Tema 21. Trazos básicos de geometría

21/08/12 TEMA 21

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Tema 21: Trazados geométricos Básicos

Tema 21

Trazados geométricos Básicos.

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN.

2. SEGMENTOS.

2.1. Operaciones: suma, resta, división en partes iguales, mediatriz.

3. ÁNGULOS.

3.1. Transporte, suma y diferencia, bisectriz, división de un ángulo recto en tres partes iguales y trisecciónaproximada de un ángulo menor de 60º.

4. TRIÁNGULOS.

4.1. Elementos y designación: lados, ángulos, vértices, clasificación, ortocentro, baricentro, circuncentro eincentro.

5. CUADRILÁTEROS.

5.1. Enumeración de tipos y propiedades.

5.2. Construcción.

6. POLÍGONOS.

6.1. Trazado a partir de la circunferencia circunscrita.

Procedimiento general para cualquier polígono.

6.2. Trazado a partir del lado: pentágono.

Procedimiento general para cualquier polígono

7. IGUALDAD Y SEMEJANZA.

7.1. Procedimientos para el trazado de figuras iguales.

7.2. Trazado de figuras semejantes.

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8. TANGENCIAS.

8.1. Definición.

8.2. Trazados básicos.

9. ÓVALO Y OVOIDE.

9.1. Óvalo.

9.2. Ovoide.

10. CÓNICAS.

10.1. Elipse.

10.2. Hipérbola.

10.3. Parábola.

11. CONCLUSIONES.

BIBLIOGRAFÍA.

DIÉGUEZ GONZÁLEZ, A : Dibujo geométrico y normalización. Ed. Mc GRAWHILL.

RODRÍGUEZ DE ABAJO, J.F. Curso de dibujo geométrico y de croquización. Ed. Marfil.

SENABRE, J. Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.

1. INTRODUCCIÓN.

¿Qué es la geometría?, ¿cuáles son las construcciones geométricas básicas?, ¿qué es el dibujo geométrico?. A estas ya otras preguntas daremos respuesta a lo largo del desarrollo de este tema.

Comenzamos definiendo a la geometría como aquella rama de las matemáticas que trata de las propiedades de lasfiguras y de las relaciones entre los puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos. Una de las ramas de la geometría esla geometría plana, que estudia las figuras cuyos puntos y líneas están en un mismo plano, y es la que vamos a tratar eneste tema.

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El dibujo geométrico está fundamentado en la geometría, y su estudio comienza a partir del análisis de una serie deconstrucciones geométricas sencillas, elementales y necesarias en construcciones posteriores de mayor dificultad. Partede los trazados geométricos básicos: rectas, circunferencias, ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Aunque el punto, la recta y el plano no se pueden definir con el rigor que exigen las matemáticas, en dibujo podemosaceptar como conceptos básicos necesarios para desarrollar este tema, los siguientes:

Punto: Es la intersección de dos rectas. Normalmente se nombra con una letra mayúscula.

Línea recta: Es una sucesión de puntos en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula.

Línea curva: Es una sucesión de puntos que no están en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula.

Semirrecta: Es una recta limitada en un extremo. Se nombra por el punto origen y una letra minúscula.

Segmento: Es una parte de recta limitada en sus extremos. Se nombra por dos letras mayúsculas situadas en susextremos.

Plano: Se define por dos rectas que se cortan o por tres puntos no alineados. También se define por dos rectas paralelaso por una recta y un punto que no se pertenezcan. Se designan por una letra griega minúscula.

Ángulo: Es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Las semirrectas son loslados del ángulo y el punto de intersección es el vértice.

2. SEGMENTOS.

2.1. Operaciones: suma, resta, división en partes iguales, mediatriz.

Suma de dos o más segmentos: se realiza colocando estos sobre una recta, con los extremos coincidentes. El segmentoresultante es la suma. (Fig.1).

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Resta: se obtiene colocando el segmento de mayor longitud sobre una recta y, superpuesto con él, y a partir del origen,se sitúa el segmento que se resta. Lo que queda del segmento mayor es la resta o diferencia. (Fig. 2).

División en partes iguales: Es una aplicación del teorema de Thales. Por el extremo A del segmento que queremos dividir,se traza una semirrecta oblicua cualquiera y sobre ella se llevan tantas partes iguales como divisiones queramos obteneren el segmento. El extremo C de la última división se une con el B y por las divisiones se trazan paralelas a BC, quedividen al segmento en las partes deseadas. (Fig. 3).

