TEMA 2 FUNCIONES DE UNA VARIABLE

FuncioacutenDefinicioacuten

bull Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos

bull A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y soacutelo un elemento del conjunto final

Ejercicio

bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten

xxf

xxf

)(

1)(

Dominio

bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten

bull Ejemplo

1)(

2

x

xxf

RECORRIDO

bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

FuncioacutenDefinicioacuten

bull Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos

bull A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y soacutelo un elemento del conjunto final

Ejercicio

bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten

xxf

xxf

)(

1)(

Dominio

bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten

bull Ejemplo

1)(

2

x

xxf

RECORRIDO

bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicio

bull iquest Cuaacutel de estas dos expresiones es una funcioacuten

xxf

xxf

)(

1)(

Dominio

bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten

bull Ejemplo

1)(

2

x

xxf

RECORRIDO

bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Dominio

bull El subconjunto de nuacutemeros reales para los cuales existe la funcioacuten

bull Ejemplo

1)(

2

x

xxf

RECORRIDO

bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

RECORRIDO

bull El conjunto de nuacutemeros reales que toma una variable

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicio

bull Dominio y recorrido de la funcioacuten

xxf

1)(

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Dominios

y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Las Funciones polinoacutemicas

estaacuten definidas para todo nuacutemero real

El recorrido de las funciones potencia n-eacutesimaseraacute bull El intervalo [0 infin) si n es par bull Todo R si n es impar

011

1 )( axaxaxaxP nn

nn

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones racionales

Su dominio es toda la recta real excepto las raiacuteces de Q(x)

)(

)()(

xQ

xPxf

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones irracionales

bull Funciones irracionales

bull Caso 1 n par

Dom ( f ) =bull Caso 2 n impar

Dom ( f )=

n xRxf )()(

R

R

n1

R(x)=

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones exponenciales

bull Funciones exponenciales

El dominio de la funcioacuten exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0 infin) Las funciones exponenciales son continuas en todo R 1048668

xexf )(

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones logariacutetmicas

El dominio de una funcioacuten logaritmo es el conjunto de todos los nuacutemeros reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los nuacutemeros reales

Las funciones logariacutetmicas son la funcioacuten inversa de las exponenciales

)log()( xxf

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones a trozos

f(x) =

bull Calcula f (2) =

bull Calcula f (4) =

bull Calcula f (-1) =

25

21

x

x

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones trigonomeacutetricasseno

bull Funcioacuten seno Caracteriacutesticas principales y = sen (x)

-Su dominio es R 1048668

-Su recorrido es el intervalo [-11]

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funcioacuten coseno

bull Funcioacuten coseno Caracteriacutesticas principales y =cos (x)

bull -Su dominio es R

bull -Su recorrido es el intervalo [-11]

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

GRAacuteFICA DE UNA FUNCIOacuteN

bull Son los pares de elementos que se pueden representar graacuteficamente en un plano cartesiano

bull Para representar graacuteficamente una funcioacuten ndash Damos valoresndash Estudiamos el comportamiento de la funcioacuten

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicio

bull Aproximar a la graacutefica de la funcioacuten construyendo una tabla de valores ( dando valores)

xxf

1)(

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Caracteriacutesticas de las graacuteficas de funciones

bull Funcioacuten creciente y decreciente

bull Funcioacuten coacutencava y convexa

bull Funcioacuten acotada

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones crecientes y decrecientes

bull Una funcioacuten es creciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) lt f(b)

bull Una funcioacuten es decreciente en un intervalo si para un par de nuacutemeros a y b del intervalo altb rarrf(a) gt f(b)

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones conveacutexas y coacutencavas

bull Diremos que una funcioacuten es COacuteNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva

bull Anaacutelogamente diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada superiormente si existe un nuacutemero real k tal

que para toda x es f(x) le k El nuacutemero k se llama cota superior

Ejercicio iquest cuaacutel es la cota superior de la siguiente funcioacuten

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funciones acotadas

bull Una funcioacuten f estaacute acotada inferiormente si existe un nuacutemero real kprime tal que para toda x es f(x) ge kprime

bull El nuacutemero kprime se llama cota inferior bull Ejercicio iquest cuaacutel es la cota inferior de la siguiente

funcioacuten

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicio

bull iquest Estaacute la funcioacuten f(x) = sen x acotada

bull iquest cota inferior

bull iquest cota superior

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Tipos baacutesicos de transformaciones en una funcioacuten

bull Apuntes

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Operaciones entre funciones

bull (f+g) (x) = f(x)+g(x)

bull (f-g) (x)= f(x)-g(x)

bull (fg) (x)= f(x)g(x)

bull (fg)x= f(x)g(x)

bull producto por un escalar

(a f)(x)=a f(x)

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Composicioacuten de funciones

bull Consiste en la aplicacioacuten reiterada de dos o mas funciones

bull Por ejemploSi tenemos dos funciones f(x) y g(x) de modo que el dominio de la 2ordf esteacute incluido en el recorrido de la 1ordf se puede definir una nueva funcioacuten que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]

Ejemplo

f (x) =2x y g(x) =3x+1

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Propiedades

bull Asociativabull f o (g o h) = (f o g) o h

bull No es conmutativabull f o g ne g o f

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicios composicioacuten de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Soluciones al tercer ejercicio

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Funcioacuten inversa

Se llama funcioacuten inversa o reciproca de f a otra funcioacuten fminus1 que cumple que

Si f(a) = b entonces fminus1 (b) = aTambieacuten dada una funcioacuten f decimos que g es inversa

si(g o f) (x) = (f o g) (x)

bull El dominio de fminus1 es el recorrido de fbull El recorrido de fminus1 es el dominio de fbull Si queremos hallar el recorrido de una funcioacuten tenemos

que hallar el dominio de su funcioacuten inversa

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Calculo de la funcioacuten inversa

bull Se escribe la ecuacioacuten de la funcioacuten con x e y

bull Se despeja la variable x en funcioacuten de la variable y

bull Se intercambian las variables

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34

Ejercicio de funcioacuten inversa

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34