Tema 3 tens_y_def

GEOTECNIA – GICO UPC Tema 3.Tensiones y deformaciones. Tensión efectiva

1

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA

GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN ___________________________________________________

GEOTECNIA

APUNTES TEMA 3

____________________________________________________

TEMA 3. TENSIONES Y DEFORMACIONES. TENSIÓN EFECTIVA

3.1 DEFINICIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES ............................................................... 2

3.1.1 Definición clásica de tensión ...................................................................................................... 2

3.1.2 Adaptación de la definición clásica a Mecánica de Suelos ...................................................... 3

3.1.3 Definición de deformaciones ...................................................................................................... 4 3.2 PRINCIPIO DE TENSIONES EFECTIVAS .................................................................................... 5 3.3 ESTADOS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN. CÍRCULOS DE MOHR .................................... 8

3.3.1 Tensor de tensiones ..................................................................................................................... 8

3.3.2 Estados bidimensionales de tensiones ..................................................................................... 10

3.3.3 El círculo de Mohr .................................................................................................................... 15

3.3.4 Estados tensionales en totales y efectivas ................................................................................ 19

3.3.5 Estados deformacionales .......................................................................................................... 20 3.4 VARIABLES TENSIONALES Y DEFORMACIONALES. TRAYECTORIAS ........................ 21 3.5 ESTADO TENSIONAL EN CONDICIONES UNIDIMENSIONALES ...................................... 25


2

CCaappííttuulloo 33.. TTeennssiioonneess yy ddeeffoorrmmaacciioonneess.. TTeennssiióónn eeffeeccttiivvaa 33..11 DDeeffiinniicciióónn ddee tteennssiioonneess yy ddeeffoorrmmaacciioonneess 33..11..11 DDeeffiinniicciióónn cclláássiiccaa ddee tteennssiióónn A continuación se presenta la definición clásica de tensión, propia de enseñanzas de resistencia de materiales o mecánica de medios continuos. En dichas materias se supone que los materiales están compuestos por una única fase. Como se vio en el capítulo anterior, el suelo es un medio multifásico, lo que implica ciertas peculiaridades de la Mecánica de Suelos, como se verá en el siguiente apartado.

Para introducir la definición de tensión se considera un cuerpo sólido sometido a la acción de un sistema de fuerzas exteriores (cargas aplicadas y reacciones) en equilibrio, y se realiza un corte por una sección cualquiera S. Para que exista equilibrio en las dos partes resultantes, (A) y (B), deben existir unas ciertas fuerzas de interacción en la superficie S, a las que llamaremos F. Las fuerzas de interacción son iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos, sobre las secciones S de las partes (A) y (B), según exige el principio de acción y reacción. Así la parte derecha ejerce sobre la izquierda una fuerza F, y la fuerza por unidad de área resulta:

S

m

Ft

A esta fuerza por unidad de área se le llama tensión media sobre la superficie S. Si el área se expresa en forma diferencial de área dS, se obtiene lo que se define como tensión en un punto según la superficie S:

0

dlim

dS S S

nF F

t

Invirtiendo la definición de la tensión se desprende que la fuerza F es igual a la integral de las tensiones en toda el área.

Figura 3.1 Esquema definición de tensión.

La definición de tensión presentada requiere las siguientes observaciones:

La tensión depende del punto y de la orientación de la sección elegida. Así en un punto dado se tendrán diferentes tensiones según la orientación considerada, y para una sección S dada se tendrán tensiones diferentes para distintos puntos.

S(A)

(A)

(B)

(B)

1P

1P

2P

2P

3P

4P

F

SS S

F S

4P

3P


3

En general la tensión no es normal al plano considerado sino que puede descomponerse según dos componentes: la tensión normal al plano de la sección, (sigma), y la tensión tangencial a dicho plano, (tau).

Las dimensiones de la tensión son [FL-2], fuerza por unidad de superficie.