Mediatriz de un segmento AB: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.También se puede decir que esla recta perpendicular al segmento que lo corta en su punto medio. Se determina haciendocentro en los extremos del segmento, con un radio mayor que la mitad del segmento. Uniendo las intersecciones de losarcos, se obtienen la mediatriz. (Fig. 4).

3. ÁNGULOS.

3.1. Transporte, suma y diferencia. Bisectriz. Trisección de un ángulo recto. Trisección aproximada de un ánguloagudo.

Transporte: Para transportar un ángulo, se traza un arco cualquiera sobre éste, con centro en su vértice V, obteniéndoselos puntos de corte con los lados , A y B.

Se traza una semirrecta r y, en su origen, se fija el vértice V´. Con centro en él y con el mismo radio del arco anterior setraza un nuevo arco, que en su intersección con la semirrecta nos da el punto B´. A partir de él se lleva con el compás lacuerda del arco AB y uniendo este punto con V´ queda resuelto el problema. (Fig. 5)

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Suma: Sean los dos ángulos dados en la figura 6. Para sumarlos se traza uno igual al primero de ellos, por elprocedimiento anterior, y a continuación se traza el otro. El ángulo obtenido es la suma de los dos. (Fig. 6).

Diferencia: Dados los ángulos ay b se traza un ángulo igual al mayor de ellos. A partir de uno de sus lados, se traza elmenor. El ángulo comprendido entre ellos es el ángulo diferencia. (Véase fig. 7).

Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a los lados del ángulo. O bien la semirrecta que lo divide endos partes iguales. Sea el ángulo a de lados r y s y vértice V. Se traza un arco arbitrario que corta a los lados en A y B.Con centro en A y B se trazan dos arcos iguales, que se corten. Uniendo el punto de corte P con V, obtenemos labisectriz. (Fig. 8).

Trisección de un ángulo recto: Se trata de dividirlo en tres partes iguales. Sea el ángulo recto de vértice V y lados r y s.

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Se traza un arco de radio cualquiera, con centro en V, que corta en los puntos R y S a los respectivos lados del ángulo.Con el mismo radio y centro en R y en S, se corta al arco anterior, obteniéndose así la división exacta del ángulo recto entres partes, es decir, ángulos de 30 y 60 grados. (Fig. 9).

Trisección aproximada de un ángulo menor de 60º grados: Sea el ángulo de vértice V y lados r y s. Trazamos un arcocualquiera que corta a los lados en A y B. Prolongamos uno de los lados del ángulo y, sobre esta prolongación se llevados veces el radio VA, oby

teniéndose así el punto C. Se une C con B y, por el vértice V se traza una paralela a CB, que nos dividirá al ángulo enuna tercera parte. Llevando sobre el arco AB con el compás una cuerda igual a él, el ángulo dado queda dividido en trespartes aproximadamente iguales (no existe procedimiento exacto). (Fig.10).

4. TRIÁNGULOS.

4.1. Elementos y designación: lados, ángulos, vértices. Clasificación. Ortocentro, baricentro, circuncentro eincentro.

Triángulo es la interferencia (conjunto de puntos comunes) de tres semiplanos del mismo plano. O también la porción deplano comprendida entre tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de corte de las rectas son los vértices deltriángulo A, B y C y los segmentos entre ellos son los lados. El lado a, será el opuesto al ángulo A; el lado b, el opuestoal ángulo B y el lado c, el opuesto al ángulo C. La suma de los tres ángulo de un triángulo es de dos ángulos rectos.

Según sean sus lados, un triángulo puede ser:

Equilátero: Tiene sus tres ángulos y sus tres lados iguales.

Isósceles: Dos lados y dos ángulos iguales.

Escaleno: Sus tres lados y ángulos desiguales.

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Según los ángulos, un triángulo puede ser:

Acutángulo: Los tres ángulos son agudos.

Rectángulo: Tiene un ángulo recto.

Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

Ortocentro: Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Recordemos que la altura es el segmento que,partiendo de un vértice es perpendicular al lado opuesto. (Fig. 13)

Baricentro: Es el punto donde se cortan las tres medianas del triángulo. La mediana es el segmento que une un vérticecon el punto medio del lado opuesto. (Fig. 14). Es el centro de gravedad del triángulo.

Circuncentro: Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Es el centro de lacircunferencia circunscrita al triángulo. (Fig. 15)

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Incentro: Es el punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos. Es el centro de la circunferencia inscrita altriángulo. (Fig. 16).

