Tema 2 Estimacion puntual.pdf

8/17/2019 Tema 2 Estimacion puntual.pdf

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Tema 2: Estimación puntual

(basado en el material de A. Jach (http://www.est.uc3m.es/ajach/)y A. Alonso (http://www.est.uc3m.es/amalonso/))

• Planteamiento del problema: estimador y estimación

• Propiedades de un estimador

• Insesgadez

• Eficiencia

• Error cuadrático medio

• Propiedades de un estimador en muestras grandes

• Consistencia

• Insesgadez asintótica

Estad́ıstica I A. Arribas Gil

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Planteamiento del problema

Objetivo: estimar un parámetro desconocido de una población dada.

Definición 1.Sea X 1, X 2, . . . , X n una m.a.s. de una poblaci´ on. Sea θ un parámetro de interés de esa poblaci´ on. Un estimador puntual (estimador) de θ es cualquier funci´ on de la m.a.s. (y s´ olo de muestra):

T (X 1, X 2, . . . , X n)

Observaciones:

• Un estimador puntual no es más que un estad́ıstico cuya función va a serla de estimar (aproximar) el valor de un parámetro. Un estimador es por

tanto una v. a.

• Una realización particular del estimador, es decir, el valor del estimador enuna muestra particular, T (x 1, x 2, . . . , x n), se llama estimación.

• T (X 1, X 2, . . . , X n) = T (x 1, x 2, . . . , x n)


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Planteamiento del problema

Ejemplos de estimadores:

Parámetro Estimador Estimación

Media µ X x

Varianza σ2 S 2 (s 2) s 2

Desviación t́ıpica σ S (s ) s

Proporción p p̂ p̂

NOTACIÓN: En general denotaremos por θ el parámetro poblacional y por θ̂(o θ̂n) su estimador y cualquier estimación particular.


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Propiedades de un estimador

Ejemplo 1.

Una cámara de refrigeraci´ on tiene una temperatura uniformemente distribuidaentre 0 grados y b grados sobre cero, regulada mediante un termostato. Paraestimar la temperatura máxima que se puede alcanzar ( b), se eligen diez momentos distintos durante el d́ıa obteniéndose temperaturas X 1, X 2, . . . , X 10.Definimos los estimadores:

T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X

T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) = max{X 1, X 2, . . . , X 10}

¿Cuál de los dos es preferible? (P. Gil y S. Montes. Univ. de Oviedo.)

¿Cuáles son las propiedades deseables para un estimador?

Ser INSESGADO, CONSISTENTE Y EFICIENTE


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Parámetro Estimador ¿Es Insesgado?

Media µ X Śı

Varianza σ2 S 2 (s 2) Śı

Desviación t́ıpica σ S (s ) No

Proporción p p̂ Śı

Observación: La varianza muestral, V 2 = 1n

ni =1

X i − X

2, no es un

estimador insesgado de σ2

E [V 2] = n−1n σ2

, pero śı es un estimador

asintóticamente insesgado σ2.




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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.) ¿Son T 1 y T 2 estimadores insesgados de b?

X = temperatura en la cámara ∼ U (0, b ):

f X (x ) = 1

b , F X (x ) =

x

b 0 ≤ x ≤ b

E [X ] = b 2, Var [X ] = b

2

12

X 1, X 2, . . . , X 10 m.a.s. de X ⇔ X 1, X 2, . . . , X 10 ∼ F X i.i.d.

Recordemos la definición de los dos estimadores:

T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) = max{X 1, X 2, . . . , X 10}

• ¿T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) es insesgado?

E [T 1(X 1, X 2, . . . , X 10)] = E [2 · X ] = 2E [X ] = 2E [X ] = 2b

2 = b −→ SÍ


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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.)

• ¿T 2(X 1, X 2, . . . , X 10) es insesgado?Para calcular la esperanza de T 2 vamos a obtener primero su distribución:

F T 2 (x ) = P (T 2 ≤ x ) = P (max{X 1, . . . , X 10} ≤ x ) = P (X 1 ≤ x , . . . , X 10 ≤ x )ind .= P (X 1 ≤ x ) · . . . · P (X 10 ≤ x ) = F X 1 (x ) · . . . · F X 10 (x )i .d .

= F X (x )10

f T 2 (x ) = F

T 2(x ) =

F X (x )

10

= 10 · F X (x )9 · F

X (x ) = 10 · F X (x )

9 · f X (x )

Por tanto:

f T 2 (x ) = 10x

b 9 1

b = 10

x 9

b 10 si 0 ≤ x ≤ b

Ahora podemos calcular la esperanza de T 2:

E [T 2] = b

0 x f T 2 (x ) dx =

b 0

x 10 x 9

b 10 dx = 10

b 10

b 0

x 10dx = 10b 10

x

11

11

b 0

= 10b 10

b 11

11

= 1011

b −→ NO ES INSESGADO


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Ejemplo 1 (cont.)

