2 POLINOMIOS, ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

2.1 POLINOMIOS

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.Área del cuadrado: S = , donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = , donde a es la arista del cubo.

Valor numérico de una expresión algebraica:

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplos:

Longitud de la circunferencia: L(r) = 2πrr = 5 cm.         L (5)= 2 · π · 5cm = 10 π cm

Área del cuadrado: A(l) =

l = 5 cm        A(5) = = 25

Volumen del cubo: V(a) =

a = 5 cm         V(5) =  = 125

Expresiones algebraicas comunes:

El doble de un número: 2xEl triple de un número: 3xEl cuádruplo de un número: 4xLa mitad de un número: x/2.Un tercio de un número: x/3.Un cuarto de un número: x/4.Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..Un número al cuadrado: 

Un número al cubo: 

2.1.1) Tipos de expresiones algebraicas

Monomio: es una expresión algebraica formada por un solo término.

Binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos.

Trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio: es una expresión algebraica formada por más de un término.

2.1.2) Monomios

-1

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

Ejemplo:

Partes de un monomio:

Coeficiente: es el número que aparece multiplicando a las variables.Parte literal: está constituida por las letras y sus exponentes.Grado: es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Ejemplo:El grado de es 2

Operaciones con monomios:

Suma de monomios:

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

Producto de un número por un monomio:

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

Multiplicación de monomios:

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.

División de monomios:

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

-2

Potencia de un monomio:

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

Ejemplo:

2.1.3) Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

Siendo  números, llamados coeficientes.n es un número natural.x es la variable.

es el coeficiente principal.

es el término independiente.

Grado de un polinomio :

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Ejemplos de clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado: P(x) = 3x + 2

Segundo grado: P(x) = 2  + 3x + 2

Tercer grado: P(x) =  − + 3 + 2

Operaciones con Polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

   ;  

1º: Ordenamos los polinomios, si no lo están.Q(x) =

P(x) +  Q(x) = +

2º: Agrupamos los monomios del mismo grado.P(x) +  Q(x) =

3º: Sumamos los monomios semejantes.P(x) +  Q(x) =

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

-3

;

+

P(x) + Q(x) =

Resta de polinomios

Sean los polinomios ;

P(x) − Q(x) = −

1º: Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) =

2º: Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) −  Q(x) =

3º: Restamos los monomios semejantes.P(x) −  Q(x) =

Multiplicación de polinomios:

Multiplicación de un número por un polinomio:

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 =

Multiplicación de un monomio por un polinomio:

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

 · =

Multiplicación de polinomios Sean los polinomios y Q(x) =

1º: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) Q(x) = . = =

2º: Se suman los monomios del mismo grado.P(x) ·  Q(x)=

Obteniéndose otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

-4

¡¡¡Recomendación!!!

En Internet existen muchos sitios en donde se puede practicar con polinomios. Acá te dejamos dos sitios que te permiten trabajar con aplicaciones sencillas:

http:/www.ematematicas.net/polinomios.phphttp://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/cmem_generico/isola/Proyecto%20Final/operaciones.html

2.1.4 Factorización de PolinomiosEn matemática, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un

número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de “bloques fundamentales”, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Métodos para factorizar un polinomio

Factor común Diferencia de cuadrados

ab + ac + ad = a (b + c + d))1(223 xxxx

)2(242 2224 xxxx

))((22 bababa )2)(2(42 xxx  

)4)(4(16 224 xxx

Trinomio cuadrado perfecto Cuatrinomio cubo perfecto

222 2)( bababa 96)3( 22 xxx

9124)32( 2 xxx

32233 33)( babbaaba 27279)3( 233 xxxx

2754368)32( 233 xxxx

Trinomio al cuadradoProducto de dos binomios que tienen un término común

= = =

Ejercicios de polinomios

1) Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

a) b)

-5

c) d)

Respuestas: a) monomio de grado 3 ; b) no es monomio ; c) no es monomio ; d) monomio de grado 1

2) Realiza las sumas y restas de monomios.

