A4, carta, etc., en la que a través de dobleces se encuentra lados de un triángulo y se construye un triángulo regular.1

PROCEDIMIENTO: CONSIGNA: Utilizando una hoja de papel, vamos a construir un triángulo regular. (Mostrar y distribuir a cada estudiante)

Primero, doblemos en la mitad, a lo largo

Marcar la esquina de abajo, y luego el vértice superior

Simultáneamente trazamos, una línea per-pendicular…

con esto obtenemos tres ángulos igualesmarcar la base y el otro lado obtenido

Tomamos como base

Trazamos:

Teniendo un vértice en la esquina derecha de abajo, ésta tiene que sobreponerse a la línea punteada del medio. Hacer el doblez.

La hoja no tiene esta línea todavía, también tiene que tener ese doblez. Para ello doblar a lo largo del borde y

Hoja de papel Trazo en pizarra

1 Su construcción se aplica para la elaboración del tetraedro, ya en sexto grado.

44

Hacemos lo mismo para encontrar el otro lado:

Con este trabajo se sabe que la línea de esta base y el lado encontrado son congruentes.

Consideramos otra vez:La base es congruente con los dos lados en-contrados..

en consecuencia resulta que los tres bordes son iguales.

Hoja de papel Trazo en pizarra

45La caja proporcional

Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo,

2008, validado en la U.E. La Merced A.

COMPONENTE: Relaciones entre cantidadesCONTENIDO: ProporcionesAÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primariaOBJETIVO: Descubrir el significado de las razones y proporciones, a través de la manipulación de objetos dentro de una caja, para expresarlas matemáticamente.DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en la manipulación de objetos dentro de una caja, aumen-tando la cantidad de los mismos; pero manteniendo la proporción.PROCEDIMIENTO: En una caja colocamos, por ejemplo, tres tipos de vestimenta: 1 cartera, 3 sombreros y 2 zapatillas.

A continuación sumamos los objetos (vestimen-ta), en este caso: 6.

De estos 6 objetos, 1 es una cartera, tres son som-breros y dos son zapatillas, por tanto la propor-ción es: 1 : 3 : 2

A modo de plantear el desafío a los estudiantes, lanzamos la consigna:

Supongamos que esta vestimenta es de una sola persona, consideremos que cada una de las personas tiene la misma cantidad de carteras (1), de sombreros (3) y de zapatillas (2), deseamos aumentar el número de vestimentas adecuadamente y a la vez seguir manteniendo la misma proporción. Si queremos ahora tener 12 vestimentas; pero que se mantenga la misma propor-ción (distribución).

Al mencionar 12 vestimentas, probablemente los estudiantes razonen utilizando la palabra “doble”, ya que sabemos que en la caja tenemos 6 vestimentas y ahora queremos 12.

Pero además, indica el problema que se desea mantener la misma proporción, entonces ló-gicamente se debe doblar la cantidad de carteras, de sombreros y de zapatillas de la siguiente manera:

Entonces se establecen, junto a los estudiantes las siguientes razones o proporciones:

1Proporción entre carteras y el total de vestimentas en ambas cajas = — 8

3Proporción entre sombreros y el total de vestimentas en ambas cajas = — 8

Caja 1

Caja 2

46 2Proporción entre zapatillas y el total de vestimenta en ambas cajas = — 8

Otra manera de establecer las proporciones es:

TOTAL

1 3 2 6

1 + 3 + 2 = 6

Se ha decidido, como en el ejemplo anterior incrementar la vestimenta de manera proporcional para que alcance para dos personas ¿en cuánto debe incrementarse cada tipo de vestimenta?

1 3 2 1 3 2 — + — + — = 1 Multiplicamos esta ecuación por la cantidad requerida — 2 + — 2 — 2 = 2 6 6 6 6 6 6

2 6 4El resultado será: — + — + — = 2 Vale decir: 2 carteras, 6 sombreros y 4 zapatillas. 6 6 6

Por supuesto que esta segunda forma será más útil a la hora de realizar cálculos con cantidades más grandes. Veamos:

Tres hermanos deben aportar Bs. 580 para pagar el impuesto de su casa, decidieron hacerlo de manera proporcional al salario de cada uno. Si Pablo gana Bs. 3200, María gana Bs. 2560 y Fernando gana Bs. 1989 ¿Cuánto debe aportar cada uno de ellos?

