TEMA 1

TEORIA DE CONJUNTOS Y FUNCIONES.

Cubriremos algunos conceptos basicos de matematicas necesarios para comenzar nuestro estudio de calculodiferencial e integral. Muchos de los contenidos abarcados a continuacion seguramente ya han sido vistos porel estudiante en sus cursos de educacion preuniversitaria. La idea de este capıtulo es reforzar estos contenidos.

Empezaremos con un repaso intuitivo de teorıa de conjuntos, recordando las operaciones entre ellos, a saber:interseccion, union, diferencia, complementacion y producto cartesiano. Saber esta ultima operacion nospermitira dar la definicion de funcion entre conjuntos. Estudiaremos cuando una funcion es inyectiva, so-breyectiva o biyectiva. Tambien sera de nuestro interes la operacion de composicion de funciones y el conceptode funcion invertible.

1.1 Repaso intuitivo de teorıa de conjuntos

A partir de este punto, daremos por hecho que el estudiante esta familiarizado con los terminos “conjunto”,“elemento” y “pertenencia”. Una definicion estrictamente formal de estos conceptos requiere de un estudiomas profundo de teorıa de conjuntos, lo cual escapa a los objetivos y necesidades de este curso de calculo.

Los puntos a tratar en esta seccion son los siguientes:

• Inclusion e igualdad entre conjuntos.

• Determinacion de un conjunto por extension y por comprension.

• Complementacion de conjuntos.

• Operaciones entre conjuntos: interseccion, union, diferencia y producto cartesiano.

Notacion 1.1.1. En la mayorıa de los casos, los conjuntos seran denotados por letras mayusculas, porejemplo en el enunciado:

“Sea A un conjunto tal que...”

Por otro lado, los elementos de un conjunto A los denotaremos por letras minusculas, por ejemplo en elenunciado:

“Sea a un elemento del conjunto A.”

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La expresion anterior se denota de la forma a ∈ A, y se lee “a pertenece al conjunto A”. La negacion dea ∈ A se denotara por a 6∈ A, y se lee como “a no pertenece a A”.

Ejemplo 1.1.2.

1. Denotaremos por N al conjunto de los numeros naturales

N := {1, 2, 3, · · · },

y por Z al conjunto de los numeros enteros,

Z := {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }.

2. Recuerde que un numero es racional si es de la forma a/b, donde a, b ∈ Z y b 6= 0. Dos numerosnaturales a/b y c/d son iguales si a·d = b·c. Al conjunto de los numeros racionales lo denotaremospor Q. Dicho de otra forma,

Q :={ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0 y a y b son coprimos}.

Recuerde que dos enteros son coprimos si su maximo comun divisor es 1.

3. Denotaremos al conjunto de los numeros reales por R. Por ejemplo,√

2 ∈ R pero√

2 6∈ Q.

4. El conjunto de los numeros complejos C se construye a partir de R:

C := {a+ ib : a, b ∈ R}.

Aquı, i :=√−1. Tenga en cuenta que dos numeros complejos a + ib y c + id son iguales si a = c y

b = d (sus partes reales e imaginarias coinciden).

5. A = {−1, 0, 1} es el conjunto formado por los elementos −1, 0 y 1, que tambien puede expresarse comoel conjunto de enteros cuyo valor absoluto es menor estricto que 2:

A = {x ∈ Z : |x| < 2}.

Observacion 1.1.3.

1. El sımbolo “ : ” de los ejemplos anteriores se lee como “tal que”. Tambien se usa el sımbolo “ / ” paratal fin. Por ejemplo, para el conjunto A de 1.1.2 5., tenemos

A = {x ∈ Z / |x| < 2}.

2. Vemos que en algunos casos, un conjunto puede determinarse alistando todos sus elementos (por ex-tension), o bien mediante una propiedad que deben satisfacer sus elementos (por comprension).

Para el conjunto A del Ejemplo 1.1.2, tenemos que A esta determinado tanto por extension como porcomprension. Para este ultimo caso, tenemos una propiedad P (x) que se lee “ |x| < 2 ”.

Una propiedad P que determina a un conjunto se formula para elementos que estan en un conjuntouniversal o universo, al cual denotaremos U . Fijar tal U depende de la disciplina de estudio. Envarios casos dentro de este curso de calculo, U sera el conjunto de los numeros reales.

3. Note que un conjunto puede determinarse por extension solo si posee un numero finito de elementos.Para el caso de los numeros naturales, por ejemplo, a pesar de que podemos enumerar sus elementoscomo

N = {1, 2, 3, · · · },

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es imposible escribirlos todos. La notacion anterior es simplemente un ligero abuso de notacion. Nomismo aplica para el conjunto Z de los numeros enteros.

Notacion 1.1.4. El conjunto A cuyos elementos satisfacen la propiedad P se escribe como

A = {x ∈ U : P (x)}.

Observacion 1.1.5. Sea A un conjunto determinado por compresion por medio de una propiedad P . Nota-mos que:

1. a ∈ A si, y solo si, P (a) es verdadera.

2. a 6∈ A si, y solo si, P (a) es falsa.

Ejemplo 1.1.6 (conjuntos especiales).

1. Existe un conjunto que no tiene elementos, denominado conjunto vacıo, al cual se denota por ∅.Al conjunto vacıo se le puede determinar por comprension de la siguiente manera:

∅ = {x ∈ U : x 6= x}.

Puede haber mas de una propiedad que determine al mismo conjunto. Usando el mismo ejemplo de ∅,notamos ademas (para el caso U = R) que

∅ = {x ∈ R : x2 = −1}.