4.2. Casos directos e indirectos.

Se consideran casos directos en la construcción de triángulos, aquellos en que los datos son ángulos y/o lados.Generalmente no necesitan de figura de análisis, porque su resolución es muy sencilla. Basta, en la mayoría de loscasos, con colocar los datos en su sitio.

Casos indirectos son aquellos en que los datos son, además de lados y/o ángulos, alturas, medianas, perímetro, etc.Normalmente necesitan de una figura de análisis y, la mayoría de las veces, conocer la resolución del problema, puestoque algunos de ellos son ciertamente complejos.

Dibujaremos, a título de ejemplo, 3 casos indirectos:

Trazado de un triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y su altura correspondiente (a, A y ha). Comenzamos portrazar el arco capaz para el segmento y el ángulo dados. Arco capaz para un segmento y un ángulo dados es el lugargeométrico de los puntos que unidos con los extremos del segmento, forman el ángulo dado. Para trazarlo, dibujamos ellado a=BC y su mediatriz. Por uno de sus extremos se lleva el ángulo A, de lados a y z. Por B se traza una perpendiculara z y donde esta corta a la mediatriz del lado, es el centro del arco capaz.

Llevamos perpendicularmente al lado a, su altura ha, obteniendo sobre el arco capaz los vértices A y A´ de los dostriángulos solución. (Fig. 17).

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Trazado de un triángulo conocidas sis tres medianas ma, mb y mc: A partir de una figura de análisis se ve que elromboide GBG´C es de fácil construcción ya que BG=CG´= 2/3 mb; GC=BG´=2/3 mc y GG´= 2/3 ma. Se construye elromboide mediante dos triángulos de lados 2/3 ma, 2/3 mb y 2/3 mc. La diagonal BC es el lado a del triángulo; el punto G,su baricentro y el vértice A está a 2/3 de ma del mismo. (Fig. 18).

Trazado de un triángulo conocido el perímetro y dos ángulos: 2p, B y C.: Trazamos el segmento 2p y en sus extremos losángulos mitades de los dados A/2 y B/2. Se forma así el triángulo a, A´, A´´ . Las mediatrices de AA´y de AA´´, nos danlos vértices B y C del triángulo solución ABC. (Fig. 19).

5. CUADRILÁTEROS.

5.1. Tipos y propiedades.

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Paralelogramos: Son los que tienen sus lados paralelos dos a dos. Son los siguientes:

Cuadrado: Los cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos rectos. Las diagonales iguales, perpendiculares y secortan en su punto medio.

Rectángulo: Sus lados iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos rectos. Sus diagonales iguales y se cortan en supunto medio.

Rombo: Sus cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales se cortan en su punto medio y

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son perpendiculares.

Romboide: Lados y ángulos iguales dos a dos. Diagonales desiguales, pero se cortan en su punto medio. (Véasefig. 20).

Trapecios: Son los cuadriláteros que tienen dos lados paralelos. Se distinguen:

Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos.

Trapecio isósceles: Dos lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.

Trapecio escaleno: Los cuatro ángulos y desiguales. (Fig. 21).

Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene iguales ni paralelos sus lados y sus ángulos son desiguales, así comosus diagonales. (Fig. 22).

5.2. Construcciones.

Para construir un cuadrado es necesario conocer un solo dato; un rectángulo y un rombo se podrán construir conociendo

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dos datos; un romboide conociendo tres datos, un trapecio cuatro datos y un trapezoide cinco datos. Algunos de estosdatos se pueden sustituir por condiciones. Las construcciones de cuadriláteros están basadas generalmente en sudescomposición en triángulos. Veamos algunos casos de los muchísimos que se podrían plantear.

Cuadrado conociendo la suma de su diagonal y el lado: Sea d+l=AB. Por A se traza un ángulo de 22º30´ y por B unaperpendicular que corte al lado del ángulo, resultando el lado del cuadrado (Fig. 23).

Rectángulo dados un lado y el ángulo de sus diagonales: Se traza el arco capaz para el ángulo y el lado dados. El puntomedio de este arco será el centro geométrico del rectángulo. Acabar su trazado es elemental, teniendo en cuenta quedesde este punto a los extremos del lado son las semidiagonales. (Fig.24).

Rombo dados el lado y una de sus diagonales: Se traza la mediatriz de la diagonal. Con centro en uno de sus extremos yradio igual al lado, se traza un arco que donde corte a la mediatriz nos dará los otros dos vértices del rombo. (Fig. 25).

