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Tema 3. El modelo neoclásico de

crecimiento: el modelo de Solow-Swan

Esquema• Introducción• El modelo neoclásico SIN progreso tecnológico

– La ecuación fundamental del modelo neoclásico– El estado estacionario– Transición al estado estacionario y tasas de crecimiento a

lo largo del tiempo– Una ilustración del funcionamiento del modelo– Distintas políticas de crecimiento recomendadas por el

Banco Mundial– El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de

niveles de renta y de tasas relativas de crecimiento

Esquema• El modelo neoclásico CON progreso tecnológico

– La representación de la tecnología– La ecuación fundamental del modelo– La velocidad de convergencia – La hipótesis de convergencia

• Ampliaciones del modelo neoclásico: capital humano– El modelo de Mankiw, Romer y Weil– ¿Cómo se mide el capital humano?– ¿Qué parte de las diferencias de renta se debe a las

diferencias de educación entre los países?

Introducción

Uno de los hechos del crecimiento económico: la renta per capitacrece a lo largo del tiempo. ¿A qué se debe este crecimiento? ¿Por qué aumenta con el paso del tiempo la renta per capita ?– La primera respuesta la tenemos en la función de producción

agregada:Dada la función de producción agregada: Y=F(K,L), [FK>0; FL>0, FKK<0; FLL<0, Fkl>0] y rendimientos de escala constantes, podemos expresar esta función de forma intensiva: y=f(k) donde y=Y/L , k=K/L.Observamos que la renta per capita aumenta debido a incrementos del capital por trabajador. Pero dado que hay rendimientos decrecientes del capital, la acumulación del capital no podrágarantizar el crecimiento per capita de forma indefinida.– Para que el crecimiento de la renta per capita sea continuado

deben producirse mejoras en la tecnología.

k

y = f(k)

y

k

y y = f(k)’

y = f(k)

Acumulación del capital por trabajador

Mejora en la tecnología

Ideas fundamentales del modelo de Solow-Swan

• Solow muestra que la acumulación de capital físico no puede mantener por sí sola el crecimiento. Dados los rendimientos decrecientes del capital, para mantener un aumento constante de la producción por trabajador es necesario aumentar cada vez mas el capital por trabajador. Llega un momento en el que la sociedad no está dispuesta a ahorrar más (una proporción mayor de la renta) e invertir lo suficiente para mantener el crecimiento delcapital: en ese momento y deja de crecer.

• Solow muestra que, como la acumulación de capital no puede mantener el crecimiento económico de forma indefinida, el progreso tecnológico es la fuerza motriz del crecimiento económico.

• Residuo de Solow: componente del crecimiento no explicado por la acumulación del capital ni por el crecimiento de la fuerza de trabajo.

El modelo neoclásico SIN progreso tecnológico

Objetivo: explicar el papel de la acumulación del capital

i La cantidad de capital determina la cantidad de producción que puede obtenerse.

h La cantidad de producción determina el nivel de ahorro y de inversión y, por lo tanto, el grado de acumulación de capital.

El capital, la producción y el ahorro/la inversiónEl capital, la producción y el ahorro/la inversión

Stock decapital

Producción/renta

Ahorro/inversiónVariación de

stock decapital

Supuestos tecnológicos (condiciones de Inada):• Función de producción agregada continua, con rendimientos

constantes a escala: Y = F(K,L)

• Función de producción en forma intensiva: y = f (k) donde y=Y/L y k=K/L

• El producto marginal del capital es positivo para todos los valores de k:

f´ (k) > 0 para todo k• El producto marginal del capital disminuye cuando el capital

por trabajador aumenta:f´´(k) < 0 para todo k

• Cuando k tiende a infinito, el producto marginal del capital tiende a cero. Y cuando k tiende a cero, el producto marginal del capital tiende a infinito:

• Si no se utiliza capital, la producción será nula, y un valor infinitamente elevado del capital por trabajador se asocia a una producción por trabajador infinitamente grande:

0)(' =∞→

kflimk

∞=→

)('0

kflimk

∞=∞=

)(0)0(

ff

k

y = f(k)

rPMgky

K ==∂∂y

•Productividad marginal decreciente•Sustituibilidad entre los factores•Relación Técnica de Sustitución (RTS) decreciente (sustituibilidad entre los factores a tasas marginales decrecientes)

La función de producción neoclásica de forma intensiva

Otros supuestos:• La tasa de ahorro (bruto) es una proporción s del producto final:

S = sY, 0 < s < 1• La depreciación del capital es constante e igual a

δK, 0 < δ < 1• La tasa de crecimiento de la población n es constante y exógena

y el crecimiento del empleo es igual al crecimiento de la población:

Las tasas de ahorro, de depreciación del capital y de crecimiento de la población (s, δ y n) son constantes y exógenas.

• Mercados de capital y trabajo perfectamente competitivos.

nLL

LdtdL

==.

1

Obtención de la senda de expansión de la economía

• ¿Cómo evoluciona el stock de capital? La acumulación del stock de capital depende de la inversión.

