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ACADEMIA ADOS

TEMA 1LOS NÚMEROS NATURALESSISTEMAS DE NUMERACIÓN

1. INTRODUCCIÓN.

2. DEFINICIÓN Y AXIOMAS DE PEANO.

3. OPERACIONES EN N.

4.

ORDEN EN N.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

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TEMA 1. LOS NÚMEROS NATURALES 2

1. INTRODUCCION.

El concepto de número natural vino a desarrollarse a lo largo de un extenso

período de tiempo, que se supone comprendido entre el 25000 y el 6000 antes de

Cristo.

No entraremos aora en si !ue primero el número o el lengua"e, puesto que lo

m#s l$gico es que los dos conceptos est%n íntimamente relacionados. El porqu% de

tanto tiempo para desarrollar un concepto que aora nos parece tan elemental, est#

precisamente en esto. Nos parece elemental porque estamos !amiliari&ados con %l

desde la primera in!ancia' sin em(argo, entender que es un número conlleva di!íciles

procesos de a(stracci$n que tardaron muco en llevarse a ca(o.

En un principio, simplemente comen&aría a distinguirse entre di!erentes

cantidades de una misma cosa, es decir, tiene sentido sa(er si ay ) leones o 2, pero

no tendría sentido comparar ) #r(oles con tres leones. *on o("etos sin nada en común.

*olo muco m#s adelante se vería la propiedad intrínseca que tienen en común )

#r(oles y ) leones, o sea, el número ).

+a utilidad inmediata de los números consiste en contar y comparar, y muco

m#s adelante acer operaciones con ellos, y so(re todo, medir. En e!ecto, según que

cosa se mida, se toma una unidad u otra de medida, la que resulte m#s c$moda. Con

todo esto surgi$ la necesidad de la representaci$n de los números, y su organi&aci$n

en distintos sistemas de numeraci$n.

*egún en torno a que cantidad gira el sistema de representaci$n, tenemos

distintas (ases de numeraci$n. +as u(o de todos tipos, pero los sistemas m#s

!recuentes !ueron los de (ases 0, 5, ), 2, 20, y el extraordinario sistema (a(il$nico de

(ase 60. En este tema desarrollaremos la idea de número natural y (ases de

numeraci$n desde un punto de vista !ormal y a(stracto, (asado en la axiom#tica de

-eano.

2. DEFINICIÓN Y AXIOMAS DE PEANO

iuseppe -eano estudi$ el con"unto de los números Naturales para captar su

esencia (#sica y de!inirlo de manera axiom#tica, dado que la construcci$n con"untista

presenta ciertas di!icultades y contradicciones que %l pretendía evitar. +leg$ a la idea

siguiente/

*uponemos que existe un elemento de N llamado uno, y denotado por 1, y

una relaci$n primitiva sg1 llamada siguiente de . Consideramos entonces como

ciertos los AXIOMAS:

I. no es un Número Natural 3∈N4

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II. cada Número Natural corresponde un Número Natural siguiente a %l

unívocamente determinado 3 si x∈N ⇒ sg3x4 ∈N 4.

III. El uno no es el siguiente de ningún otro Número Natural 3-ara todo x ∈N,

sg3x4≠4.

IV. e la igualdad sg3x4 7 sg3y4 se deduce x 7 y.

V. Axio! "# i$"%&&i'$ &o()#*!: *i de un con"unto C de Números Naturalesse sa(e que cumple las dos condiciones/

84 ∈ C

284 *i x∈C ⇒ sg3x4 ∈C.

Entonces todos los Números Naturales pertenecen al con"unto C y en

consecuencia C 7N

NOTA.