2. A todo conjunto A con un solo elemento, digamos a, se le llama conjunto unitario, y se determinatanto por extension como por comprension:

A = {a} = {x ∈ U : x = a}.

Inclusion e igualdad de conjuntos

Sean A y B dos conjuntos dentro de un universo U .

Definicion 1.1.7 (inclusion de conjuntos). Diremos que A esta contenido en B si todo elemento de A esun elemento de B. Esto lo denotaremos por

A ⊆ B.

Es decir, A ⊆ B si a ∈ A implica que a ∈ B.

Definicion 1.1.8 (igualdad entre conjuntos). Diremos que A es igual a B si A ⊆ B y B ⊆ A. Esto lodenotaremos por

A = B.

Ejemplo 1.1.9. Sean A y B dos conjuntos de numeros enteros dados por

A = {x ∈ Z : x es impar},B = {x ∈ Z : x2 es impar}.

Entonces, A = B.

Para probar una igualdad entre conjuntos A y B, debemos ver que A ⊆ B y A ⊇ B (A contiene a B).

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(⊆) Probemos primero que A ⊆ B. Sea x ∈ A. Luego, a es impar, por lo que existe un entero m ∈ Z talque x = 2m+ 1. Entonces,

x2 = (2m+ 1)2 = 4m2 + 4m+ 1 = 2(2m2 + 2m) + 1.

Esto implica que x2 es impar. Por lo tanto, x ∈ B

(⊇) Ahora veamos que B ⊆ A. Sea y ∈ B, es decir, y2 es impar. Para probar que y es impar, vamos asuponer lo contrario, es decir, que y es par. Esto implicara una contradiccion.

Si y fuese par, entonces existirıa un entero p ∈ Z tal que y = 2p. Luego, y2 = 4p serıa impar puesy ∈ B. Pero 4p = 2(2p) es par. Se tiene que y2 es tanto par como impar, y esto no puede ser!. Por lotanto, y tiene que ser impar, es decir, y ∈ A.

Proposicion 1.1.10 (propiedades de la inclusion y del conjunto vacıo). Las siguientes afirmaciones secumplen:

1. Reflexividad: A ⊆ A, para todo conjunto A.

2. Transitividad: Si A, B y C son conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.

3. ∅ ⊆ A para todo conjunto A.

4. El conjunto vacıo es unico.

5. Si A ⊆ ∅, entonces A = ∅.

Demostracion: La pruebas de1. y 2. son claras.

Para probar 3., supongamos que la inclusion ∅ ⊆ A es falsa, es decir, que existe x ∈ ∅ tal que x 6∈ A. Pero ∅no posee elementos, obteniendo ası una contradiccion.

Para demostrar 4., supongamos que existe otro conjunto ∅′ que no tiene elementos. Por la parte 3., sabemosque ∅ ⊆ ∅′ y ∅′ ⊆ ∅ se cumplen. Entonces, ∅ = ∅′.Finalmente para a parte 5., estamos suponiendo que A ⊆ ∅, mientras ya sabemos que ∅ ⊆ A se cumple. Porlo tanto, A = ∅.

Conjunto de partes de un conjunto

Dado un conjunto A, se puede construir un nuevo conjunto a partir de A, de la siguiente manera:

Definicion 1.1.11. Se define el conjunto de partes de A, denotado por P (A), como el conjunto cuyoselementos son todos los subconjuntos de A:

P (A) := {X : X ⊆ A}.

Observacion 1.1.12.

1. ∅ ∈ P (A) y A ∈ P (A), por lo que P (A) nunca es vacıo.

2. Note que P (A) es un conjunto de conjuntos.

3. La coleccion de todos los conjuntos no es un conjunto. Si suponemos que sı y llamamos T a tal conjunto,se tiene que T ∈ T , dando lugar a una paradoja, conocida como la Paradoja de Russell. Esta esuna de las razones por las cuales suele trabajarse sobre un conjunto universal U .

Para definir la coleccion de todos los conjuntos se necesita un nuevo tipo de construccion llamada clase,pero su estudio escapa a los objetivos de este curso y se lo dejaremos a aquellos que quieran hacer teorıade conjuntos a un nivel mas sofisticado.

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Ejemplo 1.1.13.

• P (∅) = {∅} es un conjunto unitario.

• Sea A = {2, 3, 4}. Entonces,

P (A) = {∅, {2}, {3}, {4}, {2, 3}, {3, 4}, {2, 4}, A}.

Por el momento no tenemos las herramientas para demostrar el siguiente resultado. Sin embargo, lo dejaremosenunciado y volveremos a su prueba cuando entremos en el estudio de induccion matematica.

Teorema 1.1.14. Sea A un conjunto que tiene n elementos (con n ≥ 0). Entonces, P (A) posee 2n elementos.

Operaciones sobre un conjunto y entre conjuntos

En esta seccion, A, B y C seran conjuntos (dentro de un universo U).

La primera operacion que veremos manda a un conjunto en otro conjunto (operacion unaria).

Definicion 1.1.15 (complemento de un conjunto). Dado un conjunto A, se define el complemento de Acomo el conjunto formado por todos los elementos que no estan en A. Lo denotaremos por Ac. Es decir,

Ac := {x ∈ U : x 6∈ A}.

En una introduccion a la teorıa de conjuntos, suele usarse un tipo de representacion grafica para los conjuntosconocida como diagramas de Venn. Para la definicion anterior, tenemos el siguiente diagrama de ven:

Complemento de un conjunto (Imagen tomada de la Wikipedia).

