TEMA 10: INTEGRACIÓN · 10.3 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Una de las técnicas de...

Alonso Fernández Galián

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TEMA 10: INTEGRACIÓN

La integración es el proceso contrario a la derivación. Así, integrar una función 𝑓 consiste en

encontrar las funciones 𝐹 tales que fF ' .

10.1 PRIMITIVAS. LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

Dada una función 𝑓, se denominan primitivas de 𝑓 a las funciones 𝐹 tales que:

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Es decir, las primitivas de la función 𝑓 son las funciones cuya derivada es igual a 𝑓.

La constante de integración. Como la derivada de una función constante es 0, si a una primitiva

de una función 𝑓 le sumamos una constante, obtenemos otra primitiva de 𝑓.

Se demuestra que, de hecho, todas las primitivas de una función 𝑓 se obtienen a partir de una de

ellas sumando a ésta una constante.

•Ejemplo: La función 𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 8 es una primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 . Veamos:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 8

𝐹′(𝑥) = 2𝑥 − 5 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓

•Ejemplo: Calcular una primitiva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

Para obtener una potencia tercera al derivar necesitamos una potencia cuarta: 𝑥4.

Sin embargo, al derivar 𝑥4 obtendremos 4𝑥3, por lo que deberemos cancelar el factor 4

dividiendo entre él. Así, tenemos que una primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 es:

𝐹(𝑥) =1

4𝑥4

Veamos:

𝐹′(𝑥) =1

4· 4𝑥3 = 𝑥3 = 𝑓(𝑥)

Nota: Con más generalidad, si tenemos una función potencial 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, una primitiva

suya es:

𝐹(𝑥) =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 =

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1

•Ejemplo: Comprobar que las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 escritas a continuación son primitivas de

la misma función.

𝐹(𝑥) = sen 𝑥 ⟹ 𝐹′(𝑥) = cos 𝑥

𝐺(𝑥) = sen 𝑥 + 5 ⟹ 𝐺′(𝑥) = cos𝑥

𝐻(𝑥) = sen 𝑥 − 3 ⟹ 𝐻′(𝑥) = cos 𝑥

Por tanto, Las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 son todas ellas primitivas de la función:

𝑓(𝑥) = cos 𝑥

Matemáticas I

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La integral de una función. Dada una función 𝑓, se denomina integral de 𝑓 al conjunto de

todas las primitivas de 𝑓. Se representa por:

∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Donde:

-El símbolo “∫ ” es el símbolo de integración.

-El símbolo “𝑑𝑥” se denomina diferencial de 𝑥, e indica la variable.

Tabla de integrales inmediatas. Veamos las integrales más importantes:

∫ 1 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)

∫1

𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

∫sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶

∫1

√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsen 𝑥 + 𝐶

∫1

1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐶

Donde para cada valor de la constante 𝐶 obtenemos una primitiva concreta.

Cálculo de una primitiva concreta. Para determinar el valor de la constante 𝐶, debemos

conocer además algún dato de la primitiva resultante. Por ejemplo:

Calcular la primitiva 𝐹(𝑥) de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 que satisface 𝐹(4) = 13.

𝐹(𝑥) = ∫𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2

2+ 𝐶

Como 𝐹(4) = 13, debe cumplirse:

𝐹(4) =42

2+ 𝐶 = 8 + 𝐶 = 13 ⟹ 𝐶 = 5

Así:

𝐹(𝑥) =𝑥2

2+ 5

•Ejemplo: Calcular las siguientes integrales de tipo potencial:

(𝒂) ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥2+1

2 + 1+ 𝐶 =

𝑥3

3+ 𝐶

(𝒃) ∫1

𝑥6 𝑑𝑥 = ∫𝑥−6 𝑑𝑥 =

𝑥−6+1

−6 + 1+ 𝐶 =

𝑥−5

−5+ 𝐶 =

−1

5𝑥5+ 𝐶

(𝒄) ∫√𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑥12 𝑑𝑥 =

𝑥12+1

12 + 1

+ 𝐶 =𝑥32

32

+ 𝐶 =2√𝑥3

3+ 𝐶

Tema 10: Integración

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10.2 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

Enunciemos las propiedades de las integrales. Las primeras son de carácter teórico, mientras

que las siguientes son útiles a la hora de integrar.