3200 + 2560 + 1989 = 7749

3200 2560 1989 + + = 1

7749 7749 7749

3200 2560 1989 580 + 580 + 580 = 580 7749 7749 7749

239,515 + 191,612 + 148,873 = 580 Pablo María Fernando

47Múltiplos y divisores

Sistematizado por: Prof. Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de

JICA – PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, con el Programa “Me gusta

Matemática”, gestión 2009, validado en la U.E. San Miguel de El Palomar

COMPONENTE: Números Naturales.CONTENIDO: Multiplicación y división de números naturales AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de PrimariaOBJETIVO: Practicar los conceptos de múltiplo y divisor, manejar divisores comunes a dos nú-meros y realizar el Cálculo mental.

Descripción del material de Juego:

Múltiplos y divisores

Baraja formada por 51 cartas:- 48 cartas cada una de las cuales tiene un

número desde el 1 hasta el 48.

- 3 comodines, cada uno de ellos sirve para el valor que quiera su poseedor en cada ju-gada.

Reglas del juegoPor medio de esta baraja se pueden trabajar los conceptos de múltiplo y divisor de muchas maneras. Presentamos a continuación dos po-sibilidades, que llamamos Juego 1 y Juego 2, de los cuales daremos las reglas por separado:

JUEGO 1Se utilizan sólo las 48 cartas que no son comodines. Puede variar el número de jugadores, pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa.Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Puede colocar una sola carta a la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo puede colocar la carta hacia arriba o hacia debajo de la carta muestra si, respectivamente, es múl-tiplo o divisor de la misma.Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una carta del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con cualquiera de las dos cartas que haya en los extremos horizontales de la cadena que se vaya formando.El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el que menos cartas tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.Si la carta muestra que aparece es un número primo, las dificultades de colocar cartas son mayores. En ese caso, además de las posibilidades descritas, se pueden colocar debajo de

48la carta muestra, y tapadas por ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla puede no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de juga-dores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos).

JUEGO 2Se utilizan todas las cartas, incluidos los comodines. Puede variar el número de jugadores, pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.Un jugador por turno, reparte cinco cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa, con la primera levantada sobre la mesa.El objetivo del juego es lograr agrupar las cinco cartas, bien en un grupo de cinco o en uno de tres y otro de dos; en ambos casos con la condición de que cada uno de los grupos tenga algún divisor común con la carta muestra.Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte. Si no tiene todas las car-tas agrupadas, puede elegir entre coger la carta colocada boca arriba o robar la primera del montón; después tira boca arriba sobre la mesa una de las seis. A partir de ese momento, cada jugador tiene la posibilidad de elegir la carta que tira el jugador anterior a él o de robar una carta del montón.El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas las cartas agrupadas o cuando se acabe el montón. En el primer caso, el jugador que ha agrupado todas recibe 10 puntos; los demás 4, 3, 2 ó 0 puntos, según el número de cartas agrupadas. Si se ha acabado el montón, se puntúa sólo las cartas agrupadas (4, 3, 2 ó 0 puntos).Las partidas se realizan a un número prefijado de puntos o de partidas.

Si la carta muestra es un número primo, y puesto que las dificultades son mayores, se añade como posibilidad para agrupar el que todas las cartas sean números primos, o bien un grupo de dos o tres primos y el resto múltiplos del primo que ha aparecido. (Esta regla puede no ex-plicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos).

Posibles variantesHay muchas posibilidades de realizar juegos con las cartas de esta baraja (o parte de la misma) para trabajar los conceptos de múltiplo y divisor. Una posible variante que permite tratar los restos potenciales es la siguiente:

Se juega con la misma dinámica del Juego 1, pero para colocar cartas a derecha o izquierda hay que cumplir la condición de que la suma de los números de las cartas sea múltiplo de un número prefijado de antemano para cada partida (y que se podría limitar a que estuvie-ra comprendido entre 2 y 10). Gana el que acaba sus cartas o el que tiene menos cartas al acabarse el montón. Es conveniente, tras jugar algunas partidas con el mismo número (o variándolos), discutir entre todos cuáles son las cartas que se quedan en la mano.

49

20 X 23 = 46023 X 20 = 460

Multiplicación con tarjetas numéricas

Sistematizado por el: Prof. Oscar Quintana, ex – becario PROMECA –

JICA, Tegucigalpa, Honduras. Proyecto Regional “¡Me gusta matemáti-

ca!”, gestión 2008.