Ejemplo 1.1.16. ∅c = U y U c = ∅.

Proposicion 1.1.17 (propiedades de la complementacion de conjuntos). Las siguientes afirmaciones secumplen:

1. Involucion: (Ac)c = A.

2. A ⊆ B implica que Bc ⊆ Ac.

3. A = B si, y solo si, Ac = Bc.

Demostracion:

1. Sea a ∈ A. Luego, a 6∈ Ac, es decir, a ∈ (Ac)c. Por otro lado, si x ∈ (Ac)c, entonces x 6∈ Ac, por lo quex ∈ A.

2. Sea x ∈ Bc. Luego, x 6∈ B. Como A ⊆ B, x no puede estar en A. Ası, x ∈ Ac.

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3. Si A = B, entonces A ⊆ B, lo cual a su vez implica que Bc ⊆ Ac por la parte 2. La inclusion Ac ⊆ Bc

se prueba de forma parecida. Por lo tanto, Ac = Bc.

Ahora supongamos que Ac = Bc. Por la implicacion anterior, tenemos que (Ac)c = (Bc)c. Luego, porla parte 1., nos queda que A = B.

Ahora nos enfocaremos en operaciones binarias entre conjuntos, es decir, aquellas que envıan un par deconjuntos en un conjunto nuevo.

Definicion 1.1.18 (interseccion de conjuntos). La interseccion de A y B, denotada por A ∩ B, se definecomo el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.

A ∩B := {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}.

En diagramas de Venn, tenemos la siguiente representacion:

Interseccion de conjuntos (Imagen tomada de la Wikipedia).

Dos conjuntos A y B se dicen dinjuntos si A ∩B = ∅.

Ejemplo 1.1.19.

1. Si r y r′ son dos rectas distintas en un plano α, entonces r∩ r′ = ∅ (si las rectas son paralelas), o r∩ r′es un punto unitario.

2. Sea P el conjunto de los enteros pares e I el conjunto de los enteros impares. Entonces P ∩ I = ∅.

3. Si en cambio P denota el conjunto de los naturales pares y Pr el conjunto de los numeros primos,tenemos que P ∩ Pr = {2}.

Proposicion 1.1.20 (propiedades de la interseccion de conjuntos). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Idempotencia: A ∩A = A.

2. Asociatividad: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

3. Conmutatividad: A ∩B = B ∩A.

4. A ∩ U = A, es decir, el elemento neutro para la operacion de interseccion es el conjunto universal.

5. A ⊆ B si, y solamente si, A ∩B = A.

6. Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∩B ⊆ C.

7. P (A ∩B) = P (A) ∩ P (B).

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Demostracion: Las primeras cuatro propiedades y la sexta son practicamente inmediatas, aunque el lectorpuede demostrarlas como ejercicio de escritura. Solo probaremos 5 y 7.

Para 5., supongamos primero que A ⊆ B. Es claro que todo x ∈ A ∩ B esta en A, por lo que la inclusionA∩B ⊆ A se cumple. Ahora, si tomamos a ∈ A, como A ⊆ B, tenemos tambien a ∈ B, es decir, a ∈ A∩B,por lo que A ⊆ A ∩B. Por lo tanto, A ∩B = A.

Ahora asumamos que A ∩B = A. La inclusion A ⊆ B se sigue pues A = A ∩B ⊆ B.

Finalmente, nos enfocaremos en probar 7.

(⊆) Sea X ∈ P (A∩B). Luego, X ⊆ A∩B. Como A∩B ⊆ A y A∩B ⊆ B, se sigue que X ⊆ A y X ⊆ B,es decir, X ∈ P (A) y X ∈ P (B).

(⊇) Sea Y ∈ P (A) ∩ P (B). Luego, Y ∈ P (A) e Y ∈ P (B), es decir, Y ⊆ A e Y ⊆ B. Esto implica queX ⊆ A ∩B, o lo que equivale a decir que X ∈ P (A ∩B).

Ahora pasemos a estudiar la union de conjuntos.

Definicion 1.1.21 (union de conjuntos). La union de A y B, denotada por A ∪B, es el conjunto formadopor todos los elementos que estan en A o en B.

A ∪B := {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}.

En diagramas de Venn, se pueden tener las siguientes repreentaciones:

Union de conjuntos (Imagen tomada de la Wikipedia).

Una union de conjuntos A ∪B se dice disjunta si A ∩B = ∅.

Ejemplo 1.1.22.

1. Sean P e I los conjuntos de los enteros pares e impares, respectivamente. Entonces, Z = P ∪ I es unaunion disjunta.

2. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 1}. Tenemos que

A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.

3. Sea C el complemento del conjunto A del ejemplo anterior, es decir

C = Ac = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.

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Por otro lado, considere el triangulo T circunscrito a C y cuya base es paralela al eje X, y al segmentode recta H que conecta el punto medio de dicha base con el vertice opuesto de T . Entonces, C ∪ T ∪Hes el sımbolo de las Reliquias de la Muerte.

Las Reliquias de la Muerte (Imagen tomada del portal de la BBC).

Proposicion 1.1.23 (propiedades de la union de conjuntos). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Idempotencia: A ∪A = A.

2. Asociatividad: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

3. Conmutatividad: A ∪B = B ∪A.

4. A ∪ ∅ = A, es decir, el elemento neutro para la operacion de union es el conjunto vacıo.

5. A ⊆ B si, y solo si, A ∪B = B.

6. X ⊆ A y X ⊆ B implica que X ⊆ A ∪B.

7. P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪B).

Demostracion: Se la dejaremos al lector.