Romboide dados uno de los lados l y las dos diagonales d y d´ (Fig. 26): El triángulo DMB de lados DM=2l, DB=d y MB=d´ resuelve el problema por la condición de paralelismo e igualdad de los lados del romboide y puesto que los segmentosde paralelas comprendidos entre paralelas, son iguales.

Trapecio dadas las dos bases b y b´ y las dos diagonales d y d´: Se resuelve de manera similar al anterior, trazando enprimer lugar el triángulo BDM, que tiene por lados BM=b+b´; MD=d´y BD=d., que nos conducirá al trapecio buscado yaque MD y AC son iguales y paralelas. (Fig. 27).

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Trapezoide conociendo sus cuatro lados y el ángulo que forman dos opuestos: Por elemental descomposición deltrapezoide, se dibujará primero el triángulo ABH, luego el HAD y, por último el romboide DCBH. Todos ellos resultancasos directos en los que sobra cualquier explicación adicional. (Fig. 28).

6. POLÍGONOS.

6.1. Trazado a partir de la circunferencia circunscrita.

Triángulo y hexágono: Con el mismo radio de la circunferencia, se van tomando cuerdas sobre la misma. La habremosdividido así en 6 partes iguales obteniendo el hexágono. Uniendo los puntos alternadamente obtendremos el triángulo.(Fig. 29).

Cuadrado y octógono: Los extremos de una pareja de diámetros perpendiculares serán los vértices del cuadrado. Lasmediatrices de dichos lados nos darán sobre la circunferencia los otros cuatro vértices del octógono. (Fig. 30).

Heptágono, pentágono y decágono: (Fig. 31). El lado del heptágono regular inscrito en una circunferencia esaproximadamente igual ala mitad del lado del triángulo regular inscrito en la misma (no existe procedimiento exacto).

Haciendo centro en Pm (punto medio del radio) y con radio hasta A, trazamos el arco AR cuya cuerda será el lado delpentágono regular inscrito en la circunferencia. La distancia RO cereal lado del decágono regular inscrito.

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Procedimiento general aproximado; polígono de n lados: (Fig. 32). Se traza un diámetro vertical y se divide en tantaspartes iguales como lados tenga el polígono (n). Con centro en los extremos de dicho diámetro y con una abertura decompás igual al mismo, se trazan los arcos que se cortan en E. Uniendo E con la división nº 2 del diámetro nosdetermina sobre la circunferencia el lado aproximado. Para acabar el polígono basta llevarlo sobre la circunferencia ycompensar el error de cierre, si lo hubiera.

6.2. Trazados a partir del lado.

Haremos sólo el pentágono por procedimiento particular, puesto que el triángulo y el cuadrado, son elementales, elheptágono y el eneágono no se pueden trazar por procedimiento exacto y el hexágono se hace trazando la circunferenciacircunscrita con el mismo radio que el lado.

Pentágono: El procedimiento de construcción está basado en que el lado del pentágono y su diagonal están en laproporción aúrea. Se traza la perpendicular al lado por un extremo y se lleva sobre ella la magnitud del lado. Se traza unacircunferencia con centro en el punto medio C de esta perpendicular y que tenga el lado por diámetro. Uniendo el otroextremo del lado A con el centro de la circunferencia y prolongando hasta que la corte en D, obtenemos en este punto lalongitud de la diagonal del pentágono. Ya sólo es cuestión de determinar vértices sobre el arco, con el compás abierto ellado. (Fig. 33)

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Procedimiento general por semejanza: Para construir un polígono de n lados conociendo su lado l=AB, se traza unacircunferencia cualquiera y se divide en n partes iguales tal y como se hizo en la figura 32. El lado nos habrá salido másgrande o más pequeño que l. Aprovechando que todos los polígonos regulares de n lados son semejantes, sólo nosrestará dibujar un semejante al primero cuyo lado sea l. Para ello se inscribe el lado en el ángulo central NOM delpolígono de tal manera que nos quede paralelo a MN. Con centro en O y radio OA se traza la circunferencia circunscrita alpolígono solución.

7. IGUALDAD Y SEMEJANZA.

7.1. Procedimientos para trazar figuras iguales.

Dos figuras son iguales cuando pueden descomponerse en el mismo número de triángulos iguales e igualmentedispuestos. También se puede decir que dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden. Algunos procedimientospara su trazado son:

Triangulación: Se descompone la figura en triángulos y luego se van construyendo cada uno de los triángulos en el mismoorden. (Fig. 35).

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Rodeo o itinerario: Consiste en rodear la figura construyendo ángulos iguales de lados iguales. (Fig. 36).

