INTRODUCCION A LA TEOR IA DE LAS DISTRIBUCIONES

INTRODUCCION A LA TEORIA DE LASDISTRIBUCIONES

Liz Andrea Escobar Vargas

Tesis presentada al Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias,Pontificia Universidad Javeriana para optar por el grado de Matematicas

Dirigida por:Humberto Gil Silva Rafeiro Ph.D.

Noviembre, 2012

Bogota - Colombia

Indice general

1. Introduccion 11

2. Preliminares 152.1. Enfoque Axiomatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Teorıa Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Algunos Resultados Sobre Integracion . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Distribuciones Sobre el Espacio D 273.1. Funciones Prueba en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Espacio de las Distribuciones D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Distribuciones Sobre el Espacio S 374.1. Funciones Prueba en S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2. Espacio de las Distribuciones Temperadas . . . . . . . . . . . 41

5. Derivada y Propiedades de las Distribuciones 535.1. Derivada de las Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Propiedades y Relaciones entre S y D . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Transformada de Fourier 696.1. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2. Transformada de Fourier de una Distribucion Temperada . . . 82

7. Convoluciones 857.1. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2. Convoluciones con Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8. Teoremas de Estructura para las Distribuciones 105

3

4 INDICE GENERAL

9. Aplicaciones 1099.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) . . . . . . . . . . . . 1099.2. Soluciones Fundamentales y Ecuaciones Diferenciales . . . . . 1209.3. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.4. Calculo Fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Agradecimientos

Agradezco a Dios por darme la oportunidad de cumplir uno de mis suenos,a mis padres por darme los medios y la fuerza para alcanzarlos y a todos aque-llos que estuvieron a mi lado en el proceso.A la Pontificia Universidad Javeriana, la Carrera de Matematicas particular-mente a Humberto Gil Silva Rafeiro Ph.D. por la paciencia y la disposicionpara trabajar conmigo.

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6 INDICE GENERAL

Notacion

Se determina la siguiente notacion que sera valida en todo este trabajo

1.

supp(f) = x ∈ Ω : f(x) 6= 0

2.

|| f ||∞ = supx∈Rn

| f(x) |

3. Se define la siguiente notacion de multi-ındices, sea α ∈ Zd, tal queα = α1, ..., αn, donde αi ∈ Z+, para todo 1 ≤ i ≤ n y x ∈ Rd tal quex = x1, ..., xn

|α| =n∑i=1

αi.

Dα = ∂α

∂xα11 ∂x

α22 ...∂xαnn

.

xα = xα11 x

α22 · · ·x

αdd .

sea c ∈ C, entonces, se define cα = cα1cα2 · · · cαd = c|α|.

sea β ∈ Z+, entonces(α

β

)=

(α1

β1

)(α2

β2

)· · ·(αdβd

)4. Se define el conjunto de las funciones continuas en un intervalo I ⊂ Rd

C(I)

7

8 INDICE GENERAL

5. De forma analoga, se define el conjunto de las funciones continuas, enI, cuyas n primeras derivadas son continuas, en I

Cn(I).

Por lo tanto, el conjunto de las funciones infinitamente diferenciablesse denotara por

C∞(I).

6. La bola abierta de centro a y radio r

Dr(a) = x ∈ R : |x− a| < r.

7. Sea (xn) una sucesion se define

El lımite inferior de (xn), como

lım infn→∞

xn = supınfxk : k ≥ n : n ≥ 0 = lımn→∞

(ınfk≥n

xk

)El lımite superior de (xn), como

lım supn→∞

xn = ınfsupxk : k ≥ n : n ≥ 0 = lımn→∞

(supk≥n

xk

)8. Se notara

supp(f) + supp(g) = x+ y| x ∈ supp(f) ∧ y ∈ supp(g)

9. El Laplaciano se notara ∆, donde

∆f(x) =d∑i=1

∂2f

∂x2i

10. Sea P (x1, · · · , xd) un polinomio en d-variables. Entonces se notara P (D)el operador parcial diferencial obtenido de reemplazar: Dj = ∂

∂xjpara

cada xj en la expresion polinomial de P (x1, · · · , xd). Por ejemplo, sea

P (x) = x31 + x21x2 + x1, entonces P (D) = ∂3

∂x31+ ∂3

∂x21∂x2+ ∂

∂x1

INDICE GENERAL 9

11. Se notara Pd el conjunto de todos los polinomios de grado menor oigual a d.

12. Sea (fn) una sucesion de funciones, notara

fn ⇒ f

si fn converge uniformemente a f .

13. Sea ϕn un sucesion:

Si ϕn → ϕ en D, notara ϕnD−→ϕ.

Si ϕn → ϕ en S, notara ϕnS−→ϕ.

Si ϕn → ϕ en D′, notara ϕnD’−→ϕ.

Si ϕn → ϕ en S ′, notara ϕnS’−→ϕ.

10 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Introduccion

I am sure that something must be found.There must exist a notion of generalized functions

which are to functions what real numbers are to the rationals.

(G. Peano, 1912) [4]

Los siglos XIX y XX se caracterizaron por un impresionante desarrollodel analisis funcional, en particular a traves del estudio de los espacios dua-les. Ası, desde 1913 con la implementacion y demostracion de los teoremasde representacion de Riesz se puede intuir el concepto de funciones generali-zadas: el teorema de Riesz (2.22) demuestra que algunos funcionales puedenser representados por funciones ordinarias (obtienendo unos objetos “masgenerales” que las funciones) [7].

A pesar de la temprana intuicion del concepto de funciones generaliza-das, estas no se desarrollaron hasta mediados del siglo XX debido a la faltade motivacion y ciertos vacios en el entendimiento de los espacios duales.Pero, las dificultades que se presentaban en la solucion de algunas ecuacio-nes diferenciales impulso una teorıa que permitirıa la busqueda de solucionesque no tuvieran que satisfacer la regularidad de la ecuacion planteada: lasdistribuciones se desarrollaron en paralelo a la busqueda de soluciones “ge-neralizadas” (o debiles).

Uno de los problemas que llevaron al desarrollo de las funciones generaliza-das es el de la vibracion de cuerdas (planteado inicialmente por d’Alembert):este podrıa tomarse como el primer ejemplo de utilizacion de soluciones ge-neralizadas. El problema anterior genero controversia debido a la solucion

11

12 CAPITULO 1. INTRODUCCION

que algunos matematicos utilizaron como las soluciones debiles, a traves defunciones prueba.

Al estudio de este problema se sumo Lagrange, quien, ademas de otros argu-mentos, proporciono uno de los conceptos centrales de las funciones prueba:utilizar la integracion por partes para pasar el operador diferencial de la“funcion desconocida” a la funcion prueba (esto permitira definir la derivadapara las funciones generalizadas) cuya regularidad es impuesta desde el inicio(cabe resaltar que d’Alembert no estaba de acuerdo con la utilizacion de so-luciones generalizadas). La ecuacion integro-diferencial, que se debe cumplirpara todas las funciones prueba, no supone diferenciabilidad de la solucion;este metodo fue explıcitamente formulado y aplicado por Wiener en 1926, yes conocido como derivada debil.A pesar que se evidencio la utilidad de las soluciones generalizadas estas tu-vieron un largo tiempo de inactividad, pero volvieron a entrar en vigenciagracias a las ecuaciones elıpticas de Laplace y Poisson: Sobolev utilizo estaherramienta para la solucion de ecuaciones hiperbolicas y elıpticas [9]. Masaun, Sobolev definio la solucion generalizada de la ecuacion de onda, comouna funcion u para la cual existe una sucesion un ∈ C∞ de soluciones ordina-rias y que converge en L1(x, y, t) a u. A esta definicion le debemos el enfoquesecuencial de solucion generalizada.Ası, Sobolev establece las bases de las soluciones generalizadas, y prueba enun ejemplo la aplicacion de dicho concepto, lo que marca el “renacimiento”de este y el inicio de las funciones generalizadas [9, 12].

Posteriormente las funciones generalizadas tomarıan el nombre de distribu-ciones, nombre que les dio el matematico frances Schwartz, y que, debidoa la aceptacion y difusion de su teorıa es el nombre utilizado actualmente[8]. Al igual que en el caso de Sobolev, la motivacion para el desarrollo dela teorıa de las distribuciones por parte de Schwartz, se debio al estudio delas soluciones debiles de ecuaciones diferenciales parciales. Pero a diferenciade los trabajos anteriores, Schwartz contaba con un avance en el estudio delanalisis funcional antes de utilizar esta herramienta en las aplicaciones. Ası,inicialmente, Schwartz concibio las “distribuciones” como operadores, perogracias a los precedentes que habıa establecido en la teorıa de la dualidadde los espacios de Banach, la de los espacios de Frechet y a los beneficios detrabajar con los espacios duales, Schwartz definio las distribuciones como unfuncional lineal continuo sobre un espacio vectorial de funciones (llamadas

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funciones prueba) [11].

A pesar de la importancia del trabajo de Schwarzt en el estudio de lasdistribuciones, estas no fueron muy utilizadas, por el conocimiento de anali-sis funcional previo necesario para desarrollar esta teorıa. Por esta razon, sedesarrollo posteriormente el enfoque axiomatico de las distribuciones. En esteenfoque se trabaja con un concepto “intuitivo” de las distribuciones: estasson abordadas como las derivadas de funciones continuas usuales, donde laderivacion es interpretada en un sentido muy general. Entre los precursoresde una nueva forma de estructurar las distribuciones, esta el matematico por-tugues Jose Sebastiao e Silva, [3].

A pesar de la “sencillez” del enfoque axiomatico este no es muy utilizado, eldesarrollo de la estructura de las distribuciones bajo los teoremas basicos delanalisis funcional es particularmente interesante, pues permite la interdisci-plinaridad entre diferentes areas de las matematicas entre las que se destacanel analisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales parciales, la teorıa de la me-dida y por supuesto el analisis funcional. Por esta razon, en este trabajo sehara un estado del arte sobre la teorıa de las distribuciones enfocandose ensus aplicaciones en la transformada de Fourier, las convoluciones y las ecua-ciones diferenciales, entre otras.

En los tres primeros capıtulos se expondran las definiciones y propiedadespresentes en los principales espacios de distribuciones, de forma similar a lodesarrollado en [13, 10]. Los capıtulos 5,6 y 7 incluyen aplicaciones de las dis-tribuciones en la transfromada de Fourier y las convoluciones, propiedadesque seran utilizadas en el capıtulo 9 como herramientas para soluciones deecuaciones diferenciales parciales y el calculo fraccionario, utilizando comoreferencia lo desarrallado en [13, 10, 4]. Inicialmente se hara una breve des-cripcion del enfoque axiomatico y de los teoremas necesarios para desarrollarla estructura de las distribuciones.

14 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Capıtulo 2

Preliminares

Debido a que el enfoque axiomatico no es muy conocido, se iniciara pre-sentando los axiomas bajo los cuales Jose Sebastiao e Silva estructuro lasdistribuciones [3].

2.1. Enfoque Axiomatico

A traves de este modelo axiomatico, las distribuciones generalizan el con-cepto de funcion, al igual que la nocion de numero real generaliza la nocionde numero racional. Uno de los objetivos princiaples de esta generalizacionde las funciones es lograr la derivacion en condiciones mas generales que enel analisis clasico. Una de las consecuencias de esto es darle explicacion aalgunos metodos del calculo operacional utilizados ampliamente por fısicos eingenieros.

Antes de definir los axiomas que sustentaran este enfoque de la teorıa delas distribuciones, es necesario observar que en C(I), donde I es un intervalode R, no siempre se puede efectuar la operacion de derivacion, sin embargo,siempre es posible definir la primitiva de una funcion continua. Mas aun, setiene la siguiente cadena

C1 ⊃ C2 ⊃ · · · C∞.

Ası, el objetivo es definir una cadena de la forma

D∞ ⊃ · · · D2 ⊃ D1,

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16 CAPITULO 2. PRELIMINARES

donde D1 designara el conjunto de las primeras derivadas (generalizadas) delas funciones f ∈ C y en general, Dk el conjunto de las derivadas de orden kde f ∈ C, ası

D∞ =⋃n∈Z+

Dn

sera el conjunto de todas las distribuciones.A partir de lo anterior, se derivan cuatro axiomas que seran la base de lateorıa [3]:

Axioma 1. Las distribuciones definidas en I, D∞(I), forman un conjuntoque contiene al conjunto C(I) de las funciones continuas en I.

Por lo tanto, toda funcion continua es una distribucion.

Axioma 2. La derivacion, D, es una aplicacion de D∞ en D∞ tal que, sif ∈ C1, entonces

Df = f ′,

donde f ′ designa la derivada usual de f .

Axioma 3. Para todo F ∈ D∞, existen n ∈ Z+ y un f ∈ C tales que

F = Dnf.

Axioma 4. Sea f, g ∈ C y r ∈ Z+, la igualdad Drf = Drg se cumple, si ysolo si f − g ∈ Pr.

Vemos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.1 (Funciones con integrales indefinidas). Sea f una funcion conintegral indefinida en I (es decir f es integrable en cualquier intervalo com-pacto de contenido en I) y a ∈ I un punto arbitrario en I, la integral indefi-nida de f con origen en el punto a es la funcion continua en I definida porla formula

Φ(x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Ası, lo mas natural (en particular para asegurar el cumplimiento del axioma2) es definir: f = DΦ (donde D es la derivada en el sentido de las distribu-ciones).Considere la funcion (con integral indefinida en R)

H(x) =

1, x > 0

0, x ≤ 0

2.2. DELTA DE DIRAC 17

eligiendo a = 0 y definiendo

J(x) =

∫ x

0

H(t)dt,

se obtiene J(x) = x si x ≥ 0 y J(x) = 0 si x < 0. Por lo tanto, hemosidentificado H, funcion escalonada de Heaviside, con la distribucion DJ , quellamaremos distribucion de Heaviside .La funcion H tiene una derivada H ′ en el sentido clasico, definida en R \ 0(H ′(x) = 0 para todo x 6= 0) la cual se identifica con la distribucion nula(en R \ 0), llamada distribucion de Dirac : D2J = δ. De forma similar, sedefinen las derivadas de la distribucion de Dirac: δ(k) = Dk+2J .

Definicion 2.2 (Grado de una Distribucion). Sea F ∈ D∞ tal que

F = Dnf,

donde, f ∈ C y n ∈ Z+. Se llamara el grado de la distribucion F el menorentero n tal que F ∈ Dn, ası mismo, Dn es el conjunto de las distribucionesde grado n.

Observacion 2.3. Las distribuciones de grado 0 son las funciones continuas.

Ejemplo 2.4. La distribucion de Heaviside es de grado 1, mientras que δsera una distribucion de grado 2.

Ası, a partir de los axiomas anteriores, se construye una teorıa mas sencillade las distribuciones y estos axiomas tienen resultados similares en el enfoqueque se tratara en este trabajo.Vale la pena resaltar que tanto en el enfoque axiomatico como en el que setratara a continuacion, uno de los elementos centrales es la “funcion Deltade Dirac”.

2.2. Delta de Dirac

Una de las primeras distribuciones en surgir fue la llamada “funcion δde Dirac” (o “funcion impulso unitario”). Veamos una manera natural deintroducirla:

Suponga una distribucion de masa en R. Ası, a cada intervalo acotado,


I ⊂ R se le asociara un numero, no negativo, m(I), que representa la can-tidad de masa contenida en dicho intervalo. En muchos casos practicos, esimportante que exista una funcion ρ, tal que

m(I) =

∫I

ρ(x) dx,

para cada intervalo acotado I. Bajo el supuesto que dicha funcion es continuase tiene

ρ(x) = lımh→0

m[x− h

2;x+ h

2

]h

. (2.1)

Donde el valor de ρ(x) es llamado la densidad de la distribucion de masa enel punto x. Consideremos ahora la distribucion de masa

m(I) =

1, 0 ∈ I0, 0 /∈ I.

Suponga que la densidad para esta distribucion de masa existe y es continua,se notara δ(x). Entonces ∫ b

a

δ(x) dx = m([a; b]) = 1

siempre que a < 0 < b. Suponiendo la continuidad, la densidad δ(·) satisfacela ecuacion 2.1, por lo tanto

δ(x) = lımh→0

m[x− h

2;x+ h

2

]h

=

0, x 6= 0

∞, x = 0.

Ası, se asumio la existencia de una funcion tal que

δ(x) =

0, x 6= 0

∞, x = 0.(2.2)

y para todo a, b ∈ R con a < 0 < b∫ b

a

δ(x) dx = 1. (2.3)

Observe que la ecuacion (2.2) define una funcion (pues a cada x ∈ R leasigna un unico δ(x)). Sin embargo, la ecuacion (2.3) es una contradiccion de

2.2. DELTA DE DIRAC 19

la definicion de la ecuacion (2.2) bajo cualquier teorıa aceptable de medida,pues en particular, bajo la integral de Lebesgue∫ b

a

δ(x) dx = 0

pues x = 0 tiene medida 0; pero esto contradice la ecuacion (2.3). Mas aun, sepodrıa pensar en la “expansion” del concepto de integral, pero esta perderıalas propiedades basicas de la integral (como la linealidad). Por la ecuacion(2.2), se obtiene 2δ = δ, por lo tanto∫ b

a

2δ(x) dx =

∫ b

a

δ(x) dx = 1

tomando como referencia (2.2), sin embargo, al suponer la linealidad en laintegral se obtendrıa ∫ b

a

2δ(x) dx = 2

∫ b

a

δ(x) dx = 2.

Todo lo anterior sugiere que no existe la funcion de densidad δ que satisfagalas condiciones (2.3) y (2.2). A pesar de esto, los fısicos e ingenieros no parande construir esquemas para los cuales es indispensable considerar funciones“generalizadas” como la funcion de Dirac o incluso sus derivadas: considereel sistema compuesto por dos cargas electricas puntuales, q y −q, ubicadasen −h y h (de R) respectivamente. Se fija una distribucion de carga a la cualse le atribuye la densidad

qδ(x+ h)− qδ(x− h).

Ahora, al suponer que h→ 0 y q →∞, de modo que 2qh tenga lımite finito,digamos p, entonces, la densidad de carga serıa

lımh→0

[2hq

δ(x+ h)− δ(x− h)

2h

]= pδ′(x).

Esta carga es llamada por los fısicos dipolo (electrico) de momento p (en elorigen). De forma analoga, se podrıa definir la segunda derivada δ′′ como ellımite de un sistema de dos dipolos

lımh→0

[δ′(x+ h)− δ′(x)

h

]= δ′′(x).


Ası, la utilizacion de la funcion de Dirac fue uno de los factores impulsoresde la teorıa de las distribuciones.

Finalmente, para el desarrollo de los conceptos que se trataran a continua-cion, es necesario tener en cuenta los siguientes teoremas basicos del analisisfuncional, estos resultados se pueden encontrar en [2, 6]

2.3. Teorıa Inicial

Para el desarrollo de la teorıa de las distribuciones se tendran en cuentalas siguientes definiciones y teoremas preliminares. Debido a que muchos deestos se tratan en cursos de analisis funcional, se hara referencia a los librosmas reconocidos que se siguen en estos cursos y se obviara la demostracionde estos teoremas.

Definicion 2.5 (Exponentes Conjugados). Sea p, q ∈ [1;∞), p, q se dicenexponentes conjugados si

1

p+

1

q= 1.

Definicion 2.6. Se definen los espacios de Lebesgue Lp, como los espaciosvectoriales normados sobre un espacio de medida (X,Σ, µ), donde p ∈ [1;∞)como el espacio de todas las funciones medibles f que cumplen∫

X

|f |pdµ <∞

Es decir

Lp(X) =f : X → R|f es medible y |f |p ∈ L1(X)

(donde L1 son las funciones medibles y abolutamente integrables). En parti-cular, se define: L∞ como el espacio de las funciones medibles f tales que

ınfa ∈ R : µ(x ∈ X : |f(x)| ≥ a) = 0 <∞

Esto es equivalente a

L∞(X) = f : X → R|f esmedible y ∃C : |f(x)| ≤ C en c.t.p

2.3. TEORIA INICIAL 21

(donde c.t.p se refiere a en casi todo punto).Se define una norma en Lp como

|| f ||Lp =

(∫|f |pdµ

) 1p

siempre que p <∞ y en el caso de p =∞, se define

|| f ||L∞ = ınfa ∈ R : µ(x ∈ X : |f(x)| ≥ a) = 0

Observacion 2.7. La norma || · ||L∞ es equivalente a sup essx∈Rd |·| = || · ||∞.

Definicion 2.8. Un operador lineal U∗, en un espacio de Hilbert, H, se diceel operador adjunto del operador lineal U si, para todo x, y ∈ H, ∃z ∈ H talque

〈x, Uy〉 = 〈U∗z, y〉.

donde 〈·, ·〉 es el producto interno.

Definicion 2.9. Un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert,H, se dice unitario si

U∗U = UU∗ = I

donde U∗ es el operador adjunto de U .

Definicion 2.10. Un operador U en un espacio de BanachX, se dice isometri-co si para todo x ∈ X, se tiene

||Ux ||U(X) = ||x ||X

Definicion 2.11. Sea (X,Σ, µ) un espacio de medida, una funcion s se dicesimple siempre que

s(x) =m∑j=1

bjχBj

donde bj ∈ R, para todo j, Bj es medible y χBj su respectiva funcion carac-terıstica.

Definicion 2.12 (Funcional Sublineal). Un funcional lineal p en un espaciovectorial X se dice sublineal si:


1. es subaditivop(x+ y) ≤ p(x) + p(y)

para todo x, y ∈ X,

2. es homogeneamente positivo

p(αx) = αp(x)

para todo α ≥ 0 en R y x ∈ X.

Para la demostracion de los siguientes teoremas refierase a [2, 6].

Teorema 2.13. Sea (fn) una sucesion de funciones continuas en S, talesque fn ⇒ f en S, entonces f es continua.

Observacion 2.14 (Regla de Pascal). Para todo m, k ∈ Z+, tales que 1 ≤k ≤ m (

m

k

)+

(m

k − 1

)=

(m+ 1

k

).

Teorema 2.15. Sean f, g funciones derivables de orden m en x, entonces(fg)(x) := f(x)g(x) es tambien derivable de orden m en x, mas aun

(fg)m(x) =m∑k=0

(m

k

)f (m−k)(x)g(k)(x)

Para el caso de d > 1

Teorema 2.16 (Formula de Leibniz). Sean f, g ∈ Cm(Rd), entonces

∂α(fg) =∑β≤α

(α

β

)(∂βf)(∂α−βg),

donde β ≤ α, si para todo 1 ≤ j ≤ d βj ≤ αj.

Teorema 2.17. Lp es espacio de Banach.

Teorema 2.18 (Teorema de Rolle). Sea f un funcion tal que

1. f es continua en el intervalo cerrado [a; b].

2. f es derivable en el intervalo abierto (a; b).

2.3. TEORIA INICIAL 23

3. f(a) = f(b) = 0.

Entonces, existe un c ∈ (a; b) tal que: f ′(c) = 0.

Teorema 2.19. Sea f una funcion con las siguientes propiedades:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a; b].

2. f es derivable en el intervalo abierto (a; b).

Entonces, existe un c ∈ (a; b) tal que

f ′(c) =f(a)− f(b)

b− a

En el caso d > 1

Teorema 2.20 (Teorema del Valor Medio). Sea f : Rd → R una funciondiferenciable, a, b ∈ Rd, entonces, existe un c ∈ Rd tal que

f(b)− f(a) = 5f(c) · (b− a),

donde 5 es el gradiente de la funcion f y · denota el producto interno,

5f(x) =

(∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), · · · , ∂f

∂xd(x)

)Teorema 2.21 (Teorema de Hahn-Banach). Sean X un espacio vectorialreal, p un funcional sublineal en X, f un funcional lineal definido en unsubespacio Z de X que satisface

f(x) ≤ p(x)

para todo x ∈ Z.Entonces f tiene una extension f de Z a X que satisface

f(x) ≤ p(x)

para todo x ∈ X y f(x) = f(x) para todo x ∈ Z.


Teorema 2.22 (Teorema de Representacion de Riesz). Sea 1 ≤ p ≤ ∞ yφ ∈ (Lp)∗. Entonces existe una unica funcion u ∈ Lq tal que

φ(f) =

∫uf

para todo f ∈ Lp. Mas aun

||u ||p = ||φ ||(Lq)∗ .

La prueba de este teorema se puede encontrar en [2].

Teorema 2.23 (Desigualdad de Young). Sean a, b, p, q > 0 y p, q exponentesconjugados, entonces

ab ≤ ap

p+bq

q

Teorema 2.24 (Desigualdad de Holder). Suponga f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lq(Ω),donde p, q son exponentes conjugados y 1 ≤ p ≤ ∞. Entonces fg ∈ L1(Ω) y∫

|fg| ≤ || f ||Lp || g ||Lq .

Lema 2.25 (Lema de Zorn). Sea A un conjunto parcialmente ordenado talque para cada cadena C en A admite una cota superior en A (es decir existeα ∈ A tal que x ≤ α, para todo x ∈ C). Entonces, A admite un elementomaximo (exite un γ ∈ A tal que x ∈ A y x ≥ γ implica γ = x).