La inclusion P (A ∪B) ⊆ P (A) ∪ P (B) no es cierta en general. Por ejemplo, si A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6},el conjunto {1, 2} esta en P (A∪B) pero no esta ni en P (A) ni en P (B). Bajo ciertas condiciones, sı se puedetener esta inclusion, como probaremos a continuacion.

Proposicion 1.1.24. P (A ∪B) ⊆ P (A) ∪ P (B) si, y solamente si, A ⊆ B o B ⊆ A.

Demostracion: Supongamos primero que la inclusion P (A ∪B) ⊆ P (A) ∪ P (B) se cumple. Consideremosel conjunto A ∪ B ∈ P (A ∪ B). Luego, A ∪ B ∈ P (A) y A ∪ B ∈ P (B). En el primer caso, se tiene queB ⊆ A ∪B ⊆ A, mientras que en el segundo, A ⊆ A ∪B ⊆ B.

Ahora asumamos que A ⊆ B. Entonces, A ∪B = B. Luego, P (A) ∪ P (B) = P (B) = P (A ∪B).

Veamos como se comportan las operaciones de interseccion y union entre ellas.

Proposicion 1.1.25 (leyes distributivas). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Distributividad de la inerseccion respecto a la union:

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

2. Distributividad de la union respecto a la interseccion:

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

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Tenemos el siguiente diagrama de Venn para la ley

Leyes distributivas (Imagen tomada de nabla.hr).

Nos falta ver como interactua la operacion de calcular el complemento de un conjunto con respecto a la uniony a la interseccion.

Teorema 1.1.26 (leyes de De Morgan). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. (A ∪B)c = Ac ∩Bc.

2. (A ∩B)c = Ac ∪Bc.

Demostracion: Solo probaremos la primera ley, mientras que la segunda se puede concluir de maneraanaloga (ejercicio).

(⊆) Sea x ∈ (A ∪ B)c. Luego, x 6∈ A ∪ B, es decir, x 6∈ A y x 6∈ B. Dicho de otra forma, x ∈ Ac y x ∈ Bc.Entonces, x ∈ Ac ∩Bc. Por lo tanto, (A ∪B)c ⊆ Ac ∩Bc.

(⊇) Sea x 6∈ Ac ∩ Bc. Luego, x ∈ Ac y x ∈ Bc, es decir, x 6∈ A y x 6∈ B. Esto implica que x 6∈ A ∪ B, esdecir, x ∈ (A ∪B)c.

Nos quedan dos operaciones binarias de conjuntos por estudiar, la diferencia y el producto cartesiano deconjuntos.

Definicion 1.1.27 (diferencia de conjuntos). Se define la diferencia de A menos B, denotada por A\B,como el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

A\B := {x ∈ U : x ∈ A y x 6∈ B}.

Proposicion 1.1.28 (propiedades de la diferencia de conjuntos). Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. A\B = A ∩Bc.

2. B ⊆ A si, y solo si, (A\B) ∪B = A.

3. distributividad de la interseccion con respecto a la diferencia: A∩ (B\C) = (A∩B)\(A∩C).

Demostracion: La parte 1. es clara y la 2. se la dejamos al lector. Probemos 3.

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(⊆) Sea x ∈ A ∩ (B\C). Luego, x ∈ A y x ∈ B\C, lo cual implica que x ∈ A ∩ B. Por otro lado, x 6∈ C,por lo que x ∈ A ∩ C. Entonces, x ∈ (A ∩B)\(A ∩ C).

(⊇) Sea y ∈ (A∩B)\(A∩C). Entonces, y ∈ A∩B y y 6∈ A∩C. La condicion y 6∈ A∩C implica que y 6∈ Ao y 6∈ C. Pero y ∈ A pues y ∈ A ∩B. Entonces, y ∈ A, y ∈ B y y 6∈ C, es decir, y ∈ A ∩ (B\C).

Proposicion 1.1.29. Toda union de conjuntos puede escribirse como una union disjunta.

Demostracion: Para todo par de conjuntos A y B, basta escribir A∪B = (A\B)∪B pues (A\B)∩B = ∅.Como ejercicio, verifique estas igualdades.

En diagramas de Venn tenemos la siguiente representacion de la diferencia de conjuntos:

Diferencia de conjuntos (Imagen tomada de la red Quora).

Definicion 1.1.30 (producto cartesiano de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, sean a ∈ A y b ∈ B.El par ordenado (a, b) se define como el conjunto formado por los conjuntos {a} y {a, b}, es decir:

(a, b) := {{a}, {a, b}}.

Por esta definicion, podemos ver que:

1. (a, b) = (c, d) si, y solo si, a = c y b = d.

2. a = b si, y solo si, (a, b) = (b, a).

El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, se define como el conjunto de pares ordenados(a, b) con a ∈ A y b ∈ B, es decir,

A×B := {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

Notacion 1.1.31. A×A = A2.

Observacion 1.1.32. En general, A×B 6= B ×A.

Ejemplo 1.1.33. Considere los siguientes intervalos de numeros reales:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},[c, d] = {y ∈ R : c ≤ y ≤ d}.

Tenemos que [a, b] × [c, d] es el rectangulo cuyos lados son paralelos a los ejes X y Y y con vertices (a, c),(b, c), (a, d) y (b, d).

[a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d}.

Proposicion 1.1.34 (distributividad del producto cartesiano con respecto a la union). La siguiente igualdadse cumple:

(A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).