Coordenadas: Se utiliza un sistema de ejes cartesianos, en el que cada punto viene definido por su ordenada y su abcisacorrespondiente. (Fig. 37).

Traslación paralela: Se trazan por cada uno de los vértices de la figura líneas paralelas y con aperturas de compásiguales, se van trasladando cada uno de los vértices. (Fig. 38)

7.2. Trazado de figuras semejantes.

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma y distintas dimensiones. Sus ángulos son iguales y sus ladosproporcionales.

Cada punto de una de ellas tiene su correspondiente en la otra y las longitudes de los lados están en la misma relación. Aesta relación se la llama razón de semejanza.

Algunas construcciones a partir de la razón de semejanza:

Por radiación exterior: Dado el polígono que tiene por vértices los puntos ABCDE, se quiere dibujar uno semejante derazón de semejanza ½.

Se toma un punto exterior P y se une con todos los vértices del polígono dado. Se divide en dos partes iguales una de lasradiaciones, por ejemplo PA y se van trazando por A´ paralelas a los lados hasta que corten a las correspondientesradiaciones. (Fig. 39).

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Por coordenadas: (Fig. 40). Es el mismo que en igualdad (Fig. 37), sólo que si la razón de semejanza es ½, se dividenpor 2 las coordenadas.

Por radiación interior: Se procede de igual manera que por radiación exterior, pero con el punto P en el interior delpolígono.

8. TANGENCIAS.

8.1. Definición:

Una recta y una circunferencia son tangentes cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es unamagnitud igual al radio de la misma.

Dos circunferencias son tangentes cuando sus centros distan la suma o la diferencia de sus radios. En el primer casoson tangentes exteriores y en el segundo interiores.

8.2. Trazados básicos:

Recta tangente a una circunferencia en un punto T de ella. La tangente en un punto T a una circunferencia es laperpendicular al radio OT, según la definición. (Fig. 41).

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Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P: (Fig. 42). Se une el punto exterior P con el centro O yse traza la circunferencia de diámetro OP, la cual corta en T1 y T2 a la dada. Las rectas tangentes t1 y t2 se obtienenuniendo PT1 y PT2.

Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas: (Fig. 43) Las circunferencias dadas de centros O1 y O2, tienende radios r y R respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio Rr y desde O1 se trazan lastangentes a ella. Las rectas paralelas a éstas y que pasan por los puntos de tangencia T1, T´1 y T2, T´2, son lassoluciones. Los puntos de tangencia se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las tangentes auxiliares.

Rectas tangentes interiores a dos circunferencia dadas (Fig. 44): El procedimiento a seguir es el mismo que en el casoanterior, pero trazando con centro en O, la circunferencia auxiliar de radio R+r.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas, conocido el radio de la solución (Fig. 45). Sean r y R los radios delas circunferencias dadas y r el radio de las de solución. Con centro en O2 y radio R+r se trazan dos arcos y con centroen O1 y radio r+r se trazan otros dos que corten a los anteriores. Los puntos de corte son los centros de lascircunferencias solución. Los puntos de tangencia se determinarán uniendo los centros de las circunferencias dadas con

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los centros de las soluciones.

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia dadas, conocido el radio de las soluciones. (Fig. 46): Sea Rel radio de la circunferencia dada y r el radio de las soluciones. Se traza una recta paralela a la dada r y a la distancia der. Con centro en O y radios R+r se trazan arcos que cortarán a la paralela a r en los centros de las soluciones O1 y O2.Los puntos de tangencia se obtienen uniendo los centros y trazando la perpendicular a la recta.

9. ÓVALO Y OVOIDE.

9.1. Óvalo.

El óvalo es una curva plana cerrada, formada por arcos de circunferencia tangentes y simétrica respecto a dos ejesperpendiculares.

Conocido el eje mayor: (Fig. 47). Dado el eje mayor AB, se divide entres partes iguales, obteniendo los pontos O1 y O2.Con centro en estos puntos se trazan las circunferencias de radios O1A y O2B y los puntos de intersección O3 y O4, sonlos centros que permiten completar el óvalo.

Conocido el eje menor(Fig. 48). Dado el eje menor CD, se construye la circunferencia de diámetro dicho eje y se trazan

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dos diámetros perpendiculares. Los puntos O1, O2, O3, y O4 son los centros de los arcos de circunferencia que permitenconstruir el óvalo.

9.2. Ovoide.

El ovoide es una curva plana y cerrada formada por arcos de circunferencia tangentes y simétrica respecto a una sóloeje.