COMPONENTE: Números NaturalesCONTENIDO: Operación aritmética de la multiplicaciónAÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto de primariaOBJETIVO: Conocer la manera de encontrar el resultado de la multiplicación D00 y C00 (dece-nas y centenas con ceros)DESCRIPCIÓN: (M) tarjetas numéricas: 60 de 1, 40 de 10 (N) las mismas que M. recurso; tabla de multiplicarPROCEDIMIENTO: Plantear un ejercicio (decena con ceros por otro cualquiera) como el si-guiente: 20 x 23 = 460

UVE de Gowin2

PENSAR PREGUNTAR HACER¿Qué es multiplicar?

Multiplicar es encontrar el D0 x DU = CD0producto de dos números 20 x 23 = 460 llamados Multiplicando y 20 Multiplicadormultiplicando. Suma abreviada x 23 multiplicandode un mismo Número 60 suma abreviada de 3 40 suma abreviada de 2 460 Producto

TÍTULO: Multiplicar

El principio del cálculo vertical de DU X DU es de su composición en dos partes; es decir DU X DO y DU X U y luego se suman los dos productos (ejemplo 13 X 21 = 13 X 20 + 13 X 1 = 260 + 13 = 273). Por lo tanto, antes de tratar el tipo general del cálculo vertical de la multiplicación por DU X CDU, hay que enseñar los casos con DO y COO.

Manera de explicar porqué se agrega 0 si se multiplica por 10

Si se multiplica por 10, se agrega 0 (ejemplo: 3 X 10 = 30), para que este proceso no sea mecáni-co, es necesario aclarar el mecanismo. Por ej. 3 X 10 quiere decir: 10 grupos de 3 objetos.

Como 100 = 10 X 10, utilizando la propiedad asociativa tenemos, por ejemplo.

3 X 100 = 3 X (10 X 10) = (3 X 10) X 10 = 30 X 10 = 300

Problema: Si los 20 estudiantes del curso, vamos de excursiones, y cada uno debe pagar Bs. 23 por los pasajes, ¿Cuántos Bs. (Bolivianos) se pagarán por los 20 estudiantes?

PLANTEAMIENTO: En el planteamiento, explicamos y conceptualizamos cinco aspectos con-siderados para el análisis sistemático de la información (problema matemático).

Datos Gráficos Fórmula Operación Respuesta

20 pasajes = x Bs.Cada pasaje = 23 Bs.

20 estudiantes20 x 23DO X DU

20 X 23

60 40 460

Pagamos 460Bs. por los 20 pasajes

2 RAMOS LEANDRO, Anibal, “Instrumentos Esquemáticos de Aprendizaje”, 2002 Editorial El Cerebro Jr. Azangaro N° 712 – Lima Perú

50DATOS: Luego de la lectura comprensiva del problema a resolver se escriben los datos numéri-cos y nominales, también la incógnita.GRÁFICO: Es necesario graficar para focalizar la idea.FÓRMULA: Debemos comprender y escribir la relación de operación de los dato en forma sim-bólica y concreta.OPERACIÓN: Realizar la operación de multiplicación, luego escribir la respuesta.TARJETAS NUMÉRICAS3

Colocamos sobre el pizarrón dos filas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.Ordenamos, diez columnas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.Luego observamos y analizando las tarjetas numeradas efectuamos la multiplicación horizon-tal de cada grupo de tarjetas numeradas y los escribimos debajo de las tarjetas.Hacemos la multiplicación asociativa.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 110 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

23 x 2=46

2323 x 20 = (23 x 2) x 10 = 460

PRÁCTICA ESTRUCTURADA DE LA TABLA DE MULTIPLICAR 20 X 23En la tabla de multiplicar, observamos que son diferentes los resultados o productos del 20 y de 23. En la Tabla del 20, los productos aumentan de 20 en 20 desde el multiplicando 1 hasta el 23 y en la tabla del 23, observamos que los productos aumentan el doble de DU, desde el multipli-cando 1 hasta el 20.