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Demostracion:

(⊆) Sea (x, y) ∈ (A ∪ B) × C. Luego, x ∈ A ∪ B e y ∈ C. Para el caso en el que x ∈ A, tenemos que(x, y) ∈ A × C y por lo tanto (x, y) ∈ (A × C) ∪ (B × C). Para el caso en el que x ∈ B, se sigue demanera similar que (x, y) ∈ (A× C) ∪ (B × C).

(⊇) Sea (x, y) ∈ (A × C) ∪ (B × C). Luego, (x, y) ∈ A × C o (x, y) ∈ B × C. En cualquier caso, siembrevamos a tener y ∈ C. Por otro lado, en el primer caso tenemos x ∈ A, mientras que en el segundotenemos x ∈ B, es decir x ∈ A ∪B. Luego, (x, y) ∈ (A ∪B)× C.

1.2 Funciones

A lo largo de varios cursos de la carreras de ingenierıa y matematicas, se estudian ciertas estructuras y“morfismos” entre ellas. Dichas estructuras tienen un conjunto subyacente, y los morfismos son funcionesque satisfacen cierta propiedad que tiene que ver con la preservacion de tales estructuras. Tal es el caso delos espacios vectoriales que se estudian en los cursos de algebra lineal, por ejemplo. Esto nos da una idea delo fundamental del concepto de funcion.

En cualquier curso de calculo, se estudian tres familias importantes de funciones: las funciones continuas,las derivables y las integrables. Su estudio lo haremos posteriormente, y en esta seccion simplemente noscentraremos en recordar el concepto de funcion junto con algunas de sus propiedades y operaciones entreellas.

Hablando de manera informal, una funcion A→ B entre dos conjuntos A y B es una asignacion que mandaa cada elemento de a en un unico elemento de B. En terminos mas formales, una funcion es un subconjuntode A×B que satisface un par de propiedades especıficas, que enunciamos a continuacion.

Definicion 1.2.1 (concepto de funcion). Sean A y B dos conjuntos. Una funcion de A en B es unsubconjunto f ⊆ A×B que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:

1. Para todo elemento a ∈ A, existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .

2. Si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = c.

Al elemento b se le suele denotar por b = f(a), y se le denomina la imagen de a por f . Nos referiremos aA como el dominio de f , y a B como el codominio de f . A toda funcion f ⊆ A×B la denotaremos de laforma f : A→ B.

Sea f : A→ B una funcion. Al ser f un subconjunto de A× B, se le puede determinar por extension o porcomprension.

Ejemplo 1.2.2. Sea A el conjunto de los habitantes de Uruguay nacidos en 2017, y sea B el conjunto dehabitantes de Uruguay de sexo femenino. Sea f ⊆ A×B el conjunto dado por:

f := {(a, b) ∈ A×B : a es hija o hijo de b}

Entonces f es una funcion, pues toda persona nacida en Uruguay en 2017 tiene una sola madre. Esta funcionse puede determinar por extension, pues tanto A como B son conjuntos finitos.

Si en cambio consideramos C como el conjunto de habitantes de Uruguay, sin importar el sexo, entonces elsubconjunto g ⊆ A× C dado por

g := {(a, c) ∈ A× C : a es hija o hijo de c},

entonces g no es una funcion, pues c puede ser la madre o el padre de a.

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Definicion 1.2.3. Dada una funcion f : A→ B, se define la grafica de f como el conjunto

G(f) := {(a, f(a)) : a ∈ A}.

Ejemplo 1.2.4.

1. Sea f : R→ R la funcion dada por f(x) = |x|+ 1. La grafica de f esta dada por el siguiente dibujo:

f(x) = |x|+ 1

2. Sea g : R→ R la funcion dada por g(x) =

{1 si x ≥ 0,−1 si x < 0

. La grafica de g esta dada por:

g(x)

3. Sea h : R2 → R la funcion dada por h(x, y) = x2 + y2. Tenemos que la grafica de h es un paraboloide(en tres dimensiones).

h(x, y) = x2 + y2

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Clasificacion de funciones

Existen tres tipos particulares de funciones que estan determinadas por como es su imagen respecto a sudominio, las llamadas funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Estas ultimas nos permiten establecercuando dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos.

Definicion 1.2.5 (tipos de funciones). Sea f : A→ B una funcion.

1. f es inyectiva si para cualesquiera par de puntos x, y ∈ A tales que x 6= y, se tiene que f(x) 6= f(y).O equivalentemente, para todo x, y ∈ A, la condicion f(x) = f(y) implica que x = y.

2. f es sobreyectiva si para todo elemento b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que b = f(a).

3. f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Equivalentemente, f es biyectiva si para todo elemento b ∈B existe un unico a ∈ A tal que b = f(a). Tales funciones tambien son conocidas como correspondenciasbiunıvocas y uno-a-uno.

Ejemplo 1.2.6.

1. Sea f : Z→ Z la funcion dada por f(n) = 2n. Entonces, f es inyectiva. En efecto, sean n y m enterostales que 2n = 2m. Luego, 2(n−m) = 0. El producto de dos enteros es cero si y solamente si algunode ellos es cero. Como 2 6= 0, se tiene que n−m = 0, es decir, n = m.

Por otro lado, note que f no es sobreyectiva, pues para 1 ∈ Z no existe n ∈ Z tal que 1 = f(n) = 2n.De ser ası tendrıamos una contradiccion, pues estarıamos diciendo que 1 es par.