Sea T 3 = 11

10T 2 = 1.1max{X 1, . . . , X 10}:

E [T 3] = E

11

10T 2

=

11

10 E [T 2] =

11

10

10

11 b = b −→ ES INSESGADO

Tenemos dos estimadores insesgados de b :

T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X

T 3(X 1, X 2, . . . , X 10) = 1.1 max{X 1, X 2, . . . , X 10}

¿Cuál de los dos es preferible?


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Definición 5.

Sean T 1(X 1, . . . , X n) y T 2(X 1, . . . , X n) dos estimadores insesgados de θ. Se dice que T 1 es más eficiente que T 2 si se verifica que

Var [T 1(X 1, . . . , X n)] < Var [T 2(X 1, . . . , X n)]

Es decir, un estimador más eficiente que otro tiene menor dispersi´ on.

Definición 6.

Sean T 1(X 1, . . . , X n) y T 2(X 1, . . . , X n) dos estimadores insesgados de θ. Se define la eficiencia relativa de T 1 respecto a T 2 como

E .R .[T 1, T 2] = Var [T 2]

Var [T 1]

Algunos autores la definen al revés, es decir E .R .[T 1, T 2] = Var [T 1]

Var [T 2]. Da igual

que definici´ on se use, lo importante es interpretar c o rr ec tame nte el re sul tado.Estad́ıstica I A. Arribas Gil

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Propiedades de un estimadorEjemplo 1 (cont.)

Vamos a ver cuál de los dos estimadores insesgados de b es más eficiente:

T 1(X 1, X 2, . . . , X 10) = 2 · X

T 3(X 1, X 2, . . . , X 10) = 1.1 max{X 1, X 2, . . . , X 10}

• Cálculo de la varianza de T 1:

Var [T 1] = Var [2 · X ] = 22 Var [X ] = 4

Var [X ]

n = 4

b 2/12

10 =

b 2

30

• Cálculo de la varianza de T 3:

E [T 22 ] = b 0

x 2 f T 2 (x ) dx = b 0

x 2 10 x 9b 10

dx = 10b 10

b 0

x 11dx = 10b 10

x 12

12

b 0

= 1012

b 2

E [T 23 ] = E [(1.1 T 2)2] = E [1.12 T 22 ] = 1.1

2E [T 22 ] = 1.12 10

12 b 2= 121

100

10

12 b 2= 121

120 b 2

Var [T 3]= E [T 2

3 ] − E [T 3]2 = 121

120 b 2 − b 2 = b

2

120


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Ejemplo 2.

En un centro de ingenieŕıa se dispone de un aparato de medici´ on de longitudes que produce mediciones centradas con una varianza σ2. Se quieren medir las longitudes de dos barras de metal, pero debido al coste que supone el uso del aparato, s´ olo se pueden hacer dos mediciones.

Se proponen los siguientes métodos:

i) medir cada una de las dos barras por separado.

ii) poner una barra a continuaci´ on de la otra y medir la distancia total, y luego poner una barra al lado de la otra y medir la diferencia de

longitudes. Usar estas dos medidas para estimar las longitudes de las barras.

¿Cuál de los dos procedimientos es preferible?

(F. Tusell y A. Gaŕın, 1991, p. 213)


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¿Cómo comparamos un estimador insesgado con un estimador sesgado?

Definición 7.

Sea T (X 1, . . . , X n) un estimador de θ. Se define el error cuadrático medio de T como

ECM (T ) = E

(T − θ)2

El error cuadrático medio de un estimador mide la “cercańıa” de ese estimadoral parámetro que queremos estimar.


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Ejemplo 3.

Sea X 1, . . . , X n una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X conE [X ] = µ y Var [X ] = σ2. Calcular el error cuadrático medio para los siguientes estimadores del parámetro µ:

T 1 = X 1

T 2 = (3X 1 − 2X 2 + X 3)

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Examen Enero 2002

Error cuadrático medio de T 1:

E [T 1] = E [X 1] = µ ⇒ b T 1 (θ) = 0

Var [T 1] = Var [X 1] = σ2

ECM (T 1) = Var [T 1] + b T 1 (θ)2 = σ2


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Ejemplo 3 (cont.)

Error cuadrático medio de T 2:

E [T 2] = E

(3X 1 − 2X 2 + X 3)

6

=

1

2E [X 1] −

1

3E [X 2] +

1

6E [X 3] =

1

3µ

⇒ b T 2 (θ) =

1

3µ − µ =

−2

3 µ

Var [T 2] = Var

(3X 1 − 2X 2 + X 3)

6

ind .

= 1

4Var [X 1] +

1

9Var [X 2] +

1

36Var [X 3]

= 7

18

σ2

ECM (T 2) = Var [T 2] + b T 2 (θ)2 =

7

18σ2 +

−2

3 µ

2=

7

18σ2 +

4

9µ2




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Ejemplo 4.

Sea X 1, . . . , X n una m.a.s. de X ∼ N (µ, σ) ⇒ X ∼ N (µ, σ

n ).Cuando n tiende a infinito la varianza de X tiende a 0.Por tanto X es un estimador consistente de µ.

Funciones de densidad Funcione s de distr ib uci ́ on

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