Estadística

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Y POSICIÓN

SEMANA 5

Al finalizar la sesión, el estudiante estará en la

capacidad de calcular e interpretar medidas de

tendencia central y posición de un conjunto de

datos sin agrupar y agrupados en tablas de

frecuencias.

LOGRO DE APRENDIZAJE:

Medidas Estadísticas

Frequency

12.09.67.24.82.40.0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Frequency

86420

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Frequency

161284

20

15

10

5

0

Medidas de Posición o deTendencia Central: son medidasestadísticas que representan elcentro de la distribución o laposición de un conjunto de datos.

Medidas de Variabilidad: sonmedidas estadísticas que muestranque tan concentrados o dispersosestán los datos.

Medidas de Asimetría: son medidasestadísticas que muestran ladirección de la dispersión de losdatos respecto a su centro.

3

Medidas de Resumen más usadas

Media Aritmética:

Mediana:

Moda:

Percentiles (o cuántiles): Pk

Me

Mo

__

x)( xM

NOTACIÓN

Media Aritmética Es la suma de todas las observaciones de una población o muestra dividida entre el tamaño de la población o muestra.

Media poblacional:

Media Muestral:

Media de datos

no agrupadosMedia de datos agrupados

nX

n

iiX

1

nX

k

iii fX

1

Medidas de Tendencia Central

N

N

iiX

1

Desventaja de la Media Aritmética:

Se ve afectada por valores extremos.

Para calcular la

media aritmética

muestral veamos

primero si los datos

están agrupados (en

una tabla de

distribución de

frecuencias) o si son

datos no agrupados.

k

1i

ii

__

hxx

EJEMPLO 1: DATOS NO AGRUPADOS

Los siguientes datos muestran el ingreso mensual (en soles) de 7 técnicos en

enfermería entrevistados de la empresa Omega:

1,540 1,450 1,320 1,280, 1,300, 1,480, 1,500

Calcular la media aritmética del ingreso mensual o el promedio del ingreso

mensual en este grupo de trabajadores de la empresa Omega.

= 1,540 + 1,450 + 1,320 + 1,280 +1,300+1,480 +1,500 =1,410

Interpretación.- El ingreso promedio de los técnicos en enfermeríade la empresa Omega seleccionados en la muestra, es: 1,410 soles.

Media Aritmética

nX

n

iiX

1

7

EJEMPLO 2: VARIABLE DISCRETA

La siguiente tabla muestra la información correspondiente al

número de hijos por familia para una muestra de 50 familias.

Calcular la media aritmética.

1

1 (0)(4) (1)(8) (6)(2)2.54 hijos.

50

k

i i

i

X X fn

Número de hijos (Xi)

0 1 2 3 4 5 6

Número de familias (fi)

4 8 13 15 4 4 2n= 50

Xi.fi 0 8 26 45 16 20 12 Total=127

54.250

1271

nX

k

iii fX

La siguiente tabla presenta información correspondiente al saldo en una

muestra de 50 libretas de ahorro. Calcular la media aritmética.

EJEMPLO 3: DATOS AGRUPADOS (VARIABLE CONTINUA)

n

fx

x

k

1i

ii__(1.55)(5) + (3.85)(8) +…...+(15.35)(2) = 7.254 miles de Soles

50 8

Saldo en libretas (en

miles de Soles)Xi

Número de libretas (fi )

Fi hi Hi Xi.fi

[0.4 – 2.7) 1.55 5 5 0.1 0.1 7.75[2.7 – 5.0) 3.85 8 13 0.16 0.26 30.8[5.0 – 7.3) 6.15 14 27 0.28 0.54 86.1[7.3 – 9.6) 8.45 11 38 0.22 0.76 92.95

[9.6 – 11.9) 10.75 7 45 0.14 0.9 75.25[11.9 – 14.2) 13.05 3 48 0.06 0.96 39.15[14.2 – 16.5] 15.35 2 50 0.04 1 30.7

TOTAL 50 1 362.7

254.750

362.71

nX

k

iii fX

Ingreso familiar

mensual (Soles)Xi Número de

familias (fi)Xifi

[4,000 – 6,000 > 5,000 10 50,000[6,000 – 8,000 > 7,000 5 35,000[8,000 – 10,000 > 9,000 15 135,000[10,000 – 12,000 > 11,000 20

220,000[12,000 – 14,000> 13,000 28

364,000[14,000 – 16,000 > 15,000 17 255,000[16,000 – 18,000> 17,000 5 85,000

n = 1001´144,00

0

n

fx

x

k

1i

ii__

EJEMPLO 4: DATOS AGRUPADOS (VARIABLE CONTINUA)

El ingreso de 100familias residentesen el distrito de laMolina, elegidasaleatoriamente, hasido organizado enla siguiente tabla dedistribución defrecuencias:

a) Calcule elingreso familiarpromedio.

