Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y...

Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones incompletas:

a) 0455 2 =−x

3995450455 22 ±=±=→==→=− xxx

Soluciones: 31 =x , 32 −=x

b) 0455 2 =+x

95450455 22 −=−=→=+ xx No tiene solución.

c) 0213 2 =− xx

=→=−=

→=−→=−70213

00)213(0213 2

xxx

xxxx

Soluciones: 01 =x , 72 =x

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver una ecuación debemos pinchar en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el

icono ‘Resolver ecuación’. En ese momento, aparecerá el esquema de la ecuación, con un

hueco para cada miembro. Para despejar la ecuación y obtener nuestro resultado sólo

debemos rellenar los huecos y pinchar en el icono ‘=’.

Figura 1.

Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

2

2. Apartado a.

Figura 2.

3. Apartado b.

Figura 3.

4. Apartado c.

Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2. Resolver las siguientes ecuaciones completas:

a) 062 =−+ xx

251

22411062 ±−

=+±−

=→=−+ xxx

Soluciones: 21 =x , 32 −=x

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

3

b) 0169 2 =++ xx

31

186

1806

92363660169 2 −=−=

±−=

⋅−±−

=→=++ xxx

Solución única: 31

−=x

c) 0375 2 =+− xx

10117

10604970375 2 −±

=−±

=→=+− xxx Sin solución.

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Resolveremos una ecuación pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono

‘Resolver ecuación’. Después, veremos el esquema de la ecuación, con un hueco en el lugar de

cada miembro. Para despejar la ecuación y obtener nuestro resultado sólo debemos rellenar

los huecos y pinchar en el icono ‘=’.

Figura 5.

2. Apartado a.

Figura 6.


4

3. Apartado b.

Figura 7.

4. Apartado c.

Figura 8.

Se puede apreciar como el apartado c) no tiene solución.


Ejercicio 3.

Resolver la ecuación 03613 24 =+− xx .

0361303613 224 2

=+−→=+− = zzxx zx

±=→=±=→=

→±

=−±

=2439

2513

214416913

xzxz

z

Soluciones: 3, -3, 2, -2.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver un una ecuación, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que se encuentra

dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá lo siguiente:


5

Figura 9.

2. En cada hueco, debemos escribir un miembro de nuestra ecuación (ayudándonos de la

función ‘Potencia’, dentro de la misma pestaña) y cuando esté planteada pincharemos en el

icono ‘=’.

Figura 10.


Ejercicio 4.

Resolver 103

311

=+

−xx

.

Multiplicamos los dos miembros por )3(10 +xx .

273

240930103

0309393103010)3(310)3(10

2

22

±−=

+±−=→=−+→

→=−+→+=−+→+=−+

xxx

xxxxxxxxxx

Hay dos soluciones: 21 =x , 52 −=x . Comprobadas en la ecuación inicial, ambas son

válidas:

103

1025

51

21

=−

=− 103

21

51

21

51

=+−=−

−−


6

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Este ejercicio lo resolveremos pinchando en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono

‘Resolver ecuación’. A continuación nos aparecerá el esquema de la ecuación.

Figura 11.

2. Rellenando el esquema (para insertar una potencia pinchamos en el icono ‘Potencia’, dentro

también de la pestaña ‘Operaciones’), lo único que nos queda para obtener nuestra solución es

pinchar en el botón ‘=’.

Figura 12.


Ejercicio 5.

Resolver la ecuación xx 2272 =++

227227 22 −=+→=++ xxxx Elevando al cuadrado los dos miembros:

6108

63664803834847 222 ±

=+±

=→=−−→+−=+ xxxxxx

Hay dos posibles soluciones: 31 =x , 31

2 −=x . Las comprobamos sobre la ecuación:

62162732 =+=++ ; 632 =⋅ . La primera, 31 =x , sí es solución.


7

=+=+=

−=

−

++

−

3142

382

9642

32

312

731 2

La segunda, 31

− , no es solución.



Figura 13.



icono ‘=’.

Figura 14.


Ejercicio 6.