2. Sea g : R→ [0,+∞) la funcion dada por g(x) = x2, donde [0,+∞) denota el conjunto de los numerosreales no negativos (mayores o iguales que cero). Entonces, g no es inyectiva, pues g(1) = g(−1).

Por otro lado, g es sobreyectiva porque todo numero real no negativo y es el cuadrado de dos numerosreales, a saber

√y y −√y.

g(x) = x2

3. Sea h : R→ R la funcion dada por h(x) = x3. Este es un ejemplo de funcion biyectiva.

Veamos primero que h es inyectiva. Sean x1, x2 ∈ R tales que h(x1) = h(x2), es decir, x31 = x32.Entones, se tiene que x31 − x32 = 0. Factorizando, nos queda

0 = x31 − x32 = (x1 − x2)(x21 + x1x2 + x22).

Esto implica que x1 − x2 = 0 o x21 + x1x2 + x22 = 0. Sin embargo, el segundo polinomio no posee raıcesreales, por lo que x1 − x2 tiene que ser cero, es decir, x1 = x2. Por lo tanto, h es inyectiva.

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Para ver que h es sobreyectiva, basta saber que todo numero real y ∈ R posee una raız cubica, es decir,y = h( 3

√y) = ( 3

√y)3.

h(x) = x3

Ejemplo 1.2.7 (algunas funciones especiales). Sean A y B dos conjuntos.

1. Dado un elemento fijo b ∈ B, a toda funcion c : A → B de la forma c(a) = b, para todo a ∈ A, se ledenomina funcion constante.

2. La funcion idA : A→ A dada por idA(a) = a para todo a ∈ A se denomina funcion identidad sobreA.

3. La funcion πA : A×B → A dada por π(a, b) = a para todo (a, b) ∈ A×B se conoce como proyeccionsobre A. La proyeccion sobre B, denotada por πB : A×B → B, se define de manera similar.

Composicion de funciones

Bajo cierta suposicion, se puede construir una nueva funcion a partir de dos funciones dadas, a saber, que elcodominio de una de ellas coincida con el dominio de la otra.

Definicion 1.2.8. Sean f : A→ B y g : B → C dos funciones. Se define la composicion de f y g como lafuncion g ◦ f : A→ C dada por

(g ◦ f)(a) := g(f(a)) para todo a ∈ A.

Composicion de funciones (Imagen tomada de la red Tutor Vista).

Observacion 1.2.9. Tambien se puede definir la composicion g ◦ f de f y g si el codominio de f estacontenido en el dominio de g.

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Ejemplo 1.2.10.

1. Sea f : R→ R dada por f(x) = −x y g : [0,+∞)→ R la funcion dada por g(y) =√y. Entonces, g ◦ f

no se puede definir, pues no se puede calcular la raız cuadrada de un numero negativo.

2. Sea f : R → R y g : R → R las funciones dadas por f(x) = x2 y g(y) = y − 1. Entonces, g ◦ f(x) =g(x2) = x2 − 1 y f ◦ g(y) = f(y − 1) = (y − 1)2 = y2 − 2y + 1. La composicion de funciones nonecesariamente es conmutativa.

Proposicion 1.2.11 (propiedades de la composicion). Sean f : A→ B, g : B → C y h : C → D.

1. Asociatividad: h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .

2. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva. Por otro lado, si g ◦ f es inyectiva, entonces f esinyectiva.

3. Si f y g son sobreyectivas, entonces g◦f es sobreyectiva. Por otro lado, si g◦f es sobreyectiva, entoncesg es sobreyectiva.

4. Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.

Demostracion:

1. Ejercicio.

2. Supongamos primero que f y g son inyectivas. Ahora, sean a1, a2 ∈ A tales que (g◦f)(a1) = (g◦f)(a2).Entonces, g(f(a1)) = g(f(a2)). Como g es inyectiva, se tiene que f(a1) = f(a2). Ahora, como f esinyectiva, nos queda que a1 = a2. Por lo tanto, g ◦ f es inyectiva.

Ahora asumamos que g ◦ f es inyectiva. Sean a1, a2 ∈ A tales que f(a1) = f(a2). Luego, (g ◦ f)(a1) =g(f(a1)) = g(f(a2)) = (g ◦ f)(a2), y como g ◦ f es inyectiva, se tiene que a1 = a2. Por lo tanto, f esinyectiva.

3. Supongamos primero que f y g son sobreyectivas. Sea c ∈ C. Como g es sobreyectiva, existe b ∈ Btal que c = g(b). Por otro lado, como f es sobreyectiva, tenemos que existe a ∈ A tal que b = f(a).Entonces, c = g(b) = g(f(a)) = (g ◦ f)(a), para todo c ∈ C, es decir, g ◦ f es sobreyectiva.

Ahora asumamos que g ◦ f es sobreyectiva. Sea c ∈ C. Luego, existe a ∈ A tal que c = (g ◦ f)(a) =g(f(a)). Entonces, existe b ∈ B tal que c = g(b), a saber, b = f(a).

4. Supongamos que f y g son biyectivas. Entonces g ◦f es inyectiva pues g y f lo son. De manera similar,g ◦ f es sobreyectiva. Por lo tanto, g ◦ f es biyectiva.

Ejemplo 1.2.12.

1. Si g ◦ f es inyectiva, la funcion g no tiene por que serlo.

En efecto, sea f : [0,+∞) → R dada por f(x) =√x, y g : R → R la funcion dada por g(x) = x2.

Entonces, g ◦ f : [0,+∞) → R esta dada por (g ◦ f)(x) = g(√x) = (

√x)2 = x para todo x ∈ [0,+∞).

