Tema 3. Semejanzas y escalas

Tengo dos hijas, María y Ana. A una le gusta dibujar y a otra no. Pero cuando fuimos a ver París, y enconcreto la Torre Eiffel, las dos querían hacer un dibujo de la famosa torre.

Para ello, les saqué un dibujo de internet, para que tuviesen una imagen desde la que copiar la figura de latorre. La imagen que les dí, es la siguiente:

http://www.paraconocer.com/cumplio-anos-la-torre-eiffel/

bajo licencia de creative commons

Al rato vinieron mis hijas con sus dibujos. María, la mayor, realizó el dibujo de la izquierda, mientras que mihija pequeña, Ana, hizo el de la derecha.

Evidentemente, una es más igual que la otra a la Torre Eiffel. La de la izquierda casi que podríamos quedecir que es igual, bueno igual no, tiene las mismas proporciones, la misma forma, los mismos ángulos, esosi, tienen distinto tamaño; pues bien matemáticamente a esas dos figuras que son iguales pero de distintotamaño, les llamamos semejantes.

Hace algunos años, concretamente en el año 1992, en Sevilla se celebró la Expo Universal. Para tal eventose eligió una mascota, cuyo nombre fue Curro. Hemos tomado una imagen de Curro, y hemos jugado unpoco con sus dimensiones, o con sus proporciones, deformando en algunos casos la imagen de la mascota,para que comprendas que es eso de ser semejante. Veamos las imágenes:

http://lacomunidad.elpais.com

bajo licencia de creativecommons

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Como ves, la primera, la segunda y la tercera imagen son iguales, una más pequeña y otra más grande, esoquiere decir que con semejantes. Pero la cuarta y la quinta foto están deformadas, son distintas, una estáalargada, y otra achatada, y en las dos la figura que vemos no tiene las mismas proporciones, la mismaforma que Curro, ya no son semejantes a las anteriores. Como ves, el concepto de semejanza es bastanteintuitivo. Espero que lo hayas entendido, para comprobarlo vamos a hacer una autoevaluación.

La Junta de Andalucia tiene un sistema operativo informático propio desarrollado en lapropia Andalucía a partir del sistema operativo Ubuntu. El sistema operativo se llamaGuadalinex, y según los entendidos es de los mejores sistemas operativos que existen. Sehan realizado siete versiones mejorando en cada una la anterior. Cada versión tiene unamascota asociada, una imagen para darse a conocer. En la última versión, la V7, la mascotaes un lince, que se puede ver más abajo.

Observa las imágenes del lince de más abajo y decide cuáles son semejantes al lince dearriba y cuáles no.

Pregunta de Selección Múltiple

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1. Semejanza en figuras planas

Semejanza de triángulos.

A la hora de tratar en las figuras planas que hemos estudiado en el tema 1 de esta unidad de Geometría, lascosas siguen siendo tan sencillas como se ha visto en el punto 1. Dos triángulos van a ser semejantes sitienen la misma forma, es decir si son exactamente iguales de forma aunque de diferente tamaño.

Como ves, los dos primeras imágenes son iguales, una más grande que otra, pero la tercera no, porque laforma ha cambiado.

Pero a veces es difícil decidir si una imagen es semejante a otra porque la vista nos puede engañar. ¿Cómopodemos comprobarlo? Sólo hay que seguir el criterio que tienes a continuación:

Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales.

Por ejemplo:

Hemos medido la longitud de los lados, y vemos que los lados del segundo triángulo son el doble que los delprimero.

Cuando al dividir cada lado de un triángulo entre el que le corresponde del otro triángulo nos da el mismonúmero, entonces los triángulos son semejantes.

3:1,5 = 2

4 : 2= 2

Este número, el 2, recibe el nombre de razón de semejanza . El nombre de razón viene porque essinónimo de división, es decir división y razón es lo mismo.

Semejanza de polígonos.

Para comprobar que dos polígonos son semejantes, lo que hacemos es lo mismo de antes. Nuestraobservación es importante pero debemos hacer una comprobación matemática:

Dividimos las longitudes de cada lado de uno de los polígonos entre los que le corresponden del otro y siobtenemos el mismo resultado, entonces serán semejantes, y ese número será la razón de semejanza.Veamos un ejemplo.