2.4. Algunos Resultados Sobre Integracion

Los siguientes teoremas se desarrollan bajo (X,Σ, µ) un espacio de medi-da. La demostracion de estos teoremas se puede encontrar en [5].

Definicion 2.26 (Funcion Medible). Sean X, Y espacios de medida, unafuncion f se dice medible, si para todo conjunto medible A ∈ Y , f−1(A) ∈ Xes medible.

Teorema 2.27 (De la Convergencia Monotona). Sea (fn) una sucesion monoto-na de funciones medibles, entonces existe f = lım fn medible y

lım

∫fn =

∫f.

2.4. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE INTEGRACION 25

Teorema 2.28 (Lema de Fatou). Sea (fn) un sucesion de funciones no ne-gativas medibles, entonces∫

lım inf fn ≤ lım inf

∫fn.

Si (fn) es una sucesion de funciones medibles no positivas, entonces∫lım sup fn ≤ lım sup

∫fn.

Teorema 2.29 (Convergencia Dominada de Lebesgue). Sea (fn) una suce-sion de funciones medibles tal que:

1. fn(x)→ f(x) en c.t.p en X

2. Existe un funcion g integrable tal que para todo n, |fn(x)| ≤ g(x) enc.t.p en X.

Entonces f es integrable y∫f = lım

∫fn.

Corolario 2.30. Sean (fn), f, g como el teorema anterior. Entonces

lım

∫|fn − f | = 0

El siguiente corolario es valido, siempre que µ(X) <∞.

Corolario 2.31. Si |fn(x)| ≤M y fn(x)→ f(x), entonces∫fn(x)→

∫f(x).

Capıtulo 3

Distribuciones Sobre el EspacioD

Antes de introducir las distribuciones, es necesario estudiar las llamadasfunciones prueba. Nos interesaremos inicialmente en el espacio D que daorigen a las distribuciones.

3.1. Funciones Prueba en DEste espacio se compone de funciones “ que se comportan bien”, lo que

permitira en particular la definicion generalizada y de cualquier orden de laderivada en el caso de las distribuciones.

Definicion 3.1. Sea Ω ⊂ Rd, un abierto, donde d ∈ Z+, se define C∞c (Ω) co-mo el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables, con soportecompacto en Ω.

Definicion 3.2. Sea (ϕn) ⊂ C∞c y ϕ ∈ C∞c , se define ϕnC−→ϕ siempre que

1. Existe un compacto K ⊂ Ω tal que supp(ϕn) ⊂ K, para todo n.

2. Dαϕn ⇒ Dαϕ, para todo α ∈ Zd+, siempre que n→∞.

Por lo tanto, se define:

Definicion 3.3. D(Ω) = C∞c (Ω)

27

28 CAPITULO 3. DISTRIBUCIONES SOBRE EL ESPACIO D

Y ası se obtiene una definicion de convergencia en D(Ω).A traves de lo anterior, se puede definir una sucesion de Cauchy en D(Ω)

como sigue:

Definicion 3.4. Sea ϕn una sucesion en D(Ω), esta se dice de Cauchy,siempre que exista un compacto K tal que supp(ϕn) ⊂ K, para todo n y||Dα(ϕn − ϕm) ||∞ → 0, siempre que n,m→∞, para todo α ∈ Z+.

Se tiene ademas el siguiente resultado:

Teorema 3.5. D(Rd) es completo.

Demostracion. Suponga (ϕn) ⊂ D(Rd) sucesion de Cauchy, por lo tanto

||ϕn − ϕm ||∞ → 0

siempre que n,m→∞. Es necesario demostrar ∃ϕ ∈ D(Rd) tal que

ϕnD−→ϕ

si n→∞.Observe que para todo x ∈ Rd

|ϕn(x)− ϕm(x)| ≤ supx∈Rd|ϕn(x)− ϕm(x)| = ||ϕn − ϕm ||∞ → 0

por lo tanto (ϕn(x)) ⊂ R es una sucesion de Cauchy en un espacio completo;para cada x ∈ Rd existe ϕ(x) ∈ R tal que ϕn(x)→ ϕ(x). Mas aun, ϕ(x) = 0,si x /∈ K ⊂ supp(ϕn); por lo tanto supp(ϕ) ⊂ K. Basta demostrar queϕ ∈ C∞(Rd).En primer lugar veamos que ϕ es continua. Sabemos que para todo x ∈ Rd

|ϕn(x)− ϕm(x)| ≤ ||ϕn − ϕm ||∞ <1

2ε

siempre que n,m ≥ N(ε), ası, tomando m→∞,

|ϕn(x)− ϕ(x)| ≤ 1

2ε

para todo n > N(ε), ası ε no depende de x y por lo tanto ϕn ⇒ ϕ en R.Como (ϕn) es continua, por el teorema 2.13 demostrado en los preliminaresϕ es continua. Como ademas, para todo x ∈ Rd

|ϕn(x)− ϕ(x)| ≤ 1

2ε

3.1. FUNCIONES PRUEBA EN D 29

en particular||ϕn − ϕ ||∞ < ε

siempre que n ≥ N y por lo tanto ϕn −→ ϕ, con respecto a || · ||∞.Falta ver que ϕ es infinitamente diferenciable. Por la definicion de conver-gencia en D(Rd) se tiene, para todo β ∈ Zd+

||Dβϕn −Dβϕm ||∞ → 0

siempre que n,m → ∞. Por un argumento analogo al anterior, la sucesion(Dβϕn(x)) ⊂ R converge a una funcion gβ.Suponga d = 1. Observe que por la igualdad

ϕn(x) = ϕn(0) +

∫ x

0

ϕ′n(t)dt

ϕ′n → g1 en R haciendo n→∞ se obtiene

g0(x) = g0(0) +

∫ x

0

g1(t)dt,

lo anterior es cierto, pues como ϕn ∈ D, entonces, existe un M > 0, tal que

|ϕ′n(x)| ≤M , para todo x ∈ R mas aun, como ϕ′n es compacto:

∫Rϕ′n(x) dx =∫

K

ϕ′n(x) dx, donde K es un compacto y por lo tanto tiene medida finita, al

utilizar el corolario 2.31, se obtiene la igualdad. Por lo tanto, g0 es conti-nuamente diferenciable y g′0 = g1 (pues ϕ′n ∈ Cc(R) y como este ultimo escompleto y ϕ′n → g1, entonces g1 ∈ Cc(R))

ϕ′n(x) =

(∫ x

0

ϕ′n(t)dt

)′→(∫ x

0

g1(t)dt

)′= g1(x)

Repitiendo el argumento anterior, se obtiene que

g0(x)← ϕn(x) =

β∑i=1

ϕ(i−1)n (0)

xi−1

(i− 1)!+

∫ x

0

· · ·∫ s

0

ϕ(β)n (t)dt · · · dp

para todo β ∈ Z+. Por lo anterior, g0 es infinitamente diferenciable y Dβg0 =gβ.Mas aun, Dβϕn ⇒ gβ = Dβg0

||Dβϕn −Dβg0 ||∞ = supx∈R|ϕ(β)n (x)− g(β)(x)| < ε.


Lo anterior es cierto pues Cc es completo con respecto a la norma || · ||∞.Ası, g0 = ϕ es continua e infinitamente diferenciable, y todas sus derivadasDβg0 = gβ son continuas, por lo tanto se ha demostrado que ϕ ∈ D(R).

Veamos el caso d > 1, sea (ϕn) ⊂ D(Rd) sucesion de Cauchy. Entonces,para cada β ∈ Zd+ la sucesion Dβϕn es una sucesion de Cauchy en Cc(Rd) ypor lo tanto converge a algun gβ ∈ Cc(Rd) (por una razon analoga al casoanterior). Mas aun Dβϕn ⇒ gβ

||Dβϕn −Dβg0 ||∞ = supx∈Rd|Dβϕn −Dβg| < ε

siempre que n→∞, en particular para todo x ∈ Rd.Ahora fije x2, x3, · · · , xd, por el mismo argumento utilizado en la demostra-cion del caso anterior, se sabe que para todo β1 ∈ Z+

∂β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd) → g(β1,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)= ∂β1x1g0(x1, x2, · · · , xd)

Considere la funcion x2 7→ ∂β1x1fn(x1, x2, · · · , xd), por un argumento analogoal anterior, se tiene

∂β2x2∂β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd) → g(β1,β2,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)

= ∂β2x2∂β1x1g0(x1, x2, · · · , xd)

para todo β2 ∈ Z+.Con un procedimiento analogo, se define la funcion

xi 7→ ∂β(i−1)x(i−1) · · · ∂β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd)

obteniendo

∂βixi · · · ∂β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd) → g(β1,β2,··· ,βi,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)

= ∂βixi · · · ∂β1x1g0(x1, x2, · · · , xd)

para todo βi ∈ Z+.Continuando dicho procedimiento, se obtiene

gβ = Dβg0

para todo β ∈ Zd+ y ϕnD−→ g0.

3.2. ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES D′ 31

3.2. Espacio de las Distribuciones D′

La definicion de distribuciones sobre espacios como el definido anterior-mente, D, permite que estos objetos “hereden” las buenas propiedades de lasfunciones prueba. Ası, se define:

Definicion 3.6. Un funcional lineal F : D → R se dice continuo si F (ϕn) −→F (ϕ), siempre que ϕn

D−→n→∞

ϕ. Dicho funcional lineal continuo es llamado dis-

tribucion. El espacio de todas las distribuciones en D se notara D′.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3.7. Sea u una funcion localmente integrable (u ∈ L1(K), paracada conjunto compacto K ⊂ Rd). Entonces el mapa

Fu : ϕ 7→∫Rdϕ(x)u(x) dx

es una distribucion.Por las propiedades de la integral, claramente Fu es lineal.

Suponga (ϕn) ⊂ D(Rd) tal que ϕnD−→ϕ.

Fu(ϕ) =

∫Rdϕ(x)u(x) dx

=

∫Rd

lımnϕn(x)u(x) dx

= lımn

∫Rdϕn(x)u(x) dx

= lımnFu(ϕn)

Lo anterior es cierto, pues ϕn ⇒ ϕ. Ası, Fu ∈ D′(Rd).

Definicion 3.8 (Distribuciones Regulares y Singulares). Las distribucionesde la forma

Fu(ϕ) =

∫Rdu(x)ϕ(x) dx,

son llamadas distribuciones regulares.Mas aun, toda distribucion que no sea regular es llamada distribucion singu-lar.


Se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 3.9. Un funcional lineal F en C∞c es distribucion si y solo si paratodo compacto K ⊂ Ω existe una constante C y un entero N tales que

|F (ϕ)| ≤ C |||ϕ |||N ,

para todo ϕ ∈ C∞c (K), donde

|||ϕ |||N =∑|β|≤N

||Dβϕ ||∞

Demostracion. ⇐= Suponga ϕnD−→ϕ, con ϕn, ϕ ∈ D(Ω), veamos que F es

continua, en el sentido definido anteriormente.

|F (ϕn)− F (ϕ)| = |F (ϕn − ϕ)| ≤ C |||ϕn − ϕ |||N = C∑|β|≤N

||Dαϕn −Dαϕ ||∞

Pero como por hipotesis ϕnD−→ϕ, ||Dαϕn −Dαϕ ||∞ −→ 0, para todo α, es

decirF (ϕn) −→ F (ϕ)

siempre que n −→∞.=⇒ Veamos la demostracion por contradiccion, suponga F ∈ D′(Ω), tal queF no cumple la desigualdad inicial. Luego, existe un K0 ⊂ Ω y una sucesion(ϕn) ⊂ D(K0), tal que

|F (ϕj)| > j |||ϕj |||j,

para todo j ∈ N.Suponga fj = ϕj/F (ϕj), entonces

F (fj) = F (ϕj/F (ϕj)) = F (ϕj)/F (ϕj) = 1,

para todo j.Sin embargo, para cualquier β ∈ Nd,

||Dβfj ||∞ =||Dβϕj ||∞|F (ϕj)|

≤|||ϕ |||j|F (ϕj)|

,


para todo j > |β|, pues

||Dβϕj ||∞ ≤∑|β|≤j

||Dβϕj ||∞

≤ |||ϕj |||j −→ |||ϕ |||j

Lo anterior es valido siempre que j > |β|. Ası, considerando la hipotesisinicial

1

|F (ϕj)|<

1

j |||ϕj |||j.

Por lo tanto||Dβϕj ||∞|F (ϕj)|

≤|||ϕj |||j|F (ϕj)|

<|||ϕj |||jj |||ϕj |||j

Ası

||Dβfj || <1

j−→ 0

siempre que j −→∞.

Por lo tanto, fjD−→ 0, lo que implica, F (fj) −→ 0. Lo anterior es una con-

tradiccion, pues por construccion, F (fj) = 1, para todo j. Obteniendo ası elresultado.

Observacion 3.10. Al cambiar la definicion inicial de |||ϕ |||N por

|||ϕ |||N = max|β|≤N

||Dβϕ ||∞

la prueba anterior es valida.

Definicion 3.11 (Orden de una Distribucion). Si el entero N en el anteriorteorema puede ser escogido independientemente de K (K ⊂ Ω compacto, talque ϕ ∈ C∞c (K)), que contiene el soporte de F , entonces la distribucion sedice de orden finito. El menor N que cumpla dicha propiedad es llamado elorden de F .

Antes de continuar, es necesario definir:

Definicion 3.12. Sea F ∈ D′(Ω) y G un abierto de Rd. Se dice que Fdesaparece en G si F (ϕ) = 0, para todo ϕ ∈ D(Rd) con supp(ϕ) ⊂ G.


Sea W la union de todos los conjuntos abiertos en los cuales F desaparece;entonces se define el soporte de F como

supp(F ) = W c

el complemento de W en Rd.

Teorema 3.13. Suponga que F ∈ D′(Ω) y supp(F ) un compacto, entoncesF tiene orden finito. Mas aun, existe C > 0 y N ∈ Z+ tal que

|F (ϕ)| ≤ C |||ϕ |||N ,para todo ϕ ∈ C∞c (Ω). Ası, C no depende de ϕ o de supp(ϕ).

Demostracion. Suponga, F ∈ D′(Ω) y supp(F ) compacto. Sea W el conjuntoabierto con supp(F ) ⊂ W y sea ψ ∈ C∞c , tal que ψ = 1 en W , esto se puedeasegurar por el teorema 5.13.Ası, para cualquier ϕ ∈ C∞c , se tiene

F (ϕ) = F (ψϕ+ (1− ψ)ϕ) = F (ψϕ) + F ((1− ψ)ϕ)

Pero observe que, como (1− ψ)ϕ = 0 en W y por lo tanto, F (ϕ) = F (ψϕ),para todo ϕ ∈ C∞c (Ω). Por el teorema 3.9, existe un C ′ > 0 y N ∈ Z+ tal que

|F (ϕ)| = |F (ϕψ)| ≤ C ′ |||ϕψ |||Npara todo ϕ ∈ C∞c (Ω) (pues F es una distribucion), mas aun, aplicando laformula de Leibniz se obtiene

|F (ϕ)| ≤ C ′ |||ϕψ |||N= C ′

∑|β|≤N

||Dβϕψ ||∞

= C ′∑|β|≤N

supx∈Rd|Dβϕ(x)ψ(x)|

= C ′∑|β|≤N

supx∈Rd

∣∣∣∣∣∑i≤β

(β

i

)ϕ(β−i)(x)ψi(x)

∣∣∣∣∣= C ′

∑|β|≤N

supx∈Rd

∣∣∣∣(β0)ϕ(β)(x)ψ(0)(x)

∣∣∣∣= C ′

∑|β|≤N

supx∈Rd|ϕ(β)(x)|

= C |||ϕ |||N


Para algun C > 0 (donde C = supx∈Rd |ψ(x)|), que depende de ψ, pero nodepende de ϕ o de supp(ϕ), obteniendo el resultado.

Observacion 3.14. El recıproco del teorema anterior no es cierto, en par-ticular, suponga F (x) = c 6= 0, para todo x ∈ R. Entonces supp(F ) = R,y por lo tanto no es compacto. Sin embargo, para cualquier compacto K ycualquier ϕ ∈ C∞c , tenemos

|F (ϕ)| =∣∣∣∣∫ cϕ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ |c| diamK ||ϕ ||∞

donde diamK = supx,y∈K

(d(x, y)). y por lo tanto F tiene orden 0 pero su soporte

no es compacto.

Definicion 3.15. Para cualquier ψ ∈ C∞c y F ∈ D′(Ω), el producto, ψF esel funcional lineal

ψF : ϕ 7−→ F (ψϕ), ϕ ∈ D(Ω)

Teorema 3.16. Para todo ψ ∈ C∞c (Ω), el producto ψF ∈ D′(Ω).

Demostracion. Sea ϕ ∈ C∞c (Ω), el producto ψϕ ∈ C∞c (Ω) y por lo tantoψF = F (g), con g = ψϕ ∈ D(Ω) y como F esta definida en dicho espacio,

ψF esta bien definida. Suponga que ϕnD−→ϕ en D(Ω), entonces, aplicando

la formula de Leibniz para todo k ∈ Zd+,

|Dkϕn(x)ψ(x)| =∑i≤k

(k

i

)ϕ(k−1)n (x)ψ(i)(x)

→∑i≤k

(k

i

)ϕ(k−1)(x)ψ(i)(x)

= |Dkϕ(x)ψ(x)|.

Por lo tanto ϕnψD−→ϕψ y como F es distribucion, ψF ∈ D′(Ω).

Observacion 3.17. Es necesario resaltar que no se puede definir correcta-mente la multiplicacion entre distribuciones (de forma que el producto dedistribuciones sea a su vez distribucion), la definicion 3.15 es lo mas cercanoa multiplicacion que se puede llegar en distribuciones (lo cual no resuel-ve el problema totalmente): el producto de dos distribuciones arbitrarias no


esta definido.Veamos un ejemplo, se define la distribucion, δ

δ(ϕ) = ϕ(0).

Suponga m(x) = sgn(x), es decir

m(x) =

−1, x < 0

1, x > 0

entonces, en teorıa se deberıa definir

δ ·m(ϕ) = m(0)ϕ(0)

sin embargo, no se puede definir m en x = 0. Observe que lo anterior esvalido para cualquier funcion discontinua.

Una vez definido el espacio de las distribuciones D′, se estudiara otroespacio interesante que permitira desarrollar nuevas propiedades.

Capıtulo 4

Distribuciones Sobre el EspacioS

Veamos las funciones de prueba definidas sobre el espacio de Schwartz(S).

4.1. Funciones Prueba en SEste espacio sera particularmente importante en el estudio de la trans-

formada de Fourier.

Definicion 4.1. Se notara Ca(Rd) el espacio lineal de las funciones continuasacotadas con valores en Rd.

Teorema 4.2. Para todo d ∈ Z+, Ca(Rd) es un espacio normado completo,con respecto a la norma, || · ||∞.

Demostracion. Sea (fn) ⊂ Ca(Rd), sucesion de Cauchy. Observe que la de-sigualdad |f(x)| ≤ || f ||∞ implica que la sucesion (fn(x)) ⊂ R es convergente(pues es de Cauchy), para todo x ∈ Rd

|fn(x)− fm(x)| ≤ || fn − fm ||∞ → 0

siempre que n,m→∞.Suponga f(x) = lım

n→∞fn(x), veamos que efectivamente, f ∈ Ca(Rd) y que

|| fn − f ||∞ → 0. Sea ε > 0 dado, luego, ∃N ∈ Z+ tal que

|| fn − fm ||∞ <1

2ε

37

38 CAPITULO 4. DISTRIBUCIONES SOBRE EL ESPACIO S

para todo n,m ≥ N . Asi, para todo x ∈ Rd,

|fN+k(x)| ≤ |fN+k(x)− fN(x)|+ |fN(x)| < 1

2ε+ || fN ||∞

Mas aun, haciendo k →∞

|f(x)| ≤ 1

2ε+ || fN ||∞ .

Y por lo tanto f es acotado en Rd. Veamos ahora que f es continua

|fn(x)− fm(x)| ≤m→∞

1

2ε

|fn(x)− f(x)| ≤ 1

2ε

lo anterior es valido para todo x ∈ Rd, siempre que n,m ≥ N . Ası fn ⇒f y por el teorema 2.13 (demostrado en los preliminares), f es continua.Ası queda demostrado que f ∈ Ca. Basta demostrar que || fn − f ||∞ → 0,como para todo x ∈ Rd se tiene la desigualdad |fn(x) − f(x)| ≤ 1

2ε, en

particular

supx∈Rd|fn(x)− f(x)| = || fn − f ||∞ ≤

1

2ε < ε

siempre que n ≥ N . Por lo tanto fn → f con respecto a || · ||∞.

Definicion 4.3. El espacio lineal de las funciones acotadas e infinitamentediferenciables en Rd se notara C∞a (Rd), observe que

C∞a (Rd) ⊂ Ca(Rd)

A partir de lo anterior se define:

Definicion 4.4. El espacio S(Rd) como el subespacio de C∞a (Rd) que con-tiene todas las funciones ϕ de Rd tales que xαDβϕ(x) es acotado en Rd paracada α, β ∈ Zd+.

Definicion 4.5. Se define la familia de normas para S(Rd)

|||ϕ |||α,β = supx∈Rd|xαDβϕ(x)|.

para α, β ∈ Zd+.

4.1. FUNCIONES PRUEBA EN S 39

Se dice que los elementos de S(Rd) decrecen rapidamente.

Definicion 4.6. Una sucesion (ϕn) ⊂ S(Rd) converge a ϕ en S(Rd) (ϕnS−→ϕ)

si, para cada α, β ∈ Zd+|||ϕn − ϕ |||α,β → 0

Siempre que n→∞.

Definicion 4.7. La sucesion anterior se dice de Cauchy en S(Rd), si

|||ϕn − ϕm |||α,β → 0

siempre que n,m→∞, para cada α, β ∈ Zd+.

Teorema 4.8. S(Rd) es completo.

Demostracion. La demostracion de este teorema es analoga a la demostraciondel teorema 3.5, por lo tanto se obviaran algunos detalles.Suponga d = 1, (ϕn) sucesion de Cauchy en S(R) y α, β ∈ Z+ fijos, peroarbitrarios. Entonces, la sucesion xαDβϕn(x) es una sucesion de Cauchy, conrespecto a la norma || · ||∞

0← ||ϕn − ϕm ||S(R) = |||ϕn − ϕm |||α,β= sup

x∈R|xαDβϕn(x)− xαDβϕm(x)|

= || xαDβϕn(x)− xαDβϕm(x) ||∞ .

Como (ϕn) ⊂ S(R) ⊂ C∞a (R) ⊂ Ca(R) y se demostro, en el Teorema 4.2 queCa(R) era completo bajo la norma || · ||∞, entonces la sucesion (ϕn) convergeen Ca(R) a una funcion gα,β. Veamos que xαDβg = gα,β

ϕn(x) = ϕn(0) +

∫ x

0

ϕ′n(t)dt

Ası ϕ′n = D1ϕn → g0,1 en Ca(R) y haciendo n→∞

g0,0(x) = g0,0(0) +

∫ x

0

g0,1(t)dt

pues, utilizando un procedimiento analogo al utilizado en el teorema 4.16,ϕ′n ∈ L1 ası, por el teorema de Lebesgue 2.29, se pueden cambiar la integral


y el lımite.Observe que gα,β ∈ Ca(R), en particular para α = 0; β = 0; β = 1,por lo tanto, g0,1 = g′0,0 es continua y g0,0 es continuamente diferenciable.Repitiendo el argumento anterior, se obtiene que

g0,0(x)← ϕn(x) =

β∑i=1

xi−1

(i− 1)!ϕ(i−1)n (0) +

∫ x

0

· · ·∫ s

0

ϕ(β)n (t)dt · · · dp

para todo β ∈ N. Por lo anterior, g0,0 es infinitamente diferenciable yDβg0,0 =g0,β.Mas aun, Dβϕn → g0,β = Dβg0,0 uniformemente

||Dβϕn −Dβg ||∞ = supx∈R|ϕβn(x)− gβ(x)| < ε

(como se cumple para el supx∈R

se cumple para todo x ∈ R). Ademas

|| xαDβϕn − xαDβg0,0 ||∞ = supx∈R|xα(Dβϕn −Dβg0,0)|

Pero como ϕn, g0,0 ∈ Ca(R), existe un A ⊂ R tal que

||xαDβϕn − xαDβg0,0 ||∞ = supx∈A|xα(Dβϕn −Dβg0,0)|

< Cε

Siempre n→∞. Por lo tanto xαDβϕn → xαDβg0,0.Por todo lo demostrado anteriormente se obtiene: g0,0 ∈ S(R) y por lo tanto

ϕnS−→ g0,0; obteniendo el resultado.