1´144,000 = 11,440 Soles

100

La Mediana, es aquel valor que divide a lasobservaciones ordenadas o tabuladas en dos partesaproximadamente de igual tamaño de modo que el50% de valores son iguales o menores que el, y elotro 50% son mayores o superiores a el.

x1 x2 x3 … … …… … xn

50% 50%

( Datos ordenados)Me

Mediana

Propiedades

• La mediana es única y siempre existe.

• No es afectada por los valores extremos. Esta propiedad es

conocida como robustez, significa que la mediana debe ser

utilizada en lugar de la media cuando se tenga datos con

valores extremos que afectan a la media.

• La mediana puede asumir cualquier valor real.

Mediana

Datos no agrupados y datos discretos

Suponga que se tienen los siguientes datos:

ordenados del siguiente modo:

entonces:

paresnsi

imparesnsi

2

XX

X

Me1)

2

n()

2

n(

)2

1n(

nXXX 21

nXXX ,,, 21

Calcular la mediana para los siguientes conjuntos de datos

5 6 7 9 11 12 16 9 12 16 16 17 18 19 21

49X

4 52 16.5X X

En el primer conjunto, la mediana es y en el segundo conjunto

EJEMPLO: MEDIANA – DATOS NO AGRUPADOS

EJEMPLO: MEDIANA – DATOS DISCRETOS

La siguiente tabla muestra la información correspondiente al númerode hijos por familia para una muestra (n) de 50 familias. Calcular lamediana.

Número de hijos (Xi) 0 1 2 3 4 5 6

Número de familias (fi) 4 8 13 15 4 4 2

Frecuencia acumulada (Fi) 4 12 25 40 44 48 50

50 50

125 262 2 2 3

2.5 hijos.2 2 2

e

X XX X

m

2

122

nn

e

XX

mComo n es par, la fórmula a utilizar

es:

Interpretación.- Las familias con frecuencia tienen 3 hijos aproximadamente

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencias de k categorías, el cálculo de la mediana será el siguiente:

TICh

HLITIC

f

Fn

LImi

i

i

i

i

ie

)1(

)1( 5.02

donde i es el número del intervalo que contiene a la mediana.

Mediana

Datos continuos agrupados

¿Cómo ubicar el Intervalo que contiene a la Mediana?

• Es el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es igual o mayor

a la mitad de observaciones; o también es el primer intervalo cuya

frecuencia relativa acumulada se igual o mayor al valor 0.5 (50% de los

datos)

• Es decir, ubicar el primer intervalo donde: 5.0

2 ii Hó

nF

15

La mediana pertenece a la

tercera categoría ya que esta

contiene una frecuencia

relativa acumulada de 0.54

( a la frecuencia relativa

acumulada de 0.5).

(3 1)

3

3

5025 132 5 2.3 6.97 miles de soles.

14e

F

m LI TICf

EJEMPLO: MEDIANA – DATOSCONTINUOS AGRUPADOS

La siguiente tabla presenta información correspondiente al saldo en una muestra

de 50 libretas de ahorro. Calcular la mediana.

Saldo en

libretas (en

miles de

Soles)

Xi

Númer

o de

libretas

(fi )

Fi hi Hi

[0.4 – 2.7) 1.55 5 5 0.10 0.10

[2.7 – 5.0) 3.85 8 13 0.16 0.26

[5.0 – 7.3)6.15 14 27 0.28 0.54

[7.3 – 9.6) 8.45 11 38 0.22 0.76

[9.6 – 11.9) 10.75 7 45 0.14 0.90

[11.9 – 14.2) 13.05 3 48 0.06 0.96

[14.2 – 16.5] 15.35 2 50 0.04 1.00

5.0iH

16

Moda

• Es el valor ó categoría que ocurre con mayor frecuencia

en un conjunto de datos o en una serie de mediciones.

• A diferencia de la media y de la mediana, la moda se

puede hallar también de datos cualitativos.

• Un conjunto de datos puede ser: unimodal, bimodal,

multimodal o no tener moda.

• No se ve afectada por valores extremos.

Se tiene el Ingreso familiar de un grupo de familias

• 1000 2000 1300 1300 1500 1600

Mo =1300 (Unimodal)

El ingreso modal es 1300 Soles.

• 1100 1200 1200 1300 1400 1400 1700

Mo = 1200 y Mo = 1400 (Bimodal)

• 1200 1300 1500 1600 1900 (No hay moda)

EJEMPLO: MODA – DATOS NOAGRUPADOS

Estado civil de un grupo alumnos de la Escuela de Negocios

S, C, S, C, S, C, S,C, S, S, S, S, S

(S : soltero C : Casado)

Mo = Soltero

La mayoría de alumnos entrevistados son solteros.