Resolver la ecuación 264 =−−+ xx

Pasamos x−6 al segundo miembro:

xx −+=+ 624 . Elevamos al cuadrado los dos miembros:


8

xxxx

xxxxxx

−=−→−=−→

→−+−=+→−+−+=+

6236462

6410464)6(44

Volvemos a elevar al cuadrado:

→=−−→−=+−→−=+− 015242496)6(496 222 xxxxxxxx

282

26042 ±

=+±

=→ x 3

5

2

1

−==

xx

Comprobamos las dos posibles soluciones:

5213195645 →=−=−=−−+ sí es solución.

323191)3(643 −→−=−=−=−−−+− no es solución. Solución: 5=x



Figura 15.





9

Figura 16.


Ejercicio 7.

Resolver la ecuación 045 23 =+− xxx

Sacamos x factor común en el primer miembro:

=+

=−

→=+−→=+−045

00)45(045

2223 x

xx

xxxxxx

La ecuación de arriba tiene dos soluciones: 11 =x , 42 =x Por tanto, la ecuación inicial tiene tres soluciones: 1, 4 y 0



Figura 17.



icono ‘=’.


10

Figura 18.


Ejercicio 8.

Resolver la ecuación 0)27()152( 2 =+⋅−− xxx

=−

−=→=+=→=−−

→=+⋅−−5,3

7/20270152

0)27()152(2

2 xxx

xxxxxx

Las soluciones de la ecuación inicial son las de las dos ecuaciones a las que da lugar.

Soluciones: 31 −=x , 52 =x , 72

3 −=x



Figura 19.





11

Figura 20.


Ejercicio 9. Resolver por el método de sustitución y por el método de igualación.

=−=+165

723yxyx

Figura 21.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejamos la y en la 2.ª ecuación: 165 −= xy

Sustituimos en la 1.ª: 7)165(23 =−+ xx

Resolvemos la ecuación: 33913732103 =→=→=−+ xxxx


12

Sustituimos arriba: 116151635 −=−=−⋅=y

Solución: 3=x , 1−=y . O bien (3, -1)

MÉTODO DE IGUALACIÓN Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

→

−=

−=

→→

=−=+

165237

165723

xy

xyyxyx

Igualamos 165237

−=− xx

Resolvemos la ecuación:

=

−=−⋅=

→−=−→−=− 3

11635:

321037165237 x

yarribasSustituimo

xxxx Solución: (3, -1)

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones es pinchar en la pestaña

‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. En ese momento, nos aparecerá una

pequeña ventana, en la que debemos indicar en número de ecuaciones que queremos que

tenga y pinchar en ‘Aceptar’.

Figura 22.

2. A continuación nos aparecerá el esquema de nuestro sistema, que consta de tantas líneas

como ecuaciones queremos que tenga y en cada una de ellas, los dos miembros de la ecuación

separados por un signo =.


13

Figura 23.

3. Por último, para obtener nuestro resultado, rellenaremos los huecos con nuestros datos y

pincharemos en el icono ‘=’.

Figura 24.


Ejercicio 10. Resolver por el método de reducción.

=+−=−1223

356yxyx

Multiplicamos por 2 la 2.ª ecuación para igualar los coeficientes de la x :

=+−=−2446

356yxyx

Restamos, 2.ª - 1.ª: 3279 =→= yy

Sustituimos en una de las dos ecuaciones iniciales:

212615363356 =→=→+−=→−=⋅− xxxx

Solución: 2=x , 3=y . O bien (2, 3)


14

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolver un sistema de ecuaciones con Wiris es muy sencillo. En primer lugar, pinchamos en

en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Después, nos aparecerá una

ventana, en la que escribiremos el número de ecuaciones que queremos que tenga y

pincharemos en ‘Aceptar’.

Figura 25.

2. El siguiente paso es rellenar el esquema de nuestro sistema con las ecuaciones de nuestro

enunciado.

Figura 26.

3. Finalmente, obtendremos la solución del sistema pinchando en el icono ‘=’.

Figura 27.


15


Ejercicio 11. Resolver aplicando dos veces el método de reducción.