• La identidad S≡IB determina el equilibrio en una economía, a partir del cual podemos obtener la evolución del stock de capital:

KsYKSKIBKdtdKIN δδδ −=−=−===

•

KsYKdtdK δ−==

• Ecuación de acumulación del stock de capital

• Partiendo de la ecuación de acumulación del stock de capital, obtenemos la tasa de crecimiento del stock de capital:

• Partiendo de que k=K/L, obtenemos la tasa de crecimiento de la relación capital-trabajo

δδδδ −=−=−=−=kkfs

ksy

KL

LYs

KYs

KdtdK )(11

nkkfs

LdtdL

KdtdK

kdtdk

−−=−= δ)(111

Ecuación fundamental del modelo neoclásico

knksfdtdkk )()( +−==

•

δ

KsYK δ−=•

Interpretación de la ecuación fundamental del modelo:

• El aumento de capital per capita es igual a la diferencia de dos funciones:– sf(k), curva de ahorro: refleja la cantidad de ahorro per capita

disponible para la inversión. Si aumenta el ahorro por trabajador, aumenta la acumulación de capital por trabajador (“profundización del capital”).

– (n+δ)k, curva de depreciación: es la inversión bruta per capitanecesaria para que la relación capital-trabajo se mantenga constante, dada la tasa de depreciación del capital y el crecimiento del empleo (“ampliación del capital”).

• Como f(0)=0, entonces sf(k) = (n+δ)k en el punto k=0.• Las condiciones de Inada implican que:

– si k=0, f’(k) es muy grande (tiende a infinito) y, por tanto, la curva sf(k) tiene una pendiente mayor que la curva (n+δ)k.

– f’(k) tiende a cero a medida que k aumenta, luego a partir de un punto la pendiente de la curva sf(k) es menor que la pendiente de (n+δ)k , con lo que la curva sf(k) se hace más plana que la curva (n+δ)k y ambas terminan por cortarse.

• f’’(k) <0 implica que ambas curvas se cruzan en un solo punto (ignorando el origen).

• Sea k* el punto en el que estas curvas se cruzan, es decir, en el que se cumple que: sf(k) = (n+δ)k éste es el estado estacionario.

sf(k)

(n+δ)k

k

y = f(k)

Profundización del capitalB

A

k1 k*

yy*

y1

B k1: ahorro e inversión bruta

AB: consumo

El estado estacionario:

Definición: aquella situación en la que todas las variables crecen a una tasa constante o no crecen (trayectoria de crecimiento sostenido).

El valor de k en el estado estacionario es tal que la cantidad de ahorro es la suficiente para cubrir la depreciación y el crecimiento de la población. Es decir, aquel en que

ns

kfk

knksf

+=

+=

δ

δ

)(

)()(

*

*

**

0)()( ** =+−=•

knksfk δ

0=•

k

• Si la economía está en estado estacionario se cumple que sf(k) = (n+δ)k, entonces:

• Si la relación capital-trabajo no aumenta, en el siguiente instante k seguirá siendo k* y en ese punto se cumple otra vez que sf(k) = (n+δ)k y de nuevo

• Y así indefinidamente.• El stock de capital per capita que tiene esta propiedad (k*)

se llama stock de capital per capita de estado estacionario.

0=•

k

0=•

k

¿Qué sucede con las variables del modelo cuando k=k*, es decir cuando la economía

se encuentra en el estado estacionario?

¿Qué sucede con las variables del modelo cuando k=k*, es decir cuando la economía

se encuentra en el estado estacionario?

Se ahorra y se invierte una

cantidad constante s del total de la

cantidad producida

Cuando la economía tiene un stock de capital k*, la cantidad

producida es f(k*), y si se ahorra s de dicha cantidad se obtiene

una cantidad de inversión que es justamente la necesaria para

reemplazar el capital depreciado y para mantener la relación K/L

Esta inversión se utiliza aumentar el stock de capital,

mantener el capital por trabajador y reemplazar el

capital depreciado

Una vez remplazado el capital depreciado no quedan recursos para

incrementar k por lo que este permanece en su

valor k*

Conclusión: la economía no es capaz de aumentar el stock de capital-per capita y permanece así indefinidamente

• En el estado estacionario las variables en términos per capitatienen siempre el mismo valor:– Como el stock de capital per capita en el estado estacionario es

constante, el producto per capita que es función de k también es constante la tasa de crecimiento de y es cero.

– Dado que el consumo per capita es una fracción de y, también se debe cumplir que el consumo en el estado estacionario sea constante y su tasa de crecimiento sea cero.

• Puesto que las variables per capita son constantes en el largo plazo, sus correspondiente valores agregados crecen al mismo ritmo que la población. Esto se puede ver utilizando la definición de variable per capita.

Por ejemplo: K=kL. Tomando logaritmos:logK=logk+logL,

Derivando respecto del tiempo, tenemos que: nLL

KK

=+=..

0gK= gY = gC = n

¿Es estable el estado estacionario?¿Es estable el estado estacionario?

