Tema 3

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3 PolinomiosEl Álgebra, la parte de las Matemáticas de

la que los polinomios son la base, nació

con los árabes en Bagdad en el siglo IX.

La palabra árabe “álgebra” alude al hábil

manejo de los cálculos con signos, similar

a la maestría de los autores del intricado

arte decorativo árabe.

MATEMÁTICAS 3.º ESO

Unidad 3: Polinomios

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Enlace a una historia

de la Matemática árabe

Enlace a la Casa de la Sabiduría

de Bagdad y la ciencia islámica



Árabes y matemáticas

http://www.sfusd.k12.ca.us/schwww/sch618/ScienceMath/Math.html



http://www.alandalus-siglo21.org/index.html?/pages/cienmus2.html




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Esquema de contenidos

Polinomios

Monomios

Concepto

Monomios semejantes Polinomios

Conceptos

Grado

Valor numéricoOperaciones con polinomios

Suma y resta

Multiplicación

División

Fracciones algebraicas

Simplificación

Igualdades notables

Cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia


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División de polinomios

La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera.

Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite

en cada paso.

Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.

Para que pueda

realizarse la división,

el grado del dividendo

debe ser mayor que el

del divisor.



SIGUIENTE


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en cada paso.


Disponemos los

polinomios dividendo y

divisor, dejando huecos

en el dividendo cuando

falte una potencia.

3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 Dividimos el primer

monomio del dividendo

por el primero del divisor

y el resultado es el

primero del cociente.



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 Multiplicamos ese

monomio por todo el

divisor y el resultado,

cambiado de signo, se

pone bajo el dividendo.

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2xSe repite el proceso

hasta que el polinomio

resultante del dividendo

sea de grado menor

que el del divisor.

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x

Que no se te olvide

cambiar el signo….

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4

– 9 x 2 – 27x + 9



SIGUIENTE


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en cada paso.


3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4

– 9 x 2 – 27x + 9

– 27x + 5

Puesto que el grado del

polinomio resultante es

menor que el del divisor,

la división ha terminado.

Resultado:

Cociente: 3 x 2 – 2x + 9

Resto: – 27x + 5




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Identidades notables: Cuadrado de una suma

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la

expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes

la figura:

En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el

cuadrado grande es mayor que la suma de los

cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).



SIGUIENTE


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Identidades notables: Cuadrado de una suma

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la

expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes

la figura:

En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el

cuadrado grande es mayor que la suma de los

cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).

La expresión correcta es:

Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que

accedes haciendo clic en el enlace siguiente:

Cuadrado suma



Unidad3_3ESO/iden1.htm

Unidad3_3ESO\iden1.htm


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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar

paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2



SIGUIENTE


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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar

paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2

Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen

dinámica correspondiente:

Cuadrado diferencia




Unidad3_3ESO\iden2.htm


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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al

producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)



SIGUIENTE


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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al

producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace:

Diferencia de cuadrados




iden3.htm


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Sacar factor común y simplificar fracciones

Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como

ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:

a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy



SIGUIENTE


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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has

de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

5xx

x5x

x

x5x 2

22

ó 5xx

)5x(x

x

5xx2



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has

de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

5xx

x5x

x

x5x 2

22

ó 5xx

)5x(x

x

5xx2

La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor

de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando.

Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo:

x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

5xx

x5x

x

x5x 2

22

5xx

)5x(x

x

5xx2

a) ó



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

5xx

x5x

x

x5x 2

22

5xx

)5x(x

x

5xx2

En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor

común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:

a) ó



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

5xx

x5x

x

x5x 2

22

5xx

)5x(x

x

5xx2



x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1

y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):

a) ó



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

5xx

x5x

x

x5x 2

22

5xx

)5x(x

x

5xx2



x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1

y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):

a) ó

x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1)

Se va a poder simplificar la fracción del caso b):



SIGUIENTE




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a) b)

x

5xx2

1x

1yxxy

5xx

x5x

x

x5x 2

22

5xx

)5x(x

x

5xx2

a) ó

1y1x

)1y()1x(

1x

1y)1y(x

1x

1yxxy

b)






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Enlaces de interés

Actividades de la BBCActividades y Diccionario

IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB



http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/index.shtml

http://www.mismates.net/index.php












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Actividad: Moquetas de superficies variables

Aparecen aquí diversas situaciones en

las que, al enmoquetar el suelo de una

habitación, surgen expresiones

polinómicas.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección:http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF



http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF









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