Sea, d > 1, (ϕn) ⊂ S(Rd) sucesion de Cauchy. Entonces, para cada α, β ∈ Zd+la sucesion xαDβϕn es una sucesion de Cauchy en Ca(Rd) y por lo tanto con-verge a algun gα,β ∈ C(Rd) (por una razon analoga a lo demostrado anterior-mente). Mas aun xαDβϕn ⇒ gα,β, pues

|| xαDβϕn − xαDβg0,0 ||∞ = supx∈Rd|xα(Dβϕn −Dβg)| < ε

siempre que n→∞, en particular para todo x ∈ Rd.Ahora fije x2, x3, · · · , xd, por el argumento anterior, se sabe que para todoα1, β1 ∈ Z+

xα11 ∂

β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd) → g(α1,0,··· ,0),(β1,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)

= xα11 ∂

β1x1g0,0(x1, x2, · · · , xd)

4.2. ESPACIO DE LAS DISTRIBUCIONES TEMPERADAS 41

Considere la funcion x2 7→ xα11 ∂

β1x1fn(x1, x2, · · · , xd), se tiene

x2∂β2x2x1∂

β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd) → g(α1,α2,0,··· ,0),(β1,β2,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)

= xα22 ∂

β2x2xα11 ∂

β1x1g0,0(x1, x2, · · · , xd)

para todo α2, β2 ∈ Z+.En general, se define la funcion

xi 7→ xα(i−1)

(i−1) ∂β(i−1)x(i−1) · · ·x

α11 ∂

β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd)

obteniendo

xi∂βixi· · ·x1∂β1x1ϕn(x1, x2, · · · , xd)

→ g(α1,α2,··· ,αi,0,··· ,0),(β1,β2,··· ,βi,0,··· ,0)(x1, x2, · · · , xd)= xαii ∂

βixi· · ·xα1

1 ∂β1x1g0,0(x1, x2, · · · , xd)

para todo αi, βi ∈ Z+.Continuando dicho procedimiento, se obtiene

gα,β = xαDβg0,0

para todo α, β ∈ Zd+ y ϕnS−→ g0,0 en S(Rd).

4.2. Espacio de las Distribuciones Tempera-

das

Gracias a las propiedades del espacio S, las distribuciones temperadastendran resultados importantes en el analisis de Fourier, veamos la defincionde estos objetos matematicos:

Definicion 4.9. Los funcionales lineales continuos en S(Rd) son llamadosdistribuciones temperadas. El espacio lineal de las distribuciones temperadasse nota S ′(Rd).

En resumen, T ∈ S ′(Rd) si y solo si: T : S(Rd)→ R es lineal y ϕnS−→ϕ,

implica T (ϕn)→ T (ϕ) en R.


Ejemplo 4.10. Sea a ∈ Rd, se define δa el mapa en S(Rd) dado por

δa : ϕ 7→ ϕ(a) (4.1)

Veamos que δa ∈ S ′(Rd).Claramente, δa es lineal.

Suponga (ϕn), ϕ ∈ S(Rd), tal que ϕnS−→ϕ, luego

δa(ϕn) = ϕn(a)→ ϕ(a) = δa(ϕ),

siempre que n→∞.Ası, se llamara “funcion” delta de Dirac (o distribucion de Dirac) en a ∈ Rd

a la distribucion δa ∈ S ′(Rd).

Observacion 4.11. Como T (ϕn) − T (ϕ) = T (ϕn − ϕ) y ϕnS−→ϕ si y solo

si (ϕn − ϕ)S−→ 0, entonces un mapa lineal en S es continuo si y solo si es

continuo en 0 ∈ S (lo anterior es valido tambien para D′).

Proposicion 4.12. Suponga T : S → S lineal y α, β ∈ Zd+, tal que

|T (ϕ)| ≤ |||ϕ |||α,β

para todo ϕ ∈ S(Rd). Entonces T ∈ S ′(Rd).

Demostracion. Gracias a la observacion anterior, basta con demostrar la con-

tinuidad de T en 0. Pero, si ϕnS−→ 0, entonces |||ϕn |||α,β → 0

|||ϕn |||α,β = supx∈Rd|xαDβϕn| → sup

x∈Rd|xαDβ0| = 0.

Por lo tanto|T (ϕn)| ≤ |||ϕn |||α,β → 0

siempre que n→∞. Obteniendo el resultado.

Para demostrar el recıproco, se introducira otra familia de normas en S.

Definicion 4.13. Para cada k,m ∈ Z y ϕ ∈ S(Rd)

||ϕ ||k,m =∑

|α|≤k;|β|≤m

|||ϕ |||α,β (4.2)


Esta familia de normas en S tiene la propiedad de ser directa, es decir: paratodo (k′,m′), (k′′,m′′), existe (k,m), tal que

max||ϕ ||k′,m′ , ||ϕ ||k′′,m′′ ≤ ||ϕ ||k,m,

para todo ϕ ∈ S(Rd), mas aun cualquier (k,m) con k ≥ maxk′, k′′ ym ≥ maxm′,m′′ servira.

Observacion 4.14. |||ϕn − ϕ |||α,β → 0 para cada α, β ∈ Zd+ si y solo si||ϕn − ϕ ||k,m → 0, para cada k,m ∈ Z+.

||ϕn − ϕ ||k,m =∑

|α|≤k;|β|≤m

|||ϕn − ϕ |||α,β →∑

|α|≤k;|β|≤m

0 = 0.

Por lo tanto un funcional lineal T en S(Rd) es una distribucion temperadasi y solo si T (ϕn)→ 0, siempre que ||ϕn ||k,m → 0, para todo k,m ∈ Z+.

Teorema 4.15. Sea T un funcional lineal en S(Rd). T es una distribuciontemperada si y solo si, existen C > 0 y k,m ∈ Z+, tales que;

|T (ϕ)| ≤ C ||ϕ ||m,k

para todo ϕ ∈ S(Rd).

Demostracion. ⇐= Suponga que el acotamiento anterior existe, mas aun,

suponga ϕnS−→ 0, entonces

|T (ϕn)| ≤ C ||ϕn ||k,m → 0

siempre que n → ∞, por lo tanto T es continua en 0 y por la observacion4.11 se obtiene el resultado.=⇒ Veamos la demostracion por contradiccion. Suponga T ∈ S ′(Rd) y elacotamiento anterior no existe. Por lo tanto, para todo n ∈ Z+, no se tiene

|T (ϕ)| ≤ n ||ϕ ||n,n

para algun ϕ ∈ S(Rd). Es decir, existe una sucesion (ψn) en S tal que

|T (ψn)| > n ||ψn ||n,n


Suponga ϕn = ψn/(n ||ψn ||n,n), tal que |T (ϕn)| > 1. Sin embargo

||ϕn ||k,m =||ψn ||k,mn ||ψn ||n,n

≤ 1

n

Siempre que n ≥ maxk,m. Por lo tanto, ϕnS−→ 0; pero por construccion

|T (ϕn)| > 1, lo que es una contraccion, obteniendo ası el resultado.

Proposicion 4.16. Sea g ∈ L2(Rd), entonces el mapa lineal

Tg : ϕ 7→∫g(x)ϕ(x) dx

en S(Rd) define una distribucion temperada.

Demostracion. Para ϕ ∈ S(Rd), se tiene

|Tg(ϕ)| =∣∣∣∣∫ g(x)ϕ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ || g ||L2 ||ϕ ||L2

lo anterior se tiene por la desigualdad de Holder (demostrada en los prelimi-nares, teorema 2.24, que en este caso es igual a la de Cauchy-Schwartz).Sin embargo

||ϕ ||2L2 =

∫|ϕ(x)||ϕ(x)| dx

≤ ||ϕ ||0,0∫|ϕ(x)| dx

= ||ϕ ||0,0∫ ( d∏

j=1

(1 + x2j)

)|ϕ(x)| 1∏d

k=1(1 + x2k)dx

≤ ||ϕ ||0,0 ||ϕ ||2d,0∫

1∏dk=1(1 + x2k)

dx1 dx2 · · · dxd

= πd ||ϕ ||0,0 ||ϕ ||2d,0< πd ||ϕ ||22d,0

pues


∫Rd

1∏dk=0(1 + x2k)

dx1 · · · dxd =

∫R· · ·∫R

1

(1 + x21)

1

(1 + x2d)dx1 · · · dxd

=

∫R

1

(1 + x21)dx1

∫R

1

(1 + x22)dx2 · · ·

∫R

1

(1 + x2d)dxd

= (arctan(x)|∞−∞)d =(π

2−−π

2

)d= πd,

observe que en este caso se puede utilizar el teorema de Fubinni, pues 1∏i(1+x

2i )≤

1||x || = f(x), donde f ∈ L1 y por lo tanto 1∏

i(1+x2i )

es integrable.

Lo que lleva al estimado

Tg(ϕ)| ≤ || g ||L2 πd/2 ||ϕ ||2n,0

lo anterior es valido para todo ϕ ∈ S(Rd), por lo tanto, reemplazando ϕ por

la sucesion S(Rd) ⊃ (ϕn)S−→ 0, T es continua en 0 y utilizando la observacion

4.11, T ∈ S ′(Rd).

Teorema 4.17. Suponga g(x) (medible) tal que ∃m ∈ Z+ para el cual∏dj=1(1 + x2j)

−mg(x) es acotado en Rd. Entonces, el mapa

Tg : ϕ 7→∫g(x)ϕ(x) dx

es una distribucion temperada.

Demostracion. Sea p(x) =d∏j=1

(1 + x2j), por hipotesis se tiene, para todo

ϕ ∈ S(Rd)

|g(x)ϕ(x)| = p(x)−m|g(x)|p(x)m|ϕ(x)|< Mp(x)m|ϕ(x)|

Para algunM > 0. De lo anterior se puede concluir que g(x)ϕ(x) es integrable∫|g(x)ϕ(x)| dx < M

∫p(x)m|ϕ(x)| dx


por un procedimiento analogo al utilizado en el teorema 4.16, la integralanterior es finita. Ası Tg esta bien definido en S(Rd).Veamos que efectivamente Tg ∈ S ′(Rd)

|Tg(ϕ)| < M

∫p(x)m|ϕ(x)| dx

= M

∫p(x)m+1|ϕ(x)| 1

p(x)dx

≤ M ||ϕ ||2d(m+1),0

∫1

p(x)dx

= M ||ϕ ||2d(m+1),0 πd

Lo anterior es valido para todo ϕ ∈ S(Rd), por lo tanto reemplazando ϕ por

la sucesion S(Rd) ⊃ (ϕn)S−→ 0, Tg es continuo en 0 y por la observacion 4.11,

Tg ∈ S ′(Rd).

Teorema 4.18 (Parte Principal Integral de Cauchy). El funcional

P

(1

x

): ϕ 7→ lım

ε→0

∫|x|≥ε

1

xϕ(x) dx

pertenece a S ′(R).

Demostracion. Veamos que P(1x

)esta bien definido en S ′(R). Sea ϕ ∈ S(R),

entonces ∫|x|≥ε

1

xϕ(x) dx =

∫ ∞ε

ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx .

Sin embargo

ϕ(x)− ϕ(−x)

x=ϕ(x)

x+ϕ(−x)

(−x)=ϕ(x)− ϕ(0)

x+ϕ(−x)− ϕ(0)

(−x)

ası ϕ(x)−ϕ(−x)x

→ 2ϕ′(0), siempre que x → 0, por lo tanto ϕ(x)−ϕ(−x)x

es in-tegrable en [0;∞) (en x → ∞ se utiliza un procedimiento analogo a lademostracion del teorema 4.16) y P

(1x

)esta bien definido.

Por las propiedades de la integral P(1x

)es lineal, por lo tanto, basta demos-


trar que es continuo en S ′(R). Sea x > 0

∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(−x)

x

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1x∫ x

−xϕ′(t)dt

∣∣∣∣≤ 1

x

∫ x

−x|ϕ′(t)| dt

≤ 1

xsup

t∈[−x;x]|ϕ′(t)|

∫ x

−xdt

≤ 2 ||ϕ′ ||∞ .

Por lo tanto

∣∣∣∣P (1

x

)(ϕ)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ 1

0

ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx +

∫ ∞1

ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx

∣∣∣∣≤

∫ 1

0

2 ||ϕ′ ||∞ dx +

∫ ∞1

(|ϕ(x)|+ |ϕ(−x)|)xdx

x2

≤ 2 ||ϕ′ ||∞+2 || xϕ ||∞∫ ∞1

dx

x2

≤ 2 |||ϕ |||0,1 +2 |||ϕ |||1,0 .

Como lo anterior se cumple para todo ϕ ∈ S(Rd), basta con reemplazar ϕ

por la sucesion de S(Rd) ϕnS−→ 0 y por la observacion 4.11 se obtiene el

resultado.

Definicion 4.19. Una sucesion (Tn) ∈ S ′(Rd) se dice convergente en S ′(Rd),si Tn(ϕ)→ T (ϕ), para todo ϕ ∈ S(Rd). Se dice que Tn converge, en el sentido

de las distribuciones TnS’−→T .

Teorema 4.20. Sea gε(x) = xx2+ε2

, entonces TgεS’−→P

(1x

), siempre que ε→

0.


Demostracion. Suponga ϕ ∈ S(R) y δ > 0. Entonces∣∣∣∣P (1

x

)(ϕ)− Tgε(ϕ)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣P (1

x

)(ϕ)−

∫ ∞−∞

xϕ(x)

x2 + ε2dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ ∞0

ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx−

∫ ∞0

xϕ(x)− xϕ(−x)

x2 + ε2dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ ∞0

ε2

x2 + ε2ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx

∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫ δ

0

ε2

x2 + ε2ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ ∞δ

ε2

x2 + ε2ϕ(x)− ϕ(−x)

xdx

∣∣∣∣≤∫ δ

0

∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(−x)

x

∣∣∣∣ dx +

∫ ∞δ

ε2

δ2

∣∣∣∣ϕ(x)− ϕ(−x)

x

∣∣∣∣ dx

Mas aun, en el teorema anterior (4.18) se demostro que ϕ(x)−ϕ(−x)x

→ 2ϕ′(0),

si x → 0 y por lo tanto:∫ δ0

∣∣∣ϕ(x)−ϕ(−x)x

∣∣∣ dx se puede hacer tan pequeno como

se quiera simplemente tomando δ suficientemente pequeno. Como ademasϕ(x)−ϕ(−x)

xes integrable (como se demostro en 4.18), implica que∫∞

δε2

δ2

∣∣∣ϕ(x)−ϕ(−x)x

∣∣∣ dx→ 0, si ε→ 0. Obteniendo ası el resultado.

En este punto vale la pena resaltar que la funcion definida en 4.20 es elcaso particular del nucleo de Poisson cuando d = 1. Se define el nucleo dePoisson como

P (x, y) =cdx

(|y|2 + x2)(d+1)/2,

donde

cd =Γ(d+1

2)

πd+12

.

Teorema 4.21. Sea (ϕn) una sucesion de funciones en R tal que:

1. ϕn(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.

2.∫ϕn(x) dx = 1, para todo n.

3. Para cualquier a > 0,

∫|x|>a

ϕn(x) dx→ 0, siempre que n→∞

Entonces ϕnS’−→ δ, siempre que n→∞ (es decir Tϕn

S’−→ δ).


La sucesion anterior es llamada sucesion de Dirac [6].

Demostracion. Suponga ψ ∈ S(R), (con ψ 6= 0); veamos que efectivamente,∫ϕn(x)ψ(x) dx→ ψ(0), si n→∞. Sea ε > 0 fijo, para todo η > 0,∣∣∣∣∫ ϕn(x)ψ(x) dx−δ(ψ)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ ϕn(x)(ψ(x)− ψ(0)) dx

∣∣∣∣≤

∫ η

−ηϕn(x) |ψ(x)− ψ(0)| dx

+

∫|x|≥η

ϕn(x) |ψ(x)− ψ(0)| dx

Fije η > 0 tal que |ψ(x)− ψ(0)| < 12ε, para todo |x| ≤ η, entonces∫ η

−ηϕn(x) |ψ(x)− ψ(0)| dx ≤ 1

2ε

∫ η

η

ϕn(x) dx

≤ 1

2ε

∫ ∞−∞

ϕn(x) dx

=1

2ε

para todo n. Mas aun, por hipotesis, existe un N ∈ Z+, tal que si n > N ,entonces ∫

|x|≥ηϕn(x) dx <

ε

4 ||ψ ||∞Por lo tanto, para n > N , se puede estimar∫

|x|≥ηϕn(x) |ψ(x)− ψ(0)| dx ≤ 2 ||ψ ||∞

∫|x|≥η

ϕn(x) dx

≤ 1

2ε

Ası, para todo n > N ∣∣∣∣∫ ϕn(x)ψ(x) dx−ψ(0)

∣∣∣∣ < ε

obteniendo el resultado.


Observacion 4.22. Al reemplazar el requerimiento (3) del teorema anteriorpor ∫

|x−x0|≥aϕn(x) dx→ 0

si n→∞. Se obtendrıa el resultado: ϕnS’−→ δx0 .

Corolario 4.23. Sea ε > 0, gε = ε(x−x0)2+ε2 . Entonces, gε

S’−→ πδx0 en S ′(R),si ε→ 0.

Demostracion. Observe que gε(x) ≥ 0, para todo x ∈ R y∫gε(x) dx = π∫

R

ε

(x− x0)2 + ε2dx = ε

∫R

1

(u)2 + ε2du

=ε

ε2

∫R

1

(u/ε)2 + 1du

=ε2

ε2

∫R

1

(x)2 + 1dx

= (arctan(x))|∞−∞ =π

2−−π

2= π.

Por lo tanto para algun a > 0,∫|x−x0|≥a

gε(x) dx = 2

∫ ∞a

ε

x2 + ε2dx

= 2[arctan

(xε

)]∞a

= 2(π

2− arctan

(aε

))→ 0

siempre que ε→ 0. Utilizando el teorema 4.21 para la sucesion 1πgε, se obtiene

el resultado.

Teorema 4.24. Para ε > 0, sea hε = 1x−x0+iε . Entonces

hεS’−→P

(1

x− x0

)− iπδx0

en S ′(R), si ε→ 0.


Demostracion.

hε(x) =1

x− x0 + iε=

x− x0 − iε(x− x0)2 + ε2

=(x− x0)

(x− x0)2 + ε2− iε

(x− x0)2 + ε2

S’−→ P

(1

(x− x0)

)− iπδx0

en S ′(R). Lo anterior utilizando, el corolario 4.23 y el teorema 4.20, siempreque ε→ 0.

Capıtulo 5

Derivada y Propiedades de lasDistribuciones

Veamos las propiedades de los dos espacios definidos en los capıtulosanteriores.

5.1. Derivada de las Distribuciones

Considere la integral∫ψ′(x)ϕ(x) dx, donde ϕ, ψ ∈ S(R). Integrando por

partes∫ψ′(x)ϕ(x) dx = [ψ(x)ϕ(x)]∞−∞ −

∫ψ(x)ϕ′(x) dx

= ψ(∞)ϕ(∞)− ψ(−∞)ϕ(−∞)−∫ψ(x)ϕ′(x) dx

= 0− 0−∫ψ(x)ϕ′(x) dx

= −∫ψ(x)ϕ′(x) dx

Utilizando la notacion de distribuciones

Tψ′(ϕ) = −Tψ(ϕ′).

Lo anterior lleva a la siguiente definicion:

53

54 CAPITULO 5. DERIVADA Y PROPIEDADES

Definicion 5.1. Sea T ∈ S ′(Rd) (o T ∈ D′(Rd)) y α ∈ Zd+. La derivada enel sentido de las distribuciones DαT se define como

(DαT )(ϕ) = (−1)|α|T (Dαϕ) (5.1)


Observacion 5.2. En el caso de las distribuciones regulares (3.8), la derivadaen el sentido de distribuciones para este caso particular es equivalente a ladefinicion de derivada debil

DαTg(ϕ) =

∫Dα(g(x))ϕ(x) dx = (−1)α

∫g(x)Dα(ϕ(x)) dx

= (−1)αTg(Dαϕ).

Observe que, por la propiedades de S(Rd), toda distribucion, T , siempretiene derivada en el sentido de las distribuciones (mas aun de todos los orde-nes). Veamos que la derivada de una distribucion es tambien distribucion.

Teorema 5.3. Para todo α ∈ Zd+, Dα : S(Rd) → S(Rd) es continua. Enparticular, para cualquier T ∈ S ′(Rd), DαT ∈ S ′(Rd).

El teorema anterior es valido tambien para D′(Rd).

Demostracion. Suponga ϕnS−→ 0 en S(Rd), γ, δ ∈ Zd+, entonces

|||Dαϕn |||γ,δ = || xγDδDαϕn ||∞= || xγDδ+αϕn ||∞= |||ϕn |||γ,δ+α→ 0

siempre que n → ∞. Por lo tanto Dα : S(Rd) → S(Rd) es continua (utili-zando la observacion 4.11).Suponga ahora que T ∈ S ′(Rd), DαT esta bien definido (pues todas las de-rivadas pasan a la funcion prueba ϕ ∈ S(Rd)), es un mapa lineal en S(Rd) y

si ϕnS−→ 0, entonces Dαϕn

S−→ 0; por lo tanto

DαT (ϕn) = (−1)|α|T (Dαϕn)→ 0

es decir DαT ∈ S ′(Rd), por la observacion 4.11.

5.1. DERIVADA DE LAS DISTRIBUCIONES 55

Teorema 5.4. 1. Sea f ∈ L1loc(R)d tal que f es absolutamente continua

en x1 para casi todo x = (x2, x3, · · · , xd) y su derivada parcial ∂f∂x1

(x)

es igual a una funcion Lebesgue integrable g1 ∈ L1loc(Rd) en c.t.p. En-

tonces, la derivada en distribuciones ∂f∂x1∈ D′(Rd) y la derivada parcial

usual ∂f∂x1

(x) coinciden

∂f

∂x1=

∂f

∂x1(x) = g1

en c.t.p.

2. Sea f ∈ L1loc(Rd) y ∂f

∂x1= g1 ∈ L1

loc(Rd) la derivada en distribucionesde f . Entonces, f es absolutamente continua en x1 y tiene derivadaparcial usual ∂f

∂x1= g1(x) en c.t.p.

Los detalles de la siguiente demostracion se pueden encontrar en [8] y [1]

Demostracion. 1. Sea f ∈ L1loc(Rd) absolutamente continua en x1, tal que

la derivada usual ∂f∂x1

(x) = g1(x) en c.t.p. en Rd, con g1 ∈ L1loc. Mas

aun, para todo ϕ ∈ D(Rd), f ∂f∂x1∈ L1(Rd), ası C = ∂f

∂x1(ϕ)

C = −f(∂ϕ

∂x1

)=

∫Rdf(x)

∂ϕ

∂x1(x) dx

=

∫R· · ·∫R

(−∫Rf(x1, x)

∂ϕ

∂x1(x1, x) dx1

)dx2 · · · dxd

=

∫Rd−1

(−∫ ∞−∞

(∂(fϕ)

∂x1(x1, x)

)−(∂f

∂x1(x1, x)ϕ(x1, x)

)dx1

)dx

=

∫Rd−1

(fϕ(x1, x)|∞−∞ +

∫ ∞−∞

g1(x1, x)ϕ(x1, x) dx1

)dx

=

∫Rd−1

(∫Rg1(x)ϕ(x) dx1

)dx2 · · · dxd pues ϕ ∈ D(Rd)

=

∫Rdg1(x)ϕ(x) dx

= g1(ϕ)


para todo ϕ ∈ D(Rd), por lo tanto

∂f

∂x1= g1

en D′(Rd).

2. Como g1 ∈ L1loc(Rd), se puede definir

f1(x) =

∫ x1

a1

g1(ξ1, x)dξ1.

Se obtienen las siguientes propiedades:

a) f1 esta definida en c.t.p.

b) f1 es absolutamente continua.

c) f1 ∈ L1loc ∫

k

|f1(x)| dx ≤∫K

∫ x1

a1

|g1(ξ, x|dξ dx

≤∫K

M = m(K)M

pues g1 ∈ L1loc.

d) ∂x1f1 = g1(x) en c.t.p. pues

∂x1f1(x) = ∂x1

∫ x1

a1

g1(ξ1, x)dξ1

=

∫ x1

a1

∂x1g1(ξ1, x)dξ1

= g1(x)

pues f1 es absolutamente continua.

Se define f = f1 +Z, donde Z es una distribucion independiente de x1,es decir

Dx1Z = 0.

Pero como f, f1 son funciones, Z es funcion y por lo tanto

∂x1Z = 0


como funcion, ası Z es independiente de x1 en c.t.p.Por lo tanto, basta con modificar Z en un conjunto de medida 0 (con-junto donde ∂x1Z 6= 0) para obtener que Z es absolutamente continuaen x1. De lo anterior, y como se definio f = f1 +Z, f es absolutamentecontinua en x1.

Obteniendo los resultados.

Observacion 5.5. Suponga que se tienen las hipotesis del teorema 5.4, enparticular, si f y su derivada en distribuciones g1 son funciones continuas enΩ ⊂ Rd, entonces ∂f

∂x1(x) = g1(x) en todo Ω.

Ejemplo 5.6. Veamos algunas derivadas de distribuciones:

1. Considera la distribucion δ,

δ′a(ϕ) = −δa(ϕ′) = −ϕ′(a).