La integración es lo contrario de la derivación. De la propia definición de integral se deduce

que si derivamos una función e integramos el resultado obtenemos la función original. Así, si

indicamos por 𝒟[𝑓] la derivada de una función 𝑓 se tiene:

∫𝒟[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶

Recíprocamente, si primero integramos una función y después la derivamos también se obtiene

la función original:

𝒟 [∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥)

Propiedades lineales de integración. Veamos ahora dos propiedades útiles a la hora de calcular

integrales. Ambas se deducen directamente de las propiedades de las derivadas.

(i) La integral de una constante k por una función es igual a la constante por la integral de una

función:

∫𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

(ii) La integral de una suma (o resta) de dos funciones es igual a la suma (o resta) de las

integrales de las funciones:

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∫𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

•Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:

(𝒂) ∫ 5 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5∫sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5(−cos 𝑥) + 𝐶 = −5cos 𝑥 + 𝐶

(𝒃) ∫2

𝑥𝑑𝑥 = 2∫

1

𝑥𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥| + 𝐶

(𝒄) ∫(4 + 7𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = 4∫𝑑𝑥 + 7∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 7𝑒𝑥 + 𝐶

Observemos que la integral de una función polinómica es otra función polinómica:

(𝒅) ∫(4𝑥2 + 8𝑥 − 3)𝑑𝑥 = 4∫𝑥2 𝑑𝑥 + 8∫𝑥 𝑑𝑥 − 3∫𝑑𝑥 = 4𝑥3

3+ 8

𝑥2

2− 3𝑥 + 𝐶 =

=4

3𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 𝐶

(𝒆)∫(𝑥3 − 5𝑥 + 8)𝑑𝑥 = ∫𝑥3 𝑑𝑥 − 5∫𝑥 𝑑𝑥 + 8∫𝑑𝑥 =𝑥4

4− 5

𝑥2

2+ 8𝑥 + 𝐶 =

=1

4𝑥4 −

5

2𝑥2 + 8𝑥 + 𝐶

Matemáticas I

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Algunas integrales no inmediatas pueden convertirse en inmediatas operando de manera

adecuada en el integrando.

Forma compuesta de las integrales inmediatas. Invirtiendo la regla de la cadena para derivar

funciones compuestas obtenemos:

∫𝑔′(𝑥) · 𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝐶

Pues :

𝒟[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑔′(𝑥) · 𝑓′(𝑔(𝑥))

Veámoslo con ejemplos.

Nota: En muchas ocasiones, para que una integral sea inmediata falta que aparezca una

constante multiplicando al integrando, lo que se soluciona multiplicando y dividiendo por dicha

constante, y sacando el factor que no necesitamos fuera de la integral.

•Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

∫𝑥2 + 8

𝑥𝑑𝑥

Dividimos el numerador entre el denominador y luego integramos:

∫𝑥2 + 8

𝑥𝑑𝑥 = ∫൬𝑥 +

8

𝑥൰𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑑𝑥 + 8∫

1

𝑥𝑑𝑥 =

𝑥2

2+ 8 ln|𝑥| + 𝐶


(𝒂) ∫ 2𝑥 cos 𝑥2 𝑑𝑥 = sen 𝑥2 + 𝐶

(𝒃) ∫4 cos(4𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = sen(4𝑥 + 3) + 𝐶