•Si sf(k) = (n+δ)k k e y se mantienen constantesInversión/ trabajador = Depreciación/ trabajador

capital/ trabajador permanece constante

EQUILIBRIO A LARGO PLAZO

•Si sf(k) < (n+δ)k la relación capital-trabajo disminuyeInversión/ trabajador < Depreciación/ trabajador

capital/ trabajador disminuye

•Si sf(k) > (n+δ)k la relación capital-trabajo aumentaInversión/trabajador > Depreciación/ trabajador

capital/trabajador aumenta

sy

(n+δ)k

k

Profundización del capital

sf(k) > (n+δ)k

sf(k) < (n+δ)k

k*

y

Estado estacionario

• En conclusión, la acumulación de capital no es suficiente para mantener una tasa de crecimiento sostenido per capita, siendo la renta per capita constante a largo plazo(en ausencia de progreso tecnológico).

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, y

Tiempo

t

Correspondiente a una tasa de ahorro s

(Sin progreso tecnológico)

y*

Comportamiento de las tasas de crecimiento a lo largo del tiempo

• Sabemos que gK = gY = gC = n• Luego estudiando la tasa de crecimiento del

capital, conoceremos como se comporta la tasa de crecimiento de la renta per capita y la del consumo per capita:

• A)

• B)

knksfk )()( +−=•

δ

)()( nkkfs

kk

+−=

•

δ

sy

k

k*

(n+δ)ky

0>•

k

0<•

k

k0

0 k*k0 k1

Estado estacionario0=

•

k

knksfk )()( +−=•

δ

)()( nkkfs

kk

+−=

•

δ

(n+δ)Curva de ahorro

Curva de depreciación

Tasa de crecimiento: distancia entre las dos

kk*k0

Curva de ahorro Curva de depreciación

Curva de ahorro:

•Decreciente para todo k

•Tiende a infinito cuando k tiende a 0

•Tiende a cero cuando k tiende a infinito

Las dos curvas se cruzan una sola vez: el estado

estacionario existe y es único

)()( nkkfs

kk

+−=

•

δ(n+δ)

kk*k0

•La tasa de crecimiento es positiva para valores de k inferiores a k* y negativa para valores superiores a k*

•La tasa de crecimiento es mayor cuanto más por debajo está la economía del estado estacionario

•Si la economía tiene un capital inicial k0 inferior a k*, la tasa de crecimiento del capital al principio es grande y luego va descendiendo según se aproxima la economía al estado estacionario, en donde la tasa de crecimiento es cero.

•Comportamiento simétrico para un k inicial superior a k*

¿Por qué se produce una caída en la tasa de crecimiento a lo largo de la transición al estado estacionario?

Porque los rendimientos del capital son decrecientes

Se ahorra y se invierte una proporción constante de la renta, lo que hace que los incrementos en el stock de capital sean cada vez menores y se aproximen a cero si el stock de capital es muy grande

Antes de llegar a ese extremo se alcanza un punto en el que los incrementos en el stock de capital cubren la depreciación, siendo este aumento suficiente para mantener el nivel de capital per capitaconstante.

Cada unidad adicional de capital genera un nivel de producción menor

La economía permanece en esta situación para siempre

Supongamos una economía que se encuentra en estado estacionario y experimenta un shock: un aumento permanente en la tasa de ahorro.

Una ilustración del funcionamiento del modelo neoclásico

Inversión s0 f(k)

Inversións1 f (k)

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, y

Capital por trabajador, k

Depreciación por trabajador

Producción por trabajador f(k)y1

B

A

k1k0

y0

D

c

Efectos de diferentes tasas de ahorroEfectos de diferentes tasas de ahorro

donde s1 > s0

E

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, y

Tiempo

y1

y0

t

Correspondiente a una tasa de ahorro s0

Correspondiente a una tasa de ahorro s1 > s0

(Sin progreso tecnológico)

Efectos de diferentes tasas de ahorroEfectos de diferentes tasas de ahorro

En el estado estacionario, los países con una tasa de ahorro superior disfrutarán de una renta per capita mayor

Calcular la respuesta con un ejemplo concretoCalcular la respuesta con un ejemplo concreto

Suponga: LKY =

(Tanto rendimientos constantes de escala como rendimientos decrecientes del capital o del trabajo, siendo la población constante n=0)

LK

LK

LLK

LY

===

LK

LY=

Sustituya porLK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

LKf t

Repaso:LK

LKsf

LK

LK tttt δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−+1

LK

LKs

LK

LK tttt δ−=−+1

LK

LKs

LK

LK tttt δ−=−+1

Los efectos de la tasa de ahorro en la producción en el estado estacionarioLos efectos de la tasa de ahorro en la producción en el estado estacionario

En el estado estacionario es constante y el primer miembro de la ecuación igual a 0. Luego:

LK

LK

LK

s δ=


LK

LK

s δ= Eleve al cuadrado ambos miembros:

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

LK

LK

s δ Divida por y reorganice:LK

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=δs

LK


La producción/trabajador en el estado estacionario:

δδss

LK

LY

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

2

Observación:Observación:

Un aumento de la tasa de ahorro y una reducción de la tasa de depreciación provocan ambos un incremento de y a largo plazo.