=+=+

262151421519

yxyx

Obtención de la x : Obtención de la :y

→ ⋅21.ª1 2982315399 =+ yx → ⋅5.ª1 x95 + y75 = 710

→ ⋅15.ª2 =+ yx 31575 390 → ⋅19.ª2 x95 + y399 = 494 Restando: x324 = 2592 Restando: y324− = 216

Solución: 83242592

==x ; 32

324216

−=−=y





Figura 28.





16

Figura 29.



Figura 30.


Ejercicio 12. Resolver por el método más conveniente:

=+=−

51

22 yxxy

=+=−

51

22 yxxy

Utilizaremos el método de sustitución

Despejamos y en la 1.ª: 1+= xy

Sustituimos en la 2.ª: 5)1( 22 =++ xx Desarrollamos el paréntesis: 051222 =−+++ xxx Agrupamos: 0422 2 =−+ xx

Resolvemos: 14

624

32421 =→

±−=

+±−= xx , 22 −=x


17

Si 1=x , entonces 211 =+=y . Si 2−=x , entonces 112 −=+−=y .

Solución:

−=−===

1,22,1

22

11

yxyx





Figura 31.


enunciado.

Figura 32.



18

Figura 33.


Ejercicio 13. Resolver el sistema siguiente:

=−=+

4058

22

22

yxyx

=−=+

4058

22

22

yxyx

Utilizaremos el método de reducción.

Sumando las dos ecuaciones, se obtiene:

7,749982 22 −==→=→= xxxx Si 7=x , entonces 3,39758 22 −==→=−= yyy

Si 7−=x , entonces 3,39)7(58 22 −==→=−−= yyy

Solución:

−=−==−=−==

==

3,73,73,7

3,7

44

33

22

11

yxyx

yxyx






19

Figura 34.




Figura 35.



Figura 36.



20

Ejercicio 14. Resolver este sistema:

=−−++=

212

yxyxyx

Utilizaremos el método de sustitución, reemplazando en la segunda ecuación el valor de la

x de la primera:

2)12()12( =−+−++ yyyy

Simplificamos: 2113 =+−+ yy

Aislamos una raíz: 1213 ++=+ yy

Elevamos al cuadrado: 14)1(413 ++++=+ yyy

Simplificamos y aislamos la raíz: 1442 +=− yy

Simplificamos: 122 +=− yy Elevamos al cuadrado: )1(4442 +=+− yyy

Simplificamos: 8,008 212 ==→=− yyyy

Hallamos los correspondientes valores para x : Si 01 =y , entonces 11021 =+⋅=x Si 82 =y , entonces 171822 =+⋅=x

Posibles soluciones: 8,17

2,1====

yxyx

Ahora, hemos de comprobar estas posibles soluciones sobre el sistema de ecuaciones

inicial:

1=x , 0=y cumple la primera ecuación, pero no la segunda. No es solución.

17=x , 8=y cumple las dos ecuaciones. Sí es solución. Solución: 17=x , 8=y


21





Figura 37.


enunciado.

Figura 38.


Figura 39.


22


Ejercicio 15. Resolver.

−

=

=+xy

xyyx

1

6

111

Empezamos simplificando la primera ecuación:

11−=+→

−=

+ xyxyxy

xyxy

xy

Por tanto, el sistema queda: −

==+ 16

xyxy

xy

Sustituyendo el valor de xy de la 2.ª en la 1.ª: xyxy −=→−=+ 516 Ahora, sustituimos este valor en la 2.ª:

224255065656)5( 22 −±

=→=+−→=+−→=− xxxxxxx 23

2

1

==

xx

Si 2353 11 =−=→= yx Solución: 31 =x , 21 =y Si 3252 22 =−=→= yx Solución: 22 =x , 32 =y






23

Figura 40.




Figura 41.



Figura 42.



24

Ejercicio 16.

¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la inecuación 1282 <− xx ?

a) -5 b) 0 c) 1,1 d) 2 e) 5/2 f) 3,2 g) 5,3 h) 10

Resolveremos la inecuación y según el resultado, sabremos qué valores están dentro de la

solución.