a) = b)

c) d)

Respuestas: a) ; b) -3x3 ; c) -3x3 ; d)

3) Efectúa los productos de monomios.

a) b)

c) d)

Respuestas: a) ; b) 23x4 ; c) ; d)

4) Dados los monomios: A(x)= 3x ; B(x)= −0,3x ; C(x) = , realizar las operaciones que se indican:

a) A + B b) A . B c) A + B - Cd) B . C e) B . C + A f) (A + B – C). A

Respuestas: a) 3x-0,3x ; b)-0,9x2 ; c) 3x-0,3x +2x2 ; d) 0,6 x3 ; e) 0, 6 x3 +3x ; f) 8,1x2+6x3

5) Dados los siguientes polinomios: ; ; , realizar las siguientes operaciones:

a) P + Q b) P . Q c) P + Q - Sd) Q . S e) P . S + Q

Respuestas: a) ; b)

6) Dados los siguientes polinomios: P(x) = 4x2 − 1; Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2; R(x) = 6x2 + x + 1;

S(x) = 0,5x2 + 4; T(x) = 3/2x2 + 5 ; U(x) = x2 + 2

Calcular:

a) P(x) + Q (x) = b) P(x) − U (x) = c) P(x) + R (x) =d) 2P(x) − R (x) = e) S(x) + T(x) + U(x) = f) S(x) − T(x) + U(x) =

Respuestas: b) 3x2-3 ; d) 2x2 -x -3 ; f) 1

7) Multiplicar:

a) (x4 − 2x2 + 2)(x2 − 2x + 3) =

b) (3x2 − 5x)(2x3 + 4x2 − x + 2) =

c)  (2x2 − 5x + 6)(3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

Respuestas: a) x6-2x5+ x4+4x3-4 x2-4x +6

8) Factorear:-6

a) (x + 5)2 = b) (2x − 5)2 = c) (3x − 2)2 =

d) (2x − 3)3 = e) (x - 2)3 = f) (3x − 2)3 =

g) (2x + 5)3 = h) (3x − 2)(3x + 2) = i) (x + 5)(x − 5) =

j) (3x − 2)(3x + 2) = k) (3x − 5)(3x − 5) =

Respuestas: a) x2+10x+25 ; c) 9x2-6x+4 ; e) -6x6+13 x3 -8  ; i) x2-25 ; k) (3x − 5)2

2.2 ECUACIONES

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual, por ejemplo: 2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa: 2x + 1 = 2(x + 1)     2x + 1 = 2x + 2    1≠2.

Cierta: 2x + 2 = 2(x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2

2.2.1) Definición y tipos de ecuaciones

Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras, como ser: x + 1 = 2, entonces  x = 1Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.Los términos son los sumandos que forman los miembros:

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.

Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2           x = −52 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2        − 10 −3 = −15 + 2         −13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.Tipos de ecuaciones según su grado

5x + 3 = 2x +1                Ecuación de primer grado.5x + 3 = 2x2 + x             Ecuación de segundo grado.5x3 + 3 = 2x +x2            Ecuación de tercer grado.5x3 + 3 = 2x4 +1            Ecuación de cuarto grado.

Clasificación de ecuaciones:

Ecuaciones polinómicas enteras

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Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

Grado de una ecuación:

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.Tipos de ecuaciones polinómicas

a) Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b =0, con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

Ejemplo: 2x + 1 = -22x + 3 = 0

b) Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo  , con a ≠ 0

Ecuaciones de segundo grado incompletasax2 = 0ax2 + c = 0ax2 + bx = 0

c) Ecuaciones de tercer gradoSon ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

d) Ecuaciones de cuarto gradoSon ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.

e) Ecuaciones de grado nEn general, las ecuaciones de grado n son de la forma: a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0.

f) Ecuaciones equivalentesDos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Ejemplo: 2x − 3 = 3x + 2           x = −5x + 3 = −2                    x = −5