LY

LK


Suponga:

En estado estacionario

%;10=sy%10=δ

%20y%10 s ==δ

En estado estacionario

1==LY

LK

2;4 ==LY

LK

Una duplicación de la tasa de ahorro, duplica la producción de estado estacionario. Se trata de un gran efecto.

Efectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorroEfectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorro

Suponga:

•La tasa de ahorro siempre ha sido igual a 0,1.

•Entonces la tasa de ahorro aumenta a 0,2 y se mantiene en este valor indefinidamente.

Entonces:

11)1,0/1,0( 220 ===LK

LK

LKs

LK

LK 0001 δ−=−


1,11 =LK

( ) ]=0,11)1,0[()]1)(2,0[(1 −=−/ L1K

Continuando así sucesivamente todos los años.


(a) Efecto en el nivel de producción por trabajador

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/L

2,00

1,75

1,50

1,25

1,00

Años

Efectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorroEfectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorroTa

sa d

e cr

ecim

ient

o de

la p

rodu

cció

n po

r tra

baja

dor,

% (b) Efecto en el crecimiento de la producción

Años

Dos políticas que recomienda el Banco Mundial a los países pobres (basadas en el modelo neoclásico)

• Aumento de la tasa de ahorro e inversión

• Disminución del crecimiento de la población

(n+δ)

kk**k*

No se pueden generar aumentos permanentes de renta per capitaa largo plazo con políticas de ahorro e inversión

Tasa de crecimiento inicial

•Aumenta la renta per capita a largo plazo, pero hay que tener en cuenta la paciencia o impaciencia de los individuos y la ineficiencia (regla de oro

más adelante)

•Un aumento de s genera crecimiento a corto plazo y aumenta el stock de capital per capita en el estado estacionario pero no aumenta la tasa de crecimiento a largo plazo, que será cero en el nuevo estado estacionario. No puede aumentarse el crecimiento con aumentos sucesivos de la tasa de ahorro. Límite: la tasa de ahorro igual a 1. En ese momento la economía converge a un estado estacionario del que no se puede escapar.

sy

(n+δ)k

kk*

y

Un aumento en el crecimiento de la población

k**

(n’+δ)k

(n+δ)

kk**k*

No se pueden generar aumentos permanentes de renta per capita a largo plazo con descensos permanentes de la tasa de

crecimiento de la población

Tasa de crecimiento inicial

•Una reducción de n implica tasas de crecimiento positivas en el momento inicial, pero a medida que el capital aumenta la tasa de crecimiento disminuye y la economía llega finalmente al estado estacionario, donde la tasa de crecimiento es nula.

•No pueden generarse tasas de crecimiento a largo plazo a base de reducciones sucesivas de n ya que la población podría extinguirse (envejecimiento).

•Es probable que el deseo de las familias no sea tener pocos hijos, lo que pone en cuestión la optimalidad de estas políticas

(n’+δ)

El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de renta y de las tasas de crecimiento

• Sabemos que en estado estacionario:

• Supongamos que la función de producción intensiva es y=kα. Entonces:

• Despejando:

0*)(*)( =+−=•

knksfk δ

α

δ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

11

*n

sk

*)(*)( knks += δα

αα

δ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

1*

nsy

• Consideremos dos países que representamos por medio de i y de j (suponemos que ambos están en estado estacionario) :

• Supongamos que ambos tienen las mismas tasas de depreciación y de crecimiento de la población.Entonces:

• Predicciones cuantitativas:

αα

δ

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+=

1

*ini

isiy

El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de los niveles de renta

αα

δ

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

1

*jnj

js

jy

αα−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1

*

*

jsis

jyiy

2405,020,0

*

*212

1

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

jyiy

• Supongamos ahora que ambos tienen las mismas tasas de depreciación y de ahorro.Entonces:

• Predicciones cuantitativas:

• Resultado: las diferencias de renta entre los países que predice el modelo son menores que las diferencias observadas en la realidad. ¿Causas? Hay otros elementos que influyen en la renta de los países que no están incluidos en el modelo y puede que los países no se encuentren en su estado estacionario.

αα

δ

δ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

1

*

*

injn

jyiy

34,100,005,004,005,0

*

* 21

≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=jyiy

• No da una explicación completa a las tasas de crecimiento, ya que una vez que un país alcanza el estado estacionario ya no crece más.

• Pero sí puede decir algo sobre las tasas relativas de crecimiento: ¿por qué unos países crecen más deprisa que otros? La clave es analizarlos fuera del estado estacionario convergencia.

El modelo neoclásico como teoría de las diferencias de las tasas de crecimiento de la renta

• Predicciones:– Si dos países tienen la misma tasa de inversión pero

diferentes niveles de renta, el que tenga menos renta crecerá más.

– Si dos países tienen el mismo nivel de renta pero diferentes tasas de inversión, el que tenga la tasa de inversión más elevada crecerá más.