EJEMPLO: MODA – DATOS CUALITATIVOS

EJEMPLO: MODA – DATOS CUALITATIVOS

El número de productos vendidos en una cadena deempresas de artefactos eléctricos durante el mes dediciembre del 2010, es como sigue:

Producto Cantidad

Televisores 50

Planchas 35

Licuadoras 45

Microondas 12

La moda es:

Mo= Televisores

Interpretación.- La cadena de artefacto eléctricos con frecuenciavende televisores.

Calcular la moda para la variable número de hijos por familia,considerando una muestra de 50 familias.

EJEMPLO : MODA – DATOS DISCRETOS

Para la variable número de hijos, la moda es 3 hijos (es la

categoría con mayor frecuencia, en este caso, una frecuencia de

15).

Número de hijos (Xi) 0 1 2 3 4 5 6

Número de familias (fi) 4 8 13 15 4 4 2

Moda – Datos agrupados continuos

Si los datos están agrupados en una tabla de frecuencia con k

categorías, la moda de la distribución puede aproximarse con la

siguiente expresión:

TICdd

dLIm io

21

1

donde i es el número del intervalo que contiene a la moda (intervalo

con mayor frecuencia), d1= fi – fi-1 y d2 = fi – fi+1

Alternativamente, d1 y d2 pueden definirse por d1 = hi – hi-1

y d2 = hi – hi+1

Calcular la moda para la variable saldo en una muestra de 50 libretas de ahorro.

EJEMPLO: MODA – DATOS CONTINUOS AGRUPADOS

d 1= 14− 8= 6 d 2= 14− 11= 3

13

1 2

65 2.3 6.53 miles de soles.

6 3o

dm LI TIC

d d

Para la variable saldo en

libretas de ahorro, la

moda se encuentra en la

categoría 3, pues es la

categoría con mayor

frecuencia absoluta.

Entonces se tiene que:

Saldo en

libretas (en

miles de Soles)

Xi

Número de

libretas (fi )Fi hi Hi

[0.4 – 2.7) 1.55 5 5 0.10 0.10

[2.7 – 5.0) 3.85 8 13 0.16 0.26

[5.0 – 7.3) 6.15 14 27 0.28 0.54

[7.3 – 9.6) 8.45 11 38 0.22 0.76

[9.6 – 11.9) 10.75 7 45 0.14 0.90

[11.9 – 14.2) 13.05 3 48 0.06 0.96

[14.2 – 16.5] 15.35 2 50 0.04 1.00

d1= fi – fi-1d2 = fi – fi+1

Relación entre media, mediana y moda

Un distribución es simétrica si:

MoMeX

MoMeX

Relación entre media, mediana y moda

XMeMo

Una distribución tiene asimetría positiva o es

asimétrica de cola a la derecha si:

MoMeX

Relación entre media, mediana y moda

MoMeX

Una distribución tiene asimetría negativa o es

asimétrica de cola a la inquierda si:

Los cuantiles son utilizados para dividir a un conjunto de datos

ordenados en q subconjuntos de igual tamaño; los cuantiles son

los valores que determinan los límites entre estos subconjuntos

consecutivos.Algunos cuantiles reciben nombres especiales:

Observación: la mediana es un cuantil, y corresponde al

cuartil 2, al decil 5 y al percentil 50.

Medidas de Posición no Central

Cuantil

Cuantiles 4 son llamados cuartiles.

Cuantiles 10 son llamados deciles.

Cuantiles 100 son llamados percentiles.

Son valores que resultan ser casos particulares de loscuantiles y que dividen al conjunto de observaciones en 4partes que contienen el mismo porcentaje de observaciones.

Tenemos en total tres cuartiles : Cuartil 1 (Q1), cuartil 2 (Q2) ycuartil 3 (Q3).

Q1 Q2 Q3

También Q1= P25 Q2=P50=Me Q3 =P75 .

Donde: Q3 - Q1 = Rango intercuartílico

(aquí se encuentra el 50% de la muestra)

25% 25% 25% 25%

Cuartiles

Percentil

El percentil Pq es el valor de la variable que divide a un conjunto

ordenado de observaciones en un q % menores que Pq y un (100 –

q) % mayores que Pq

Los Percentiles Pq, permiten dividir a los datos en cien partesaproximadamente iguales, cada uno de los cuales

contiene el 1% de los datos. En total tenemos 99

percentiles.

P1: Percentil 1

P2: Percentil 2

…

P99: Percentil 99

29

1. Se ordenan los datos en forma ascendente.

Posición Percentil q:

3. Luego ubicar el Percentil en la posición indicada si esta es un

número entero y si no lo es calcularla en forma proporcional de

la siguiente manera:

2. Hallar la posición del “percentil” buscado; esto es:

1

100

q nq

P X

10.q E E E

P X d X X

Donde:

E es la parte entera de y

d es la parte decimal.