0128128 22 <−−→<− xxxx Ahora tenemos que factorizar la ecuación:

=±

=+±

=⋅

−⋅⋅−±=→=−−

21128

248648

12)12(1488

01282

2 xxx

−=−

=⋅−

=−

+=+

=⋅+

=+

7242

7282

72821128

7242

7282

72821128

24

24

Ahora la inecuación tiene esta forma:

0)724()724( <+−⋅−− xx El último paso es tratar los dos paréntesis como inecuaciones independientes:

7240)724( +<→<−− xx

7240)724( −>→<+− xx Por lo tanto, son soluciones los valores situados entre -1,29 y 9,29. Son solución b, c, d, e, f y

g.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos una inecuación escribiendo “resolver_inecuación” y después, entre paréntesis

la inecuación.


25

Figura 43.

2. Para escribir la inecuación, necesitaremos insertar algunos símbolos. Para hacerlo,

pincharemos en la pestaña ‘Símbolos’ y después en el símbolo que queramos utilizar.

Figura 44.

3. Cuando tengamos todo planteado, sólo tenemos que pinchar en el icono ‘=’ y conoceremos

nuestro resultado.

Figura 45.


Ejercicio 17. Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones:

a) 93 >x


26

Figura 46

b) 93 ≥x

Figura 46

c) 1123 <+x

Figura 47


27

d) 1123 ≥+x

Figura 48

e) 532 <−x

Figura 49

f) 532 ≤−x Figura 50


28

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver este ejercicio, debemos representar las inecuaciones. Para ello, escribimos

“representar” y a continuación, entre paréntesis la inecuación que queremos representar.

Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos nuestra

representación.

Figura 51.

2. Apartado a.

Figura 52.

Figura 53.


29

3. Apartado b.

Figura 54.

Figura 55.

4. Apartado c.

Figura 56.


30

Figura 57.

5. Apartado d.

Figura 58.


31

Figura 59.

6. Apartado e.

Figura 60.


32

Figura 61.

7. Apartado f.

Figura 62.


33

Figura 63.


Ejercicio 18. Resuelve algebraicamente las siguientes inecuaciones:

a) 22442042 −≥→

−≥→−≥→≥+ xxxx

b) 22442042 −<→

−<→−<→<+ xxxx

c) →>+−→>+−⋅→>++−→−>+− xxxxxxxx 204)102(22

37232

72

4205 <→< xx

d) 32

72 −≤+−xx →≤+−→≤+−⋅→≤++−→ xxxxxx 204)102(2

2372

4205 ≥→≥ xx

e) 3242 −≥+− xxx →≥++−→≥+−+−→ 0320324 22 xxxxx 3,1 ≤−≥ xx

f) 3242 −<+− xxx →<++−→<+−+−→ 0320324 22 xxxxx 3,1 >−< xx


34

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver una inecuación escribimos “resolver_inecuación” y después, entre paréntesis

la inecuación. Cuando tengamos todo planteado, pincharemos en el icono ‘=’ y conoceremos

nuestro resultado.

Figura 64.

2. Apartado a.

Figura 65.

3. Apartado b.

Figura 66.

4. Apartado c.

Figura 67.


35

5. Apartado d.

Figura 68.

6. Apartado e.

Figura 69.

7. Apartado f.

Figura 70.


Ejercicio 19. Resuelve algebraicamente:

a) 651331353 ≥→+≥→≥− xxx

b) 284195915 <→<→−<−→+<+ xxxxxx


36

c) 3223532523 −

<→−<→−<+→+>− xxxxxx

d) 1514141523271144232117 −

≥→−≥→−+≥+→+≤+− xxxxxx

e) →≤+−→−≤+− 01078423 22 xxxxx 5,2 ≤≥ xx

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos una inecuación escribiendo “resolver_inecuación” y después, entre paréntesis

la inecuación. Cuando tengamos todo planteado, sólo tenemos que pinchar en el icono ‘=’ y

conoceremos nuestro resultado.

Figura 71.

2. Apartado a.

Figura 72.

3. Apartado b.

Figura 73.


37

4. Apartado c.

Figura 74.

5. Apartado d.

Figura 75.