– Un país que eleve su tasa de inversión aumentará su tasa de crecimiento de la renta.

• Esto se cumplirá si no existe ninguna otra diferencia entre los países en cuanto a su nivel de productividad o de los otros determinantes del estado estacionario.

• Si la función de producción es neoclásica, no solamente existe un punto en el que la economía deja de crecer, sino que además la economía se acerca a este punto a largo plazo, la economía deja de crecer.

• Esto significa que el crecimiento a largo plazo no se puede alcanzar invirtiendo una fracción constante de la producción.

• Este resultado no concuerda con la realidad, ya que la experiencia de muchos países que han crecido en los últimos 200 años muestra que es posible crecer a largo plazo.

Conclusiones del modelo neoclásico sin progreso tecnológico

El modelo neoclásico CON progreso tecnológico

Mayor producción con unas cantidades dadas de capital y trabajoMejores productosNuevos productosMás tipos de productos

Definición: Todo aquello que permite que con la misma cantidad de factores productivos se pueda obtener mayor cantidad de producción (si pensamos en la producción como el conjunto de servicios subyacentes que prestan los bienes producidos en la economía) todo lo que desplaza la función de producción hacia arriba.

El progreso tecnológico y la función de producciónEl progreso tecnológico y la función de producción

Las dimensiones del progreso tecnológicoLas dimensiones del progreso tecnológico

Representación del progreso tecnológico

•Progreso tecnológico incorporado: se produce cuando se renuevan los factores productivos•Progreso tecnológico no incorporado: se produce con el simple paso del tiempo

*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod Y=F(K,AL)*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Solow: Y=F(AK,L)*Progreso tecnológico neutral en el sentido de Hicks: Y=AF(K,L)

+++=

,,),,( ALKFY Dados K y L, una mejora del estado

de la tecnología (A) genera un aumento de la producción (Y).

Ejemplo: función de producción Cobb-Douglas

Progreso tecnológico neutral según Harrod (aumenta la eficiencia del trabajo)

Progreso tecnológico neutral según Solow (aumenta la eficiencia del capital)

Progreso tecnológico neutral según Hicks (aumenta tanto la eficiencia del trabajo como la del capital)

αα −== 1),( LKLKFY

αα −= 1)(ALKY

αα −= 1)( LAKY

αα −= 1LAKY

),( ALKFY =Siendo L^≡≡AL el trabajo en unidades de eficiencia o el “trabajo efectivo”

Dos interpretaciones:

•Dado K, el progreso tecnológico reduce el número detrabajadores necesarios para conseguir una determinada cantidad de producción (Y).

• Dado K, el progreso tecnológico aumenta AL (es como si la economía tuviera más trabajadores).

•Nota: La existencia de estado estacionario con el modelo de Solow sólo es compatible con el progreso tecnológico neutral en el sentido de Harrod.

Interpretación de una representación de la tecnología que aumenta la eficiencia del trabajo

Supuesto del modelo neoclásico: el progreso tecnológico A crece a una tasa constante (gA).

Por lo tanto, las tasas de ahorro, de depreciación del capital, de crecimiento de la población y del progreso tecnológico (s, δ, n y gA) son constantes y exógenas. La tasa de crecimiento del trabajo efectivo (AL) es gA+n.

Nota: que la tecnología sea exógena quiere decir que la tecnología aumenta sin necesidad de que ningún miembro de la economía dedique esfuerzos o recursos para que ésta aumente.

gteAAgAA

AdtdA

A 01

=⇔==

•

• Función de producción en unidades de eficiencia del trabajo:

• Ecuación de acumulación:

• Dividimos por K y multiplicamos y dividimos el primer término de la derecha por AL:

)()1,(),(),( ^^

^

^

^^

^

kfkFL

L

L

KFL

LKF===

KsYK δ−=•

δδδδ −=−=−=−=

•

^

^

^

^ )(1

k

kfsk

ysKAL

ALYs

KYs

KK

• Ahora obtenemos la tasa de crecimiento de la relación capital-trabajo efectivo (k^=K/AL, y^=Y/AL):

Ecuación fundamental del modelo neoclásico con progreso tecnológico

)()(1111^

^

^

^

Agnk

kfsAdt

dALdt

dLKdt

dK

kdtdk

++−=−−= δ

^^^

)()( kgnksfdt

kdA++−= δ

Interpretación de la ecuación fundamental• El stock de capital en unidades de eficiencia es la

diferencia entre dos términos:– sf(k^) es la inversión realizada por unidad de trabajo

efectivo– (n+gA+δ)k^ es la depreciación o inversión de

reposición. Hay dos razones por las que se necesita un determinado nivel de inversión para evitar que k disminuya:

• El capital se deprecia• La cantidad de trabajo efectivo crece a una tasa (n+gA) de

manera que la inversión necesaria para mantener el stock de capital en unidades de eficiencia (k^) debe ser igual a (n+gA)

sy^

(n+δ+gA) k^

k^

sf(k^) > (n+δ+gA)k^

sf(k^) < (n+δ+gA)k^

k ^ *

y^

Estado estacionario

sy^ *

Estado estacionario• Existe un único stock de capital (k^) de estado estacionario

constante k^ * y la tasa de crecimiento de dicho stock de capital es cero: gk^= 0