Criterios de equivalencia de ecuaciones:

f.1) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

Ejemplo: x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3x = −5

f.2) Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

Ejemplo: 5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2x = 1

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2.2.2) Ecuaciones de primer grado. ResoluciónRecordemos que las ecuaciones de primer grado son del tipo ax + b =0, con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

Ejemplos: 2x + 1 = -22x + 3 = 0

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Veamos algunos ejemplos:

a)

Despejamos la incógnita:

b)

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

c)

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos, sumamos y despejamos x:

d)

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo, en este caso (6):

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

-9

e)

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Lenguaje algebraico/ Expresiones algebraicas comunes:

El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número:  Un tercio de un número:  Un cuarto de un número:

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado:  Un número al cubo: 

Dos números consecutivos: x y x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Ejemplos:

a) El doble del consecutivo de un número es igual a 7 ¿cuál es ese número?

2(x+1)=7

b) La diferencia entre la mitad de un número y el triple de su cuadrado da ocho

c) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

Perímetro= 2.Base + 2. Altura=30

Pero Base = 2 Altura entonces:

Perímetro= 2.(2.Altura) + 2. Altura=304. Altura + 2. Altura=30

-10

Y ya quedó formada la ecuación

¡¡¡ Anécdota de color !!!La edad de Diofanto

Diofanto fue un matemático griego considerado el padre del algebra. Vivió en Grecia allá por el siglo III antes de Cristo. Tanta era su pasión por las matemáticas, que en su epitafio dejó el siguiente acertijo:

“Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto; es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñéz ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte

su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y , cinco años después, tuvo un precioso niño que , una vez alcanzada la mitad de la edad e su padre,

preció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce mi edad”

Si aclaramos un poco, Diofanto pasó de su vida como niño, como joven y más como adulto.

Cinco años después de su boda nació un hijo que murió cuatro años antes que su padre, cuando tenía la mitad de la que sería la edad final del padre. ¿A qué edad murió Diofanto?

Si ‘x’ es la edad en la que murió Diofanto, la ecuación se arma de la siguiente manera:

Si reagrupamos en el primer miembro los términos que contienen la edad de Diofanto y enviamos los términos independientes al segundo miembro:

Al sacar un denominador común en el primer miembro resolvemos:

¡Desafío del Profesor! Usando el lenguaje algebraico , ¿te animás a hacer un acertijo con tu edad?

2.2.3) Ecuaciones de segundo grado. Resolución

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

-11

años

Se resuelve mediante la denominada resolvente que tiene la siguiente fórmula:

= donde:

=

=

Ejemplos: a)

Lo primero que tenemos que hacer es identificar ‘a’, ‘b’, ‘c’:

a=1 ; b=-5 ; c=6

Entonces

b)

En este ejemplo tenemos que: a=2 ; b=-7 ; c=3

Luego aplicamos la resolvente de un solo paso:

Ecuaciones de segundo grado incompletas:

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero. En este caso podemos optar por aplicar la resolvente o por despejar directamente la incógnita.

Ejemplos de resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas:

Caso 1) La ecuación cuadrática es del tipo:

ax2 = 0

Aquí faltan los coeficientes ‘b’ y ‘c’.

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¡¡¡No olvidemos que tanto ‘x1 ’ como ‘ x2’ deben satisfacer la ecuación cuadrática!!!

La solución es x1=x2 = 0.

Ejemplos: a) 2.x2=0

x2=0:2x2=0

x=

x1=x2=0

b) 4.x2=16x2=16:4

x2=4x=

x1=x2=2

Caso 2) La ecuación cuadrática es del tipo:

ax2 + bx = 0

En este caso falta el coeficiente ‘c’Empezamos por extraer factor común x:

x.(ax + b) = 0

La ecuación se resuelve si i) x=0 ii) ax+b=0

Entonces encontrar las soluciones significa resolver i)y ii)

En este caso:i) x1=0

ii) x2=

Ejemplo:

x2 - 5x = 0

Aplicamos factor común y luego obtenemos:

x.(x -5) = 0

Obtendremos:

i) x1=0ii) x2=5

-13

Caso 3) La ecuación cuadrática es del tipo:

ax2 + c = 0

En este último caso falta el coeficiente ‘b’

Igual que antes despejamos ‘x’:

x2 =

x =

Luego las soluciones son

x1 = y x2 =

Ejemplo: x2-25=0

Las soluciones son:

x1 = y x2 =

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado:

ax2 + bx +c = 0

“b2 − 4ac “se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones.