Note que g ◦ f es inyectiva pero g no lo es.

2. Si g ◦ f es sobreyectiva, la funcion f no tiene por que serlo.

Sea f la funcion anterior y g′ : R→ [0,+∞) dada por g′(x) = x2. Entonces, g′ ◦ f : [0,+∞)→ [0,+∞)dada por g′ ◦ f(x) = x es sobreyectiva. Sin embargo, f no lo es.

Este ejemplo tambien cumple que g′ ◦ f es biyectiva, pero f y g′ no lo son.

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Funciones inversas

Existe un tipo especial de funciones que se pueden construir a partir de las funciones biyactivas, llamadasfunciones inversas.

Definicion 1.2.13 (funcion inversa). Una funcion f : A → B se dice invertible si existe una funciong : B → A tal que g ◦ f = idA y f ◦ g = idB. La funcion g se denomina funcion inversa de f .

Teorema 1.2.14. Las siguientes afirmaciones se cumplen:

1. Una funcion es invertible si, y solamente si, es biyectiva.

2. Si f es invertible, entonces su funcion inversa es unica. Tal inversa es tambien una funcion biyectiva.

Demostracion:

1. Sea f : A→ B una funcion. Supongamos primero que f es invertible. Luego, existe g : B → A tal queg ◦ f = idA y f ◦ g = idB .

Veamos primero que f es inyectiva. Sean a1, a2 ∈ A tales que f(a1) = f(a2). Luego, a1 = g(f(a1)) =g(f(a2)) = a2, y por lo tanto f es inyectiva.

Para ver que f es sobreyectiva, sea b ∈ B. Como f ◦ g = idB , tenemos que b = idB(b) = f(g(b)), dondeg(b) ∈ A. Por lo tanto, f es sobreyectiva.

Ahora supongamos que f es biyectiva. Luego, para todo b ∈ B existe un unico a ∈ A tal que b = f(a).Sea g : A → B definida por g(b) := a tal que f(a) = b. Note que g es una funcion pues el elementoa ∈ A que satisface f(a) = b es unico.

Solo falta verificar que g ◦ f = idA y f ◦ g = idB . Sea a ∈ A. Luego, (g ◦ f)(a) = g(f(a)) esta definidocomo el elemento a′ ∈ A que verifica f(a′) = f(a). Como f es inyectiva, tememos que a′ = a. Porende, g(f(a)) = a′ = a. De esta manera, se tiene que g ◦ f = idA. Ahora sea b ∈ B y a ∈ A el unicoelemento de A que satisface b = f(a). Luego, g(b) = g(f(a)) = a. Aplicamos f a esta ultima igualdad,y nos queda f(g(b)) = f(a) = b. Por lo tanto, f ◦ g = idB .

2. Sea f una funcion invertible. Supongamos que g′, g : B → A son inversas de f . Para todo b ∈ B,tenemos lo siguiente:

g(b) = idA ◦ g(b) = g′ ◦ f ◦ g(b) = g′(f ◦ g(b)) = g′ ◦ idB(b) = g′(b).

Por lo tanto, g = g′.

Ejemplo 1.2.15. La funcion f : R→ (−1, 1) dada por f(x) = x1+|x| es invertible.

Primero veamos que f es biyectiva. Sea y ∈ (−1, 1). Queremos hallar un unico x ∈ R tal que y = x1+|x| .

Hagamos un analisis por casos:

• x ≥ 0: Luego, |x| = x y ası y = x1+x . Entonces, podemos despejar x en funcion de y:

y + yx = x

y = x− yxy = (1− y)x

x =y

1− y.

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Tal valor de y esta bien definido por y ∈ (−1, 1). Como y < 1, tenemos que 1 − y > 0. Esto, sumadoal hecho de que x ≥ 0, implica que y ≥ 0. Entonces y = |y| y podemos reescribir la expresion anteriorcomo

x =y

1− |y|.

• x < 0: Luego, |x| = −x y ası y = x1−x . Entonces, podemos despejar x en funcion de y:

x =y

1 + y.

Notamos que 1 + y > 0 pues y > −1. Ademas, x < 0. Entonces, y < 0, por lo que |y| = −y. Podemosası escribir la expresion anterior como:

x =y

1− |y|.

En cualquier caso, x puede despejarse como x = y1−|y| . Se puede verificar que y = f

(y

1−|y|

). Luego, la

inversa de f es la funcion g : (−1, 1)→ R dada por g(y) = y1−|y| .

Imagen e imagen inversa de una funcion

Sea f : A→ B una funcion.

Definicion 1.2.16. Consideremos subconjuntos X ⊆ A y Y ⊆ B.

1. Se define la imagen de X a traves de f como el conjunto

f(X) := {b ∈ B : b = f(x) para algun x ∈ X}.

En el caso en el que X = A, al conjunto f(A) se le denomina imagen de f . Note que f es sobreyectivasi, y solo si, f(A) = B.

2. Se define la imagen inversa de Y a traves de f como el conjunto

f−1(Y ) := {a ∈ A : f(a) ∈ Y }.

Note que f es inyectiva si, y solo si para cada b ∈ B, el conjunto f−1({b}) es unitario o vacıo.

Proposicion 1.2.17 (propiedades de la imagen). Sea f : A → B una funcion. Las siguientes afirmacionesse cumplen:

1. Si X,X ′ ⊆ A, entonces f(X ∪X ′) = f(X) ∪ f(X ′).

2. Si X,X ′ ⊆ A, entonces f(X ∩X ′) ⊆ f(X) ∩ f(X ′).

Demostracion: Sean X,X ′ ⊆ A.