Trazado conocido el eje de simetría. (Fig. 49). Se divide el eje AB en 6 partes iguales y sobre la perpendicular a AB por ladivisión 2, se toman 4 partes en los dos sentidos, obteniendo así los puntos O1 y O3 que, junto con O2 y O4 (división nº5) son los centros de los arcos que formarán el ovoide.

Conocido el diámetro de la circunferencia de cabeza. Fig. 50). Trazada la circunferencia, se trazan dos diámetrosperpendiculares. Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de los arcos que forman el ovoide.

10. CÓNICAS.

Las cónicas son las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano. La superficie cónica derevolución está engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta, manteniendo constante el ángulo entreellas. Esta segunda recta es el eje y la recta que gira es la generatriz. El punto de intersección de ambas es el vértice dela superficie.

10.1 Elipse.

La elipse resulta cuando el plano es oblicuo al eje de la superficie cónica y corta a todas las generatrices y no pasa por elvértice.

Es una curva cerrada, plana, lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos F y F´ llamados

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focos es constante e igual a 2.a que es la longitud del eje mayor AB.

Tiene dos ejes de simetría: mayor o real que se representa por 2.a y menor 2.b. Los focos están sobre el eje mayor a una

distancia FF´ que se llama distancia focal y se representa por 2.c. Entre a, b y c existe la relación: a2=b2+c2

Construcción de una elipse a partir de los ejes. (Fig. 51). Dados los ejes AB=2.a y CD=2.b. Con centro en C y radio a secorta al eje mayor en F y F´, focos de la curva. Se toma un punto N cualquiera en el eje mayor, comprendido entre el focoy el centro. Con radio AN y centro en F se traza el arco 2 y con radio BN y centro en F´ se traza el arco 1. Estos dosarcos se cortan en el punto M de la elipse. Repitiendo esta operación con otros puntos como N, obtendremos tantospuntos como queramos de la curva, que se deben unir con plantillas de curvas o a pulso.

10.2. Hipérbola.

La hipérbola se produce cuando se corta una superficie cónica por un plano paralelo a dos de sus generatrices.

La hipérbola es una curva abierta, plana, lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijosllamados focos, es constante e igual al eje real.

Tiene dos ejes de simetría perpendiculares que se cortan en su punto medio: eje real que se representa por 2.a y ejeimaginario 2.b. Los focos están en el eje real y a una distancia 2.c (distancia focal).

Dibujo de una hipérbola conocidos el eje real AB y la distancia focal FF´. (Fig 52). Se toman puntos como el N y conradios AN y BN y centros en F y F¨se trazan dos arcos que se cortan en M, punto de la hipérbola. De esta manerapodremos obtener tantos puntos como queramos que, unidos a mano alzada o con plantillas nos determinarán la curva.

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10.3. Parábola.

La parábola resulta cuando se corta una superficie cónica por un plano paralelo a una de sus generatrices.

La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistande un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por el focoy es perpendicular a la directriz.

El vértice, como otro punto cualquiera de la parábola, equidista del foco y de la directriz.

Trazado de la parábola: (Fig. 53). Se conocen la directriz d, el eje y el foco F. El vértice es el punto medio del segmentoAF. Se obtienen puntos así: Se traza por un punto cualquiera del eje (1) una perpendicular al mismo; con la distancia 1 Ay centro en F se trazan arcos que la corten, obteniendo así puntos de la curva.

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11. CONCLUSIONES.

Consideramos que el conocimiento de los trazados geométricos es fundamental en el campo del Dibujo Técnico. Unestudio exhaustivo requiere, sin embargo, mucho más de un tema. Es difícil, por tanto, resumir aunque sea lo másbásico, en unos folios, cuando hay tratados completos que tratan de la materia.

Se han limitado los trazados a aquellos que se entienden básicos y, por ejemplo en las cónicas, se han limitado lasconstrucciones a un solo procedimiento para cada una de ellas, cuando se conocen muchos más.

El dibujo geométrico se puede considerar como un tema instrumental para el Dibujo Técnico y, por tanto, fundamentalcomo base para la expresión gráfica y la representación de cualquier elemento, mecanismo o proyecto.

BIBLIOGRAFÍA.

DIÉGUEZ GONZÁLEZ, A : Dibujo geométrico y normalización. Ed. Mc GRAWHILL.

RODRÍGUEZ DE ABAJO, J.F. Curso de dibujo geométrico y de croquización. Ed. Marfil.

SENABRE, J. Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.

29Rafael López González

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