Como ves, los pentágonos son iguales, y al dividir cada lado por el que le corresponde, tenemos que ladivisión nos sale 2. La razón de semejanza es 2, y los pentágonos son semejantes .

Comprueba si las siguientes figuras son semejantes. En tal caso, calcula la razón de semejanzas:

Solución:

Vamos a dividir los lados que se corresponden:

como ves,

siempre obtenemos lo mismo, ya que son semejantes. La razón de semejanza es aproximadamente 1,22

En los ejercicios siguientes, elige la opción correcta.

a) No son semejantes.

b) Son semejantes, y la razón de semejanza es 2.

Pregunta de Elección Múltiple

Observa los siguiente triángulos y elige de nuevo la respuesta correcta.

a) No son semejantes.

b) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 2.

c) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 2,33.

Elige ahora, observando estos hexágonos.

a) No son semejantes.

b) Son semejantes, y la razón vale 2.

c) Son semejantes, y la razón de semejanza vale 1,94.

Observa la imagen azul, y elige de entre las siguientes la imagen roja que sea semejante, ypero que además su razón de semejanza sea 2, esto es, que sus proporciones sean el dobleque la de azul; o sea, sus medidas o dimensiones sean el doble, si un lado de la azul mide 1cuadrito, el lado del rojo debe medir 2 cuadritos.

Pregunta de Elección Múltiple

2. Escalas

Dentro de las semejanzas hay tres aplicaciones importantes en la vida cotidiana, que son: losmapas, los planos y las maquetas.

Para ello es necesario conocer un concepto, la escala.

La escala de un mapa, plano o maqueta es la razón de semejanza de la figura real y larepresentada.

Vamos algunas imágenes de mapas, planos y maquetas que son semejanzas, donde se vea su escala.

Empecemos por el mapa que nos ofrece Google-Maps de Almería y los pueblos colindantes.

imagen tomada de Google-Maps

Abajo a la izquierda ves una barra que pone 1 km, y un espacio de un 1 centímetro. Eso quiere decir quecada trocito del mapa que mida 1 centímetros mide 1 km en la realidad. O sea, si medimos una distancia enel mapa de 4 cm, en la realidad serán 4 km. Y si en la realidad dos pueblos están a 7 km, en nuestro mapamediríamos 7 cm.

Otra manera de dar la escala de un mapa es la del siguiente gráfico, que representa la isla de Costa Rica

Actividad

http://www.mopt.go.cr/ign/IGN-Mapas-Guias.html

bajo licencia de creative commons

Como vemos en el mapa, la Escala es 1:200.000, que quiere decir que 1 cm del mapa representa a 200.000cm en la realidad, o sea, 2000 metros, o bien, 2 km. Si por ejemplo, en nuestro mapa una distancia es de 4cm, tenemos que en realidad será 200.000·4 = 800.000 cm = 8000 m = 8 km. Así, si en la realidadtenemos dos ciudades a 20 km, o sea, 20 km = 20.000 m = 2.000.000 cm, dividiendo lo que mide en larealidad entre la escala, serán en nuestro mapa: 2.000.000 : 200.000 = 10, luego 10 cm en el mapa.

Observa el siguiente mapa tomado de Google, donde se ve el Estrecho de Gibraltar. En él nosvamos a fijar en la distancia que hay entre Algeciras y Ceuta, que incluso viene dada por unalínea discontinua. Para tomar la escala, la ves abajo a la izquierda, donde pone 10 km.

Pregunta Verdadero-Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Realiza los cálculos en tu cuaderno, y elige la respuesta correcta a la pregunta, ¿cuál es ladistancia entre Algeciras y Ceuta?

1. Unos 30 km aproxidamente.

2. Unos 60 km aproximadamente.

3. Unos 60 cm.

Veamos un ejemplo de plano de una casa a escala.

http://auladiver.wikispaces.com/practicabloque2t3

bajo licencia de creative commons

Como ves también nos pone la escala que utiliza, 1:50, que quiere decir que 1 cm del plano son 50 cm enla realidad.

