Tema 3Equivalencia. Formas normales.

Logica Proposicional

Antonio de J. Perez Jimenez

Departamento Ccia.

Logica Informatica

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 1 / 7

Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:

• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Equivalencia logica

A, B ∈ PROP son equivalentes, A ≡ B, si para toda v, v(A) = v(B).

Proposicion. Sean A, B ∈ PROP. Se tienen las siguientes equivalencias:• Idempotencia: A ∨ A ≡ A ; A ∧ A ≡ A

• Conmutatividad: A ∨ B ≡ B ∨ A ; A ∧ B ≡ B ∧ A

• Asociatividad:

{A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ CA ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C

• Absorcion: A ∨ (A ∧ B) ≡ A ; A ∧ (A ∨ B) ≡ A

• Distributividad:

{A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C )A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C )

• Doble negacion: ¬¬A ≡ A

• Leyes de De Morgan:

{¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• Leyes de tautologıa: A tautologıa: A ∧ B ≡ B ; A ∨ B ≡ A

• Leyes de inconsistencia: A insatisfactible: A ∧ B ≡ A ; A ∨ B ≡ B

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP. Indicaremos por B{A/A′} a la proposicionque resulta de sustituir en B cada ocurrencia de la subformula A por A′. Si A noes subformula de B, entonces B{A/A′} es B.

Teorema de sustitucion. Sean B,A,A′ ∈ PROP.Si A ≡ A′ entonces B{A/A′} ≡ B.

Nota: El teorema de sustitucion y las propiedades de equivalencia nos permiten

comprobar, con tecnica algebraicas, cuando dos formulas son equivalentes.

Por ejemplo: A ∧ (B → A) ≡ A ∧ (¬B ∨ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ A ≡ A

Formas normalesUn literal es un sımbolo proposicional o su negacion.

Definicion. Una formula esta en forma normal conjuntiva, f.n.c., cuando es unaconjuncion de disyuncion de literales.

Una formula esta en forma normal disyuntiva, f.n.d., cuando es una disyuncion deconjuncion de literales.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales

Teorema. Toda formula proposicional es equivalente a una formula en f.n.c. y auna formula en f.n.d.

Procedimiento (demostracion) para pasar F ∈ PROP a una f.n.c.:

1) Traducir → y ↔ en terminos de ∨, ∧, ¬.

2) Trasladar las negaciones hasta que aparezcan asociadas a literales (usando lasleyes de De Morgan).

3) Eliminar dobles negaciones (usando: ¬¬A ≡ A).

4) Aplicar la distributividad de ∨ respecto de ∧, hasta obtener una formula enf.n.c.

Para obtener una formula en f.n.d. seguimos el mismo algoritmo, pero en el paso4) utilizamos la distributividad de ∧ respecto de ∨.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)

1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)

1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)

2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)

3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)

4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)

4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))

≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 5 / 7

Formas Normales. Ejemplo

Ejemplo:

Pasar a f.n.c. la formula: (¬p → ¬q) → (p → q)

(¬p → ¬q) → (p → q)1)≡ (¬¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q)1)≡ ¬(¬¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)2)≡ (¬(¬¬p) ∧ ¬(¬q)) ∨ (¬p ∨ q)3)≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) (∗)4)≡ (¬p ∨ (¬p ∨ q) ∧ (q ∨ (¬p ∨ q))≡ (¬p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (q ∨ ¬p ∨ q)

(*) Observese que (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p) ∨ q esta ya en f.n.d.

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}

1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}

0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Pares complementarios. Satisfactibilidad

Un par complementario es un conjunto de formulas {A, ¬A}.Lema . Si L1, . . . , Lk son literales, entonces

1) L1 ∨ · · · ∨ Lk es tautologıa si y solo si {L1, . . . , Lk} contiene un parcomplementario.

2) L1 ∧ · · · ∧ Lk es satisfactible si y solo si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun parcomplementario.

[Indicaciones: para la demostracion de 1):

* Si {L1, . . . , Lk} no contiene ningun par complementario, la formula no sera unatautologıa pues podemos definir una valoracion v : SP → {0, 1} que sea nula sobre cadaliteral:

v(p) =

8<:

0 si p ∈ {L1, . . . , Lk}1 si ¬p ∈ {L1, . . . , Lk}0 en otro caso.

** Si {L1, . . . , Lk} contiene un par complementario, (p.e. Li y Lj), basta observar que

para cada valoracion, v, v(Li ) = 1 o v(Lj) = 1

El apartado 2) se demuestra de forma analoga].

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Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:

1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literalescomplementarios.

2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par deliterales complementarios.

Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

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Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.

2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par deliterales complementarios.

Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

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Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de

literales complementarios.Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

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Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de

literales complementarios.Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

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Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de

literales complementarios.Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7

Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de

literales complementarios.Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7

Satisfactibilidad en formas normales

Proposicion. Sean C1, . . . ,Cn ∈ PROP conjunciones de literales yD1, . . . ,Dm ∈ PROP disyunciones de literales. Entonces:1) C1 ∨ · · · ∨ Cn es insatisfactible si y solo si cada Cj contiene un par de literales

complementarios.2) D1,∧ · · · ∧ Dn es una tautologıa si y solo si cada Dj contiene un par de

literales complementarios.Ejemplos:

1 (p ∨ q ∨ r ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ p) ∧ (s ∨ r ∨ q ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Cada disyuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es una tautologıa.

2 (p ∨ q ∨ r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬q ∨ p ∨ s) ∧ (q ∨ r ∨ s ∨ ¬r)es una formula expresada en f.n.c. Sin embargo, la primera disyuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es una tautologıa.

3 (r ∧ q ∧ s ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (r ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Cada conjuncion de literales posee un parcomplementario. Por tanto es insatisfactible.

4 (q ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ s ∧ ¬q ∧ r ∧ p) ∨ (s ∧ q ∧ ¬r)es una formula expresada en f.n.d. Sin embargo, la tercera conjuncion deliterales no posee un par complementario. Por tanto no es insatisfactible.

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 3 Equivalencia. Formas normales. LI-06/07 7 / 7