2. Sea

g(x) =

x, x > 0

0, x ≤ 0

Entonces, Tg ∈ S ′(Rd), pues g ∈ L1loc (por el ejemplo 3.7), ademas

T ′g(ϕ) = −Tg(ϕ′)

= −∫ ∞0

xϕ′(x) dx

= −[xϕ(x)]∞0 +

∫ ∞0

ϕ(x) dx

=

∫ ∞0

ϕ(x) dx

=

∫ ∞−∞

H(x)ϕ(x) dx

donde

H(x) =

1, x > 0

0, x ≤ 0

es conocida como la funcion escalonada de Heaviside . En resumen, sedemostro que

T ′g = TH


Mas aun

T ′H(ϕ) = −TH(ϕ′)

= −∫ ∞0

ϕ′(x) dx

= −[ϕ(x)]∞0= ϕ(0)

= δ(ϕ)

por lo tanto T ′H = δ y T ′′g = T ′H = δ. Ası se dira que g′ = H y g′′ = δ,en el sentido de las distribuciones.

Observacion 5.7. Es necesario resaltar que a pesar que δ no es funcion, estaes la segunda derivada (en el sentido de las distribuciones) de una funcioncontinua, en particular g. Posteriormente se demostrara que toda distribuciones una derivada (de un orden adecuado) de alguna funcion continua.

Mas aun se tiene el siguiente resultado:

Lema 5.8. Sea F ∈ D′(Rd) tal que supp(F ) = 0. Entonces, si ϕ(j)(0) = 0,para todo j, 0 ≤ j ≤ N , entonces F (ϕ) = 0.Con ϕ ∈ D(Rd) y N <∞ el orden de F .

Demostracion. Sea h ∈ C∞c (R), tal que h(x) = 1, para |x| ≤ 1 y tal queh(x) = 0, si |x| ≥ 2 (teorema 5.13). Sea hn(x) = h(nx) tal que hn(x) = 1si |x| ≤ 1

n, por lo tanto hn(x) = 1, si |x| ≤ 1

n, y hn(x) = 0, si |x| ≥ 2

n.

Suponga ademas que ϕn = hn(x)ϕ(x), por lo tanto, supp(ϕn) ⊆ x : |x| ≤ 2(pues x : |x| ≤ 2

n ⊆ x : |x| ≤ 2, para todo n ∈ Z+). Veamos que

|||ϕn |||N → 0, siempre que n → ∞ (observe que lo anterior implica que|F (ϕ)| → 0, pues F es distribucion de orden finito y por un teorema anterior(3.13) |F (ϕ)| ≤ C |||ϕ |||N , para todo ϕ ∈ C∞c (K)). Sea k ∈ Z+, fijo tal que0 ≤ k ≤ N y ε > 0 dado. Como ϕ(k)(0) = 0, existe un ρ > 0 tal que|ϕ(k)(x)| < ε, para todo |x| < ρ, por lo tanto

|ϕ(k−1)(x)| =∣∣∣∣∫ x

0

ϕ(k)(t)dt

∣∣∣∣ ≤ |x|ε


para todo |x| < ρ, continuando de esta forma, se obtiene

|ϕ(k−2)(x)| ≤ |x|2

2!ε

...

|ϕ(k−r)(x)| ≤ |x|r

r!ε

para todo |x| < ρ. Utilizando la formula de Leibniz, se tiene

|Dkϕn(x)| = |Dk(hn(x)ϕ(x))|

=

∣∣∣∣∣k∑r=0

(k

r

)Drhn(x)Dk−rϕ(x)

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣k∑r=0

(k

r

)nrh(r)(nx)ϕ(k−r)(x)

∣∣∣∣∣≤

k∑r=0

(k

r

)|nx|r

r!|h(r)(nx)|ε

Por lo tantosupx|Dkϕn(x)| = sup

|x|≤2/n|Dkϕn(x)| ≤ C ′ε

Para alguna constante C ′ > 0, que puede depender de k mas no de ϕn,siempre que 2/n < ρ, es decir n > 2/ρ. Por lo tanto, sup

x|Dkϕn(x)| → 0,

siempre que n→∞, para cada 0 ≤ k ≤ N .Ası, |||ϕn |||N → 0.Observe que el acotamiento de F , implica que F (ϕn) → 0. Sin embargo,ϕ(x) − ϕn(x) = 0, si |x| < 1/n (pues ϕ(x) − ϕn(x) = ϕ(x) − hn(x)ϕ(x) =ϕ(x)−ϕ(x), siempre que |x| < 1/n) y por lo tanto, supp(ϕ−ϕn) ⊂ x : |x| ≥1/n. Como supp(F ) = 0, se sigue que F (ϕ− ϕn) = 0, ası F (ϕ) = F (ϕn),para todo n es decir F (ϕ) = 0 (pues F (ϕn)→ 0), obteniendo el resultado.

Teorema 5.9. Sea F ∈ D′(Rd) tal que supp(F ) = 0. Entonces existe unN ∈ Z+ y constantes aj tales que

F =∑|j|≤N

ajDjδ


Demostracion. Veamos la demostracion para d = 1; sea F ∈ D′(R) consupp(F ) = 0. Como supp(F ) es un compacto, por el teorema 3.13, F tieneorden finito, suponga que sea N . Entonces existe C > 0 tal que

|F (ϕ)| ≤ C |||ϕ |||N . (5.2)

Lo anterior es valido para todo ϕ ∈ D(R).Sea ϕ ∈ C∞c (R) dada y se define ψ

ϕ(x) = ϕ(0) + xϕ′(0) +x2

2!ϕ(2)(0) + ...+

xN

N !ϕ(N)(0)︸︷︷︸

=p(x)

+ψ(x)

Observe que ψ es infinitamente diferencialble y ψ(k)(0) = 0, para todo 0 ≤k ≤ N . Sin embargo que ψ /∈ C∞c (R), pues no tiene soporte compacto.Ahora, considere g ∈ C∞c (R) tal que g(x) = 1 siempre que |x| ≤ 1 (y g(x) = 0para todo |x| > 1, teorema 5.13). Por lo tanto, F (ϕ) = F (ϕg) y

ϕg = pg + ψg

Ademas, ψg ∈ C∞c (R) y (por la formula de Leibniz) se tiene que (ψg)(k)(0) =0, para todo 0 ≤ k ≤ N y por el lema anterior (5.8) F (ψg) = 0, es decir

F (ϕ) = F (ϕg) = F (pg) + F (ψg) = F (pg)

= ϕ(0)F (g) + ϕ′(0)F (xg) + ...+ ϕ(N)(0)F (xNg/N !)

=N∑k=0

(−1)kF (xkg)

k!Dkδ(ϕ).

Basta tomar ak = (−1)k F (xkg)k!

para obtener el resutado. La demostracionpara n > 1 es analoga.

Veamos una aplicacion de este teorema.

Ejemplo 5.10. Considere la ecuacion

xmf(x) = 0,

con m ∈ Z+. Entonces, toda distribucion que verifique esta ecuacion tienesoporte en 0 y por lo tanto sera una combinacion lineal de derivadas de δ.

5.2. PROPIEDADES Y RELACIONES ENTRE S Y D 61

5.2. Propiedades y Relaciones entre S y DAl determinar la relacion entre los dos espacios de funciones pruebas, se

podra concluir la relacion de contenencia de los espacios de distribuciones,en particular gracias a las propiedades de los espacios duales.

Lema 5.11. Se tiene que

D(Rd) ( S(Rd)

Demostracion. Se defineϕ(x) = e−|x|

2

Observe que para todo α ∈ Zd+, Dαϕ(x) = p(x, e−|x|2), por lo tanto, ϕ ∈ C∞.

Mas aun, por las propiedades de ex, para todo β ∈ Zd+, xβ e−|x|2 → 0, siem-

pre que x→∞. Por la forma de las derivadas de ϕ, Dαϕ→ 0, siempre quex→∞, por lo tanto ϕ ∈ S(Rd).Sin embargo, ex 6= 0, para todo x ∈ Rd, es decir supp(ϕ) = Rd esto implicaϕ /∈ D(Rd)

D(Rd) ( S(Rd).

Obteniendo el resultado.

Ejemplo 5.12. Para x ∈ R, sea

h(x) =

e−1/(1−x

2), |x| ≤ 1

0, |x| > 1.

Entonces, h es infinitamente diferenciable, mas aun, la n-esima derivada esde la forma h(n)(x) = pn(x, 1/(1 − x2))h(x) para algun polinomio pn(s, t) ypor lo tanto h ∈ C∞c (R).Definiendo g(x) =

∫ x−∞ h(t)dt, entonces, g es infinitamente diferenciable y

g(x) = 0 para x < −1 y es constante para x > 1.Ası, haciendo gλ(x) = g(xλ), donde λ > 0, entonces gλ = 0 para x < −1/λy constante para x > 1/λ. Ahora, definiendo gλ,a = g(λ(x − a)), entoncesgλ,a = 0 para x < a− 1

λy constante para x > a+ 1

λ.

Siendo a < b y λ, µ tales que a < a + 1λ< b − 1

µ< b, sea f(x) =

gλ,a(x)gµ,−b(−x). Entonces f ∈ C∞(R) y f(x) = 0 para x < a − 1λ

y pa-ra x > b+ 1

µy f es constante para a+ 1

λ< x < b− 1

µ. Por defincion, f ∈ C∞c

y supp(f) ⊂[a− 1

λ; b+ 1

µ

].


Figura 5.1: funciones f y g

En el caso de d dimensiones, basta definir f(x1, x2, · · · , xd) = g(|x|2),donde g ∈ C∞(R) es tal que g(t) = 1 para 1 ≤ t ≤ a y g(t) = 0 para x ≥ b,donde 0 < a < b. Entonces f ∈ C∞c (Rd), supp(f) ⊂ x ∈ Rd : |x|2 ≤ b2 yf(x) = 1 para |x|2 ≤ a2.En particular si Dr(x0) es la bola abierta de radio r centrada en x0, entoncesexiste una funcion f ∈ C∞c tal que f = 1 en Dr(x0) y f = 0 fuera de Dr(x0).

Teorema 5.13. Sea K un compacto y A un conjunto abierto en Rd, conK ⊂ A. Entonces existe una funcion ϕ ∈ C∞ tal que 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, para todox ∈ Rd, ϕ(x) = 1 para todo x ∈ K y ϕ(x) = 0, para todo x /∈ A.

Demostracion. Para cada x ∈ K, existe un r(x) > 0, tal que Dr(x)(x) ⊂ A.La coleccion Dr(x)/2(x) : x ∈ K, es una cobertura abierta del compacto K:por definicion Dr(x)(x) es abierto, ademas, para todo x ∈ K en particular x ∈Dr(x)(x) y por lo tanto K ⊂

⋃x∈K Dr(x)(x). Mas aun como K es compacto,

toda cobertura abierta de K tiene una subcobertura finita, por la tantoexisten x1, x2, · · · , xm ∈ K tal que

K ⊂ Dr1/2(x1) ∪ · · · ∪Drm/2(xm)

donde ri = r(xi).Suponga ϕi ∈ C∞ (construidas como en el ejemplo 5.12), ϕi(x) = 0, si x /∈Dri(x) y ϕi(x) = 1, si x ∈ Dri(x); se establece

ϕ(x) = 1− (1− ϕ1(x))(1− ϕ2(x)) · · · (1− ϕm(x))


Entonces ϕ ∈ C∞(Rd) y 0 ≤ ϕ ≤ 1, para todo x ∈ Rd. Mas aun para cualquierx ∈ K, existe un 1 ≤ i ≤ m tal que x ∈ Dri/2(xi) y por lo tanto ϕi(x) = 1 yϕ(x) = 1.Por otro lado, x /∈ A, entonces x /∈ Dri(xi) para todo 1 ≤ i ≤ m (puesDri(xi) ⊂ A). Por lo tanto ϕi(x) = 0 para todo i y ϕ(x) = 1− 1 = 0. Ası, ϕsatisface lo requerido.

Observacion 5.14 (Lema de Urysohn). El teorema anterior es analogo alLema de Urysohn:Un espacio topologico es normal si para cualquier par de espacios cerradosA, B, existe una funcion continua en el intervalo [0; 1] que es exactamente 1en A y 0 en B.

Teorema 5.15. C∞c (Rd) es denso en S(Rd).

Demostracion. Sea ϕ ∈ S(Rd) y ψn ∈ C∞c (Rd) una sucesion de funciones talque supp(ψn) ⊂ x ∈ Rd : |x| < n + 1, ψn(x) = 1 para |x| ≤ n − 1 yel grafico de ψn es independiente de n para n − 1 ≤ |x| ≤ n + 1; es decir,ψk(x) = ψk+1(x− 1), para k + 1 < |x| < k + 2. Lo anterior implica que paraun multi-ındice γ ∈ Zd+, Dγψn(x) esta acotado uniformemente (es decir paratodo n).Sea ϕn = ϕψn, entonces ϕn ∈ C∞c (Rd) y

|||ϕ− ϕn |||α,β = |||ϕ(ψn − 1) |||α,β= sup

x≤n−1

∣∣xαDβ(ϕ(x)(ψn(x)− 1))∣∣ .

Pero, para cada γ ∈ Zd+, si n→∞, (ψn(x)− 1)→ 0, para casi todo x ∈ Rd

y por la formula de Leibniz, |||ϕn − ϕ |||α,β → 0 si n → ∞, para cada α, β ∈Zd+.

Observacion 5.16. Si ψ ∈ S se desvanece en un abierto G (como funcion),entonces

∫ψ(x)ϕ(x) dx = 0 para todo ϕ ∈ S con supp(ϕ) ⊂ G, es decir Tψ

desaparece en G como distribucion.

Observacion 5.17. Suponga T ∈ S ′(Rd) desaparece en G1, G2 abiertos,donde G1 ∩G2 = ∅, entonces T desaparece en G1 ∪G2.

Demostracion. Sea ϕ ∈ S, tal que supp(ϕ) ⊂ G1∪G2, observe que supp(ϕ)∩G1 es un conjunto cerrado, en G1 y por el teorema 5.13, existe una funcion


infinitamente diferenciable h1 tal que h1 = 1 en supp(ϕ)∩G1 y h1 = 0 fuerade un conjunto cerrado F1 ⊃ supp(ϕ)∩G1. Por lo tanto h1ϕ tiene soporte enG1. De forma analoga, se construye un h2 tal que ϕh2 tiene soporte contenidoen G2.Sin embargo, ϕ = h1ϕ + h2ϕ y por lo tanto T (ϕ) = T (h1ϕ) + T (h2ϕ) = 0pues la distribucion se desvanece en ambos conjuntos G1, G2.

Ejemplo 5.18. 1. Considere la distribucion Delta, entonces supp(δa) =a, con a ∈ Rd.

2. Sea H la funcion de Heaviside, entonces supp(H) = supp(TH) = [0,∞).

Se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 5.19. Se tiene

D′(Rd) ) S ′(Rd)

Demostracion. Veamos que S ′ ⊂ D′. Sea

T ∈ S ′ −→ T : S → R es acotada

←→ ∀ϕ ∈ S : |Tϕ| ≤ C ||ϕ ||α,β−→ ∀φ ∈ D : |Tφ| ≤ C ||φ ||←→ T ∈ D′

Veamos que S ′ 6= D′, ya que la linealidad y la continuidad estan aseguradas.

Sea u(x) = ex2

y d = 1, por el teorema 3.7, Fu(ϕ) =

∫Ru(x)ϕ(x) dx es una

distribucion en D′(R) (pues u ∈ L1loc). Sin embargo Fu /∈ S ′(R), pues Fu

no esta definido en todos los elementos de S(R), en particular para ϕ(x) =e−x

2

Teorema 5.20. Suponga T ∈ S ′(Rd), entonces, T ∈ D′(Rd) es una distribu-cion de orden finito.

Demostracion. Veamos que T ∈ D′(Rd) tiene orden finito. Como T ∈ S ′(Rd),existe un C0 > 0 y enteros q, k ∈ Z+ tales que

|T (ϕ)| ≤ C0 ||ϕ ||q,k

para todo ϕ ∈ S(Rd).Sin embargo, si K ⊂ Rd es compacto, existe un M > 0 tal que |xα| ≤ M


para todo α ∈ Zd+ con |α| ≤ q y para todo x ∈ K. Por lo tanto existe unC ′ > 0 tal que

|T (ϕ)| ≤ C ′ |||ϕ |||k

para todo ϕ ∈ D(K) ⊂ S(Rd), pues

|T (ϕ)| ≤ C0 ||ϕ ||d,k= C0

∑|α|≤d;|β|≤k

||xαDβϕ ||∞

≤ C0M∑|β|≤k

||Dβϕ ||∞

= C ′ |||ϕ |||k

por lo anterior se sigue que

|T (ϕ)| ≤ C ′ |||ϕ |||k

para todo ϕ ∈ D(Rd) donde k no depende de K y por lo tanto el orden de Ten D′(Rd) es finito (y no mayor a k).

Observacion 5.21. El recıproco del teorema anterior es falso. Suponga

F : ϕ 7→∫

ex2

ϕ(x) dx

Define un elemento de D′(R) lo cual no se extiende a un funcional continuoen S(Rd) (no existe T ∈ S ′(R) tal que F = T ). Sin embargo, para todoconjunto compacto K ⊂ R

|F (ϕ)| ≤ C |||ϕ |||0

para todo ϕ ∈ D(K) por lo tanto el orden de F es 0.Veamos que de verdad no existe T ∈ S ′(Rd) tal que T = F . Suponga queexiste un funcional que cumpla dichas condiciones, entonces, para todo ϕ ∈D(Rd),

T (ϕ) = F (ϕ) =

∫Rd

ex2

ϕ(x) dx .


Como ademas D es denso en S (por 5.15), entonces, para todo ψ ∈ S(Rd)

existe una sucesion ϕn ∈ D(Rd) tal que ϕnS−→ψ y por lo tanto

T (ψ) = lımn→∞

T (ϕn)

= lımn→∞

∫Rd

ex2

ϕn(x) dx

=

∫Rd

ex2

ψ(x) dx

pues, como ϕn ∈ D(Rd), se puede utilizar el corolario 2.31 (pues la integralserıa sobre un conjunto compacto). Por lo tanto T es de la forma

T (ψ) =

∫Rdψ(x) ex

2

dx .

En particular para ψ(x) = e−x2, ψ ∈ S(Rd), luego

T (ψ) =

∫Rd

e−x2+x2 dx =∞

ası, hay un elemento de S para el cual T no esta bien definida, por lo tantoT /∈ S ′.

Teorema 5.22. Sea F ∈ D′(Rd) tal que supp(F ) es compacto. EntoncesF ∈ S ′(Rd).

Demostracion. Suponga W una bola abierta en Rd tal que supp(F ) ⊂ W yψ ∈ D(Rd) con W ⊂ supp(ψ), ψ = 1 en W (teorema 5.13). Ası, para todoϕ ∈ S(Rd) ϕψ ∈ D(Rd) y por lo tanto se puede definir el mapa lineal T enS(Rd) como

T (ϕ) = F (ϕψ)

para todo ϕ ∈ S(Rd).Ahora para todo φ ∈ D(Rd) ψφ = φ en W y por lo tanto supp(φψ−φ) ⊆ W c,F (φψ) = F (φ). De lo anterior se obtiene T (φ) = F (φ), para todo φ ∈ D(Rd).

Mas aun, suponga ϕnD−→ 0 en D(Rd), entonces, utilizando la formula de

Leibniz, se sigue ϕnψD−→ 0

Dαϕnψ =∑k≤α

(α

k

)ϕ(α−k)n (x)ψ(k)

→ 0.


Esto significa que T (ϕn) = F (ϕnψ)→ 0 siempre que n→∞ y por lo tantoT es continua en S(Rd) (observacion 4.11), es decir T ∈ S ′(Rd).Veamos que T es unica. Suponga que existe Q ∈ S ′(Rd) y Q = F en D′(Rd),por lo tanto Q− T ∈ S ′(Rd) y desaparece en D(Rd) (que es denso en S(Rd),por el teorema 5.15). Por la continuidad se sigue que T = Q en S(Rd)

Teorema 5.23. Suponga ψ y sus derivadas son polinomicamente acotados, esdecir, para todo α ∈ Zd+ ∃Nα ∈ Z+ y Cα > 0 constante tales que |Dαψ(x)| ≤Cα(1 + |x|2)Nα, para todo x ∈ Rd. Entonces, para cualquier ϕ ∈ S(Rd), lafuncion ψϕ ∈ S(Rd) y el mapa

ψT : ϕ 7→ T (ψϕ)

define una distribucion temperada, para cualquier T ∈ S ′(Rd).

Demostracion. Observe que si ψ y sus derivadas son polinomicamente aco-tadas, entonces, ψϕ ∈ S(Rd), para todo ϕ ∈ S(Rd). Mas aun, por la formula

de Leibniz, si ϕnS−→ϕ en S(Rd), entonces ψϕn

S−→ψϕ en S(Rd) y por lotanto ψT ∈ S ′(Rd).

Capıtulo 6

Transformada de Fourier

La teorıa de distribuciones es particularmente util en el desarrollo de latransformada de Fourier. A continuacion nos interesaremos en dichas aplica-ciones.

6.1. Definicion y Propiedades

En primer lugar es necesario definir la transformada de Fourier y su in-versa:

Definicion 6.1. La transformada de Fourier de una funcion ϕ ∈ S(Rd) esla funcion Fϕ dada por

Fϕ(λ) =1

(2π)d/2

∫Rd

e−iλx ϕ(x) dx

donde λ ∈ Rd y λx =d∑j=1

λjxj, para x ∈ Rd.

Por sencillez se notara, ϕ = Fϕ

Definicion 6.2. La inversa de la transformada de ϕ, F−1ϕ, se define como

F−1ϕ(λ) =1

(2π)d/2

∫Rd

eiλx ϕ(x) dx .

Veamos un ejemplo de transformada de Fourier:

69

70 CAPITULO 6. TRANSFORMADA DE FOURIER

Ejemplo 6.3. Suponga d = 1, se define 1[a,b] como la funcion caracterısticadel intervalo [a, b], luego

F(1[a,b]) =1√2π

∫ b

a

e−ixξ dx = ce−iaξ − e−ibξ

iξ

donde c = 1√2π

. Observe que si b = −a = 1, entonces

F(1[a,b]) = ceiξ − e−iξ

iξ= 2c

sin(ξ)

ξ=: 2c sinc(ξ)

donde la funcion sinc es llamada “ seno cardinal” .

Figura 6.1: Seno Cardinal

Veamos algunas propiedades de la transformada de Fourier que nos seranutiles mas adelante

Proposicion 6.4. Sean ϕ, ψ ∈ S(Rd), y ∈ Rd, b ∈ C y α multi-ındice,entonces:

1. || ϕ ||L∞ ≤ ||ϕ ||L1,

2. ϕ+ ψ = ϕ+ ψ,

6.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 71

3. bϕ = bϕ,

4. ϕ = ˜ϕ,

5. ϕ = ˜ϕ,

6. τy(ϕ)(ξ) = e−iyξ ϕ(ξ),

7. eixy ϕ(x)(ξ) = τyϕ(ξ),

8. ∂αϕ(ξ) = (iξ)αϕ(ξ),

9. ∂αϕ(ξ) = F((−iξ)αϕ(x))(ξ),

10. ϕ ∈ S,

11. ϕ ∗ ψ = cϕψ.

Demostracion. Muchas de las propiedades enunciadas en este teorema sedemostran a lo largo del capıtulo, o en el capıtulo 7.Suponga c = (2π)d/2, entonces,

1. Observe que

||ϕ ||L∞ = supξ∈Rd|ϕ(ξ)|

= supξ∈Rd

∣∣∣∣∫Rdϕ(x) e−ixξ dx

∣∣∣∣≤ sup

ξ∈Rd

∫Rd|ϕ(x)| dx

= ||ϕ ||L1 .

2. Se obtiene por la linealidad de la integral.

3. Se obtiene por la linealidad de la integral.


4. Observe que

ϕ(ξ) = c

∫Rd

e−ixξ ϕ(x) dx

= c

∫Rd

eiyξ f(y)dy

= ϕ(−ξ)= ˜ϕ(ξ)

5. Observe que

ϕ(ξ) = c

∫Rd

e−ixξ ϕ(x) dx

= c

∫Rd

eixξ ϕ(x) dx

= ϕ(−ξ)

= ˜ϕ(ξ)

6. Por definicion

τy(ϕ)(ξ) = c

∫Rd

e−ixξ ϕ(x− y) dx

= c

∫Rd

e−i(z+y)ξ ϕ(z)dz

= c e−iyξ∫Rd

e−izξ ϕ(z)dz

= e−iyξ ϕ(ξ)

7. Por defincion

eixy ϕ(x)(ξ) = c

∫Rd

e−ixξ eixy ϕ(x) dx

= c

∫Rd

e−ix(ξ−y) ϕ(x) dx

= ϕ(ξ − y)

= τyϕ(ξ)


8. Se demostrara en 6.5

9. Se demostrara en 6.5

10. Se demostrara en 6.6.

11. Se demostrara en 7.2.

Proposicion 6.5. Sea ϕ ∈ S(Rd). Entonces ϕ ∈ C∞(Rd) y para todo α, β ∈Zd+

((iλ)αDβϕ)(λ) = F(Dα((−ix)βϕ(x)))(λ)

En particular, iλjϕ(λ) = (Djϕ)(λ) y (Djϕ)(λ) = F(−ixjϕ(x))(λ).