(𝒄) ∫(2𝑥 − 3)(𝑥2 − 3𝑥 + 2)5 𝑑𝑥 =(𝑥2 − 3𝑥 + 2)6

6+ 𝐶

(𝒅) ∫3𝑥2 𝑒𝑥3𝑑𝑥 = 𝑒𝑥

3+ 𝐶


(𝒂) ∫ 𝑥 cos𝑥2 𝑑𝑥 = ∫1

2 2𝑥 cos 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

2∫2𝑥 cos 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

2sen 𝑥2 + 𝐶

(𝒃) ∫ sen 5𝑥 𝑑𝑥 =1

5∫5 sen 5𝑥 𝑑𝑥 =

1

5(− cos5𝑥) + 𝐶 = −

1

5cos 5𝑥 + 𝐶

(𝒄) ∫𝑥

1 + 𝑥4 𝑑𝑥 = ∫

𝑥

1 + (𝑥2)2 𝑑𝑥 =

1

2∫

2𝑥

1 + (𝑥2)2 𝑑𝑥 =

1

2arctg (𝑥2) + 𝐶


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10.3 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Una de las técnicas de integración más importantes es la del cambio de variable, que consiste en

sustituir cierta función por una nueva variable, de manera que la integral quede expresada

únicamente en términos de esta última variable. Antes de ver en detalle en qué consiste esta

técnica debemos introducir el concepto de diferencial de una función.

Cambio de variable para la forma compuesta de una integral inmediata. La técnica del

cambio de variable permite identificar fácilmente la forma compuesta de una integral inmediata

agrupando los factores convenientemente:

∫𝑔′(𝑥)𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = {𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑡 = 𝑔(𝑥)

𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑑𝑡 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥} = ∫𝑓′ (𝑔(𝑥))⏟

𝑡

𝑔′(𝑥)𝑑𝑥⏟ 𝑑𝑡

=

= ∫𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) + 𝐶 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝐶

Pasos para realizar un cambio de variable. Existen varias maneras de realizar un mismo

cambio de variable. La forma más sistemática es la siguiente.

(𝒊) Se introduce una nueva variable 𝑡 que sea función de 𝑥.

(𝒊𝒊) Se despeja la variable 𝑥.

(𝒊𝒊𝒊) Se diferencia en la igualdad obtenida.

(𝒊𝒗) Se sustituye en la integral hasta que la única variable que aparezca sea 𝑡. (𝒗) Se integra la función.

(𝒗𝒊) Finalmente se deshace el cambio de variable.

La notación diferencial. El concepto de diferencial de una función proviene de la expresión

de Leibnitz para indicar la derivada de 𝑦:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′

Despejando 𝑑𝑦 obtenemos:

𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥

Es decir, la diferencial de la variable dependiente 𝑦 es igual a su derivada multiplicada

por la diferencial de la variable independiente 𝑥. Por ejemplo:

𝑦 = sen 𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑥3

𝑦 = 𝑡2 + 5𝑡

⟹ ⟹

𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (2𝑡 + 5)𝑑𝑡

Así, la diferencial de 𝑦 no es sino una forma útil de agrupar una expresión de la forma 𝑦’𝑑𝑥

que pueda aparecer bajo el signo de integración.

•Ejemplo: Calcular ∫2𝑥 sen 𝑥2 𝑑𝑥 mediante un cambio de variable:

Cambio de variable: 𝑡 = 𝑥2

Diferenciando: 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥

∫2𝑥 sen 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫sen (𝑥2)ถ𝑡

2𝑥 𝑑𝑥⏟ 𝑑𝑡

= ∫sen 𝑡 𝑑𝑡 = −cos 𝑡 + 𝐶 = −cos𝑥2 + 𝐶

Matemáticas I

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Integral logarítmica. La integral de una función racional en la que el numerador es la derivada

del denominador es igual al logaritmo del denominador:

∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶

Comprobémoslo mediante un cambio de variable:

∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫

1

𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = {

𝑡 = 𝑓(𝑥)

𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥} = ∫

1

𝑡 𝑑𝑡 = ln|𝑡| + 𝐶 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶


(𝒂) ∫ 𝑒4𝑥 𝑑𝑥 = ቀ𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗

ቁ = ∫𝑒𝑡1

4𝑑𝑡 =

1

4∫𝑒𝑡 𝑑𝑡 =

1

4𝑒𝑡 + 𝐶 =

1

4𝑒4𝑥 + 𝐶

∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = 4𝑥. Despejando 𝑥 y diferenciando:

𝑡 = 4𝑥 ⟹ 𝑥 =1

4𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 =

1

4𝑑𝑡

(𝒃) ∫cos√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = ቀ

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗

ቁ = ∫cos 𝑡

𝑡2𝑡 𝑑𝑡 = 2∫cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2sen 𝑡 + 𝐶 =

= 2sen√𝑥 + 𝐶

∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = √𝑥. Así:

𝑡 = √𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑡2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡

(𝒄) ∫ln 𝑥

𝑥𝑑𝑥 = ቀ


ቁ = ∫𝑡

𝑒𝑡𝑒𝑡 𝑑𝑡 = ∫𝑡 𝑑𝑡 =

𝑡2

2+ 𝐶 =

(ln 𝑥)2

2+ 𝐶

∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = ln 𝑥. Así:

𝑡 = ln 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑒𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑒𝑡 𝑑𝑡

(𝒅) ∫1

√3𝑥 − 5𝑑𝑥 = ቀ


ቁ = ∫1

𝑡·2

3𝑡 𝑑𝑡 =

2

3𝑡 + 𝐶 =

2

3√3𝑥 − 5 + 𝐶

∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = √3𝑥 − 5. Así:

𝑡 = √3𝑥 − 5 ⟹ 𝑥 =1

3(𝑡2 + 5) ⟹ 𝑑𝑥 =

2

3𝑡 𝑑𝑡


(𝒂) ∫2𝑥 − 4

𝑥2 − 4𝑥 + 7 𝑑𝑥 = ln|𝑥2 − 4𝑥 + 7| + 𝐶

(𝒃) ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sen 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = −∫

−sen 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶


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ANEXO: LA INTEGRAL DEFINIDA

Ya vimos que el cálculo de derivadas se utiliza para el cálculo de rectas tangentes. De la misma

manera, el cálculo de integrales tiene como aplicación geométrica el cálculo de áreas.

Cálculo de áreas por aproximaciones sucesivas. Sea 𝑓 una función continua y positiva.

Supongamos que queremos calcular el área encerrada entre la gráfica de 𝑓 y el eje de abscisas

en el intervalo [𝑎, 𝑏].

Tratemos de aproximar tal área. Para ello, dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos de

longitud ℎ, con ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛.

[𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2] , [𝑥2, 𝑥3], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛],

con: 𝑥0 = 𝑎

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ

𝑥2 = 𝑥1 + ℎ

𝑥3 = 𝑥2 + ℎ

…

𝑥𝑛 = 𝑏

En cada subintervalo [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1], el área bajo la gráfica de la función está comprendida entre las

áreas de los rectángulos de menor y mayor altura:

𝑚𝑖 ∙ ℎ ≤ Á𝑟𝑒𝑎𝑖 ≤ 𝑀𝑖 ∙ ℎ, donde:

𝑚𝑖 = valor mínimo de 𝑓 en el intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1].

𝑀𝑖 = valor máximo de 𝑓 en el intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1].

Tendremos por tanto:

∑𝑚𝑖 ∙ ℎ

𝑖

≤ Á𝑟𝑒𝑎 ≤∑𝑀𝑖 ∙ ℎ

𝑖

Y las aproximaciones darán el valor exacto del área en el límite cuando 𝑛 ⟶ ∞.

lim𝑛→∞

∑𝑚𝑖 ∙ ℎ

𝑖

= Á𝑟𝑒𝑎 = lim𝑛→∞

∑𝑀𝑖 ∙ ℎ

𝑖

Definición de integral definida. Sea 𝑓 una función continua (no necesariamente positiva). Se

define la integral definida de 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏] al valor ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 dado por:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

∑𝑚𝑖 ∙ ℎ

𝑖

= lim𝑛→∞

∑𝑀𝑖 ∙ ℎ

𝑖

𝑎 y 𝑏 se denominan límites de integración.

Interpretación geométrica. Según lo anterior, cuando 𝑓 es positiva la integral definida es igual

al área encerrada por la función en el intervalo [𝑎, 𝑏].