• En el estado estacionario el producto por unidad de trabajo eficiente y^ * también es constante y su tasa de crecimiento es cero: gy^= 0

• El consumo por unidad eficiente de trabajo es constante c^* y su tasa de crecimiento es cero: gc^= 0

• Luego en el estado estacionario, las variables fundamentales para el modelo en unidades de eficiencia crecen a una tasa igual a cero (PERMANECEN CONSTANTES):

gk^= gy^ = gc^ = 0

Si conocemos cómo crece en el estado estacionario el stock de capital per capita, es posible conocer cómo crece la renta per capita y el consumo per capita:

Dado que por definición: k^=K/ALEntonces: k^=k/ALlegamos a: k= Ak^

Tenemos que la tasa de crecimiento del stock de capital per capita será: gk=gA+0=gADe la misma manera, la renta per capita crece a una tasa igual a gA y el consumo per capita crece a una tasa igual a gA. Es decir, las variables en términos por trabajadorcrecen a la tasa de progreso tecnológico:

gk= gy= gc= gA

• Si representamos la producción per capita en una escala logarítmica, obtenemos una línea recta cuya pendiente corresponde a la tasa de progreso técnico y cuya abscisa es el nivel de renta inicial. Dos países iguales que difieran sólo en gA se encontrarán en dos rectas distintas.

Log

de p

rodu

cció

n po

r tra

baja

dor,

y

Tiempo

Correspondiente a una tasa de ahorro s

(Con progreso tecnológico)

Pendiente: gA

También es posible conocer cómo crece la producción y el capital total:

Dado que por definición: y^=Y/AL

Y que en el estado estacionario y^ es constante, entonces la producción debe crecer a la misma tasa que el trabajo efectivo: gY=gA+nY lo mismo sucede con el capital. Luego, tanto la producción total como el capital total y el trabajo efectivo crecen a la misma tasa:

gK = gY = gA+ n

Dinámica del ajuste

•Si k^< k^*, la inversión es superior a la de reposición, de modo que k^ está creciendo

•Si k^> k^*, la inversión es inferior a la de reposición, de modo que k^ está descendiendo

•Si k^=k^* la inversión es igual a la de reposición y k no crece

Por lo tanto, independientemente de cual sea su posición inicial, k^ converge a k^*

k ^

0^>•

k

0^<•

k

0k^ *k^

0k^

1

^•

k

Dinámica de k ^ en el modelo de Solow

(n+δ+gA)

k ^k ^ *k^0

)()(1^

^

^

^

Agnk

ksf

kdtkd

++−= δ

Tasa de crecimiento del stock de capital en unidades de eficiencia: distancia entre las dos curvas

Curva de ahorro

Curva de depreciación

Conclusiones del modelo neoclásico con progreso tecnológico

• El modelo recurre a las diferencias en las tasas de ahorro (inversión) y en las tasas de crecimiento de la población y de la tecnología para explicar las diferencias en la producción per capita entre los países: un país es más rico que otro porque tiene una tasa de ahorro mayor, una tasa de crecimiento de la población inferior y/o un progreso técnico más elevado. Los dos primeros elementos permiten acumular más capital por trabajador, mientras que el tercero permite que la misma cantidad de factores produzca más. Todo ello eleva la productividad del trabajo.

• Las diferencias en las tasas de crecimiento entre países pueden explicarse por diferencias (sin modelar) en el progreso técnico y/o recurriendo a la dinámica de transición (los países se encuentran en distintas fases en su camino hacia el mismo estado estacionario o tienen distintos estados estacionarios) convergencia.

• La economía sólo puede tener crecimiento económico sostenido a largo plazo si la tecnología crece. Pero ¿cómo puede mantenerse y aumentar la tasa de crecimiento de la tecnología? El problema es que el progreso técnico en el modelo es exógeno, está dado, es decir, no surge de la inversión en I+D de las empresas ni del esfuerzo investigador de la sociedad, y no se explica de dónde surge: el progreso técnico aumenta constantemente pero no se explica porquéni cómo.

• Pero es que además el progreso técnico debe ser exógeno (para ser incorporado al modelo).

Un problema grave : el progreso tecnológico DEBE ser exógeno

• Una de las características de la función de producción neoclásica es que presenta rendimientos constantes de escala en los factores rivales según el teorema de Euler, se cumple que:

• Dado que otro de los postulados neoclásicos es que se supone competencia perfecta, sabemos que:

• Esto significa que una vez que paga el salario al trabajo y la renta al capital el producto de la economía se acaba: no queda nada para financiar el progreso tecnológico ES NECESARIO suponer que el progreso tecnológico es exógeno.