6. Apartado e.

Figura 76.


Ejercicio 20. Resolver el sistema de inecuaciones siguientes:

−≥+−

>+

32

72042

xxx


38

1.ª inecuación: 242042 −>→−>→>+ xxx . Solución: ),2( +∞−

2.ª inecuación: 452020561443

272 =≤→−≥−→−≥+−→−≥+− xxxxxx

Solución: ( ]4,∞−

Sistema:

−≥+−

>+

32

72042

xxx

Solución: ( ] ( ]4,24,),2( −=∞−∩+∞−

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos un sistema de inecuaciones escribiendo “resolver_inecuación” y a

continuación, en vez de un paréntesis con la inecuación correspondiente, como se trata de

varias, insertaremos una lista vertical. Para ello, pinchamos en el icono ‘Lista vertical’, dentro

de la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas

filas queremos que tenga (o lo que es lo mismo, cuántas inecuaciones tendrá nuestro sistema)

y aceptaremos.

Figura 77.

2. Entonces, tendremos completo el esquema de nuestro sistema; el que rellenaremos con los

datos de nuestro ejercicio.


39

Figura 78.

3. Finalmente obtendremos nuestra solución cuando, después de haber terminado de plantear

el sistema, pinchemos en el icono ‘=’.

Figura 79.


Ejercicio 21. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

≥−<+

0173

xx

1.ª inecuación: 43773 <→−<→<+ xxx . Solución: )4,(−∞ 2.ª inecuación: 101 ≥→≥− xx . Solución: [ )+∞,1 Solución: )4,(−∞ ∩ [ )+∞,1 = [ )4,1

b)

+≤++<−

xxxx

413175332

1.ª inecuación: 853235332 −>→−−>−→+<− xxxxx . Solución: ),8( +∞−


40

2.ª inecuación: 41231134741317 ≤→≤→−≤−→+≤+ xxxxxx . Solución:

( ]4,∞−

Solución: ),8( +∞− ∩ ( ]4,∞− = ( ]4,8−

c)

+≥++<−

xxxx

413175332

1.ª inecuación: 853235332 −>→−−>−→+<− xxxxx . Solución: ),8( +∞− 2.ª inecuación: 41231134741317 ≥→≥→−≥−→+≥+ xxxxxx . Solución:

[ )+∞,4

Solución: ),8( +∞− ∩ [ )+∞,4 = [ )+∞,4

d)

>+≤+−

17230672

xxx

1.ª inecuación: ( )

=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±=

257

224497

1261477 2

x16

==

xx

. Solución:

[ ]6,1

2.ª inecuación: 53

152173 >→>→−> xxx Solución: ( )+∞,5

Solución: [ ]6,1 ∩ ( )+∞,5 = ( ]6,5

e)

<+≤+−752

0672

xxx


=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±=

257

224497

1261477 2

x16

==

xx

. Solución:

[ ]6,1 2.ª inecuación: 122572752 <→<→−<→<+ xxxx Solución: ( )1,∞− Solución: [ ]6,1 ∩ ( )1,∞− = No tiene solución.


41

f)

≤+≤+−752

0672

xxx


=±

=−±

=⋅

⋅⋅−−±=

257

224497

1261477 2

x16

==

xx

. Solución:

[ ]6,1 2.ª inecuación: 122572752 ≤→≤→−≤→≤+ xxxx Solución: ( ]1,∞− Solución: [ ]6,1 ∩ ( ]1,∞− = x=1

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos un sistema de inecuaciones escribiendo “resolver_inecuación” y a

continuación una lista vertical. Para ello, pinchamos en el icono ‘Lista vertical’, dentro de la

pestaña ‘Operaciones’. Entonces, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas filas

queremos que tenga, las rellenamos con nuestras inecuaciones y pinchamos en el icono ‘=’

para conocer el resultado.

Figura 80.

2. Apartado a.

Figura 81.


42

3. Apartado b.

Figura 82.

4. Apartado c.

Figura 83.

5. Apartado d.

Figura 84.

6. Apartado e.

Figura 85.


43

7. Apartado f.

Figura 86.


Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y...

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