En la axiom#tica de -eano se considera el uno como el primer Número Natural,

pero podríamos considerar el cero, 0, de !orma que sg304 7 , siendo %ste el primer

Número Natural y tomar N 7{0, , 2, ),...} y esta(lecer unos axiomas an#logos

tomando 0 ∈ N. *er# así en adelante, salvo cuando tomemos N9{0}.

e los xiomas de -eano se deducen de !orma inmediata los siguientes

RESULTADOS:

. ∀x, y ∈ N' x ≠ y ⇒ sg3x4 ≠ sg3y4

2.∀ x∈ N x ≠ sg3x4

).∀ x∈ N x ≠ 0 ⇒ ∃ y∈ N' x 7 sg3y4

3. OPERACIONES EN N.

3.1 SUMA O ADICIÓN.

e!inimos la dici$n de Números Naturales como una operaci$n

interna dada por/

: / N x N → N

3x , y4 → x : y

tal que i4 x : 0 7 x

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ii4 x: sg3y4 7 sg 3x : y4 ∀ x, y ∈ N

;#cilmente se demuestra por inducci$n que es una operaci$n interna i.e.

∀x, y ∈ N ⇒ x : y ∈ N. En e!ecto/

*ea x ∈ N. -or ip$tesis, x : 0 7 x ∈N.

*ea & < x : & ∈ N. Entonces x : sg3&4 7 sg3x : &4 ∈ N porque x : & ∈ N

*i Cx 7 =& ∈ N < x : & ∈ N >, tenemos que, aplicando el axioma de inducci$n,

Cx 7 N ∀ x ∈ N x : y ∈ N ∀ x, y ∈ N.

NOTA.

Como x:07x, tenemos que sg3x47sg3x:047x:sg304, según la condici$n ii4 de la

de!inici$n de suma. -or tanto, si llamamos 7sg304 tenemos que, sg3x4 7 x:. e esta

manera/

7 0 :

2 7 :

) 7 2 :

? 7 ) : etc.

PROPIEDADES.

*e demuestra !#cilmente por inducci$n, siguiendo la misma t%cnica que en la

demostraci$n anterior, que esta operaci$n interna cumple las propiedades/

i4 sociativa/ ∀ x, y, & ∈ N ⇒ 3x : y4 : & 7 x : 3y : &4

ii4 El elemento neutro viene dado por 0/ x : 0 7 0 : x 7 x ∀ x ∈ N

iii4 Conmutativa/ ∀ x, y ∈ N ⇒ x : y 7 y : x

Con ello tenemos que 3N, : 4 es un semigrupo conmutativo con elemento

neutro llamado *emigrupo ditivo de los Números Naturales.

3.2. PRODUCTO.

e!inimos el P+o"%&*o "# N,#+o- N!*%+!)#- como una operaci$n interna

dada por/

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. / N x N → N

3x , y 4 → x . y

tal que i4 x @ 0 7 0

ii4 x @ sg3y4 7 x@y : x

*e demuestra por inducci$n que es una operaci$n interna i.e. ∀ x, y ∈ N ,

x @ y ∈ N. Ae#moslo/

*ea x ∈ N. *ea Cx 7 =& ∈ N < x.& ∈ N>.

Entonces, x.0 ∈ N 0 ∈ Cx.

*i & ∈ Cx, signi!ica que x.& ∈ N x.& : x ∈ N por ser la suma ley interna.

-or tanto, x.sg3&4 ∈ N, luego sg3&4 ∈ Cx. -or el axioma de inducci$n, Cx 7 N.

CONSECUENCIA.

Como consecuencia de la de!inici$n, tenemos que/ x @ 7 x ∀ x ∈ N

pues x @ 7 x @ sg304 7 x @ 0 : x 7 0 : x 7 x.

PROPIEDADES.

;#cilmente demostra(les por inducci$n tenemos/

i4 istri(utiva de @ respecto de : 3por la dereca4/

∀ x, y, & ∈ N, 3x : y4 @ & 7 x @ & : y @ &

ii4 Elemento a(sor(ente en 3 N, @ 4

∀ x ∈ N, x @ 0 7 0 @ x 7 0

iii4 Elemento neutro en 3N, @4

∀ x ∈ N se tiene que @ x 7 x @ 7 x

iv4 Conmutativa/

∀ x, y ∈ N, x @ y 7 y @ x

Como consecuencia de esta propiedad tam(i%n se cumple la distri(utiva por lai&quierda.

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v4 sociativa.

∀ x, y, & ∈ N , 3x @ y4 @ & 7 x @ 3y @ &4

Con esto tenemos que 3N, :, @4 es un semianillo conmutativo unitario.

4. ORDEN EN N.

DEFINICIÓN.

ados x, y ∈ N se dice que x es menor que y , y se denota x

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Aeamos que dados x, y ∈ N ⇒ x 7 y $ x

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5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

El concepto de *istema de Numeraci$n se utili&a en principio para designar el

con"unto de signos utili&ados para representar los números naturales, y las reglas que

rigen esta representaci$n. tendiendo a estas, los sistemas se dividen en dos grandes

(loques/

• -osicionales, si el valor de los signos, llamados ci!ras, depende de la posici$n que

ocupen dentro de la escritura del número. El e"emplo m#s evidente de sistema

posicional es el nuestro, ya que el valor de cada ci!ra varía según la posici$n que

ocupe. Como e"emplo, valga ver que 2) y )2 son dos números di!erentes, de(ido a

que en el primero tenemos 2 centenas y tres unidades y en el otro es al rev%s.

• No posicionales, si el valor de las ci!ras no depende de la posici$n. En esta

categoría entran casi todos los sistemas primitivos, que adem#s solían ser aditivos,

o sea, que el valor del número se calcula sumando simplemente las ci!ras.

-ese a esta clasi!icaci$n elemental, cada sistema tenía sus particularidades, y lo

normal es que no aca(aran de cuadrar totalmente en ninguna categoría. dem#s, la

invenci$n del cero !ue tardía, con lo que los sistemas posicionales antiguos tenían la

di!icultad aDadida de distinguir, por e"emplo, entre )5 y )005, cosa que se acía con

una menci$n expresa a la ausencia de unidades de un determinado orden.

+a otra cuesti$n !undamental es que el número de ci!ras a de ser !inito,

naturalmente, por lo que todos los sistemas tienden a organi&arse en torno a un

número concreto al que se llama (ase del sistema. En un principio u(o sistemas denumeraci$n con las m#s diversas (ases/ dos, cinco, die&, veinte, y los menos corrientes

de (ase tres y (ase sesenta' casi todos ellos de(idos a la evidencia de las partes del

cuerpo. la larga aca(aron imponi%ndose los sistemas de (ase decimal, y despu%s los

posicionales con el número cero aDadido, culminando en el sistema indú acia el siglo

A, que se di!undi$ totalmente por Europa durante el Fenacimiento. +as tres

características (#sicas de este sistema de numeraci$n son las que siguen/

• iene die& ci!ras distintas que representan los die& primeros números naturales, o

las die& unidades distintas de un orden concreto. 3nidades, decenas, centenas...4,

o sea, la (ase es 0. Esta característica es eredada del sistema al!a(%tico griego,que no tenía cero ni era posicional.

• ncluye el cero entre sus ci!ras, número inventado en Cina, donde, sin em(argo,

no tenían una ci!ra distinta para cada unidad.

• Es posicional, característica del sistema (a(il$nico de (ase 60. Este sistema carecía

de cero y cada ci!ra era un pequeDo con"unto de sím(olos 3En otro caso de(ería

a(er tenido 60 ci!ras4, pero demostr$ su valide& permaneciendo en uso para los

c#lculos complicados asta el siglo GA, y utilindose aún para la medida del

tiempo y los #ngulos.

+a idea de unir las tres características se produ"o en la ndia, como ya emosmencionado, y llegados a este punto, supondremos a partir de aora que vamos a

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tratar siempre de sistemas de numeraci$n posicionales con cero, de (ase a, y con a

ci!ras distintas, o sea, seme"antes en todo al nuestro, excepto en la (ase.