Demostracion. Sea e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · ,ed = (0, 0, · · · , 0, 1) la base canonica de Rd. Para cada ϕ ∈ S(Rd) y h 6= 0, setiene∣∣(iλj)0(D1ϕ)(λ) + F(D0(ixj)

1ϕ(x))∣∣

=

∣∣∣∣ ϕ(λ+ hej)− ϕ(λ)

h+

1

(2π)d/2

∫Rdixj e−iλx ϕ(x) dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ 1

(2π)d/2

∫Rd

(e−i(λ+hej)x− e−iλx)

h+ ixj e−iλx

ϕ(x) dx

∣∣∣∣→ 0,

siempre que h→ 0, lo anterior es cierto pues

lımh→0

∣∣∣∣ 1

(2π)d/2

∫Rd


h+ ixj e−iλx

ϕ(x) dx

∣∣∣∣≤ 1

(2π)d/2lımh→0

∫Rd


h+ ixj e−iλx

|ϕ(x)| dx

Observe que, por un procedimiento analogo a 4.16 se obtiene que|ϕ(x) e−ix(λ+hej) | ∈ L1, por lo tanto por el teorema de la convergencia domi-nada (2.29),

lımh→0

∫Rdϕ(x) e−ix(λ+hej) dx→

∫Rd

lımh→0

ϕ(x) e−ixλ+hejx dx


obteniendo

=1

(2π)d/2

∫Rd

lımh→0


h+ ixj e−iλx

|ϕ(x)| dx

=1

(2π)d/2)

∫Rd

∂ e−iλx

∂λj+ ixj e−iλx

|ϕ(x)| dx

=1

(2π)d/2)

∫Rd

−ixj e−iλx +ixj e−iλx

|ϕ(x)| dx

= 0.

Ademas, como xjϕ(x) ∈ S(Rd) (y utilizando un argumento analogo al ante-rior) a traves de la derivacion iterada se obtiene

(Dβϕ)(λ) =1

(2π)d/2

∫Rd

(−ix)β e−iλx ϕ(x) dx = F((−ix)βϕ(x))(λ).

Mas aun,

(λαDβϕ)(λ) = λαF((−ix)βϕ(x))(λ)

=1

(2π)d/2

∫Rdλα(−ix)β e−iλx ϕ(x) dx

=1

(2π)d/2

∫Rdλα

(−iλ)α e−iλx

(−iλ)α(−ix)βϕ(x) dx

=1

(2π)d/2

∫Rd

(−i)−α(Dαx e−iλx)(−ix)βϕ(x) dx

=(−1)α

(2π)d/2

∫Rd

(−i)−α e−iλxDαx(−ix)βϕ(x) dx

=(−i)α

(2π)d/2

∫Rd

e−iλxDαx(−ix)βϕ(x) dx

el penultimo paso se obtiene integrando por partes (teniendo en cuenta queϕ ∈ S(Rd) y por lo tanto en |x| → ∞, ϕ(x)→ 0). De lo anterior se tiene

((iλ)αDβϕ)(λ) = F(Dα((−ix)βϕ(x)))(λ)


Teorema 6.6. Tanto F como F−1 son mapas continuos en S(Rd).


Demostracion. Veamos que si ϕ ∈ S(Rd), entonces Fϕ,F−1ϕ ∈ S(Rd). Paratodo α, β ∈ Zd+, se tiene, por la proposicion 6.5,

∣∣(λαDβϕ(λ))∣∣ =

∣∣∣∣ (−i)α

(2π)d/2

∫Rd

e−iλxDα((−ix)βϕ(x)) dx

∣∣∣∣≤ 1

(2π)d/2

∫Rd

∣∣Dα(xβϕ(x))∣∣ dx

< ∞

pues xαϕ(x) ∈ S(Rd) (utilizando un procedimiento analogo al utilizado en elteorema 4.16). De lo anterior, se tiene que ||| ϕ |||α,β = supλ∈Rd |(λαDβϕ)(λ)| es

finito y por lo tanto ϕ ∈ S(Rd). Observe que ademas (F−1ϕ)(λ) = (Fϕ)(−λ),por lo tanto de la prueba anterior se puede inferir F−1ϕ ∈ S(Rd).Para ver que F : S(Rd) → S(Rd) es continua se utiliza el acotamientoanterior, ası al definir A = ||| ϕ |||α,β se obtiene

A ≤ 1

(2π)d/2

∫Rd


≤ 1

(2π)d/2

∫Rd

(1 + x21)(1 + x22) · · · (1 + x2d)

(1 + x21)(1 + x22) · · · (1 + x2d)


≤ supx|(1 + x21)(1 + x22) · · · (1 + x2d)D

α(xβϕ(x))| 1

(2π)d/2

(∫R

1

(1 + t2)dt

)d≤ C ||ϕ ||m,n

por la formula de Leibniz, para alguna constante C > 0 y enteros m,n que de-

penden de α, β. De esto se sigue que si ϕnS−→ϕ en S(Rd), entonces ϕn

S−→ ϕen S(Rd), obteniendo ası el resultado. En el caso de F−1 la demostracion esanaloga.

Veamos que efectivamente, la terminologıa presentada anteriormente escorrecta:

Teorema 6.7 (Teorema de Inversion de Fourier). Para todo ϕ ∈ S(Rd),

F−1(Fϕ) = ϕ = F(F−1ϕ)

Lo anterior implica que la transformada de Fourier, F , en una biyeccionlineal bicontinua de S(Rd) en S(Rd) con inversa F−1.


Demostracion. Para todo ϕ, ψ ∈ S(Rd), se tiene∫Rdψ(λ)ϕ(λ) eiλy dλ =

∫Rdψ(λ)

1

(2π)d/2

∫Rd

e−iλx ϕ(x) dx

eiλy dλ

=1

(2π)d/2

∫Rd

∫Rdψ(λ) e−iλ(x−y) dλ

ϕ(x) dx

=

∫Rdψ(x− y)ϕ(x) dx

=

∫Rdψ(x)ϕ(x+ y) dx

(6.1)

para la ultima igualdad basta hacer un cambio de variables (x = x− y).Se define ψε(λ) = ψ(ελ), tal que

ψε(x) =1

(2π)d/2

∫Rd

e−ixλ ψ(ελ)dλ

=1

(2π)d/2ε−d∫Rd

e−ixu/ε ψ(u)du

= ε−dψ(x/ε),

de nuevo haciendo un cambio de varibles (u = ελ).Por lo tanto∫

Rdψ(ελ)ϕ(λ) eiλy dλ =

∫Rdϕ(y + x)ψε(x) dx

=1

εd

∫Rdψ(x/ε)ϕ(y + x) dx

=

∫Rdψ(x)ϕ(y + εx) dx .

Haciendo ε→ 0, se obtiene

ψ(0)

∫Rdϕ(λ) eiyλ dλ = ϕ(y)

∫Rdψ(x) dx

Lo anterior es cierto, pues |ψε(λ)ϕ eiλy | < M , para algun M > 0 puesψ, ϕ ∈ S(Rd) y aplicando el corolario demostrado en los preliminares (2.31),igual que |ψ(x)ϕ(y + εx)| < M ′.Definiendo ψ(x) = e−x

2/2, entonces ψ(0) = 1 ademas ψ(u) = e−u2/2 y

6.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 77∫Rd ψ(u)du = (2π)d/2(lema 6.8).

Sustituyendo(F−1ϕ)(y) = ϕ(y)

esto es, F−1(Fϕ) = ϕ. De forma analoga se demuestra que F(F−1ϕ) = ϕ.Obtiendo el resultado.

Lema 6.8. Veamos la demostracion de lo afirmado en la demostracion delteorema.

1. f(u) = e−u2/2, para f(x) = e−x

2/2.

2.

∫Rdf(u)du = (2π)d/2.

Demostracion. Veamos el caso general: para t > 0, sea f(x) = e−tx2. Observe

que

f(u) =1

(2π)d/2

∫Rd

e−tx2−ixu dx .

Mas aun, al definir A = f(u)

A = C

∫Rd

e−tx2−ixu dx = C

∫ ∞−∞· · ·∫ ∞−∞

e−tx21−ix1u1 · · · e−tx2d−ixdud dx1 · · · dxd

= C

(∫ ∞−∞

e−tx21−ix1u1 dx1

)· · ·(∫ ∞−∞

e−tx2d−ixdud dxd

)por lo tanto basta considerar el problema en una dimension. Ası, al completarel cuadrado en el exponente se obtiene

−t(x+

iu

2t

)2

− u2

4t= −tx2 − 2t

xiu

2t+tu2

4t2− u2

4t= −tx2 − iux.

Obteniendo∫ ∞−∞

e−tx2−ixu dx =

∫ ∞−∞

e−t(x+iu2t )

2−u

2

4t dx = e−u2

4t

∫ ∞−∞

e−t(x+iu2t )

2

dx .

Observe que no se puede hacer un simple cambio de variables, por que seesta trabajando con variables complejas.Sea CR el contorno de la figura con u > 0.


Veamos que e−tz2

es analıtica, se define u(x, y) = e−t(x2−y2) cos(2txy) y

u(x, y) = − e−t(x2−y2) sin(2txy), entonces

∂u

∂x= −2t e−t(x

2−y2)(x cos(2txy) + y sin(2txy))

∂v

∂y= −2t e−t(x

2−y2)(x cos(2txy) + y sin(2txy))

∂u

∂y= 2t e−t(x

2−y2)(y cos(2txy)− x sin(2txy))

−∂v∂x

= −2t e−t(x2−y2)(x cos(2txy) + y sin(2txy))

Satisfaciendo ası las ecuaciones de Cauchy y obteniendo el resultado.Como e−tz

2es analıtica, por la formula de Cauchy, se tiene∫

CR

e−tz2

dz = 0

Mas aun∫CR

e−tz2

dz =

∫C1

e−tz2

dz +

∫C2

e−tz2

dz +

∫C3

e−tz2

dz +

∫C4

e−tz2

dz

Figura 6.2: CR

Donde, C1 = [−R;R], C2 = [R;R + iu2t

], C3 = [R + iu2t

;−R + iu2t

] yC4 = [−R + iu

2t;−R]. Ası, haciendo la parametrizacion z = x, para C1,

z = R+ ix2t

, para C2, z = x+ iu2t

, para C3 y z = −R+ ix2t

para C4. Se obtiene∫CR

e−tz2

dz =

∫ R

−Re−tx

2

dx−∫ R

−Re−t(x+

iu2t

)2 dx

+

∫ u

0

e−t(R2+ ixR

t− x2

4t2) i dx

2t−∫ u

0

e−t(R2− ixR

t− x2

4t2) i dx

2t.


Pero, los dos ultimos terminos tienden a 0 siempre que R→∞, pues

∫ u

0

e−t(R2+ ixR

t− x2

4t2) i dx

2t−∫ u

0

e−t(R2− ixR

t− x2

4t2) i dx

2t

= e−tR2

(∫ u

0

e−t(ixRt− x2

4t2) i dx

2t−∫ u

0

e−t(−ixRt− x2

4t2) i dx

2t

)−→R→∞

0.

Por lo tanto∫CR

e−tz2

dz =

∫ ∞−∞

e−tx2

dx−∫ ∞−∞

e−t(x+iu2t

)2 dx = 0

Basta evaluar g(t) =∫∞−∞ e−tx

2dx.

(g(t))2 =

(∫ ∞−∞

e−tx2

dx

)(∫ ∞−∞

e−ty2

dy

)=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−t(x2+y2) dx dy Cambiando a coordenadas polares

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−tr2

rdrdθ

= −2πe−tr

2

2t|∞0 =

π

t.

Ası g(t) =√

πt. Por lo tanto∫ ∞

−∞e−tx

2

e−iux dx =

√π

te−u

2/4t

y ∫Rd

e−tx2

e−iux dx =(πt

)d/2e−u

2/4t

En particular, si t = 1/2 se obtiene, f = f .

Observacion 6.9.

(F2ϕ)(x) = (F ϕ)(x) = (F−1ϕ)(−x) = ϕ(−x).

De lo anterior se infiere: F4ϕ = ϕ y por lo tanto F−1 tiene periodo 4. Esdecir, F es un operador involutivo de orden 4.


Mas aun, utilizando la identidad iλjϕ(λ) = (Djϕ)(λ) y reemplazando ϕ porF−1ϕ se obtiene

iλjϕ(λ) = F(DjF−1ϕ)(λ)

lo cual se puede simplificar

iλj = FDjF−1 (6.2)

como operadores en S(Rd).Ademas, F−1(−iλ)F = Dj y F(iλj)F−1 = F2DjF−2 = −Dj en S(Rd).

Teorema 6.10 (Formula de Parseval). para todo ϕ, ψ ∈ S(Rd)∫Rdϕ(x)ψ(x) dx =

∫Rdϕ(x)ψ(x) dx .

Demostracion. Como, por la ecuacion (6.1)∫Rdψ(λ)ϕ(λ) eiyλ dλ =

∫Rdψ(x)ϕ(x+ y) dx .

Por lo tanto tomando y = 0, se obtiene∫Rdψ(λ)ϕ(λ)dλ =

∫Rdψ(x)ϕ(x) dx .

Reemplazando ϕ por F−1ϕ y utilizando la identidad F−1ϕ(x) = ϕ(−x), seobtiene ∫

Rdψ(x)ϕ(x) dx =

∫Rdψ(x)ϕ(−x) dx .

Sin embargo, ϕ(x) = ϕ(−x), pues

ϕ(x) = c

∫Rdϕ(λ) e−ixλ dα

= c

∫Rdϕ(λ) eixλ dα

= F−1ϕ(x) = ϕ(−x).

Por lo tanto definiendo φ = ϕ, se tiene ϕ(−x) = φ(−x) = φ(x)

φ(−x) =ϕ(−x) = ϕ(x) = ϕ(−x) = ϕ(−x)

φ(x) = ϕ(x) = ϕ(−x) = ϕ(−x)


Por lo tanto ∫Rdψ(x)φ(x) dx =

∫Rdψ(x)φ(x) dx,


Corolario 6.11 (Formula de Plancherel). || ϕ ||L2 = ||ϕ ||L2.

Veamos que la transformada de Fourier es un operador unitario en elespacio de Hilbert L2(Rd).

Teorema 6.12 (Plancherel). La transformada de Fourier F se extiende deS(Rd) a un operador unitario en L2(Rd).

Demostracion. Por la formula de Plancherel, hemos demostrado que la trans-formada de Fourier es isometrica con respecto a la norma || · ||L2 , mas aun, seha demostrado que

F : S(Rd)→ S(Rd).

Como, S(Rd) es denso en L2(Rd) (refierase al resultado del teorema 7.22). Seaφ ∈ L2(Rd), entonces ∃(ϕn) ∈ S(Rd) tal que ||ϕn − φ ||2 → 0. En particular(ϕn) es sucesion de Cauchy en L2

||ϕn − ϕm ||2 = ||ϕn − ϕm + φ− φ ||2 ≤ ||ϕn − φ ||2 + ||φ− ϕm ||2 → 0 + 0 = 0.

Pero como ademas, || ϕ ||2 = ||ϕ ||2 para todo ϕ ∈ S(Rd), ϕn es tambien unasucesion de Cauchy en L2 y por lo tanto converge a algun elemento Ψ enL2(Rd). Ası se define: Fφ = Ψ, entonces

|| φ ||2 = lımn|| ϕn ||2 = lım

n||ϕn ||2 = ||φ ||2 .

Veamos que Ψ es independiente de la sucesion (ϕn), suponga que existe otrasucesion (ψn) en S(Rd) tal que ||ψn−φ ||2 → 0. Se define una nueva sucesion(ωn) ⊂ S(Rd),

ωn(x) =

ϕn, si n es par

ψn, si n es impar.

Por un argumento analogo al utilizado anteriormente (ωn) converge en L2(Rd).Pero,

φ = lımn→∞

ωn

= lımn impar→∞

ωn = lımn→∞

ϕn

= lımn par→∞

ωn = lımn→∞

ϕn.

82 CAPITULO 6. DISTRIBUCION TEMPERADA

Por lo tanto Fφ esta bien definido y || Fφ ||2 = ||φ ||2.Un argumento analogo es valido para F−1. Mas aun, se demostro que FF−1 =F−1F = I en S(Rd), pero como este ultimo es denso en L2(Rd) se obtiene elresultado.

Corolario 6.13. Para todo ϕ, ψ ∈ L2(Rd) se tiene∫Rdϕ(x)ψ(x) dx =


Demostracion. ∫Rdϕψ dx =

∫Rdϕψ dx,

por la Formula de Parseval (6.10) y utlizando el hecho que S(Rd) es densoen L2(Rd).Reemplazando ϕ por ϕ y ψ por ψ y utilizando el hecho que Fϕ(x) =(Fϕ)(−x) y (FFψ)(x) = ψ(−x) se tiene que∫

Rdϕ(−x)ψ(−x) dx =



6.2. Transformada de Fourier de una Distri-

bucion Temperada

Como se dijo anteriormente, muchas de las propiedades del espacio deSchwartz son heredadas por las distribuciones temperadas, en particular porla definicion de transformada de Fourier para distribuciones:

Definicion 6.14. La transformada de Fourier FT de una distribucion tem-perada, T ∈ S ′(Rd) esta dada por

FT (ϕ) = T (Fϕ),

para todo ϕ ∈ S(Rd).De forma analoga

F−1(Tϕ) = T (F−1ϕ),


83

Observacion 6.15. F : S(Rd) → S(Rd) es continua y por lo tanto, Fenvıa S ′(Rd) en S ′(Rd). Igualmente, F−1 envıa S ′(Rd) en S ′(Rd). Mas aunse obtiene el resultado

F−1FT = T = FF−1T.

Si T es un elemento φ ∈ L2(Rd), con T = Tφ, entonces

Tφ(ϕ) = Tφ(ϕ) =

∫Rdφ(x)ϕ(x) dx =

∫Rdφ(x)ϕ(x) dx = Tφ(ϕ).

Ejemplo 6.16. 1. Veamos δb(ϕ), para b ∈ Rd. Para todo ϕ ∈ S(Rd)

δb(ϕ) = δb(ϕ)

= ϕ(b)

=1

(2π)d/2

∫Rd

e−ibx ϕ(x) dx

=

∫Rd

e−ibx

(2π)d/2ϕ(x) dx

Por lo tanto δb = Tψ, donde ψ(x) = e−ibx /(2π)d/2. En particular si

b = 0, δ = (2π)−d/2.

2. Ahora, considere δ′b

δ′b(ϕ) = δ′b(ϕ)

= δb(−ϕ′)= −ϕ′(b)

=

∫Rd

ix e−ixb

(2π)d/2ϕ(x) dx .

Por lo tanto δ′b = ix e−ibx /(2π)d/2.

Teorema 6.17. F y F−1 son continuos en S ′(Rd).

Demostracion. Suponga TnS’−→T en S ′(Rd) . Entonces Tn(ϕ) → T (ϕ) para

todo ϕ ∈ S(Rd). Por lo tanto

Tn(ϕ) = Tn(ϕ)→ T (ϕ) = T (ϕ)

Ası, TnS’−→ T en S ′(Rd). Con un argumento analogo se demuestra la conti-

nuidad de F−1.

84 CAPITULO 6. DISTRIBUCION TEMPERADA

Teorema 6.18. Para todo T ∈ S ′(Rd) y multi-ındices α, β ∈ Zd+,

(ix)αT = (DαT ) y DβT = F((−ix)βT ).

En general, (ix)αDβT = F(Dα((−ix)βT )).

Demostracion. Sea ϕ ∈ S(Rd), entonces

(ix)αT (ϕ) = T ((ix)αϕ)

= T ((ix)αϕ)

= T ((−D)αϕ)

= DαT (ϕ)

= DαT (ϕ).

Ademas

DβT (ϕ) = T ((−D)βϕ)

= T ( (−D)βϕ)

= T ((−ix)βϕ)

= (−ix)βT (ϕ)

= ((−ix)βT )(ϕ).

Para el caso general

FDα((−ix)βT )(ϕ) = Dα((−ix)βT )(ϕ)

= (−ix)βT ((−D)αϕ)

= (−ix)βT ((ix)αϕ)

= T ((−ix)β ((ix)αϕ))

= T (FDβ(ix)αϕ)= T (Dβ(ix)αϕ)

= (ix)αDβT (ϕ)

Capıtulo 7

Convoluciones

Al igual que en el caso de la derivada y la tranformada de Fourier, lasconvoluciones en distribuciones permiten pasar la operacion a las funcionesprueba conservando ası las buenas propiedades de estos objetos.

7.1. Definicion y Propiedades

La convolucion es una operacion cerrada sobre los espcaicos de pruebadefinidos anteriormente, lo que permite demostrar resultados que seran uti-les en particular para la aproximacion, a traves de funciones infinitamentediferenciables, de las funciones prueba.

Definicion 7.1. Sea ϕ, ψ ∈ S(Rd), la convolucion de ϕ y ψ, notada porϕ ∗ ψ, es la funcion

ϕ ∗ ψ(y) =

∫Rdϕ(y − x)ψ(x) dx .

Teorema 7.2. Sean ψ, ϕ, ψ ∈ S(Rd), entonces ϕ ∗ ψ ∈ S(Rd). Mas aun

1. (2π)d/2ϕψ = ϕ ∗ ψ y (2π)d/2ϕψ = ϕ ∗ ψ

2. ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ y ϕ ∗ (ψ ∗ φ) = (ϕ ∗ φ) ∗ ψ.

Demostracion. Por definicion

(2π)d/2ϕψ(y) =

∫Rd

e−ixy ϕ(x)ψ(x) dx .

85

86 CAPITULO 7. CONVOLUCIONES

Pero se sabe que∫ωχ dx =

∫ωχ dx, para todo ω, χ ∈ S(Rd). Denotando

ω = F−1(ω), entonces al reemplazar ω por ω, se obtiene∫ωχ dx =

∫ωχ dx .

Ahora, fijando y ∈ Rd, suponga ω(x) = e−ixy ϕ(x) y χ = ψ(x), entonces

(2π)d/2ϕψ(y) =

∫Rd

e−ixy ϕ(x)ψ(x) dx

=

∫Rdω(x)χ(x) dx

=

∫Rdω(x)χ(x) dx

=

∫Rd

(2π)−d/2

∫Rd

eixt e−iyt ϕ(t)dt

ψ(x) dx

=

∫Rd

(2π)−d/2

∫Rd

eit(y−x) ϕ(t)dt

ψ(x) dx

=

∫Rdϕ(y − x)ψ(x) dx

= (ϕ ∗ ψ)(y).

Ahora, reemplazando ϕ = ϕ y ψ = ψ en la identidad anterior se obtiene

(2π)d/2F(ϕψ) = ϕ ∗ ψ

lo anterior implica que ϕ ∗ ψ ∈ S(Rd), mas aun

ψ ∗ ϕ = (2π)d/2F(ψϕ) = (2π)d/2F(ϕψ) = ϕ ∗ ψ

por lo tantoϕ ∗ ψ = ϕ ∗ ψ.

Ahora, tomando la transformada de Fourier, se obtiene

ϕ ∗ ψ(y) = (2π)d/2FF(ϕψ)(y)

= (2π)d/2(ϕψ)(−y)

= (2π)d/2ϕ(−y)ψ(−y)

= (2π)d/2ϕ(y)ψ(y).


Finalmente

F(ϕ ∗ (ψ ∗ φ)) = (2π)d/2ϕψ ∗ φ= (2π)dϕψφ

= F((ϕ ∗ ψ) ∗ φ).

Tomando la transformada inversa

ϕ ∗ (ψ ∗ φ) = (ϕ ∗ ψ) ∗ φ.

Corolario 7.3. Sea ϕ, ψ ∈ D(Rd), entonces ϕ ∗ ψ ∈ D(Rd), mas aun:

supp(ϕ ∗ ψ) ⊆ supp(ϕ) + supp(ψ).

Demostracion. Observe que como D(Rd) ⊂ S(Rd), por el teorema anteriorpodemos concluir que ϕ ∗ ψ ∈ S(Rd). Ahora

(ϕ ∗ ψ)(y) =

∫Rdϕ(y − x)ψ(x) dx

Como supp(ϕ), supp(ψ) son compactos, supp(ϕ ∗ ψ) tambien lo es y por lotanto ϕ ∗ ψ ∈ Cc. Mas aun

Dαy (ϕ ∗ ψ) = Dα

∫Rdϕ(y − x)ψ(x) dx =

∫K

Dαy (ϕ(y − x)ψ(x)) dx

para todo α ∈ Zd+, pues como ϕ, ψ ∈ D(Rd),∫Rdϕ(y − x)ψ(x) dx =

∫K

ϕ(y − x)ψ(x) dx, donde K es un compacto y por

lo tanto tiene medida finita, ası, utilizando el corolario 2.31 se obtiene loafirmado. Por lo tanto, ϕ ∗ ψ tiene derivadas continuas de todos los ordenes,ası ϕ ∗ ψ ∈ D(Rd).Mas aun, observe que ϕ ∗ ψ es 0 si es falso que y − x ∈ supp(ϕ) para algunx ∈ supp(ψ), por lo tanto, basta con definir y = x1 + x, luego ϕ ∗ φ es 0 si esfalso que x1 ∈ supp(ϕ) y x ∈ supp(ψ) es decir

supp(ϕ ∗ ψ) ⊂ supp(ϕ) + supp(ψ).


