ÁNGULOSJ. PomalesTrigonometría agosto 2014

de Referencia y Coterminales

Objetivos

Identificar ángulos en posición estándar, cuadrantales y asociar su medida con la rotación del lado terminal (ángulos positivos y negativos).

Comparar diferentes unidades de medida de los ángulos.

Identificar y calcular: ángulos de referencia y ángulos coterminales positivos y negativos

ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR

Posición Estándar de los Ángulos

Dibujemos un círculo dentro de un sistema

de coordenadas.

¿Dónde está ubicado el centro del círculo?

Posición Estándar de los Ángulos

El otro lado del ángulo se llama lado terminal.

Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el

origen (0,0) y su lado inicial está a lo

largo del eje horizontal positivo.

Posición Estándar de los Ángulos

La medida de un ángulo será un número positivo si su lado inicial fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido en contra de las manecillas del reloj.

La medida de un ángulo será un número negativo si su lado inicial

fijo está en el eje horizontal positivo y su lado terminal que se ha movido a favor de las manecillas del reloj.

ÁNGULO POSITIVO ÁNGULO NEGATIVO

Aquí el signo del ángulo sólo representa la dirección del mismo

Ángulos Cuadrantales

Ángulos que estando en

posición estándar

tienen su lado terminal sobre

un eje coordenado.

Identifica ángulos en posición estándar. Explica

13

2

Unidades de medida de los Ángulos

Representación de un círculo de radio 1

1

1

-1

-1

1

(0,0)

¿Cuántos cuadrantes tiene este círculo?

CUADRANTEII

CUADRANTEI

CUADRANTEIII

CUADRANTEIV

¿Cómo son sus signos?

(-1,0)

(0,1)

(1,0)

(0,-1)

Como hemos visto en clases anteriores la unidad de medida para los ángulos son

los grados.

¿Cuántos grados tiene: un círculo, ½ círculo, ¼ del círculo

y ¾ del círculo?

Unidades de medida de los ángulos

Unidades de medida de los ángulosLos radianes es otra unidad de medida de

los ángulos.

En un círculo se define el ángulo de 1 radian

como aquel con un arco cuya longitud es igual al

radio del círculo.Las medidas en radianes de

un ángulo se escribe sólo con un número sin unidades.

1r

En esta figura, ¿cuánto mide r?

Compara el tamaño de 1o y 1 radián.

1

1o

Grado Radián

¿Cuál es la mayor diferencia?

Observa esta representación

En un semicírculo,

¿Cuántos radianes

hay?

(-1,0) (1,0)

1 radián

(0, 1)

(0, -1)

Un po

co m

ás

Hay 3 radianes y un poco más…

Observa esta representación

(-1,0) (1,0)

1 radián

(-1,0)

≈ 0.14

(1,0)2

≈ 3.14

Ese poco más es

apróximadamente 0.14 de un radián.

¿Qué te recuerda 3.14?

Si damos una vuelta completa, ¿cuántos radianes hay? 2 ≈ 6.28

Observa esta representación

2¿Qué valor podría

tener y 2 en términos de grado?

≈ 3.14

En términos de radianes

2 ≈ 6.28360o180o

= 180o

2 = 360oPor lo tanto:

Ángulos de Referencia

ÁNGULOS DE REFERENCIA

Un ángulo de referencia para , , es el ángulo agudo que forman el lado terminal de y el eje horizontal.

2

Explica por qué los

ángulos cuadrantales no

tienen ángulos de referencia.

Cu

adra

nte

I

Cu

adra

nte

IIC

uad

ran

te II

I

Cu

adra

nte

IV

Calcula ángulos de referencia de θ

1) = 30o 2) = 190o

Cuando θ está en grados, recuerda que = 180o y 2 = 360o

Como esta en el cuadrante I

Por lo tanto,

30

Como esta en el cuadrante III

Por lo tanto,

10

180190

Ángulos Coterminales

ÁNGULOS COTERMINALES

Dos ángulos en posición

estándar que tienen el

mismo lado terminal.

Lado terminal compartido

Los ángulos y son coterminales ¿Qué signo tiene cada uno de ellos?Signos opuestos.

ÁNGULOS COTERMINALES

Lado terminal compartido

Para un ángulo dado en posición estándar existen infinitos ángulos

coterminales a él pero no

necesariamente con signos diferentes.

Explica. Al dar vueltas completas obtengo otros ángulos

coterminales con el mismo signo.

Práctica:Encuentre ángulos coterminales con = 30 en posición estándar.

Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

Solución:Para hallar ángulos coterminales positivos de θ, se le suma múltiplos de 360º.

Una vuelta: 30 + (1)360 = 30 + 360 = 390º

Dos vueltas: 30 + (2)360 = 30 + 720 = 750º

Para hallar ángulos coterminales negativos de θ, se le resta múltiplos de 360º.

Una vuelta: 30 – (1)360 = 30 – 360 = – 330º

Dos vueltas: 30 – (2)360 = 30 – 720 = – 690º

Encuentre un ángulo con medida entre 0 y 360 que es coterminal con el ángulo de medida 1290 en posición estándar. Solución:

3

0210

1080

1290360

residuo

Cuando el ángulo es grande (> 360º) podemos dividirlo entre 360º y su residuo será el ángulo coterminal deseado. 210º es un ángulo coterminal entre 0º y 360º

Práctica:Sacado de: http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#

Dudas o Preguntas

REFERENCIAS• EJERCICIO CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

www.oup.com/word/es/12025722.doc • MEDICIÓN DE ÁNGULOS.

http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm• ÁNGULOS DE REFERENCIA.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo8.html

• LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. http://www.algobar.com/recursos/spip.php?article190

• Libro - Precálculo: Matemáticas para el cálculo http://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#