En general, los valores 𝑚𝑖 y 𝑀𝑖 serán positivos o negativos dependiendo de si 𝑓 lo es, por lo

que la integral definida de 𝑓 será igual a la diferencia entre el área encerrada por la parte

positiva de 𝑓 y el área encerrada por su parte negativa.

Matemáticas I

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Ya hemos visto cómo interpretar la integral definida, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, veamos ahora cómo se

calcula:

La regla de Barrow. La integral definida de la función 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏] es igual a:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= [𝐹(𝑥)]𝑥=𝑎𝑥=𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

siendo 𝐹 una primitiva cualquiera de 𝑓. Es decir, para calcular la integral definida de 𝑓 en el

intervalo [𝑎, 𝑏]:

i) Se calcula una primitiva 𝐹 de 𝑓 (se puede tomar la constante de integración igual a 0).

ii) Se evalúa 𝐹 en los extremos del intervalo y se calcula la diferencia 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

Antes de justificar este resultado veamos un ejemplo.

Demostración de la regla de Barrow (idea): Según hemos

dicho, la integral definida de f en el intervalo [𝑎, 𝑏] se define

como el área encerrada bajo 𝑓 en tal intervalo. A su vez, dicha

área se puede aproximar por:


𝑎

≈ 𝑓(𝑥0)ℎ + 𝑓(𝑥1)ℎ + 𝑓(𝑥2)ℎ + . . . +𝑓(𝑥𝑛−1)ℎ

Por otro lado, como 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), según la definición de derivada tenemos:

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = limℎ→0

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ ⟹ 𝑓(𝑥) ≈

𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

ℎ

Y despejando en la última aproximación tenemos:

𝑓(𝑥)ℎ ≈ 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)

para cualquier valor pequeño de ℎ. En particular, tomando el mismo valor de ℎ que en la parti-

ción obtenemos:

𝑓(𝑥𝑖)ℎ ≈ 𝐹(𝑥𝑖 + ℎ) − 𝐹(𝑥𝑖) = 𝐹(𝑥𝑖+1) − 𝐹(𝑥𝑖),

para cualquier valor de 𝑖, pues 𝐹(𝑥𝑖 + ℎ) = 𝐹(𝑥𝑖+1), y si ahora sustituimos en la suma que

aproxima la integral obtenemos finalmente:


𝑎

≈ 𝑓(𝑥0)ℎ + 𝑓(𝑥1)ℎ + 𝑓(𝑥2)ℎ + . . . +𝑓(𝑥𝑛−1)ℎ ≈

≈ [𝐹(𝑥1) − 𝐹(𝑥0)] + [𝐹(𝑥2) − 𝐹(𝑥1)] + [𝐹(𝑥3) − 𝐹(𝑥2)] + … + [𝐹(𝑥𝑛) − 𝐹(𝑥𝑛−1)] ≈

(se cancelan todos los sumandos excepto el segundo y el penúltimo)

= 𝐹(𝑥1) − 𝐹(𝑥0) + 𝐹(𝑥2) − 𝐹(𝑥1) + 𝐹(𝑥3) − 𝐹(𝑥2) + … + 𝐹(𝑥𝑛) − 𝐹(𝑥𝑛−1) =

= −𝐹(𝑥0) + 𝐹(𝑥𝑛) = 𝐹(𝑥𝑛) − 𝐹(𝑥0) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

Como queríamos demostrar.

•Ejemplo: Calcula la integral definida de 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3 en el intervalo [1,3].

∫ (4𝑥 − 3)𝑑𝑥3

1

= [2𝑥2 − 3𝑥]𝑥=1𝑥=3 = (2 · 32 − 3 · 3) − (2 · 12 − 3 · 1) = 9 − (−1) = 10


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Cálculo de integrales inmediatas