TABLA DEL 20 TABLA DE 23

20 x 1 = 20

20 x 2 = 40

20 x 3 = 60

20 x 4 = 80

20 x 5 = 100

20 x 6 = 120

20 x 7 = 140

20 x 8 = 160

20 x 9 = 180

20 x 10 = 200

20 x 11 = 220

20 x 12 = 240

20 x 13 = 260

20 x 14 = 280

20 x 15 = 300

20 x 16 = 320

20 x 17 = 340

20 x 18 = 360

20 x 19 = 380

20 x 20 = 400

20 x 21 = 420

20 x 22 = 440

20 x 23 = 460

23 x 1 = 23

23 x 2 = 46

23 x 3 = 69

23 x 4 = 92

23 x 5 = 115

23 x 6 = 138

23 x 7 = 151

23 x 8 = 184

23 x 9 = 207

23 x 10 = 230

23 x 11 = 253

23 x 12 = 276

23 x 13 = 299

23 x 14 = 322

23 x 15 = 345

23 x 16 = 368

23 x 17 = 391

23 x 18 = 414

23 x 19 = 437

23 x 20 = 460

3 PROMETAM FASE II, Segunda Edición 2006 “Guía para maestros – Matemática 4to grado pag. 33. Secretaría de Educación – República de Honduras Universidad Pedagógica Francisco Morazán JICA – Agencia de Cooperación Internacional de Japón.

51Referencias bibliográficas

Isoda, M., Arcavi, A. & Mena Lorca, A. [Eds.] (2007). “El Estudio de Clases Japonés en Matemáti-cas”. Su importancia para el mejoramiento de los aprendizajes en el escenario global. Santiago de Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso.

PROMETAM Fase II, (2006), Guía para maestros - Matemática, Honduras, 2da. Edición, Secreta-ría de Educación – República de Honduras, Universidad Pedagógica Francisco Morazán & JICA – Agencia de Cooperación Internacional de Japón.

Ramos Leandro, A. (2002). “Instrumentos Esquemáticos de Aprendizaje”. Lima, Perú: Editorial El Cerebro.

Suzuki, F. (2008). Conferencia “Figuras y relaciones cuantitativas”, Sapporo, Japón.

Takao, S. (2009). Conferencia “Relaciones y números”, Escuela Anexa a la Universidad de Tsuku-ba – Japón.

Tsubota, K. (2009). Conferencia “Elaboración de materiales didácticos”. Escuela Anexa a la Uni-versidad de Tsukuba – Japón.

Yamamoto Baldín, Y. (2009). Seminario taller “Estrategias de enseñanza de la matemática”. Santiago de Huata, La Paz – Bolivia

Yasuhiro Hosomizu (2009). Video de clase “Nuevas Formas de Cálculo”. Escuela Anexa a la Uni-versidad de Tsukuba – Japón.

52 Índice

Prólogo ............................................................................................................................................. 3 Presentación ............................................................................................................................... 4 Introducción ............................................................................................................................... 5 Agradecimientos ................................................................................................................... 6 División temática de los contenidos matemáticos en primaria (Japón) ................................................................................................................... 7 Estructuración de las clases ...................................................................................... 8 Cómo explican y estructuran su clase los maestros/as japoneses ....................................................................................................................................... 9 ¿Cuántos bloques hay? ................................................................................................. 10 ¡Cómo aprender la multiplicación! ................................................................ 11 Multiplicaciones divertidas ...................................................................................... 13 La construcción del pensamiento multiplicativo ........................... 15 Regularidades ........................................................................................................................... 16 Relación entre números ............................................................................................... 19 Problemas de longitud y espacialidad ........................................................ 22 Misterios del cálculo de la multiplicación .............................................. 23 Introducción al estudio de la estadística en nivel primario 25 Fracciones equivalentes ................................................................................................ 28 Explorando el desarrollo de un prisma...................................................... 29 El tetraedro .................................................................................................................................. 31 Cálculos interesantes de sustracción ............................................................. 33 Patrones en la multiplicación ............................................................................... 35 Arreglo de puntos ................................................................................................................ 37 Aumentando el multiplicador .............................................................................. 39 Dados y fracciones equivalentes ........................................................................ 40 Cálculo del área de figuras geométricas ................................................... 41 Dobleces .......................................................................................................................................... 43 La caja proporcional ........................................................................................................ 45 Múltiplos y divisores ......................................................................................................... 47 Multiplicación con tarjetas numéricas ....................................................... 49 Referencias bibliográficas .......................................................................................... 51