20/09/2015

1

Tema 1: Límites y continuidad de funciones

1. LÍMITES

1.1 Cálculo del límite de una función gráficamente.

20/09/2015

2

1.2. Cálculo del límite de una función en un punto.

• Sustituimos el valor de x por el número al que tiende:

A) Indeterminación

Cuando tenemos un cociente de polinomios, factorizamos para eliminar el factor que nos lleva a dicha indeterminación.

Ejemplos:

a)

b)

20/09/2015

3

Cuando tenemos funciones racionales con radicales, se multiplica numerador y denominador por el conjugado de la expresión que posee las raíces y simplificamos la fracción.

B). Límite de un número partido por cero

Para saber el valor de dicho límite, tenemos que calcular los límites laterales.

20/09/2015

4

1.3. Límite de una función en el infinito:

• Cuando x tiende a (+ / -) infinito, el límite se calcula a partir de las mayores potencias que dan el orden del infinito.

A) Indeterminación

• Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x.

Recuerda:

20/09/2015

5

Ejemplos y regla de los grados:

Con funciones exponenciales:

20/09/2015

6

B) Indeterminación

• Con funciones racionales efectuamos la resta:

• Con funciones irracionales multiplicamos y dividimos por el conjugado:

C) Indeterminación

• Se transforma a:

Ejemplos:

20/09/2015

7

D) Indeterminación

• Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

Ejemplo:

También podemos calcular dicho límite teniendo en cuenta lo siguiente:

20/09/2015

8

3. Continuidad de una función

• Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• 1. Que el punto x= a tenga imagen.

• 2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

• 3. Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.

20/09/2015

9

Tipos de discontinuidad

• Discontinuidad evitable

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La función no está definida en x = a.

2. La imagen no coincide con el límite.

20/09/2015

10

• Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

1. Discontinuidad inevitable de salto finito La diferencia entre los límites laterales es un número real.

2. Discontinuidad inevitable de salto infinito

La diferencia entre los límites laterales es infinito.

20/09/2015

11

Ejemplos:

• EJERCICIOS :

1.

2.

Continuidad de una función en un intervalo.

20/09/2015

12

Ejercicios

• Ejercicios del libro:

Pág 250, ej: 13, 14, 15

Pág: 251, ej: 21 a, 23, 24.