Tema 05 conteo de figuras

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA “PIERRE FERMAT”

La mejor en Cajabamba

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Sirviendo al pueblo de todo corazón Prof. HUAMÁN DE LA CRUZ, Rafael.

Jr. Carlos Heros Nº 515 Cel. 976738468

Cajabamba

1

CONTEO DE FIGURAS

Mecanismo que consiste en determinar la máxima cantidad de

figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura

dada.

MÉTODOS DE CONTEO.-

Conteo Directo: (Método de Schöenk)

Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras

simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado,

de figuras de 1 número; al unir 2 números, al unir 3 números,... etc.

Así, por ejemplo, ¿cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Resolución:

• De 1 número : ninguno

• De 2 números : 12; 13; 14; 15; 16 = 5

• De 4 números : 1245; 1356; 1426;

1523; 1634 = 5

Total de cuadriláteros:

Conteo Mediante Inducción:

Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras

análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente,

para luego poder generalizar (encontrar la fórmula).

Así por ejemplo:

1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Resolución:

Figura será Número de triángulos

1

3

6

Ley de Formación:

1 (para 1 espacio)

1 + 2 (para 2 espacios)

1 + 2 + 3 (para 3 espacios)

Para “n” espacios:

Número de triángulos:

Este método nos sirve para contar también “segmentos”;

“cuadriláteros”; “ángulos agudos”; “sectores circulares”;

“hexágonos”; “trapecios”; ... etc.

2. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Resolución:

como hay 9 espacios:

3. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

Resolución: como hay 20 espacios:

4. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?

Resolución: como hay 50 espacios:

5. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura?

Resolución: como hay “n” espacios:

6. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura?

Resolución:

• Contando encontramos 6 espacios.

Luego:

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

CONTEO DE FIGURAS

3

2

6

54

1

5 + 5 = 102 números 3 números

1 2 3 12. . . . . . . . .

1

1 2

1 2 3

n (n + 1)1 + 2 + 3 + ...... + n =

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 · 10número de segmentos = = 452

1 2 3 ... 18 19 20

20 · 21número de cuadriláteros = = 2102

1

23

50

50 · 51número de ángulos agudos = = 12752

1 23

n

n (n + 1)número de sectores circulares =

2

12

34

56

6 · 7número de hexágonos = = 212






Cajabamba

2

Resolución:

Analizando casos particulares nos daremos cuenta que cumple

con la fórmula:


Resolución:

Contando directamente, encontraremos 18, pero el método más

rápido sería:

Número de cuadriláteros : 3 · 6 = 18

En general:


Resolución:

Número de cuadriláteros = 10 · 15 = 150

Resolución:

Por el método práctico:

Rama de la matemática que estudia ciertas propiedades de las

figuras geométricas. El término fue usado por primera vez en 1930

por el matemático Solomón Lefschetz. Generalmente ha sido

clasificada dentro de la geometría, se le llama a menudo Geometría

de la cinta elástica, de la lámina elástica o del espacio elástico, pues

se preocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del

espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira

o deforma de alguna manera. Las dos únicas excepciones son que el

espacio no se puede romper creando una discontinuidad y que dos

puntos distintos no se pueden hacer coincidir. La geometría se

ocupa de propiedades como la posición o distancia absoluta y de las

rectas paralelas, mientras que la topología sólo se ocupa de

propiedades como la posición relativa y la forma general.

Por ejemplo, una circunferencia divide al plano que la contiene

en dos regiones, una interior y otra exterior a la circunferencia. Un

punto exterior no se puede conectar a uno interior con una

trayectoria continua en el plano sin cortar a la circunferencia. Si se

deforma el plano, este deja de ser una superficie plana o lisa y la

circunferencia se convierte en una curva arrugada, sin embargo,

mantiene la propiedad de dividir a la superficie en una región

interior y otra exterior. Es evidente que la rectitud y las medidas

lineales y angulares son algunas de las propiedades que no se

mantienen si el plano se distorsiona.

Hay dos clases de Topología bien diferenciadas:

TOPOLOGÍA PRIMITIVA:

Un ejemplo de Topología primitiva es el problema de los

puentes de Königsberg.

* Los puentes de Königsberg.-

Los habitantes de la ciudad de Königsberg se preguntaban todos

los domingos cuando iban a misa si: ¿Es posible cruzar los siete

1

2

3

4

5

6

n (n 1)

2

6 · 7 número de triángulos = = 212

3

6

×

232

243

1

2

2 3

n

…

3

2

1 . . .2 3 m

horizontal vertical

Número de n(n 1) m(m 1) ·

Cuadriláteros 2 2

n

2

1

. . . . .

. . . . . 1 2 m1

2

P

. . .

. .

Número de n (n 1) m (m 1) p (p 1) · ·

Paralelepípedos 2 2 2

4 3 2 1

2

3

4

5

10

× 15

4 · 5

2

5 · 6

2

1 2 3 4

2

3

4

5

1

2

310 . ¿Cuántos

paralelepípedos

hay en la

figura?

Número de 5 · 6 4 · 5 3 · 4 · · 900

Paralelepípedos 2 2 2

TOPOLOGÍA






Cajabamba

3

puentes sobre el río Pregel, que conectan las dos islas y las

orillas, sin cruzar dos veces el mismo puente?

El matemático suizo Leonard Euler demostró que este

problema es equivalente al siguiente: ¿Es posible dibujar el

gráfico siguiente sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos

veces por la misma línea?

Euler demostró de forma general que para cualquier dibujo

lineal, como el de la figura anterior, se puede dibujar una línea

continua sin repetir ningún trazo si y sólo si el gráfico no tiene

ningún vértice impar o tiene exactamente dos vértices impares.

TOPOLOGÍA ACTUAL:

La Topología es un campo muy activo de las matemáticas

modernas. Un problema famoso de la topología, que sólo ha sido

resuelto recientemente, es el determinar el número mínimo de

colores distintos necesarios para colorear un mapa corriente de

manera que no existan dos regiones limítrofes con el mismo color.

En 1976, Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron, usando

un ordenador, que es suficiente con cuatro colores, sin depender del

tamaño o del número de regiones.

La teoría de nudos es una rama de la topología que tiene todavía

muchos problemas por resolver. Un nudo se puede considerar como

una curva cerrada sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer,

alargar o deformar de cualquier forma en un espacio tridimensional,

aunque no se puede romper. Dos nudos son equivalentes si se

puede deformar uno de ellos para dar el otro, si esto no es posible,

los nudos son distintos. Todavía no se ha podido encontrar un

conjunto completo de características suficiente para distinguir los

distintos tipos de nudos.

Dos figuras geométricas, o conjuntos de puntos, son isomórficas

si existe una correspondencia de punto a punto entre ellas que es

continua en ambas direcciones. El problema fundamental de la

topología, aún por resolver, excepto en algunos casos particulares,

es encontrar un conjunto de características suficiente para identificar

figuras isomórficas, es decir, un conjunto de características que

permita determinar si dos figuras geométricas dadas, o conjuntos de

puntos, son isomórficas.

TRAYECTORIAS (CAMINOS) Y CIRCUITOS DE EULER

En esta sección, se analizará una clase amplia de problemas en

los cuales se utiliza la teoría de gráficas. En el primer tipo de

problema, la tarea es recorrer una trayectoria utilizando cada arista

de la gráfica sólo una vez. Puede ser necesario o no comenzar y

terminar en el mismo vértice. Un ejemplo sencillo de esto es el

problema común de trazar una figura geométrica sin levantar el

lápiz del papel.

Una trayectoria en una gráfica G es una trayectoria de Euler si

incluye a cada una de las aristas sólo una vez. Un circuito de Euler

es una trayectoria de Euler que es a la vez un circuito.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Un circuito de Euler en la gráfica siguiente es:

= 5, 3, 2, 1, 3, 4, 5

Teorema 1.-

a) Si una gráfica G tiene un vértice de grado impar, entonces no

puede existir un circuito de Euler en G.

b) Si G es una gráfica conexa y todos los vértices tienen grado par,

entonces existe un circuito de Euler en G.

Ejemplo:

Teorema 2.-

a) Si una gráfica tiene más de dos vértices de grado entonces no

puede existir una trayectoria de Euler en G. Ejemplo:

b) Si G es conexa y tiene exactamente dos vértices tienen de grado

impar, entonces existe una trayectoria de Euler en G. Cualquier

trayectoria de Euler debe comenzar en un vértice de grado

impar y terminar en el otro.

Ejemplo:

TEOREMA DEL RECORRIDO MÍNIMO.-

Si una gráfica no admite un camino Euleriano (tiene más de 2

puntos impares) Entonces al recorrerla el número mínimo de lados

que se repiten está dado por la fórmula:

Ejemplo: En la figura:

E

A

CB

D

Una trayectoria de Euler

en la figura que se muestra a

continuación es:

p = E, D, B, A, C, D

1

2

5

4

3

P

PP P

PP PP

P

I I

I I

P

PP I

I

P

PP

# mínimo de L 2

lados repetidos 2






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4

como tiene 10 vértices de grado impar, para recorrerla de un solo

trazo deberemos repetir: lados como mínimo.

COLORACIÓN DE MAPAS

(Número Cromático)

Es el menor número de colores necesarios para colorear

cualquier mapa con la condición de que 2 países fronterizos estén

pintados de colores diferentes. Ejemplo:

A) A B) B C) C

D) A y B E) B y C

A) 200 B) 220 C) 210

D) 310 E) 400

3. En la siguiente figura:

A) 10-19 B) 11-19 C) 11-18

D) 11-20 E) 10-16

A) 30 B) 32 C) 36 D) 52 E) 42

7. ¿Cuántos semicírculos hay en total?

8. Halle el número total de cuadriláteros.

9. Calcule el total de triángulos:

A) 1000 B) 1505 C) 1200

D) 1100 E) 1450

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. ¿Cuántos cuadriláteros convexos hay en la siguiente figura?

A) n + 1 B) n C) n2

D) n2 + 1 E) n + 3

12. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?

I

II

I

I

I

I

I

I

I

PP

10 24

2

1

2

2

3 3 1

2

3 4

A

B C

1 . Una persona debe recorrer

todas y cada una de las ave-

nidas interiores de una sola

intención sin recorrer dos

veces una misma avenida.

¿Por cuál de las 3 puertas (A,

B y C) debe salir a l finalizar?

20

20

19

19

4

4

3

3

2

2

1

12 . En el siguiente gráfico,

¿cuántos cuadrados tie-

nen trazada la diagonal?

a. ¿Cuántos triángulos

poseen en su interior

un solo asterisco?

b. ¿Cuántos triángulos

poseen en su interior

al menos un asteris-

co?

4 . ¿Cuántos triángulos se

cuentan como máximo?

A) 70 B) 80

C) 95 D) 90

E) 75

5 . ¿Cuántos triángulos se pue-

den contar en la siguiente

figura?

A) 100 B) 55 C) 110

D) 120 E) 105

6 . ¿Cuántos rombos

se cuentan en la

siguiente figura?

A) 50 B) 46

C) 48 D) 52

E) 42

123417181920 . . .

. . .

A) 320

B) 321

C) 323

D) 328

E) 300

100 cuadrados

. . .

. . .

. . .

. . .

1 0 . La figura muestra 7 segmentos

paralelos. ¿Cuál es el menor

número de segmentos adicio-

nales que se deben trazar para

contar un total de 132 seg-

mentos?

11 2

23

n

n

3

. . .

. . .






Cajabamba

5

13. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo

sólido en cada caso?

A) 16 - 21 B) 17 - 20

C) 27 - 21 D) 25 - 22

E) 15 - 21

14. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para completar un cubo

sólido en cada caso?

A) 16 - 21 B) 17 - 20

C) 27 - 21 D) 25 - 22

E) 15 - 21

15. Un ladrillo cuyas dimensiones son 4 cm, 6 cm y 8 cm se divide

en cubitos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubos se contarán en

total? Además, si pintamos dicho ladrillo de blanco, ¿cuántos

cubitos tendrán una cara pintada, 2 caras pintadas, 3 caras

pintadas y cuántos ninguna cara pintada?

A) 360; 88; 48; 8; 48

B) 360; 98; 50; 8; 48

C) 330; 88; 50; 8; 47

D) 350; 88; 50; 8; 46

E) 360; 78; 50; 8; 45

1. Diga Ud. cuántos triángulos existen en la siguiente figura?

A) 400 B) 449 C) 498

D) 450 E) 460

2. Calcule el máximo número de sectores circulares.

3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar como máximo en los

cuadriláteros existentes en la siguiente figura?

4. ¿Cuántos puntos de intersección se pueden contar si se llegan a

dibujar 225 circunferencias?

A) 860 B) 430 C) 460

D) 880 E) 868

5. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar?

6. En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos y cuántos

cuadriláteros se pueden contar?

7. Calcule el total de hexágonos en la siguiente figura:

8. Halle el número de cuadriláteros en la siguiente figura:

9. ¿Cuántos cuadrados hay en total?

10. ¿Calcule el máximo número de segmentos y de ángulos rectos

en la siguiente figura?

11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

A) 30

B) 17

C) 21

D) 31

E) 14

1 2 3 49 50. . .

. . .

A) 60

B) 70

C) 62

D) 42

E) 50

A) 170

B) 168

C) 164

D) 160

E) 165

. . .

. . .

. . .

A) 15

B) 32

C) 25

D) 30

E) 60

1

2

3

4

20

A) 61 - 260

B) 61 - 270

C) 60 - 260

D) 60 - 270

E) 61 - 265

4 6 10 16 384. . .

. . .

A) 126

B) 156

C) 196

D) 186

E) 176

A) 108

B) 178

C) 188

D) 198

E) 158

12

3

1819

20

. . .

A) 140

B) 151

C) 153

D) 163

E) 155

A) 153; 89

B) 124; 72

C) 170; 63

D) 156; 67

E) 196; 91






Cajabamba

6

A) 60 B) 83 C) 65

D) 75 E) 110

12. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

A) 380 B) 419 C) 300

D) 456 E) 480

13. ¿Cuántos cuadrados y cuántos triángulos se pueden contar en la

siguiente figura?

14. ¿Cuántos puntos de corte se podrán obtener como máximo con

n circunferencias?

A) B) n2 + 2n

C) n (n – 1) D) n n + 1)

E)

15. ¿Cuántos pentágonos se podrán contar como máximo en la

siguiente figura?

1234181920 . . .

. . .

1 2 3 4 19 20. . .

. . .

. . .

A) 10; 52

B) 15; 48

C) 17; 31

D) 13; 32

E) 7; 24

1

2

n n

–1

2

n n

A) 16

B) 20

C) 12

D) 8

E) 10

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