LFL

KFKALKF

∂∂

+∂∂

=),,(

wLrKALKF +=),,(

• Recomendación: si se quiere construir un modelo que explique el crecimiento a largo plazo, deben abandonarse algunos de los supuestos neoclásicos (la función de producción no presenta rendimientos constantes de escala, no hay competencia perfecta, el progreso tecnológico no es exógeno o algún otro supuesto).

A pesar de no ser una teoría satisfactoria del crecimiento a largo plazo, el modelo neoclásico ofrece unas explicaciones interesantes de la transición al estado estacionario:– ¿Cuál es la rapidez con que la economía evoluciona durante la

transición hacia el estado estacionario?– ¿Se produce una convergencia entre economías con diferentes

características?

La velocidad de convergencia al estado estacionarioDefinimos la velocidad de convergencia como el

cambio en la tasa de crecimiento cuando el capital aumenta un 1 por ciento. Dos formas de obtenerla:

* Primera

Como Akα-1 puede escribirse como Ae(α-1)log(k):

Derivando esta expresión con respecto a log(k):

)(1 nsAkgk +−= − δα)()( nkkfs

kk

+−=

•

δ αAkkfSi =)(

)()log()1( nsAeg kk +−= − δα

[ ] )1()log()1(* )1()1()ln(

* −− −=−−=∂∂

≡ αα αα sAksAek

gv kk

Como sabemos que en el estado estacionario:

Entonces, la velocidad de convergencia disminuye a lo largo de la transición hasta alcanzar el valor

• Nota: si consideramos el progreso tecnológico, la velocidad de convergencia sería:

nksA +=− δα )1(*)(

))(1(*)ln(

* * nk

gv k +−=∂∂

≡ δα

))(1(*)ln(

* * gnk

gv k ++−=∂∂

≡ δα

* Segunda

Sabemos que xα-1 = e-(1-α) ln x y mediante una aproximación de Taylor de primer orden alrededor de ln k* tenemos:

Sabemos que en el estado estacionario:

Por lo que tenemos que:

)(1 nsAkgk +−= − δα

[ ]*)ln()ln()1( *)ln()1( kksAeg kk −−−= −− αα

nsAe k +=−− δα *)ln()1(

[ ]*)ln()ln())(1( kkngk −+−−= δα

)()( nkkfs

kk

+−=

•

δ αAkkfSi =)(

• La velocidad de convergencia es la parte de la distancia entre la situación de la economía y el estado estacionario (ln k-ln k*) que se recorre en cada unidad de tiempo:

• El tiempo que tarda la economía en llegar al estado estacionario es:

• Luego cuanto mayor sea δ y n y cuanto menor sea α más rápido será el proceso de convergencia al estado estacionario

))(1(*)ln(

* * nk

gv k +−=∂∂

≡ δα

))(1(1ln*lnln*ln* 0

00 ngkktktgkekk

kk

tgk

+−=

−=⇒+=⇒=

δα

[ ]*)ln()ln())(1( kkngk −+−−= δα

• La velocidad de convergencia que predice el modelo para los países industrializados se sitúa en torno al 8 por ciento anual. Esto implica que la mitad de la distancia existente entre k0 y k* desaparece en unos nueve años.

• Cuando la participación del capital tiene en cuenta una definición más amplia (incluyendo el capital humano), es decir, con un α=0,80, la velocidad de convergencia se sitúa en 2,2 por ciento. En este caso, la mitad de la distancia existente entre k0 y k* se cubriría en 32 años.

Hipótesis de la convergencia absoluta y condicional

• En el modelo neoclásico, la tasa de crecimiento de una economía es decreciente: si las economías se diferenciasen únicamente en el stock de capital por trabajador, deberíamos observar que los países pobres tienen mayores tasas de crecimiento que los ricos. Según la ecuación fundamental, la tasa de crecimiento de k que está inversamente relacionada con k:

• Puesto que la tasa de crecimiento de la renta per capita es proporcional a la tasa de crecimiento del capital per capita, el modelo predice una relación negativa entre su renta inicial y su tasa de crecimiento, lo que se conoce como hipótesis de convergencia.

)()( nkkfs

kk +−=•

δ

• El modelo sólo predice la existencia de una relación negativa entre la renta inicial y la tasa de crecimiento en el caso en el que la única diferencia entre los países sea el stock de capital inicial.

• Si los países difieren en n, s o δ, el modelo no predice que los países más pobres tengan tasas de crecimiento superiores y, por tanto, no predice que vaya a haber convergencia.

• En este caso podemos hablar de convergencia condicional: la tasa de crecimiento de una economía está directamente relacionada con la distancia a la que se sitúa de su estado estacionario:

dado el estado estacionario, cuanto mayor sea el nivel de ln k menor será la tasa de crecimiento

Como los estados estacionarios pueden variar de unos países a otros, no es necesario que los países converjan uno con otro: el modelo predice convergencia después de tener en cuenta los elementos determinantes del estado estacionario.