Corolario 7.4. Para un ϕ ∈ S(Rd) fijo, el mapa ψ 7→ ϕ ∗ ψ es continuo deS(Rd) en S(Rd).

Demostracion. Fije ϕ ∈ S(Rd) y suponga ψnS−→ 0 en S(Rd). Entonces ψn →

0 en S(Rd) (pues se ha demostrado que la transfromada de Fourier es continua

en este espacio) y (por la formula de Leibniz) ϕψnS−→ 0 en S(Rd). Pero, como

ademas se tiene la igualdad (7.2)

ϕ ∗ ψn = F−1ϕ ∗ ψn = (2π)d/2F−1(ϕψn)→ 0

en S(Rd), obteniendo el resultado.

Definicion 7.5. Para cualquier funcion u ∈ Rd, se define la translacion τxuy la inversion u como

(τxu)(y) = u(y − x) y u(y) = u(−y).

Por lo tanto (τxu)(y) = u(x− y) y para u, v ∈ S(Rd), se tiene

(u ∗ v)(y) =

∫Rdu(x)v(y − x) dx =

∫Rdu(x)(τyv)(x) dx .

Observacion 7.6. Para un x ∈ Rd fijo, los mapas τx, · son continuos deD(Rd) en D(Rd) y de S(Rd) en S(Rd).

Demostracion. 1. Sea ϕ ∈ D(Rd), entonces, para todo y ∈ Rd, se cumple

a) ϕ(y) es infinitamente diferenciable.

b) ϕ tiene soporte compacto.

En particular, para y1 = y − x y y2 = −y, el primer punto se cumple,mas aun, al hacer la translacion x 7→ x − y, supp(ϕ) se desplaza a laizquierda, pero sigue siendo compacto.

2. Sea ϕ ∈ S(Rd), entonces, para todo y ∈ Rd, se cumple

a) ϕ(y) es infinitamente diferenciable.

b) ϕ se desvanece en ∞.

En particular, para y1 = y − x, y2 = −y, el primer punto se cumple,mas aun, ϕ(y − x) →

y→∞ϕ(∞) → 0 y ϕ(−y) →

y→∞ϕ(−∞) → 0 ; por lo

tanto τxϕ, ϕ ∈ S(Rd).Obteniendo el resultado.

7.2. CONVOLUCIONES CON DISTRIBUCIONES 89

7.2. Convoluciones con Distribuciones

Gracias a las propiedades de las convoluciones, se puede demostrar resul-tados tan utilizados como la densidad de las funciones infinitamente diferen-ciables en las funciones Lp.

Definicion 7.7. Para F ∈ D′(Rd) y ϕ ∈ D(Rd) la convolucion, F ∗ ϕ, es lafuncion

(F ∗ ϕ)(x) = F (τxϕ) = F (ϕ(x− ·)).

Para T ∈ S ′(Rd) y ψ ∈ S(Rd) la convolucion, T ∗ ψ, es la funcion

(T ∗ ψ)(x) = T (τxψ) = T (ψ(x− ·)).

Ejemplo 7.8. Considere la distribucion δ, entonces

(δ ∗ ϕ)(x) = δ(τxϕ) = δ(ϕ(x− ·)) = ϕ(x− 0) = ϕ(x).

Observacion 7.9. F (ϕ) se puede expresar como una convolucion, puesτ0( ˜ϕ)(x) = ˜ϕ(x− 0) = ϕ(−x) = ϕ(x), por lo tanto

F (ϕ) = F (τ0( ˜ϕ)) = (F ∗ ϕ)(0).

De forma analoga

T (ψ) = T (τ0(˜ψ)) = (T ∗ ψ)(0).

Lema 7.10. Para ϕ ∈ S(Rd), y κ 6= 0, se define

ϕκ(x) =ϕ(x+ κej)− ϕ(x)

κ,

donde ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) son los vectores que componen la base canoni-

ca de Rd. Entonces ϕκS−→ ∂jϕ en S(Rd), siempre que κ→ 0.

Demostracion. Veamos que |||ϕκ − ∂jϕ |||α,β → 0, para cada α, β ∈ Zd+. Sinperdida de generalidad, suponga β = 0.

Sea φ = ∂jϕ ∈ S(Rd) y ||x ||1 =d∑i=1

|xi| para x ∈ Rd. Si κ < 1, por el teorema


del valor medio (2.20), para cada x ∈ Rd existe un θ ∈ R (que depende dex) con |θ| < 1, tal que ϕκ(x) = φ(x+ θκej) y por lo tanto

supx∈Rd|xα(ϕκ(x)− φ(x))| = sup

x∈Rd|xα(φ(x+ θκej)− φ(x))|

≤ sup||x ||1≤M

|xα(φ(x+ θκej)− φ(x))|

+ sup||x ||1>M

|xαφ(x+ θκej)|+ sup||x ||1>M

|xαφ(x)|.

Estudiemos de forma separada los 3 terminos anteriores.Sea ε > 0 fijo. Como φ ∈ S(Rd), para M suficientemente grande se tiene

sup||x ||1>M

|xαφ(x)| < 1

3ε.

Observe que |xj| ≤ |xj + θκ|+ |θκ| ≤ |xj + θκ|+ 1, por lo tanto

|xα| ≤

(∏i 6=j

|xi|αi)

(1 + (xj + θκ))αj .

Si || x ||1 > M , entonces || x + θκej ||1 > M − 1 (|| x + θκej ||1 =d∑i=1

|xi +

θκej| ≥d∑i=1

|xi|−|θκej| > M−1). Combinando los dos resultados anteriores,

al definir A = sup||x ||1>M |xαφ(x+ θκej)| se obtiene

A ≤ sup||x ||1>M

(∏i 6=j

|xi|αi)

(1 + |xj + θκ|)αj |φ(x+ θκej)|

≤ sup||x ||1>M−1

(∏i 6=j

|xi|αi)

(1 + |xj|)αj |φ(x)|

<1

3ε,

(pues φ ∈ S(Rd)) siempre que M sea lo suficientemente grande.Dado un M fijo lo suficientemente grande para que se cumpla las dos de-sigualdades anteriores, como φ es uniformemente continua en el conjunto


x ∈ Rd : || x ||1 ≤M y por lo tanto

sup||x ||1≤M

|xα(φ(x+ θκej)− φ(x))| < 1

3ε

siempre que |κ| sea suficientemente pequeno. Obteniendo el resultado.

Observacion 7.11. Veamos que efectivamente, para M fijo, todo ϕ ∈ S(Rd)es uniformemente continua en x ∈ Rd : || x ||1 ≤M.

Demostracion. Suponga que para un ε > 0 dado

0 < δ <ε

||ϕ′ ||∞

entonces, por el teorema del valor medio 2.20, para todo x, y, con ||x ||1 < My || y ||1 < M , se tiene, que existe un c tal que || c ||1 < M y

|ϕ(x)− ϕ(y)| = |ϕ′(c)||x− y|

por lo tanto, si |x− y| < δ, entonces

|ϕ(x)− ϕ(y)| = |ϕ′(c)||x− y|< |ϕ′(c)|δ< |ϕ′(c)| ε

||ϕ′ ||∞< ||ϕ′ ||∞

ε

||ϕ′ ||∞= ε

donde δ no depende de los punto elegidos x, y.

Lema 7.12. Para cualquier ϕ ∈ S(Rd), τa(ϕ)S−→ϕ en S(Rd) siempre que

a→ 0 en Rd.

Demostracion. Suponga α ∈ Zd+ fijo y || a ||1 < 1, entonces

supx|xα(ϕ(x− a)− ϕ(x))| ≤ sup

||x ||1≤M|xα(ϕ(x− a)− ϕ(x))|

+ sup||x ||1>M

|xαϕ(x− a)|+ sup||x ||1>M

|xαϕ(x)|,


para cualquier ϕ ∈ S(Rd). Para un ε > 0 dado, se fija M lo suficientementegrande para que

sup||x ||1>M

|xαϕ(x− a)| < 1

3ε

y

sup||x ||1>M

|xαϕ(x)| < 1

3ε

(pues ϕ ∈ S(Rd)).Mas aun, como ϕ es uniformemente continua en x ∈ Rd : || x ||1 ≤M, paraa lo suficientemente pequeno se tiene

sup||x ||1≤M

|xα(ϕ(x− a)− ϕ(x))| < 1

3ε.

Por lo tanto, basta con reemplazar ϕ por Dβϕ y todo lo anterior es cierto;obteniendo

||| τaϕ− ϕ |||α,β →a→00,

para todo α, β ∈ Zd+ y por lo tanto τaϕS−→

a→0ϕ en S(Rd).

Corolario 7.13. Suponga ϕ ∈ D(Rd), entonces

1. ϕκD−→κ→0

∂jϕ en D(Rd).

2. τaϕD−→a→0

ϕ en D(Rd).

Demostracion. Observe que las demostraciones anteriores son validas, soloresta demostrar que el soporte es compacto. Sea |κ| < 1, entonces, existe uncompacto, K, fijo, tal que supp(ϕκ) ⊂ K y supp(∂jϕ) ⊂ K, obteniendo elprimer resultado.De forma analoga, para todo || a ||1 < 1, el soporte de ϕ y τaϕ, es tal que,para un compacto K (no necesariamente el mismo anterior)

supp(τaϕ), supp(ϕ) ⊂ K.



Teorema 7.14. Sea F ∈ D′(Rd) y ϕ ∈ D(Rd), entonces F ∗ ϕ ∈ C∞(Rd) y

Dα(F ∗ ϕ) = (DαF ) ∗ ϕ = F ∗ (Dαϕ)

para todo α ∈ Zd+. Mas aun supp(F ∗ ϕ) ⊆ supp(F ) + supp(ϕ).

Demostracion. Por el corolario 7.13, se tiene que τyϕ → τxϕ, siempre quey → x en Rd. Por lo tanto, F (τyϕ) → F (τxϕ), esto es, por la definicion deconvolucion en distribuciones, (F ∗ϕ)(y)→ (F ∗ϕ)(x), si y → x y ası, F ∗ϕes continuo en Rd.Utilizando de nuevo el corolario y fijando x ∈ Rd

(F ∗ ϕ)(x+ κej)− (F ∗ ϕ)(x)

κ=

F (τx+κej ϕ− τxϕ)

κ

= F

(τx(τκej ϕ− ϕ)

κ

)→ F (τx(Djϕ)), siempre que κ→ 0,

= F (τx(Djϕ))

= (F ∗Djϕ)(x).

De lo anterior se obtiene que Dj(F ∗ ϕ)(x) existe para cada x ∈ Rd y que esigual a (F ∗Djϕ)(x). Mas aun, para un x fijo

F (τx(−Djϕ)) = −F (Djτxϕ)

= (DjF )(τxϕ)

= ((DjF ) ∗ ϕ)(x)

y por lo tanto,Dj(F ∗ ϕ) = F ∗Djϕ = (DjF ) ∗ ϕ.

El caso general se hace por induccion.Observe que (F ∗ϕ)(x) = 0 si supp(F )∩ supp(τxϕ) = ∅, esto es, si supp(F )∩supp(ϕ(x− ·)) = ∅. Por lo tanto

supp(F ∗ ϕ) ⊆ x ∈ Rd : supp(F ) ∩ supp(ϕ(x− ·) 6= ∅= x : ∃y ∈ supp(F ) : x− y ∈ supp(ϕ)= x : x ∈ supp(F ) + supp(ϕ)

completando la prueba.


Corolario 7.15. Para F ∈ D′(Rd) y ϕ ∈ D(Rd), F ∗ ϕ ∈ D′(Rd).

Demostracion. Por el teorema anterior, se tiene que F ∗ϕ ∈ C∞ y por lo tanto

es acotado en cada conjunto compacto de Rd. Ası: ψ 7→∫Rd

(F ∗ϕ)(x)ψ(x) dx

es un mapa lineal continuo en D(Rd) y por lo tanto una distribucion.

Veamos un resultado similar para S(Rd) y S ′(Rd).

Teorema 7.16. Sea T ∈ S ′(Rd) y ϕ ∈ S(Rd). Entonces,T ∗ ϕ ∈ C∞ y

Dα(T ∗ ϕ) = (DαT ) ∗ ϕ = T ∗ (Dαϕ)

para cualquier α ∈ Zd+. Mas aun, T ∗ϕ determina una distribucion temperada.

Demostracion. Observe que la primera parte es analoga a la demostracionen el caso de D(Rd). Veamos que efectivamente, T ∗ϕ define una distribuciontemperada. Como T ∈ S ′(Rd), existe una constante C > 0 y enteros k, ntales que

|T (ψ)| ≤ ||ψ ||k,n

para todo ψ ∈ S(Rd). Por lo tanto, para x ∈ Rd

|(T ∗ ϕ)(x)| = |T (τxϕ)|≤ C || τxϕ ||k,n= C

∑|α|≤k|β|≤n

supy|yα||Dβ

yϕ(x− y)|

= C∑|α|≤k|β|≤n

supy|(−y + x)α||Dβϕ(y)|

pero como ϕ ∈ S(Rd) lo anterior esta “polinomicamente acotado” y por lotanto, (T ∗ ϕ) ∈ S ′(Rd) (por el teorema 5.23).

Proposicion 7.17. Sea T ∈ S ′(Rd) y ϕnS−→

n→∞ϕ en S(Rd). Entonces, (T ∗

ϕn)(x) ⇒ (T ∗ ϕ)(x) uniformemente en los compactos de Rd.


Demostracion. Suponga, sin perdida de generalidad que ϕ = 0 (basta reem-plazar: ϕn = φn− φ). Como T ∈ S ′(Rd), existe un C > 0 y enteros k, n talesque

|T (ψ)| ≤ C∑|α|≤k|β|≤n

|||ψ |||α,β

para todo ψ ∈ S(Rd). Por lo tanto

|(T ∗ ϕn)(x)| = |T (τxϕn)| ≤ C∑|α|≤k|β|≤n

||| τxϕn |||α,β .

Sin embargo, si || x ||1 ≤M , entonces

||| τxϕn |||α,β = supy|yαDβ

yϕn(x− y)|

≤ supy|(−y + x)α||Dβϕn(y)|

≤ supy

(d∑i=1

(M + |yi|)αi)|Dβϕn(y)|

→ 0

siempre que n→∞ (pues ϕnS−→ 0 en S(Rd))

|(−y + x)α| =

√√√√ d∑i=1

(−yi + xi)2αi

≤d∑i=1

(−yi + xi)αi

≤d∑i=1

(|yi|+ |xi|)αi

≤d∑i=1

(|yi|+M)αi

Por lo tanto(T ∗ ϕn)(x) ⇒ 0

uniformemente en x : ||x ||1 ≤ M, para M fijo pero arbitrario, obteniendoel resultado.


Teorema 7.18. Sea F ∈ D′(Rd) y ϕ, ψ ∈ D(Rd), entonces

(F ∗ ϕ) ∗ ψ = F ∗ (ϕ ∗ ψ).

Demostracion. Sea ε > 0 y

fε(x) = εd∑κ∈Zd

ϕ(x− κε)ψ(κε).

Observe que la suma anterior siempre es finita, pues ϕ, ψ tienen soporte com-pacto. Mas aun, supp(fε) ⊆ supp(ϕ) + supp(ψ) y fε ∈ D(Rd) (la derivacionse obtiene de la formula de Leibniz). Mas aun, utilizando la continuidaduniforme de Dαϕ, se obtiene que

Dαfε(x) = εd∑κ∈Zd

Dαϕ(x− κε)ψ(κε) ⇒ ((Dαϕ) ∗ ψ)(x) = Dα(ϕ ∗ ψ)(x)

uniformemente, siempre que ε → 0. Basta con tomar ε = 4x en las sumasde Riemman ∑

f(yi)(xi − xi−1) −→∫f(x) dx

Obteniendo (para d = 1, pues en general es analogo)

ε∑κ∈Z

Dαϕ(x− εκ)ψ(κε) −→ε→0

∫Dαϕ(x− y)ψ(y)dy

Por lo tanto fεD−→ϕ ∗ ψ en D(Rd) si ε→ 0 y τxfε

D−→ τx ˜(ϕ ∗ ψ) en D(Rd) siε→ 0. De lo anterior se concluye

F ∗ (ϕ ∗ ψ)(x) = F (τx ˜(ϕ ∗ ψ))

= lımε→0

F (τxfε)

= lımε→0

εd∑κ∈Zd

F (ϕ(x− · − κε)ψ(κε))

= lımε→0

εd∑κ∈Zd

(Fτx−κεϕ)(ψ(κε))

= lımε→0

εd∑κ∈Zd

(F ∗ ϕ)(x− κε)ψ(κε)

= ((F ∗ ϕ) ∗ ψ).

Completando la demostracion.


Corolario 7.19. Sea T ∈ S ′(Rd) y ϕ, ψ ∈ S(Rd). Entonces

(T ∗ ϕ) ∗ ψ = T ∗ (ϕ ∗ ψ)

Demostracion. Como C∞c es denso en S(Rd)(teorema 5.15), entonces, existensucesiones (φn) y (χn) en C∞c tales que

φnS−→ϕ y χn

S−→ψ.

Mas aun, como D(Rd) ⊂ S(Rd), entonces S ′(Rd) ⊂ D′(Rd), observacion 5.19,(T ∈ D′(Rd)) y por el teorema anterior se obtiene

(T ∗ φn) ∗ χk = T ∗ (φn ∗ χk).

Sin embargo, (T ∗ φn)(x) ⇒ (T ∗ ϕ)(x) en cualquier conjunto compacto deRd y por lo tanto, para y ∈ Rd fijo

((T ∗ φn) ∗ χk)(y) = (T ∗ φn)(τyχk)

=

∫Rd

(T ∗ φn)(x)χk(y − x)dx

→∫Rd

(T ∗ ϕ)(x)χk(y − x)dx

→ (T ∗ ϕ) ∗ χk(y).

Por otro lado, φn ∗ χkS−→ϕ ∗ χk si n→∞ en S(Rd) y por lo tanto

(T ∗ φn) ∗ χk = T ∗ (φn ∗ χk)S−→T ∗ (ϕ ∗ χk).

Ası, para cada k se tiene (T ∗ φn) ∗χk = T ∗ (ϕ ∗χk). Pero como χkS−→ψ en

S(Rd)

(T ∗ ϕ) ∗ χk(y) = (T ∗ ϕ)(τyχk)→ (T ∗ ϕ)(τyψ) = (T ∗ ϕ) ∗ ψ(y)

y

T ∗ (ϕ ∗ χk)(y) = T (τy ˜(ϕ ∗ χk))→ T (τy ˜(ϕ ∗ ψ)) = T ∗ (ϕ ∗ ψ)(y)

Por lo tanto(T ∗ ϕ) ∗ ψ = T ∗ (ϕ ∗ ψ).

Completando la demostracion.


Lema 7.20. Se tiene la acotacion: | e−iελx−1| ≤ |ελx|.

Demostracion. Se define y = λεx, luego

| e−iy−1|2 = ((1− cos(y))2 + sin2(y)

= (1 + cos2(y) + sin2(y)− 2 cos(y))

= (2− 2 cos(y))

Se define f(y) = 2(1−cos(y))−y2, queremos demostrar que f(y) ≤ 0. Luego

f ′(y) = 2 sin(y)− 2y = 2sin(y)

y− 2 −→

y→00,

yf ′′(y) = 2(cos(y)− 1) ≤ 0.

Por lo tanto f es concava y como el unico maximo de f es y = 0, f(0) = 0,entonces f ≤ 0, obteniendo el resultado.

Teorema 7.21. Sea ψ ∈ S(Rd) tal que

∫Rdψ(x) dx = 1 y para ε 6= 0 se

define ψε(x) = ε−dψ(x/ε). Entonces, para todo ϕ ∈ S(Rd), ψε ∗ ϕS−→ϕ en

S(Rd), siempre que ε→ 0.

Demostracion. Basta con demostrar que (ψε ∗ ϕ)S−→ ϕ en S(Rd) (pues el

resultado se obtiene tomando la inversa de Fourier). Sin embargo, se tiene

(ψε ∗ ϕ) = (2π)d/2ψεϕ

por lo tanto, basta con demostrar

((2π)d/2ψε − 1)ϕS−→ 0

en S(Rd), siempre que ε→ 0.Utilizando la formula de Leibniz y el hecho que λαDβϕ ∈ S(Rd), para cual-quier α, β ∈ Zd+, es suficiente con demostrar que

(Dα((2π)d/2ψε − 1))φ⇒ 0

uniformemente en Rd, siempre que ε→ 0, para cualquier φ ∈ S(Rd) y α ∈ Zd+.Observe que

ψε(λ) =1

(2π)d/2

∫Rde−iλxψ

(xε

) 1

εddx = ψ(ελ).


Por lo tanto ψε(λ)→ ψ(0) = (2π)−d/2, siempre que ε→ 0.Se consideran dos casos:

1. Suponga |α| = 0, fijando φ ∈ S(Rd), entonces

|(Dα(2π)d/2ψε(λ)− 1)φ(λ)| = |((2π)d/2ψ(ελ)− 1)φ(λ)|

=

∣∣∣∣∫Rdψ(x)(e−iελx−1) dxφ(λ)

∣∣∣∣≤

∫Rd|ψ(x)||ελx| dx |φ(λ)|

= ε

∫Rd|xψ(x)| dx |λφ(λ)|

< εM

para una constante M > 0 independiente de λ y por lo demostrado en7.20. Por lo tanto((2π)d/2ψε(λ)− 1)φ(λ)→ 0 uniformemente en λ, siempre que ε→ 0.

2. Suponga |α| > 0. Para un φ ∈ S(Rd), se tiene

|(Dα((2π)n/2ψε − 1))(λ)φ(λ)| = |(2π)d/2ε|α|(Dαψ)(ελ)φ(λ)|< ε|α|M ′

para una constante M ′ > 0, dado que Dαψ, φ estan acotados en Rd.


Teorema 7.22. Sea T ∈ S ′(Rd) y ϕ ∈ S(Rd) con∫Rd ϕ(x) dx = 1. Entonces,

T ∗ ϕεS’−→T en S ′(Rd) siempre que ε→ 0, donde

ϕε(x) = ε−dϕ(x/ε).

Si F ∈ D′(Rd) y ψ ∈ D(Rd) con∫Rd ψ(x) dx = 1, entonces F ∗ ψ D’−→F en

D′(Rd) siempre que ε→ 0, donde

ψε(x) = ε−dψ(x/ε).


Demostracion. Sea φ ∈ S(Rd), entonces

(T ∗ ϕε)(φ) = (T ∗ ϕε) ∗ φ(0)

= T ∗ (ϕε ∗ φ)(0)

→ε→0

T ∗ φ(0), por el teorema anterior,

= T (φ).

Obteniendo la primera parte del teorema.

Observe que para un χ ∈ D(Rd) dado y 0 < ε < 1, el soporte de ψε ∗ χy el de χ estan en el mismo conjunto compacto (independiente de ε). Pues,para ε→ 0, supp(ψε) ⊂ supp(ψ), por lo tanto: supp(χ ∗ψε) ⊂ supp(χ ∗ψ) ⊂supp(χ) + supp(ψ) ⊂ K (con K independiente de ε).Por lo tanto ψε ∗ χ → χ en D(Rd) siempre que ε → 0. Con un argumentoanalogo al anterior, se obtiene, que para cualquier F ∈ D′(Rd) y χ ∈ D(Rd),

(F ∗ ψε)(χ) → F (χ) siempre que ε → 0, lo que implica F ∗ ψεD’−→F en

D′(Rd).

Observacion 7.23. La funcion infinitamente diferenciable T ∗ϕε es llamadala regularizacion de T . En ocasiones es mas sencillo trabajar con la regula-rizacion que con T , sin embargo al final es necesario tomar el lımite ε → 0para recuperar la distribucion.

En este punto vale la pena observar que, para todo u ∈ Lp, u define unadistribucion temperada, y por el teorema 7.22, las funciones infinitamentediferenciables son densas en Lp. La demostracion que u ∈ S ′ si u ∈ Lp

es analoga al caso u ∈ L2 (teorema 4.16); mas aun, por el teorema 7.16,u ∗ ψε ∈ C∞ ası, al aplicar el teorema anterior se obtiene lo afirmado.

Teorema 7.24. 1. D(Rd) es denso en D′(Rd), es decir, para cualquier

F ∈ D′(Rd) existe una sucesion (ϕn) en D(Rd) tal que ϕnD’−→F en

D′(Rd).