MINITAB: Cal / Calculator / percentile (number, probability)

variableValor de q%

El percentil Pq se calcula de la siguiente manera:

PARA DATOS NO AGRUPADOS

PARA DATOS AGRUPADOS:

Medidas de Posición no Central

Percentil

TICf

Fnq

LIPi

i

iq

)1(

100

Considere los siguientes datos para la variable volumen de venta en

miles de soles registrada en una muestra (n) de 36 establecimientos.

1.5 2.1 3.2 3.7 4.2 4.5 4.6 4.6 4.7 5.3 5.4 5.7

6.1 6.46.6

6.7 7.2 7.4 7.4 7.7 7.8 8.4 8.5 8.8

9.1 9.6 10.1 10.5 10.9 11.2 11.5 11.7 12.7 13.8 13.9 14.8

Calcule lo siguiente:

a) Percentil 62.

62 36 1 22.94 22 23 2262

100

0.94

8.4 0.94 8.5 8.4 8.494 miles de soles.

P X X X X X

EJEMPLO: PERCENTIL – DATOS NO AGRUPADOS

10.q E E E

P X d X X

Como 22.94 no es un no.

entero, entonces usar:

b) Percentil 30

c) Cuartil 3

30 36 1 11.1 11 12 1130

100

0.1

5.4 0.1 5.7 5.4 5.43 miles de soles.

P X X X X X

75 36 1 27.75 27 28 2775

100

0.75

10.1 0.75 10.5 10.1 10.4 miles de soles.

P X X X X X

d) Cuartil 1

Q3 =

Q1 = P25 = )(25.0 910925.925

100

136XXXXX

= 4.7 + 0.25 ( 5.3 - 4.7) = 4.85

A continuación de muestra los tiempos de alquiler (en minutos) de

computadoras que un grupo de personas realizaron en la avenida

Wilson durante el último fin de semana.

EJEMPLO: PERCENTIL – DATOS CONTINUOS AGRUPADOS

Tiempos de alquiler de computadoras (en minutos)

XiNúmero de usuarios (fi )

Fi hi Hi

[0 – 20> 10 5 5 0.0833 0.0833[20 – 40> 30 12 17 0.2000 0.2833[40 – 60> 50 20 37 0.3333 0.6167[60 – 80> 70 16 53 0.2667 0.8833

[80 – 100> 90 7 60 0.1167 1.0000Total 60 1.0000

Fuente: Estadística descriptiva y probabilidades (2012). Autores: Chue J., Barreno E., Castillo C., Millones R,

Vásquez F. Universidad de Lima, Fondo de desarrollo Editorial.

Se Pide Calcular:

a)El valor mínimo del tiempo correspondiente al 25% de las

personas que más tiempo alquilan computadoras.

b)El valor máximo del tiempo correspondiente al 25% de las

personas que menos tiempo alquilan computadoras.

c)El valor máximo del tiempo del 60% de las personas que

menos tiempo alquilan computadoras.

d)El tiempo tal que por encima se encuentra el 45% de las

observaciones.

a)

TICf

Fnq

LIPi

i

iq

)1(

100= 7020

16

37100

7560

60375

x

QP

La cuarta clase es la que tiene el 75% de observaciones o

más acumuladas, porque Hi = 0.8833 0.75

Interpretación:

El 75% de las personas que alquilan computadoras se demoran

menos de 70 minutos y el 25% se demora más de 70 minutos.

70375 QPEl valor de

b)

=

La segunda clase es la que tiene el 25% de observaciones o

más acumuladas, porque Fi = 0.2833 0.25

66.362012

5100

2560

20125

x

QP

Interpretación:

El 25% de las personas que alquilan computadoras se

demoran menos de 36.66 minutos y el 75% se demora más de

36-66 minutos.

66.36125 QP

TICf

Fnq

LIPi

i

iq

)1(

100

El valor de

c)

TICf

Fnq

LIPi

i

iq

)1(

100= 5920

20

17100

6060

4060

x

P

La tercera clase es la que tiene el 60% de observaciones o

más acumuladas, porque Fi = 0.6166 0.60

Interpretación:

El 60% de las personas que alquilan computadoras se

demoran menos de 59 minutos y el 40% se demora más de 59

minutos.

5960 PEl valor de:

d)

TICf

Fnq

LIPi

i

iq

)1(

100=

562020

17100

5560

4055

x

P

Interpretación:

El 55% de las personas que alquilan computadoras se

demoran menos de 56 minutos y el 45% se demora más de

56 minutos.

5655 P

La tercera clase es la que tiene el 55% de observaciones o

más acumuladas, porque Fi = 0.6166 0.55

El valor de: