Adaptación de libros del proyecto 2.0 de la editorial SM

1. Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos.

Los elementos de un poliedro son: • Caras: son los polígonos que lo delimitan. • Aristas: son los lados comunes a dos caras. • Vértices: son los puntos comunes a tres o más aristas.

Arista

Cara Vértice

Si cortamos un poliedro por un número suficiente de caras, sin separar ninguna de ellas, y lo desple-

gamos, obtenemos su desarrollo plano.

Si un poliedro puede apoyarse en el plano sobre todas sus caras, es convexo. En caso contrario es

cón-cavo.

■ Poliedros regulares

Los poliedros regulares son poliedros cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice

concu-rre el mismo número de caras.

Solo hay cinco poliedros regulares.

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Tiene 4 caras que son

triángulos equiláteros.

Tiene 6 caras que

son cuadrados.

Tiene 8 caras que son Tiene 12 caras que son Tiene 20 caras que son triángulos equiláteros. pentágonos regulares. triángulos equiláteros.

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2. Prismas y pirámides

Un prisma es un poliedro que:

• Tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases.

• El resto de las caras son paralelogramos y se llaman caras laterales.

Base

h h

Base Cara lateral

Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos. En caso contrario es oblicuo.

Un prisma es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares.

Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.

■ Pirámides Una pirámide es un poliedro que:

• Tiene una base que es un polígono.

• Sus caras laterales son triángulos y concurren en un vértice.

V V

Apotema Apotema

de pirámide

de la pirámide

Apotema de la base

Una pirámide es recta si sus caras laterales son triángulos isósceles. En caso contrario es oblicua.

Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular.

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. Cilindros y conos ■ Cilindros

Al girar un rectángulo sobre uno de sus lados se genera un cilindro.

El lado sobre el que se gira el rectángulo es el eje del cilindro, y el lado que genera el cilindro es la

generatriz.

B C

A D

B C

A D

Base Generatriz Eje de g giro Altura

2πr Base

Radio de la base

■ Conos

Al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos se obtiene un cono.

El cateto sobre el que se gira el triángulo es el eje del cono, y la hipotenusa, que genera el cono, es la

generatriz del cono.

C C

g

Eje de Generatriz

giro Altura

2πr Base

B A B A Radio de la base

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4. Esferas

Al girar un semicírculo sobre su diámetro se genera una esfera.

Radio

O

Eje de giro

La semicircunferencia correspondiente a este semicírculo genera una superficie curva que se llama su-

perficie esférica. La superficie esférica no tiene desarrollo plano. Al cortar una esfera por un plano secante, la sección es un círculo, y cada una de las partes en que que-

da dividida la esfera se llama casquete esférico.

Casquete Casquete esférico

Círculo Circunferencia

Casquete La sección que se obtiene al cortar la esfera con un plano que pasa por el centro se llama círculo máxi-

mo y es la mayor que puede obtenerse. Cada una de las partes en que queda dividida la esfera se llama semiesfera.

Semiesfera Cir Circunferencia má máxima Círculo máximo

Semiesfera Semi Semiesfera

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5. Volumen del ortoedro y del cubo

El volumen del ortoedro coincide con el producto del largo (a) por el ancho (b) por la altura (c).

V = área de la base ⋅ altura = a ⋅ b ⋅ c

El volumen de un cubo es igual a la arista elevada al cubo.

V = a3

6. Volumen del prisma y de la pirámide

El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura. V = área de la base ⋅ altura

PRISMA El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura.

V = 1

⋅ (área de la base ⋅ altura)

PIRÁMIDE 3

7. Volumen del cilindro y del cono

El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura. V = área de la base ⋅ altura = π ⋅ r2 ⋅ h

CILINDRO El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.

V = 1

⋅ (área de la base ⋅ altura) = 1

⋅ π ⋅ r2 ⋅ h

CONO3 3

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