2. S(Rd) es denso en S ′(Rd), es decir, para cualquier T ∈ S ′(Rd), existe

una sucesion (ψn) en S(Rd) tal que ψnS’−→T en S ′(Rd)

Demostracion. 1. Sea F ∈ D′(Rd) fijo, y φ ∈ D(Rd) tal que∫φ(x) dx = 1

y φε(x) = ε−dφ(x/ε). Para n ∈ Z y t ≥ 0, sea la funcion λn(t) tal que


para 0 ≤ t ≤ n, λn(t) = 1, para t ≥ n+1 λn(t) = 0 y para n ≤ t ≤ n+1la funcion decrece independientemente del n; mas aun λn es continuapara todo n.

Figura 7.1: λn(t)

Para x ∈ Rd, sea γn(x) = λn(|x|). γn ∈ D(Rd), γn(x) = 1 para |x| ≤ ny γn(x) = 0 para |x| ≥ n + 1. Mas aun, γnF tiene soporte compacto

y por lo tanto γnF ∗ φ1/n ∈ D(Rd). Se afirma que γnF ∗ φ1/nD’−→F en

D′(Rd), siempre que n→∞. Pues:para χ ∈ D(Rd) se tiene

(γnF ∗ φ1/n)(χ) = (γnF ∗ φ1/n) ∗ χ(0)

= γnF ∗ (φ1/n ∗ χ)(0)

= γnF (φ1/n ∗ χ)

= F (γn(φ1/n ∗ χ))

= F (φ1/n ∗ χ), para un n suficientemente grande

= F ˜(φ1/n ∗ χ)

→ F (χ)

= F (χ),

como se afirmo.


2. Las funciones λn se suponen suaves y ademas de obedecer todas laspropiedades descritas anteriormente se supone λn+1(t) = λn(t− 1) pa-ra n+ 1 ≤ t ≤ n+ 2. Ası, mientras n se hace mas grande, el grafico deλn se “alarga” pero mantiene su forma general cuando decrece de 1 a 0.Por esta razon λn y cualquiera de sus derivadas estan acotadas, inde-pendientemente del n. Ası, para todo k = 0, 1, 2, · · · existe un Mk > 0tal que supn supt≥0 |λ

(k)n | < Mk.

Sea T ∈ S ′(Rd) y ψ ∈ S(Rd). Entonces, con la misma notacion del

numeral anterior, γnT ∗φ1/n ∈ D′(Rd) y se afirma que γnT ∗φ1/nS’−→T

en S ′(Rd) siempre que n→∞. Pues

γn(φ1/n ∗ ψ)S−→ψ en S(Rd),

|| γn(φ1/n ∗ ψ)− ψ ||α,β ≤ || γn(φ1/n ∗ ψ − ψ) ||α,β + || γnψ − ψ ||α,β

para todo α, β ∈ Zd+, estudiando cada termino por separado:|| γn(φ1/n ∗ψ−ψ) ||α,β = supx |xαDβγn(φ1/n ∗ψ−ψ)|. Pero observe que,por la formula de Leibniz

Dβγn(φ1/n ∗ ψ − ψ)(x) =∑k≤β

(β

k

)γ(β−k)n (x)(φ1/n ∗ ψ − ψ)(k)(x)

→n→∞

∑k≤β

(β

k

)γ(β−k)n (x)(ψ − ψ)(k)(x)

= 0.

Pues φ1/n ∗ ψS−→ψ en S(Rd) ( por el teorema 7.21). Ası, || γn(φ1/n ∗

ψ − ψ) ||α,β → 0.De forma analoga

|| γnψ − ψ ||α,β = supx|xαDβ(γn(ψ)− ψ)|

= supx|xα(Dβ(γn(ψ))−Dβ(ψ))|

→n→∞

supx|xα(Dβ(ψ)−Dβ(ψ))|

= 0.


De forma similar, γn˜(φ1/n ∗ ψ)

S−→ψ en S(Rd) y por lo tanto

(γnT ∗ φ1/n)(ψ) = T ˜(γn(φ1/n ∗ ψ)), como en la primera parte

→ T (ψ),

siempre que n→∞, es decir γnT ∗ φ1/nS’−→T en S ′(Rd).

Completando la prueba.

Observacion 7.25. El resultado anterior permite explicar el enfoque se-cuencial de las distribuciones, de esta manera muchas de las propiedades delas distribuciones son demostradas a partir de sucesiones de funciones “quese comportan bien”.

Teorema 7.26. Para cualquier T ∈ S ′(Rd) y ϕ ∈ S(Rd), entonces

1. F(T ∗ ϕ) = (2π)d/2FϕFT .

2. FT ∗ Fϕ = (2π)d/2F(ϕT ).

Demostracion. 1. Existe una sucesion (φn) ⊂ D(Rd) tal que φnS’−→T en

S ′(Rd). Para ψ ∈ S(Rd), se tiene

(T ∗ ϕ)(ψ) = (T ∗ ϕ) ˆ(ψ) = (T ∗ ϕ) ∗ ˜ψ(0)

= T ∗ (ϕ ∗ ˜ψ)(0) = T ((

˜ϕ ∗ ˜

ψ))

= T (ϕ ∗ ψ)

= lımnφn(ϕ ∗ ψ) = lım

nφn ∗ (ϕ ∗ ˜

ψ)(0)

= lımn

(φn ∗ ϕ)(ψ) = lımn

(φn ∗ ϕ)(ψ)

= (2π)d/2 lımn

(φnϕ)(ψ) = (2π)d/2 lımn

∫Rdφn(x)ϕ(x)ψ(x) dx

= (2π)d/2 lımn

∫Rdφn(x)(ϕψ)(x) dx

= (2π)d/2T (ϕψ) = (2π)d/2T (ϕψ)

= (2π)d/2(ϕT )(ψ),

observe que la integral se puede cambiar con el lımite utilizando el

corolario 2.31 en los preliminares y el hecho que φn(ϕψ) ∈ S(Rd).

Por lo tanto hemos demostrado T ∗ ϕ = (2π)d/2ϕT .


2. Sea ψ ∈ S(Rd), luego

(T ∗ ϕ)(ψ) = (T ∗ ϕ) ∗ (ψ)(0)

= (T ) ∗ (ϕ ∗ ψ)(0) = T ( ˜ϕ ∗ ψ)

= T ( ˜ϕ ∗ ψ) = (2π)d/2T (ϕψ)

= (2π)d/2 ϕT (ψ) = (2π)d/2(ϕT )(ψ)

Pero, como ϕ = ϕ(−x) = ˜ϕ, luego: ϕ = ϕ = ϕ, pues ϕ ∈ S(Rd). Ası seobtiene

(T ∗ ϕ)(ψ) = (2π)d/2(ϕT )(ψ).


Capıtulo 8

Teoremas de Estructura paralas Distribuciones

Por la definicion de S(Rd), cualquier funcion continua polinomicamenteacotada determina una distribucion temperada ( teorema 5.23). Se demos-trara que dichas funciones generan S ′(Rd).

Teorema 8.1. Sea T ∈ S ′(Rd). Entonces existe una funcion continua po-linomicamente acotada, Φ(x), y un multi-ındice α ∈ Zd+ tal que T = DαΦ.

Demostracion. Veamos el caso d = 1. Sea T ∈ S ′(R) fijo, entonces, existenk,m ∈ Z+ y C > 0 tales que

|T (ϕ)| ≤ C∑

α≤k; β≤m

|||ϕ |||α,β

para todo ϕ ∈ S(Rd). Se sigue que existe un C ′ > 0 tal que

|T (ϕ)| ≤ C ′∑β≤m

supx|(1 + x2)kDβϕ(x)|,

pues

|T (ϕ)| ≤ C∑

α≤k; β≤m

|||ϕ |||α,β

= C

(∑β≤m

∑α≤k−1

supx|xαDβϕ(x)|+

∑β≤m

supx|xkDβϕ(x)|

)≤ C ′

∑β≤m

supx|(1 + x2)kDβϕ(x)|

105

106 CAPITULO 8. TEOREMAS DE ESTRUCTURA

para todo ϕ ∈ S(R) (ya que xk ≤ (1 + x2)k). Ahora, si φ ∈ D(R), entoncesφ(x) =

∫ x−∞ φ

′(t)dt y por lo tanto

|φ(x)| ≤∫ x

−∞|φ′(t)|dt ≤

∫ ∞−∞|φ′(t)|dt = ||φ′ ||L1 .

Por lo tanto, para cualquier φ ∈ D(R), supx |φ(x)| ≤ ||φ′ ||L1 . Obteniendo

|T (φ)| ≤ C ′∑β≤m

||D((1 + x2)kDβφ(x)) ||L1

pues (1 + x2)Dβφ ∈ D(R), siempre que φ ∈ D(R). Utilizando la desigualdad

D(1 + x2)k = 2xk(1 + x2)k−1 ≤ k(1 + x2)k

observe que la desigualdad anterior se tiene pues

2x− x2 − 1 = −(x− 1)2 ≤ 0

para todo x, por lo tanto 2x ≤ x2 + 1, para todo x. Ası, se obtiene

|D((1 + x2)kDβφ(x))| ≤ k|(1 + x2)kDβφ(x)|+ |(1 + x2)kDβ+1φ(x)|.

Mas aun, existe un C ′′ > 0 tal que

|T (φ)| ≤ C ′′∑

j≤m+1

||(1 + x2)kDjφ(x) ||L1 (8.1)

para φ ∈ D(R).Sea J : D(R) → L1(R) × · · · × L1(R) (con m + 2 terminos), el mapa dadopor

J(φ) = ((1 + x2)kφ(x), (1 + x2)kDφ(x), · · · (1 + x2)kDm+1φ(x)).

Observe que J(φ) es inyectivo, pues si J(φ) = J(χ), entonces, todas las com-ponentes son iguales, en particular (1+x2)kφ(x) = (1+x2)kχ(x), obteniendoφ = χ. Mas aun, J es un mapa lineal

J(aφ+ bχ) = ((1 + x2)k(aφ(x) + bχ(x)), · · · , (1 + x2)k(aφ(x) + bχ(x)))

= a((1 + x2)kφ(x), · · · , (1 + x2)kφ(x))

+ b((1 + x2)kχ(x), · · · , (1 + x2)kχ(x))

= aJ(φ) + bJ(χ).

107

Ası, se define el mapa Λ : J(D(R))→ R como

Λ(J(φ)) = T (φ).

Observe que Λ esta bien definida, pues J(φ) esta determinada unicamentepor φ y es lineal

Λ(aJ(φ) + bJ(χ)) = T (aφ+ bχ) = aT (φ) + bT (χ) = aΛ(J(φ)) + bΛ(J(χ)).

Mas aun, la acotacion implica que Λ es un funcional lineal acotado sobreJ(D(R)) ⊂ (L1(R))m+2.Por el teorema de Hahn-Banach, (2.21), Λ tiene una extension a un funcionallineal acotado en todo (L1(R))m+2. Mas aun, por el teorema de representacionde Riesz,(2.22), Λ es de la forma

Λ(g0 ⊕ g1 ⊕ · · · ⊕ gm+1) =m+1∑j=0

∫Rgj(x)hj(x) dx

para h0, · · · , hm+1 ∈ L∞(R) (pues, para p = 1, el exponente conjugado esq =∞). Por lo tanto

T (φ) = Λ(J(φ)) =m+1∑j=0

∫Rhj(x)(1 + x2)kDjφ(x) dx .

Como distribucion esto es

T =m+1∑j=0

(−1)jDj((1 + x2)khj(x))

en D(R). Pero como D(R) es denso S(R), por 5.15, por lo tanto T tiene lamisma forma en S(R).Ası, para cada j, se define

θj(x) =

∫ x

0

(1 + t2)khj(t)dt.

θj es continua y polinomicamente acotada, puesEs polinomicamente acotada, pues como hj ∈ L∞, hj es acotada y por lotanto

θj(x) =

∫ x

0

(1 + t2)khj(t)dt ≤M

∫ x

0

(1 + t2)kdt = Mp(1 + x2)

108 CAPITULO 8. TEOREMAS DE ESTRUCTURA

donde p es un polinomio.Como θj(x) es polinomicamente acotada, para todo x, y tal que |x− y| < δ

|θ(x)− θ(y)| ≤M |p(x)− p(y)| < ε

pues p es continua.Ademas

T =m+1∑j=0

(−1)jDj+1θj.

Para obtener la forma de T , basta con definir

vj(x) =

∫ x

0

dtm+1−j · · ·∫ t2

0

dt1θj(t1)

es decir integrar θj, (m+ 1− j) veces.Entonces, vj es continua, polinomicamente acotada (por un procedimientoanalogo al utilizado para θj) y Dm+2vj(x) = Dj+1θj

Dm+2vj = Dj+1Dm+1−jvj = Dj+1θj

y por lo tanto

T =∑

j≤m+1

(−1)jDm+2vj = Dm+2

( ∑j≤m+1

(−1)jvj

).

Definiendo Φ(x) =∑

j≤m+1

(−1)jvj(x) (observe que Φ es la suma, finita, de

funciones continuas y polinomicamente acotadas), entonces, Φ es continua,polinomicamente acotada y T = Dm+2Φ.

Teorema 8.2. Sea F ∈ D′(Ω). Entonces, para cualquier K ⊂ Ω compacto,existe una funcion continua Φ y un multi-ındice α tal que F = DαΦ enD(K).

Demostracion. Sea F ∈ D′(Ω) y K ⊂ Ω con K compacto. Sea χ ∈ D(Ω)tal que K ⊂ W ⊂ supp(χ), para algun abierto W con χ = 1 en W (5.13).Entonces F = χF en D(K). Sin embargo, χF tiene soporte compacto y porlo tanto define una distribucion temperada y tiene la forma χF = DαΦ paraalguna funcion continua Φ y α ∈ Zd+. Ası, para todo ϕ ∈ D(K)

F (ϕ) = χF (ϕ) = DαΦ(ϕ),


Capıtulo 9

Aplicaciones

Una vez expuestos los aspectos centrales de las distribuciones, es en par-ticular interesante observar sus aplicaciones.

9.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

Como motivacion, suponga la ecuacion diferencial u′ = H, donde H es lafuncion de Heaviside definida en 5.6. Observe que la solucion para esta EDPserıa

u(x) =

a, x < 0

x+ b, x > 0

por lo tanto u(x) = x + a, para garantizar la continuidad de u en x = 0. Ypor lo tanto

u(x) =

a, x < 0

x+ a, x ≥ 0

Sin embargo, u no es diferenciable en x = 0 (pues lımx→x−0u′(x) = 0, pero

lımx→x+0u′(x) = 1). A pesar de lo anterior, si se toma ϕ ∈ S(R), se puede

109

110 CAPITULO 9. APLICACIONES

verificar que u′(ϕ) = H(ϕ)

u′(ϕ) = −u(ϕ′) = −∫ ∞−∞

u(x)ϕ′(x) dx

= −∫ 0

−∞aϕ′(x) dx−

∫ ∞0

(x+ a)ϕ′(x) dx

= −aϕ(0) + aϕ(0)−∫ ∞0

xϕ′(x) dx

=

∫ ∞0

ϕ(x) dx Integrando por partes

=

∫ ∞∞

H(x)ϕ(x) dx

= H(ϕ).

De lo anterior podemos concluir que en algunos casos (posteriormente semostraran otros) la solucion clasica de la EDP no satisface la regularidadimpuesta por esta; sin embargo, la solucion debil (solucion en distribuciones)sı satisface dicha regularidad.

Definicion 9.1. Una distribucion E ∈ D′(Rd) que satisface una ecuaciondiferencial parcial P (D)E = δ es llamada solucion fundamental para el ope-rador diferencial parcial P (D).

Las soluciones fundamentales son particularmente importantes en la so-lucion de EPD no homogeneas, de la forma P (D)u = ϕ, con ϕ ∈ D(Rd):Sea φ = E ∗ ϕ, donde E es una solucion fundamental para P (D), entoncesφ ∈ D(Rd) y

P (D)φ = P (D)(E ∗ ϕ)

= (P (D)E) ∗ ϕ= δ ∗ ϕ= ϕ,

por lo tanto E ∗ϕ es una solucion. Gracias a lo anterior, se puede determinarla solucion de ecuaciones como:

Ejemplo 9.2 (Ecuacion Diferencial Ordinaria de Orden n). Considere laecuacion diferencial ordinaria (con d = 1) homogenea

a0ϕ(n) + a1ϕ

(n−1) + · · ·+ a0ϕ(n) = 0

9.1. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP) 111

Con condiciones iniciales

θ(0) = θ′(0) = · · · = θ(n−2)(0) = 0; θ(n−1)(0) =1

a0.

Suponga ω = θH, donde θ es una solucion de la ecuacion homogenea. En-tonces

Dω = (Dθ)H + θ(0)DH = (Dθ)H

D2ω = D[(Dθ)H] = (D2θ)H + (Dθ)(0)D2H = (D2θ)H

...

Dn−1ω = (Dn−1θ)H

Dnω = (Dnθ)H +1

a0δ.

Por lo tanto

a0Dnω + a1D

n−1ω + · · ·+ anω = a0

[(Dnθ)H +

1

a0δ

]+ a1(D

n−1θ)H + · · ·+ an(θ)Y

= δ +H

(n∑i=0

aiDn−iθ

)= 0H + δ

= δ

Observe que lo anterior es equivalente a(n∑i=0

aiδ(n−i)

)∗ ω = δ.

Por lo tanto, para cualquier ecuacion no homogenea de la forma

n∑i=0

aiDn−iϕ = g

la solucion esta dada por ϕ = ω ∗ g, donde ω es la solucion fundamental.En especıfico, sea

(D − α)ϕ = g,


con α ∈ R, una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden, entonces, lasolucion para la ecuacion homogenea asociada esta dada por

θ(x) = eαx

por lo tanto, la solucion para esta ecuacion diferencial es

ϕ = θH ∗ g(x).

Ejemplo 9.3 (Ecuacion de Poisson). Sea ∆u = g, en R3, entonces la solucionfundamental para ∆ es

E = − 1

4π|x|

Sea ϕ ∈ D(R3), entonces

(∆E)(ϕ) = E(∆ϕ)

= −∫R3

1

4π√x21 + x22 + x23

∆ϕ dx1 dx2 dx3

= −∫ π

0

∫ 2π

0

∫ ∞0

1

4πr∆ϕr2 sinφdrdθdφ

= − lımε→0

∫r≥ε

1

4πr(∆ϕ)r2drdS

donde dS = sinφdφdθ. Integrando por partes, con respecto a r se obtiene∫r≥ε

E(r)r2∆ϕdr = E(r)r2∂rϕ|∞ε −∫r≥ε

∂r(E(r)r2)∂rϕdr

= E(r)r2∂rϕ|∞ε − ∂rE(r)r2ϕ|∞ε +

∫r≥ε

∆(E(r)r2)ϕdr

= −E(ε)(ε)2(∂rϕ)(ε) + ∂r(E(ε))(ε)2ϕ(ε)

+

∫r≥ε

∆(E(r)r2)ϕdr.

Sin embargo ∆E(x) = 0, para todo x 6= 0. Por lo tanto

(∆E)(ϕ) = lımε→0

∫∫r=ε

E(r)r2∂rϕdS −∫∫

r=ε

ϕ∂r(E(r)r2)dS

.


Pero observe que ∫∫r=ε

E(r)r2∂rϕdS −→ε→0

0

pues

lımε→0

∫∫r=ε

E(r)r2∂rϕdS = lımε→0

∫∫1

4πrr2∂rϕdS

= lımε→0

∫∫1

4πr∂rϕdS

=

∫∫1

4π0∂rϕdS

pero como ϕ ∈ D(R3), entonces ϕ es acotado, al igual que ∂rϕ, obteniendolo afirmado.Ahora

∂r(E(r)r2) =

(− 1

4πrr2)′

=

(1

4πr2r2)−(

1

4πr2r

)= −

(1

4π

).

Ademas∫∫dS =

∫ 2π

0

∫ π

0

sin(φ)dφdθ = 2π(− cos(φ))|π0 = 2π(2) = 4π

Por lo tanto

lımε→0

∫∫r=ε

ϕ(r, θ, φ)∂r(E(r)r2)dS = − lımε→0

∫∫r=ε

ϕ(r, θ, φ)1

4πdS

= −(∫∫

ϕ(0)1

4πdS

)−(

1

4π

∫∫(ϕ(0)− ϕ(r, θ, φ))dS

)= −

(ϕ(0)

4π4π +

1

4π

∫∫0dS

)= −ϕ(0),

lo anterior es cierto, pues ϕ es continua en 0 y si x → 0, (r → 0) y por lotanto (r, θ, φ)→ (0, 0, 0) = 0. Por lo tanto, se obtiene

(∆E)(ϕ) = ϕ(0)


para cualquier ϕ ∈ D(R3). Esto es

∆E = δ

Obteniendo ası el resultado.

Veamos otra forma de obtener la solucion para la ecuacion de Poisson.

Lema 9.4. Se tiene

F(

c

|x|α

)=

1

|ξ|d−α

con 0 < α < d.

Demostracion. Consideremos el caso d = 1, entonces

F(

1

|x|α

)= c

∫R

e−ixξ1

|x|αdx

= c

∫ ∞0

e−ixξ1

xαdx +c

∫ ∞0

eixξ1

xαdx

= c

∫ ∞0

e−ixξ + eixξ

xαdx

= 2c

∫ ∞0

cos(xξ)

xαdx (definiendo y = xξ)

= 2c

∫ ∞0

cos(y)

yαξαdy

ξ

= 2cξα−1∫ ∞0

cos(y)

yαdy

= 2cξα−1(∫ 1

0

cos(y)

yαdy +

∫ ∞1

cos(y)

yαdy

)= 2cξα−1 (I1 + I2)

= 2c1

ξ1−α(I1 + I2)

.

Como α < 1, I1 <∞, ahora consideremos I2

I2 =sin(y)

yα|∞1 −

∫ ∞1

sin(y)

yα+1dy

y como 1+α > d, I2 <∞. El caso general es similar. Obteniendo el resultado.


En este lema c es una constante que depende de la defincion de la trans-formada de Fourier, pues algunos autores, [10] optan por definir

F(f)(ξ) =

∫Rd

e−ixξ f(x) dx .

Ejemplo 9.5 (Continuacion de la Ecuacion de Poisson). Considere la ecua-cion

−∆u = f

Vemos que u = Φ ∗ f , donde

Φ =1

|x|d−2,

y d > 2. Observe que por el teorema 6.18, se tiene

F(−∂

2u

∂x2i

)(ξ) = −(iξi)

2u(ξ) = ξ2i u(ξ).

Por lo tanto

F (−∆u) = (d∑i=1

ξi)u(ξ) = |ξ|2f(ξ),

lo que es equivalente a

u(ξ) =f(ξ)

|ξ|2

= f(ξ) · F(

1

|ξ|d−2

)Por lo tanto al aplicar la transformada inversa y el teorema 7.2 se obtiene

u =1

(2π)d/2F−1(F (f ∗ Φ))

=1

(2π)d/2f ∗ Φ.

Ejemplo 9.6 (Ecuacion del Calor). El operador del calor esta dado por

P (D) = ∂t −∆


donde ∆ es el Laplaciano en Rd. Entonces si

E(x, t) = H(t)1

2d1

(2πt)d/2e−|x|

2/4t

satisface P (D)E = 0 en Rd × (R \ 0), E es la solucion fundamental paraP (D).

Sea ϕ ∈ D(Rd × R). Entonces, definiendo A = (P (D)E)(ϕ)

A = ((∂t −∆)E)(ϕ)

= −E((∂t + ∆)ϕ)

= −∫E(x, t)(∂tϕ+ ∆ϕ) dx dt pues E es localmente integrable,

= −∫

lımε→0

∫t≥ε

E(x, t)(∂tϕ+ ∆ϕ)dt dx

= −∫

lımε→0

(∫t≥ε

E(x, t)∂tϕ+

∫t≥ε

E(x, t)∆ϕdt

)dx

= −∫

lımε→0

(−E(x, ε)ϕ(x, ε)−

∫t≥ε

∂tE(x, t)ϕ+

∫t≥ε

∆E(x, t)ϕdt

)dx

= −∫

lımε→0

(−E(x, ε)ϕ(x, ε)) dx

=

∫lımε→0

(E(x, ε)ϕ(x, ε)) dx,

ahora, definiendo el cambio de variables: x = 2ε1/2y, se obtiene: |x|2 = 4ε|y|2,y = x

2ε1/2y dx = 2dεd/2dy. Por lo tanto

(P (D)E)(ϕ) =1

(π)d/2

∫lımε→0

(e|y|

2

ϕ(2ε1/2y, ε))dy

=1

(π)d/2ϕ(0)

∫e|y|

2

dy

=1

(π)d/2ϕ(0)(π)d/2

= ϕ(0)

= δ(ϕ).

Obteniendo ası P (D)E = δ.