DEFINICIÓN.

n *istema de Numeraci$n viene dado por la elecci$n ar(itraria de una (ase de

numeraci$n y por ciertas reglas de posici$n. Esta (ase es igual al número de sím(olos,

llamados ci!ras, que se utili&ar#n para representar los números. +a (ase a elegida de(e

ser un número natural superior a ' una ve& !i"ada la (ase, es necesario elegir a signos

di!erentes y a nom(res di!erentes para representar y nom(rar los a primeros números

in!eriores a a.

NOTA.

En el caso de que a 7 0, se trata del sistema de numeraci$n decimal, cuyoorigen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. En el caso de que a 7

2, se trata del sistema de numeraci$n (inario, sistema utili&ado actualmente por

ra&ones tecnol$gicas en los ordenadores, y en la antigHedad pro(a(lemente (asado en

la simetría (inaria del cuerpo umano. En el caso de que a 7 60, se trata del sistema

sexagesimal, utili&ado especialmente para las medidas de tiempo y de #ngulos, residuo

eredado del antiguo sistema mesopot#mico.

+a representaci$n escrita de los Números Naturales se !undamenta en el eco

de que todo número natural se puede expresar de !orma única como com(inaci$n

lineal de potencias de la (ase elegida, siendo los coe!icientes de la com(inaci$nnúmeros naturales estrictamente in!eriores a la (ase 3pudiendo ser nulos4/

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN.

*i n ∈ N, n > entonces todo m ∈ N se puede expresar de !orma única como/

m 7 r0 n0 : r n

: r2 n

2 : @@@ : rI n

I con ri ∈ N , ri

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*i m7p0:pn:p2n2:...:psn

s7p0:n.3p:p2n:...:psn

s94, tenemos que

necesariamente p07r0 y c7 p:p2n:...:psns9

por las propiedades de la divisi$n

euclídea.

-rocediendo sucesivamente, llegaremos a que las dos expresiones de m en la(ase n son id%nticas.

CONSECUENCIA: PRINCIPIO DEL VALOR AADIDO.

Como consecuencia del teorema anterior, al ser la expresi$n única, para

escri(ir m en (ase n procederemos así/ m 7 rI rI9...,r2 rro n 4

EEMPLO: Calculamos la expresi$n de )0K en (ase ) y de K en (ase 6.

)0K en (ase ) )0K )

02 )

0 )? )

)

2 ) )

0

)0K 7 @)0

: 0@) : 2@)

2: @)

) : 0@)

? : @)

5 7 020) 4

K en (ase 6 K 6

K 76 4

PROPIEDADES DE LA NUMERACIÓN.

1. Si 6 +7 +781...+1 +9 $ ⇒⇒⇒⇒ $( 6 +7 +78 1... +1 +9 9...

( 9 Co$ ; $; (; ∈∈∈∈ N.

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2. #$ !-# $ *i#$# 7 @ 1 &i/+!- -i i $7 ≤≤≤≤

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*ea la expresi$n de m en (ase n/ m 7 rI nI : ... :rn : r0 . -ara expresarlo en

(ase 0, (asta sustituir n y todas las ci!ras por su valor en (ase 0 y operar.

EEMPLO:

22)4 7 2@ )2

: 2@ ) : @ )

0 7 L : 6 : 7 2504

C!-o 2: D# !-# 19 ! !-# $ .

Masta aplicar el eorema ;undamental de la Numeraci$n/

EEMPLO:

-asar ??04 a (ase 5/

?? 5

? 2 ??04 7 2ε54

C!-o 3: D# !-# $ ! !-# $1.

El procedimiento consiste en pasar el número de (ase n a (ase 0, y luego de

(ase 0 a (ase n, aplicando sucesivamente los dos procedimientos anteriores, a no

ser que se quiera aplicar directamente el teorema !undamental de la numeraci$n

expresando todos los números y operaciones en (ase n

.

EEMPLO:

-asar 2)54 a (ase 6/

2

5) 10)

5) 16)

10) 16)

123 1.5 2.5 3 38

123 26

38 26

= + + = ⇒ =

=

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