Podemos distinguir tres casos:

Caso a) b2 − 4ac > 0

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¡Advertencia! Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución en el campo de los números reales.Ejemplo:

2x2 +8 = 0

Si despejamos ‘x’:2x2 =-8x2 =-4

Y como dijimos -o nos olvidamos de decir- la raíz cuadrada de un número negativo da un número imaginario.

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

Ejemplo:

Caso b) b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

Caso c) b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

¡¡¡Recomendación!!!

En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practicar con ecuaciones. Acá te dejamos unos sencillos:

http:/phet.colorado.edu/en/simulation/equation-grapherhttp:/www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm

Ejercicios de ecuaciones de primer grado y cuadráticas

1) Calcular el valor de x para los siguientes casos:

a) b) 6)2(3)1(2 xxx

c) d)

e) f)

-15

g) h)

i) j)

k)

Respuestas: a) 7 ; c) 0,25 ; f) -1 ; k) 6

2)  Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

Respuesta: 35+x=3.(5+x) ; x=10

3) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

Respuesta: 2x-x/2=54 ; x=36

4) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

Respuesta: 2.base+2altura=30 , pero tené en cuenta que base=2. altura ; luego : altura=5, base=10

5) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

Respuesta: h + m + n=96 , pero tené en cuenta que m= 2 h, y que n=3(h+m)=3(h+2h)=9h ; luego h=8, m=16 , n=72

6) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

7) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

8) Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide:a) Litros de gasolina que tenía en el depósito.b) Litros consumidos en cada etapa.

9) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

10) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?

11) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

12) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?

13) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.

2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

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La solución de un sistema es un par de números , tales que reemplazando x por  e y por , se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Ejemplo:

Solución; x = 2, y = 3

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 x = 2, y = 3

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

  x = 2, y = 3

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 x = 2, y = 3

4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

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2.3.1) Método de sustitución

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2º Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.3º Se resuelve la ecuación.4º El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1º Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2º Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3º Resolvemos la ecuación obtenida:

4º Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5º Solución

2.3.2) Método de igualación

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación

1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.2º Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.3º Se resuelve la ecuación.4º El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1º Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

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2º Igualamos ambas expresiones:

3º Resolvemos la ecuación:

4º Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5º Solución:

2.3.3) Método de reducción

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

1º Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.2º La restamos, y desaparece una de las incógnitas.3º Se resuelve la ecuación resultante.4º El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución: x=2, y=3

2.3.4) Clasificación de sistemas de ecuaciones

Sistema compatible determinado

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Tiene una sola solución.

Solución: x = 2, y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas:

Sistema compatible indeterminado

El sistema tiene infinitas soluciones.

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución:

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Sistema incompatible

No tiene solución

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas:

¡¡¡Recomendación!!!

En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practicar con sistemas de ecuaciones. Acá te dejamos uno sencillo:

http:/www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas- lineales.htm

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

1)  Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:

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Respuesta: y =-3 x=4

2) Resuelve el sistema:

3) Halla las soluciones del sistema:

Respuesta: y=2 ; x=4

4) Resuelve:

5) Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:

Respuesta: y=2 ; x=1

6) Resuelve el sistema:

7) Halla las soluciones del sistema:

8) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

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Dato: Este ejercicio figuraba también como problema de ecuación de primer grado con una incógnita. Fijate como con los datos que tenés podés armar un sistema de ecuaciones

Respuesta: altura=5, base=10

Otros para pensar:

9) Juan compró un ordenador y un televisor por $2000 y los vendió por $2260.¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

10) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

11) Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

12) Antonio le dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis pesos tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

13) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

14) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

15) Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado $3500. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado $3170. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

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