Ejemplo 9.7 (Ecuacion de Onda). La ecuacion de onda esta dada por

∂2

∂t2u(x, t) = k2∆xu(x, t),

donde t ∈ R y x ∈ Rd (para este ejemplo se considerara d = 1). Ademas secuenta con las condiciones iniciales

u(x, 0) = f(x), y∂u

∂t(x, 0) = g(x),

donde f, g ∈ S(Rd).Utilizando la transformada de Fourier, en la ecuacion original, se obtiene

∂2

∂t2Fx(u)(ξ, t) = −k2|ξ|2Fx(u)(ξ, t)

y de las condiciones iniciales

Fx(u)(ξ, 0) = f(ξ) y∂

∂tFx(u)(ξ, 0) = g(x).

Observe que la ecucacion anterior puede ser estudiada como una ecuaciondiferencial de una sola variable t ∈ R, por lo tanto, utilizando los metodosusuales de solucion se obtiene la solucion general para la ecuacion diferencial

c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|),

pues,

(c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|))′ = −ktc1(ξ) sin(kt|ξ|)+ ktc2(ξ) cos(kt|ξ|)

(c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|))′′ = −k2t2c1(ξ) cos(kt|ξ|)+ k2t2c2(ξ) cos(kt|ξ|)

obteniendo

(c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|))′′

+ k2t2c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|)= −k2t2c1(ξ) cos(kt|ξ|) + k2t2c2(x) cos(kt|ξ|)+ k2t2c1(ξ) cos(kt|ξ|) + c2(ξ) sin(kt|ξ|)= 0.


De las condiciones iniciales se obtiene

Fx(u)(ξ, t) = f(ξ) cos(kt|ξ|) + g(ξ)sin(kt|ξ|)k|ξ|

Veamos ahora la inversa de Fourier, para d = 1. Observe que en una dimen-sion, cos(kt|ξ|) = 1

2(eiktξ + e−ixtξ), entonces

F−1(cos(ktξ)f(ξ))(x) =1

2F−1

(f(ξ) eiktξ +f(ξ) e−iktξ

)=

1

2

(F−1f(ξ) eiktξ +F−1f(ξ) e−iktξ

)=

1

2

(F−1A+ F−1B

).

Donde

A =1

(2π)d/2

∫R

eiξx f(x) dx eiξkt =1

(2π)d/2

∫R

eiξ(x−kt) f(x) dx

=1

(2π)d/2

∫R

eiξx) f(x+ kt) dx

(definiendo : x = x− kt)= F(τ−ktf)

y

B =1

(2π)d/2

∫R

eiξx f(x) dx e−iξkt =1

(2π)d/2

∫R

eiξ(x+kt) f(x) dx

=1

(2π)d/2

∫R

eiξx) f(x− kt) dx

(definiendo : x = x+ kt)

= F(τktf)

Por lo tanto (aplicando la transformada inversa), se tiene

F−1(cos(ktξ)f(ξ))(x) =1

2

(F−1F(τ−ktf) + F−1F(τ−ktf)

)=

1

2((τ−ktf) + (τ−ktf))

=1

2(f(x− kt) + f(x+ kt)) .


Y

F−1(g(ξ)

sin(kt|ξ|)k|ξ|

)=

1

2k

∫ kt

−ktg(x+ s)ds.

Pues, al definir C = F−1(g(ξ) sin(kt|ξ|)

k|ξ|

), se obtiene

C = F−1 (g(ξ)t sinc(kt|ξ|)) ,

donde la funcion sinc(·) se definio en 6.3. Pero observe que al definir

ltk(x) =

0, |x| > tk

1, |x| ≤ tk,

se obtiene

F−1(ltk)(ξ) = c

∫R

e−ixξ ltk(x) dx

= c

∫ tk

−tke−ixξ dx

= ce−ixξ

−iξ|tk−tk

= ceitkξ − e−itkξ

iξ

= c2sin(tkξ)

ξ

= c2tk sinc(tkξ).

Por lo tanto,

C = tF−1 (g(ξ) sinc(ξtk))

=ct

2tkF−1

(g(ξ)ltk(ξ)

)=

ct

c2tkF−1

(g ∗ ltk(ξ)

)=

1

2k(g ∗ l)(x)

=1

2k

∫ kt

−ktg(x− y)dy

=1

2k

∫ kt

−ktg(x+ s)ds.


9.2. Soluciones Fundamentales y Ecuaciones

Diferenciales

Considere el operador diferencial

P (D) =∑|α|≤m

cαDα (9.1)

con coeficientes constantes cα. Sea T ∈ S ′(Rd), entonces, al aplicar la trans-formada de Fourier se obtiene

F(P (D)T ) = P (ζ)Fu.

Donde P (ζ) es el polinomio obtenido de sustituir ζj por Dj. Ası llamamosa P (ζ) el Sımbolo de P (D). Ası, el operador diferencial P (D) cambia amultiplicacion por el polinomio P (ζ) bajo la transformada de Fourier.

Observacion 9.8. La distribucion T ∈ S ′(Rd) es solucion de la ecuaciondiferencial P (D)T = 0 si y solo si FT ∈ S ′(Rd) satisface P (ζ)FT = 0, esdecir, si P (ζ) 6= 0, para todo ζ ∈ Rd, entonces FT = 0 y por lo tanto T = 0.

Observe que de la ecuacion (9.1), suponiendo que E ∈ S ′(Rd) es unasolucion fundamental, de P (D), se obtiene

1 = F(P (D)E) = P (ζ)FE.

Analogamente, si Q ∈ S ′(Rd) es una solucion de la ecuacion P (ζ)Q = 1,entonces E = F−1Q ∈ S ′(Rd) es una solucion fundamental para P (D).

Definicion 9.9 (Operador Elıptico). El operador diferencial P (D) de ordenm se dice elıptico si

Pm(ζ) =∑|α|=m

cαζα

no tiene ceros reales, diferentes de ζ = 0, es decir

ζ ∈ Rd y ζ 6= 0 =⇒ Pm(ζ) 6= 0.

Lema 9.10. El operador diferencial P (D) en Rd es elıptico de orden m si ysolo si existen constantes c > 0 y R ≥ 0 tales que

|P (ζ)| ≥ c || ζ ||m (9.2)

para ζ ∈ Rd y || ζ || ≥ R.

9.2. SOLUCIONES FUNDAMENTALES 121

Demostracion. =⇒ Suponga P (D) elıptico, por lo tanto |P (D)| alcanza unmınimo en el conjunto compacto S = ζ ∈ Rd : || ζ || = 1. Ası, existe η ∈ Stal que para todo ζ ∈ S

|Pm(ζ)| ≥ |Pm(η)|.Pero como η ∈ S, η 6= 0 y por ser operador elıptico µ = |Pm(η)| > 0.Para cualquier ζ ∈ Rd \ 0, || ζ ||−1 ζ ∈ S y

µ ≤∣∣∣∣Pm( ζ

|| ζ ||

)∣∣∣∣ = || ζ ||−m |Pm(ζ)|.

Definiendo Q(ζ) = P (ζ) − Pm(ζ), entonces Q tiene grado m − 1 y por lotanto, existe d > 0 tal que

|Q(ζ)| ≤ d || ζ ||m−1,

para || ζ || ≥ 1. Ası || ζ || ≥ 1

|P (ζ)| = |Q(ζ) + Pm(ζ)|≥ |Pm(ζ)| − |Q(ζ)|≥ µ || ζ ||m−d || ζ ||m−1

=

(µ− d

|| ζ ||

)|| ζ || .

Obteniendo el resultado.⇐= Suponga P (D) no es elıptica y cumple la ecuacion (9.2). Ası, existe unζ 6= 0 tal que Pm(ζ) = 0, por lo tanto, Pm(tζ) = tmPm(ζ) = 0

P (tζ) = Pm(tζ +Q(tζ) = Q(tζ).

Por lo tanto Q es un polinomio en t de grado menor que m contradiciendoası (9.2), pues en ese caso, Q tendrıa grado mayor o igual a m.

Teorema 9.11. Todo operador elıptico P (D) en Rd tiene una solucion fun-damental E ∈ D′(Rd).

Demostracion. Suponga P (D) de orden m y R > 0 que cumpla el lema 9.10;eligiendo η ∈ Cd tal que Pm(η) 6= 0. Para z ∈ C se escribe P (ζ + ηz) comopolinomio en z

P (ζ + ηz) = Pm(η)zm +m−1∑l=0

Rl(ζ)zl,


donde los coeficientes Rl(ζ) = Rl(ζ, η) son polinomios de ζ. Definiendo cl =sup|| ζ ||≤R |Rl(ζ)|, se obtiene el acotamiento

|P (ζ + ηz)| ≥ rm

(|Pm(η)| −

m−1∑l=0

clrm−1

),

donde |z| = r y || ζ || < R. Observe que el termino entre parentesis tiende a|Pm(η)| siempre que r →∞, por lo tanto existe un ε > 0 y r > 0 tal que

|P (ζ + zη)| ≥ ε,

para z ∈ C, con |z| = r, ζ ∈ Rd y || ζ || ≤ R. Definiendo, B = ζ ∈ Rd : || ζ || ≤R, C = Rd \B y E = F +G : Rd → C, donde F = F−1(1C/P ) y

G(x) =1

(2π)d/2

∫B

1

2πi

∫|z|=r

eix(ζ+zη)

zP (ζ + zη)dzdζ.

Veamos que

P (D)G(x) =1

(2π)d/2

∫B

1

2πi

∫|z|=r

P (Dx)eix(ζ+zη)

zP (ζ + zη)dzdζ.

Definiendo f(x, z) = eix(ζ+zη)

zP (ζ+zη, basta demostrar:

1. f(x, z) es continua en |z| = r, lo anterior es cierto pues z, P (ζ+zη) 6= 0,en |z| = r.

2. ∂αj

∂xjf(x, z) < g(x) donde g ∈ L1∫

|z|=r

∂αj

∂xjf(x, z) =

∫|z|=r

(i(ζj + ηjzj))αjf(x, z)

pero como αj ≤ m, existe un Q(ζ) tal que P (ζ) = ζαjj + Q(ζ), por lo

tanto

|∂αj

∂xjf(x, z)| ≤ | eix(ζ+zη) |

|z||Q(ζ + zη)|

=1

|z||Q(ζ + zη)|.

Pero observe que al utilizar el teorema de Cauchy∫|z|=r

1

|z||Q(ζ + zη)|dz = 2πi(Q(ζ))−1 <∞.

9.2. SOLUCIONES FUNDAMENTALES 123

Por lo tanto, para todo αj se cumplen las condiciones anteriores, ası definien-do

A =

∑|α|≤m

cα∂|α|

∂xα11 · · · ∂x

αdd

G(x)

se obtiene

A =1

(2π)d

∫B

1

2πi

∫|z|=r

∑|α|≤m

cα∂|α|

∂xα11 · · · ∂x

αdd

eix(ζ+zη)

zP (ζ + zη)dzdζ

=1

(2π)d

∫B

1

2πi

∫|z|=r

eix(ζ+zη)

zdzdζ.

Ahora, observe que al utilizar el teorema de Cauchy en la integral de lıneacompleja, con z0 = 0 ∫

|z|=r

eix(ζ+zη)

zdz,

se obtiene ∫|z|=r

eix(ζ+zη)

zdz = 2πi eix(ζ),

lo que implica

P (D)G(x) =1

(2π)d/2

∫B

eixζ dζ = F−11B(x).

Al utilizar un argumento analogo, se obtiene P (D)F = 1C

P (D)F =1

(2π)d/2P (D)

∫C

eixζ

P (x)dx,

pero, f(x, ζ) = eixζ

P (x)es continuo en C pues P es elıptico; ademas∣∣∣∣ eixζ

P (x)

∣∣∣∣ =1

|P (x)|

y para m ≥ 1 ∫C

1

P (x)dx <∞.


De lo anterior se obtiene

P (D)F =1

(2π)d/2

∫C

P (D)eixζ

P (x)dx =

1

(2π)d/2

∫c

eixζ dx = F−11C .

Por lo tanto

P (D)E = P (D)F + P (D)G = F−11C + F−11B = F−11 = δ,

obteniendo ası el resultado.

9.3. Espacios de Sobolev

Se demostro (teorema 6.12) que el operador F es unitario en L2, masaun para todo u ∈ L2(Rd), F(Dαu) = (−iξ)αF(u) (pues u es distribuciontemperada por el teorema 4.16). Por lo tanto, si u ∈ L2, sus derivadas deorden k y menores que k estan en L2 si y solo si (1 + || ξ ||)kF(u) ∈ L2. Elespacio de las funciones que cumplen lo anterior se notara H(s) = H(s)(Rd):

Definicion 9.12 (Espacios de Sobolev). Para todo s ∈ R se define el espaciode Sobolev H(s) = H(s)(Rd) de orden s como el conjunto de todos los u ∈S ′(Rd) tales que (1 + || · ||2)s/2F(u) ∈ L2(Rd). Se define la siguiente normasobre este espacio

||u ||(s) :=

(∫Rd|Fu(ξ)|2(1 + || ξ ||2)sdξ

)1/2

= ||(Fu)(·)(1 + || · ||2)s/2 ||L2

Observe que la norma se eligio de forma tal que H(0) = L2.

Es convencion de utilizar el factor peso (1+ || ξ ||2)1/2, en lugar de 1+ || ξ ||,se debe a que 1 + || ξ ||2 es analogo al sımbolo I −∆ (donde ∆ es el operadorde Laplace). Pues

F((I −∆)u) = u−F

(d∑j=0

∂2

∂x2ju

)

= u− u

(d∑j=0

(−iξj)2)

= u(1 + || ξ ||2)

9.3. ESPACIOS DE SOBOLEV 125

Por lo tanto

(I −∆)z := F−1 (1 + || ξ ||2)z F

puede definirse para todo z ∈ C. Teniendo en cuenta lo anterior, el espacioH(s) se puede definir tambien como el espacio de todas las distribucionesu ∈ S ′ tales que v := (I −∆)s/2u ∈ L2, y la norma en H(s) de u, es la normade v en L2.El siguiente teorema es valido para d ∈ Z+

Teorema 9.13 (Teorema de Riemann-Lebesgue). Sea u una funcion Le-besgue integrable en Rd, entonces Fu es uniformemente continua en Rd yFu→ 0 siempre que ξ →∞. En particular, Fu es acotado en Rd y satisface

|Fu(ξ)| ≤ c

∫Rd|u(x)| dx

con ξ ∈ Rn.

Demostracion. Como | e−ixξ | = 1, la acotacion anterior se sigue de

|Fu| ≤ 1

(2π)d/2

∫Rd| e−ixξ ||u(x)| dx = c

∫Rd|u(x)| dx .

Ademas, en Rd

x+π

|| ξ ||2ξξ =

d∑i=1

(xi +

π

|| ξ ||2ξi

)ξi

=d∑i=1

(xiξi +

π

|| ξ ||2ξ2i

)

= xξ +π

|| ξ ||2d∑i=1

ξ2i

= xξ + π


mas aun, e−iπ = cos(π)− i sin(π) = −1, por lo tanto

Fu(ξ) = c

∫Rd

e−ixξ u(x) dx

= (−1)c

∫Rde−iπ e−ixξ u(x) dx

= (−1)c

∫Rd

e−i(x+π/(|| ξ ||2)ξ)ξ u(x) dx

= (−1)c

∫Rd

e−ixξ u

(x− π

|| ξ ||ξ

)dx

= −Fτπ/(|| ξ ||2)ξu= −Fu(I − τπ/(|| ξ ||2)ξ).

Ası, definiendo p = 1 y utilizando lo demostrado en el teorema 7.22, existeuna sucesion en D′(Rd), φn, tal que para un n ∈ Z+: ||u− φn ||Lp <

13ε.Por lo

tanto

|| τhu− τhφn ||Lp = ||u− φn ||Lp <1

3ε

para h ∈ Rd. Ademas, existe un R > 0 tal que para || x || ≥ R, φn(x) = 0, ası,fijando B = x ∈ Rd : ||x || ≤ R + 1. Como φn es uniformemente continua,se puede eligir 0 < δ < 1 tal que

|φn(x+ h)− φn(x)| < ε

3

(1

m(Dr(0))

)1/p

con ||h || < δ. Por lo tanto∫Rd|φn(x+ h)− φn(x)|p dx =

∫B

|φn(x+ h)− φn(x)|p dx <( ε

3

)1/ppara ||h || < δ, es decir || τ−hφn − φn ||Lp <

ε3. Ası, para ||h || < δ

||u(τ−h − I) ||Lp = || τ−hu− u ||Lp≤ || τ−hu− τ−hφn ||Lp + || τ−hφn − φn ||Lp + ||u− φn ||Lp< ε.

por lo tanto, siempre que ||h || → 0, u(τ−h − I) → 0 en Lp y como F escontinuo, entonces

Fu→ 0

9.3. ESPACIOS DE SOBOLEV 127

en L1.Veamos que Fu es uniformemente continua. Sean ξ, η ∈ Rd

|Fu(ξ + η)−Fu(ξ)| =∣∣∣∣c(∫

Rdeix(ξ+η) u(x) dx−

∫Rd

eix(ξ) u(x) dx

)∣∣∣∣= c

∣∣∣∣∫Rd

eixξ(eixη−1

)u(x) dx

∣∣∣∣≤ 2

∫Rd|u(x)| dx <∞.

Ası, utilizando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, se ob-tiene

lımη→0|Fu(ξ + η)−Fu(ξ)| ≤ c

∣∣∣∣∫Rd

eixξ lımη→0

(eixη−1

)u(x) dx

∣∣∣∣= 0


Teorema 9.14. Sea k ∈ Z+, si u ∈ H(s) y s > d2

+ k entonces u es declase Ck y ∂αu(x) → 0 siempre que || x || → ∞ para todo multi-ındice α con|α| ≤ k.

Demostracion. Observe que la desigualdad s > d2

+ k implica

2(s− k) > d

2(k − s) < −d

por lo tanto (1 + || ξ ||)k−s ∈ L2. Mas aun, || ξ ||α ≤ (1 + || ξ ||)k, para cualquier|α| ≤ k, por lo tanto

ξα(1 + || ξ ||)−s(1 + || ξ ||)sFu(ξ) ≤ (1 + || ξ ||)k−s(1 + || ξ ||)sFu(ξ).

Como u ∈ H(s) entonces (1 + || ξ ||)sFu(ξ) ∈ L2, ası, utilizando el teorema deHolder (2.24) se obtiene∫|ξα(1+|| ξ ||)−s(1+|| ξ ||)sFu(ξ)| ≤ ||(1+|| ξ ||)k−s ||L2 ||(1+|| ξ ||)sFu(ξ) ||L2 <∞

por lo tanto F(Dαu) ∈ L1. Por el teorema de Riemann-Lebesgue, 9.13,F−1FDαu es uniformemente continua y por lo tanto Dαu es uniformemente


continua (6.15). Mas aun, por el teorema 5.4, Dαu es igual a la derivadausual de u y por lo tanto esta es continua.Mas aun por el teorema de Riemann-Lebesgue F−1FDαu −→

||x ||→∞0, obtenien-

do ası el resultado.

Teorema 9.15. Sea P (D) un operador lineal diferencial en Rd de orden my con coeficientes constantes. Entonces, para todo s ∈ R, P (D) es un mapalineal continuo de H(s) en H(s−m)

Demostracion. Observe que P (ξ)(1+ || ξ ||)−k es acotado. Pues, como P es unpolinomio de grado m

P (ξ) =m∑i=0

ciξi

≤m∑i=0

ci || ξ ||m

= || ξ ||mm∑i=0

ci

≤ (1 + || ξ ||)mm∑i=0

ci.

Por lo tanto

|| FP (D)u(ξ)(1 + || ξ ||)s−m ||L2 = || Fu(ξ)P (ξ)(1 + || ξ ||)s−m ||L2

≤ ||P (ξ)(1 + || ξ ||)−m ||L2 || Fu(ξ)(1 + || ξ ||)s ||L2

≤m∑i=0

ci || Fu(1 + || ξ ||)s ||L2

como u ∈ H(s) || Fu(1 + || ξ ||)s ||L2 <∞, ası, P (D)u ∈ H(s−m).

Mas aun, se puede definir el espacio de Sobolev localmente

Definicion 9.16. Sea X un abierto de Rd y F ∈ D′(X). La distribucionF se dice que pertenece localmente a H(s) si ϕF ∈ H(s)(Rd) para todoϕ ∈ D(X). El espacio de todas las distribuciones con estas caracterısticasse notara H loc

(s) (X).

9.4. CALCULO FRACCIONAL 129

Vale la pena resaltar que esta no es la unica forma de definir los espaciosde Sobolev. En general, estos se definen como

W k,p := u ∈ Lp : Dαu ∈ Lp, |α| ≤ k

y su norma se define como

||u ||Wk,p =∑|α|≤k

||Dαu ||Lp .

9.4. Calculo Fraccional

Para esta seccion, suponga d = 1.Considerando lo anterior, todo F ∈ D′(R) tiene un primitiva de orden k enD′(R) definida como

G = χk+ ∗ F, (9.3)

con

χk+ =xk−1

(k − 1)!H(x) x ∈ R.

Veamos la demostracion de (9.3) por induccion:Sea k = 1, entonces

DG = (Dχ1+) ∗ F

= D(H(x)) ∗ F= δ ∗ F= F,

por el ejemplo 7.8.Suponga que se tiene

DkG = F,

entonces

Dχk+1+ = D

(xk

k!H(x)

)=

xk−1

(k − 1)!H(x) +

xk

k!δ(x)

=xk−1

(k − 1)!H(x)

= χk+.


Por lo tanto

Dk+1G = Dk(Dχk+1+ ) ∗ F

= Dkχk+ ∗ F= DkG por la hipotesis inductiva

= F.

Por lo tanto, para todo k ∈ Z+

DkG = χk+ ∗ F = δ ∗ F = F ;

de manera similar se define la k-esima derivada de G en funcion de δ(k).Lo anterior es el centro de la definicion, a traves de las distribuciones (puesexisten otros enfoques), de las integrales y derivadas de orden a ∈ C. Sedefine la familia de operadores

Ia+ = χa+∗

que depende de a ∈ C. A esta familia se le pediran las siguientes propiedades:

1. χa+ ∈ D′(R) y supp(χa+) ⊂ R≥0.

2. χk+(x) = xk−1

(k−1)!H(x), para k ∈ Z+.

3. χ−k+ (x) = δ(k).

4. χa+ ∗ χb+ = χa+b+ , con b ∈ C.

Observe que por la primera propiedad Ia+ : D′ → D′ es continuo y lineal.Por las dos siguientes condiciones, el operador Ia+ permite calcular la a-esimaprimitiva y derivada.Ası, se define

χa+(x) =xa−1

Γ(a)H(x), x ∈ R,

donde, Γ(·) es la funcion Gamma, definida por

Γ(a+ 1) =

∫R+

xa e−x dx,

9.4. CALCULO FRACCIONAL 131

y que cumple la propiedad Γ(a+ 1) = aΓ(a) y xc = ec ln(x), para c ∈ C.Considerando lo anterior,∫

χa+ dx =

∫xa−1

Γ(a)H(x) dx integrando por partes

=xa

aΓ(a)H(x)−

∫xa

aΓ(a)δ(x) dx

= χa+1+

pues xaδ(x) = 0 para todo x ∈ R.El operador Ia+(u) = χa+ ∗ u es llamado la Integral de Riemman-Liouville deu [4]. Este operador permite generalizar la nocion de primitiva de u.Al definir

Mφ(a) := Γ(a)χa+(φ) =

∫R≥0

xa−1φ(x) dx

donde M : φ 7→ Mφ, M es llamada la transformada de Mellin , debido aesto, χa+ es llamada distribucion de Mellin o nucleo de Mellin .

Indice alfabetico

Calculo Operacional, 15Convoluciones, 85

Derivada Debil, 54Derivada de Distribuciones, 54Desigualdad

de Holder, 24de Young, 24

DistribucionD′, 31de Dirac, 17, 42de Heaviside, 17de Mellin, 131Delta, 36, 42Regular, 31Singular, 31Temperada, 41

Ecuacionde Poisson, 112, 115del Calor, 115Diferencial Ordinaria de Orden n,

110Enfoque Axiomatico, 15Espacio de Sobolev, 124Espacios de Lebesgue, 20Exponentes Conjugados, 20

Formulade Leibniz, 22de Parseval, 80

Formulade Plancherel, 81

Funcionde Dirac, 42de Heaviside, 17, 57Delta, 17PruebaD, 27S, 38

FuncionMedible, 24

Grado de una Distribucion, 17

Integral de Riemman-Liouville, 131

Lemade Fatou, 25de Urysohn, 63de Zorn, 24

Nucleode Mellin, 131de Poisson, 48

Operador Elıptico, 120Operador Involutivo, 79Orden de una Distribucion, 33

Regla de Pascal, 22Regularizacion, 100

132

INDICE ALFABETICO 133

Sımbolo, 120Seno Cardinal, 70Solucion Fundamental, 110Sucesion

de Dirac, 49

TeoremaConvergencia Dominada de Lebes-

gue, 25de Estructura, 105de Hahn-Banach, 23de Inversion de Fourier, 75de la Convergencia Monotona, 24de Plancherel, 81de Representacion de Riesz, 24de Riemann-Lebesgue, 125de Rolle, 22del Valor Medio, 23

Transformadade Fourier, 69de Mellin, 131

134 INDICE ALFABETICO

Bibliografıa

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