El siguiente mapa nos muestra una parte de la provincia de Sevilla. La escala que nosmuestra es : 1:500000, o sea, que cada cm del mapa son 500000 cm en la realidad. Elige larespuesta correcta sobre la distancia en línea recta entre Dos Hermanas y Carmona.

a) La distancia en la realidad es de 35000000 cm = 350000 m = 350 km.

b) La distancia en la realidad es de 350000 cm = 3500 m = 3,5 km.

c) La distancia en la realidad es de 3500000 cm = 35000 m = 35 km.

Veamos por último, un ejemplo de maqueta, si bien, no traerá la escala por razones obvias. Al comprar unpiso en construcción, no podemos ver nuestro futuro piso, y hemos de conformarnos con poder ver unamaqueta de cómo quedará la zona una vez se haya construido todo el entorno y los edificios.

Pregunta de Elección Múltiple

http://uruguay.acambiode.com/

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3. Problemas geométricos de escalas

En este apartado vamos a practicar con algunos ejercicios de los vistos en el punto 2.

Hemos tomado una imagen del Google-Maps de la provincia de Cádiz. La imagen con suescala es la siguiente (Nota: hemos medido en centímetro el trozo que nos indica 20 km, yhemos medido 2 cm):

Sabiendo que de Cádiz a Jerez de la Frontera hemos medido 2,5 cm, ¿cuánto estarán en larealidad en línea recta?

Si sabemos que Cádiz está a 100 km de Sevilla (en línea recta, y no por carretera que son125 km), ¿a cuánta distancia estaría en el mapa si se viera Sevilla?

En un mapa de escala 1:250000 de parte de la provincia de Córdoba, la distancia quesepara Córdoba de Cerro Muriano es de 5 cm, ¿qué distancia les separará en la realidad? ¿Yqué distancia tendrán en el mapa dos ciudades que distan en la realidad 15 km?

En un plano del dormitorio de mi casa se obtienen las siguientes dimensiones del mismo: 4cm de largo, por 3 cm de ancho. Si sabemos que midiendo el ancho en la realidad tenemos4,5 metros, calcula la escala con la que se ha realizado el plano del dormitorio. ¿Sabríasdecirme cuál será el perímetro suponiendo que mi dormitorio es un rectángulo?

http://blog.decoratrix.com

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Responde verdadero o falso a las siguientes afirmaciones que están basadas en los problemas

Pregunta Verdadero-Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

de la Frontera es de 4 cm, en la realidad será de 50 km.

2. Si la distancia en el mapa de la provincia de Cádiz entre Medina-Sidonia y Prado del Reyen la realidad es de 50 km, por tanto en el mapa estarán a 5 cm.

3. En el mapa de la provincia de Córdoba las distancia entre el Aeropuerto y Villafranca deCórdoba es de 13 cm, eso quiere decir que en la realidad estarán a 32,5 km de distancia.

4. En el mapa de la provincia de Córdoba las distancias en la realidad entre las localidadesde La Huerta de Nueva y La Alamedilla son de 7,5 km, y en el mapa la distancia es de 4 cm.

5. En el plano del dormitorio, la cama, que mide en la realidad 2,10 m, debe medir 1,4 cm

6. Si en el plano de la habitación la cómoda mide 1,5 cm en la realidad debe medir 2,25 m.

En el siguiente mapa de la provincia de Jaén, se ve la escala que indica el mapa. Hemosmedido la distancia que nos indica el mapa de 5 km, y hemos obtenido aproximadamente 2cm, que unificaremos para todos, y así tener las soluciones en función de ese dato.

1. Obtén la escala del mapa, diciendo a cuánto equivale 1 cm.

2. Calcula la distancia en la realidad entre Los Villares y Huelma que están en este mapa a

realidad están a unos 36 km en línea recta.

4. Al Noreste de la provincia de Jaén nos encontramos con el maravilloso Embalse del Trancodentro del Parque Natural de Cazorla, Segura y Las Villas. Éste embalse tiene una longitud deunos 16 km, ¿cuánto mediría si se viese en el mapa?