• f(X ∪X ′) = f(X) ∪ f(X ′):

Sea y ∈ f(X ∪X ′). Luego, existe x ∈ X ∪X ′ tal que y = f(x). Como x ∈ X ∪X ′, se tiene que x ∈ Xo x ∈ X ′. En el primer caso, y ∈ f(X). En el segundo, y ∈ f(X ′). Por lo tanto, y ∈ f(X) ∪ f(X ′).Hemos probado la inclusion f(X ∪X ′) ⊆ f(X) ∪ f(X ′).

Para probar la otra inclusion, notamos que X ⊆ X ∪X ′ y X ′ ⊆ X ∪X ′ implica que f(X) ⊆ f(X ∪X ′)y f(X ′) ⊆ f(X ∪X ′). Luego, tenemos que f(X) ∪ f(X ′) ⊆ f(X ∪X ′).

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• f(X ∩X ′) ⊆ f(X) ∩ f(X ′):

Las inclusiones X ∩X ′ ⊆ X y X ∩X ′ ⊆ X ′ implican f(X ∩X ′) ⊆ f(X) y f(X ∩X ′) ⊆ f(X ′). Por lotanto, f(X ∩X ′) ⊆ f(X) ∩ f(X ′).

Observacion 1.2.18. La inclusion f(X) ∩ f(X ′) ⊆ f(X ∩X ′) no es cierta en general. Por ejemplo, seanX y X ′ los subconjuntos de R dados por X = (−∞,−1] y X ′ = [1,+∞), y f : R → R la funcion dada porf(x) = x2. Luego, X ∩ X ′ = ∅, por lo que f(X ∩ X ′) = ∅ en este caso. Por otro lado, f(X) = [1,+∞) yf(X ′) = [1,+∞), de donde f(X) ∩ f(X ′) = [1,+∞).

Proposicion 1.2.19 (propiedades de la imagen inversa). Sea f : A → B una funcion. Las siguientes afir-maciones se cumplen:

1. Si Y, Y ′ ⊆ B, entonces f−1(Y ∪ Y ′) = f−1(Y ) ∪ f−1(Y ′).

2. Si Y, Y ′ ⊆ B, entonces f−1(Y ∩ Y ′) = f−1(Y ) ∩ f−1(Y ′).

Demostracion: Sean Y, Y ′ ⊆ B.

1. f−1(Y ∪ Y ′) = f−1(Y ) ∪ f−1(Y ′):

Como Y ⊆ Y ∪ Y ′ y Y ′ ⊆ Y ∪ Y ′, se tiene que f−1(Y ) ⊆ f−1(Y ∪ Y ′) y f−1(Y ′) ⊆ f−1(Y ∪ Y ′).Entonces, se tiene la inclusion f−1(Y ) ∪ f−1(Y ′) ⊆ f−1(Y ∪ Y ′).Para probar la inclusion contraria, tomamos x ∈ f−1(Y ∪Y ′). Luego, f(x) ∈ Y ∪Y , es decir, f(x) ∈ Yo f(x) ∈ Y ′. Dicho de otra forma, x ∈ f−1(Y ) o x ∈ f−1(Y ′), es decir, x ∈ f−1(Y ) ∪ f−1(Y ′).

2. f−1(Y ∩ Y ′) = f−1(Y ) ∩ f−1(Y ′):

Las inclusiones Y ∩Y ′ ⊆ Y y Y ∩Y ′ ⊆ Y ′ implican que f−1(Y ∩Y ′) ⊆ f−1(Y ) y f−1(Y ∩Y ′) ⊆ f−1(Y ′).Por lo tanto, f−1(Y ∩ Y ′) ⊆ f−1(Y ) ∩ f−1(Y ′).

Para probar la inclusion contraria, tomamos x ∈ f−1(Y ) ∩ f−1(Y ′). Entonces, x ∈ f−1(Y ) y x ∈f−1(Y ′), es decir, f(x) ∈ Y y f(x) ∈ Y ′. Entonces, f(x) ∈ Y ∩ Y ′, es decir, x ∈ f−1(Y ∩ Y ′).

Monotonıa de funciones

Para esta seccion, nos centraremos en funciones f : A → B tales que A,B ⊆ R. Es sabido que el conjuntoR posee una relacion de orden ≤. Teniendo esto en cuenta, podemos formular el concepto de monotonıa defunciones.

Definicion 1.2.20. Una funcion f : A→ B se dice:

1. Monotona creciente si para x, x′ ∈ A, x ≤ x′ implica que f(x) ≤ f(x′).

2. Estrictamente monotona creciente si para x, x′ ∈ A, x < x′ implica que f(x) < f(x′).

3. Monotona decreciente si para x, x′ ∈ A, x ≤ x′ implica que f(x′) ≤ f(x).

4. Estrictamente monotona decreciente si para x, x′ ∈ A, x < x′ implica que f(x′) < f(x).

Proposicion 1.2.21. Toda funcion f : A→ B estrictamente monotona creciente o decreciente es inyectiva.

Demostracion: Probaremos solo el caso en el que f es estrictamente monotona creciente. El otro es analogo.

Sean x, x′ ∈ A tales que x 6= x′. Luego, x < x′ o x′ < x, lo cual implica que f(x) < f(x′) o f(x′) < f(x),respectivamente. En cualquier caso, se tiene que f(x) 6= f(x′), es decir, f es inyectiva.

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