1. Calcula las siguientes integrales inmediatas de tipo potencial:

a) dxx 7 b) dxx c) dxx 4

2. Calcula las siguientes integrales escribiendo el integrando en forma de potencia:

a) dxx 4

1 b) dx

x 9

1 c) dxx3

d) dxx5 2

e) dxx

1 f) dx

x3

1

Propiedades lineales de integración

3. Calcula las siguientes integrales:

a) dxe x2 b) dxxsen 7 c) dxx

3

d) dxcos5 e) dxx52 f) dxx3

2


a) dxxe x cos b)

dxx

xsen

1

c) dxex x5 d)

dxx

xcos5

3

5. Calcula:

a) dxxx 346 2 b) dxxx 83

La constante de integración

6. Calcula la primitiva F de la función 23)( xxf que cumpla que 92 F .

7. Calcula una primitiva de xxf sen)( que pasa por el punto del plano de coordenadas 3,0 .

8. Calcula la primitiva F de la función 263)( 2 xxxf que cumple que 81 F .

9. Calcula la primitiva F de la función xxf /1)( que cumple que 51 F .

10. De la función f conocemos su derivada segunda 16)( xxf . Calcula f sabiendo además

que 3)2( f y que 6)2( f .

EJERCICIOS DEL TEMA 10

Matemáticas I

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Forma compuesta de las integrales inmediatas

11. Calcula las siguientes integrales de tipo potencial:

a) dxxx5

sen cos b) dxx8

255

c) dxxx

3)(ln1

d) dxxx52 32


a) dxxxx72 2332 b) dxxx 72 2

13. Calcula las siguientes integrales de tipo potencial multiplicando y dividiendo el integrando

por alguna constante:

a) dxx9

25 b) dxx 13

14. Calcula las siguientes integrales de tipo logarítmico:

a) dx

x

x

1

22

b)

dx

xx

x

15

522

c) dx

x

x

sen1

cos d)

dxe

ex

x

1

15. Calcula las siguientes integrales de tipo logarítmico multiplicando y dividiendo el

integrando por alguna constante:

a) dx

x

x

32 b)

dxe

ex

x

61

3 c)

dxx

x3

2

4 d)

dxx

x

cos3

sen

16. Calcula las siguientes integrales de exponencial:

a) dxe x55 b) dxex xx2

)12( c) dxex xsencos

d) dxe

x

xln11 e) dxex x2

f) dxe x4

17. Calcula:

a) dxe x6

1 b) dxe x25

18. Calcula las siguientes integrales de tipo coseno:

a) dxx3sen 3 b) dxxx 4sen 2

c) dxee xx sen d) dxx 35sen 5


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19. Calcula las siguientes integrales de tipo coseno:

a) dxx5sen b) dxxx 3sen 2

c) dxxx

lnsen 1

d) dxxx 21sen

20. Calcula las siguientes integrales de tipo seno:

a) dxx6cos6 b) dxxx 4cos2 2

c) dxx 13cos3 d) dxee xx cos

21. Calcula las siguientes integrales de tipo seno:

a) dxx 12cos b) dxx3cos

c) dxxx 32 cos d)

dxx

xlncos

22. Calcula las siguientes integrales de tipo arcoseno:

a)

dx

x2

51

5 b)

dxe

e

x

x

21


a)

dx

x2

31

1 b)

dxx 2251

1

c)

dx

xx2

ln1

1 d)

dxx

x

41

24. Calcula las siguientes integrales de tipo arcotangente:

a)

dxx

231

3 b)

dxe

ex

x

21


a) dx

x 233

7 b)

dxx 241

1

c) dx

x

x41

d) dx

x

x6

2

1

Matemáticas I

- 12 -

Integración por cambio de variable

26. Calcula la integral dxe x5 utilizando el cambio de variable xt 5 .

27. Resuelve las siguientes integrales mediante un cambio de variable:

a)

dxx

xsen b)

dx

x

e x3

28. Resuelve las siguientes integrales mediante el cambio de variable xt ln :

a) dx

x

x

5

ln3

b)

dx

x

x5

ln1


a) dx

x 13

6 b)

dxxx

2ln

1c

c) dx

x

x

2 d)

dx

x

x 2lnsen


a) xx

dx b) dxee xx 2

Anexo: La integral definda

31. Calcula:

a) 2

0

2 dxx b)

4

1

32 dxx

32. Calcula la integral definida de 1)( xxf en el intervalo [1,4] e interpreta el resultado

gráficamente.

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