[ ]*)ln()ln())(1( kkngk −+−−= δα

Extensiones del modelo de Solow

•Varios factores productivos acumulables•Movilidad internacional del capital•Migraciones•Recursos naturales y crecimiento económico

Varios factores productivos acumulables: el papel del

capital humano(Mankiw, Romer y Weil, 1992)

Supongamos

•Tres factores de producción: capital físico, capital humano y trabajo

•Una función de producción neoclásica (Cobb-Douglas por simplicidad):

•Inversión en bienes de equipo: SKt=sKYt, 0<sK<1

•Inversión en educación: SHt=sHYt, 0<sH<1

•Depreciación del capital físico: δKKt, 0<δK<1

•Depreciación del capital humano: δHHt, 0<δH<1

•Tasa de crecimiento de la población

•Crecimiento de la productividad de los factores:

1,,0,)( 1 <+<= −− βαβαβαβαttttt LAHKY

nLL

LdtdL

==.

1

AgAA

AdtdA

==

.1

• Definimos, las variables en términos per capita y en unidades de eficiencia

• Y por tanto la función de producción puede escribirse como:

LAHh

LAKk

LAYy

t

tt

tt

tt

tt

tt ===

^^^,,

βαtt

tt

tt hk

LAYy

^^^==

• La inversión en cada uno de los factores de producción acumulables nos permite calcular las tasas de crecimiento de esos factores:

KttKKt

tt

tt

tKK

t

tK

t

t hksK

LALA

YsKYs

KdtdK δδδ

βα −=−=−= −

^1

^1

HttHHt

tt

tt

tHH

t

tH

t

t hksH

LALA

YsHYs

HdtdH δδδ βα −=−=−= −1

^^1

• Las tasas de crecimiento de la relación capital-trabajo y del capital humano per capita en unidades de eficiencia son:

)(1111 ^1

^

^

^

AgnhksAdt

dALdt

dLKdt

dK

kdtkd

KttKt

t

t

t

t

t

t

t ++−=−−= − δβα

)(1111 1^^

^

^

AgnhksAdt

dALdt

dLHdt

dH

hdthd

HttHt

t

t

t

t

t

t

t ++−=−−= − δβα

Estas dos ecuaciones diferenciales son muy similares a las obtenidas a lo largo de este capítulo y siguiendo los mismos pasos puede probarse que existe una senda de crecimiento equilibrado o estado estacionario en el cual se cumple que:

• La relación capital-trabajo, el capital humano percapita y el producto per capita en unidades de eficiencia son constantes y dependen:• Positivamente de las tasas de ahorro, sK y sH, • Negativamente de las tasas de depreciación, δK y δH, de la

tasa de crecimiento de la población, n, y de la tasa de crecimiento de la productividad de los factores, gA.

)1/(11^*

βαββ

δ

−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=

Agnssk

K

HK)1/(11^

*βααα

δ

−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=

Agnssh

H

HK

• Las tasas de crecimiento del producto, del capital físico y del capital humano son iguales a n+gA y, por consiguiente, las tasas de crecimiento del producto percapita, del capital físico por trabajador y del capital humano per capita son iguales a la tasa de crecimiento de la productividad de los factores, gA.

• Este modelo ampliado es una forma de argumentar que la participación del capital relevante es mayor que la participación del capital físico: es lo que se requiere para que los datos apoyen empíricamente la hipótesis de la convergencia y el modelo neoclásico.

• Una forma alternativa de introducir el capital humano en el modelo es suponer que, en vez de acumularse de la misma forma que el capital físico (y, por tanto, medirse en unidades de producción), se acumula mediante el tiempo que las personas dedican a acumular habilidades (y, por tanto, se mide en años) véase Lucas (1988).

¿Cómo se mide el capital humano?

• Un posible método se explica en el libro de Weil (2006), capítulo 6.

• Consiste en utilizar información sobre:– Distribución de la población según años de

estudio (niveles de estudio).– Salario de las personas de cada nivel de

estudios en relación con el de los trabajadores que no tienen estudios.

¿Qué parte de las diferencias de renta entre países se debe a diferencias en la

educación?

• Supongamos que la función de producción es:

• h representa la cantidad de trabajo por trabajador y está relacionada con el nivel de educación:

αα −= 1)(hLAKY

ααα −−= 11 LAKhY

• En estado estacionario:

• Consideremos dos países y supongamos que ambos tienen las mismas tasas de inversión, depreciación, crecimiento de la población y los mismos niveles de productividad.Entonces:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−−

−−− α

α

ααα

αα

δδ1

111

11

1 )(*n

sAhn

sAhy

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

jhih

jyiy

*

*

• Utilizamos el nivel medio de estudios de cada país para construir una medida de h en relación con un país que no tiene ningún nivel de estudios.

• Supongamos que el país i tiene un nivel medio de estudios de 12 años y el país j de 2 años. Llamemos ho al nivel de trabajo por trabajador en un país que no tiene ningún nivel de estudios:

• Predicciones cuantitativas (el país i tienen un nivel medio de estudios de 12 años y el país j de 2 años):

00444 ·16,3·)068,1·()101,1·()134,1( hhhi ==

47,2·29,1·16,3

*

*

0

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

hh

jyiy

002 ·29,1·)134,1( hhhj ==

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