Figura 3.2 Componentes normal y tangencial de la tensión

La unidad de tensión en el SI es el Pa (Pascal) que se define como:

Pa = 1 N/m2

del que pueden usarse múltiplos como el kPa (1000 Pa), el hPa (100 Pa) o el MPa (106 Pa).

El Pa tiene las siguientes equivalencias con otras unidades de tensión:

1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2 1 kp/9.81 N 1m2 / 10000 cm2 10-5 kp/cm2 (1 MPa 10 kp/cm2)

1 Pa = 1 N/m2 = 1 N/m2 1 kp/9.81 N 1 t /1000 kp 10-4 t/m2

33..11..22 AAddaappttaacciióónn ddee llaa ddeeffiinniicciióónn cclláássiiccaa aa MMeeccáánniiccaa ddee SSuueellooss Como se anunciaba anteriormente el suelo es un medio multifásico, pero el estudio en detalle de las tensiones a las que se ve sometido cada una de las fases del suelo, en especial la fase sólida a través del esqueleto mineral del suelo, no corresponde a la escala de trabajo en la que se desarrollan los trabajos ingenieriles. Así a escala geotécnica se trabaja con tensiones totales, éstas son las tensiones resultantes de referir todos los esfuerzos provenientes de la estructura y que sufre una sección de terreno, a su superficie total, prescindiendo de la superficie real existente de contacto entre partículas en esa sección. Utilizando las variables de la figura 3.3 la tensión total se define como:

S

N

Así se introduce una de las primeras simplificaciones en el tratamiento del comportamiento mecánico del suelo, considerarlo un medio continuo, cuando realmente no lo es.

t

τ

σ

1P

2P


4

A este nivel es importante tener en cuenta que las tensiones medias sobre el suelo son siempre muy inferiores a las tensiones entre partículas de suelo. De hecho estas últimas son tanto más elevadas cuanto menor es el contacto entre partículas. En la práctica no pueden ser infinitamente grandes ya que a partir de un cierto valor se rompe el contacto y su área aumenta con lo que la tensión en el contacto disminuye.

En mecánica de suelos, las tensiones de compresión se consideran positivas debido a que los suelos suelen soportar tracciones pequeñas o nulas. Por tanto, las tracciones se consideran con signo negativo. Este criterio es el opuesto al criterio habitual en mecánica de medios continuos. Las tensiones tangenciales se definen también con criterio de signos opuesto al de mecánica de medios continuos. Posteriormente, al describir el círculo de Mohr, se indicará el criterio de signos referente a las tensiones tangenciales.

33..11..33 DDeeffiinniicciióónn ddee ddeeffoorrmmaacciioonneess

Para introducir el concepto de deformación se considera una masa de terreno sometida a un sistema de fuerzas (figura 3.4). Dado que no hay terrenos que sean infinitamente rígidos, la acción de las fuerzas se traduce en que el cuerpo se deforma.

Figura 3.4 Esquema introductorio al concepto de deformación

dz

dxdyy

z

dz

x dy dx y

z

xx x

z z

y y

Figura 3.3 Definición de tensión total

2

1

N

S

(a) (b) (c)

N

S

alumne

Nota adhesiva

Unmarked definida por alumne

alumne

Nota adhesiva

Figura por modificar

alumne

Nota adhesiva



5

La deformación de un elemento diferencial de volumen (de tamaño: dx, dy, dz) puede descomponerse en tres partes: rotación, traslación (ambos son movimientos de sólido rígido) y deformación pura (cambio de forma). En este apartado únicamente se tratará la deformación pura.

Los lados del paralelepípedo elemental (figura 3.5) modifican sus longitudes iniciales dx, dy, dz de manera que proyectadas sobre los tres ejes originales pasan a valer (1+x)dx, (1+y)dy, (1+z)dz, respectivamente. Asimismo las proyecciones de los ángulos rectos que forman entre sí las caras del elemento antes de la deformación varían para pasar a valer /2xy, /2yz, /2zx.

Así se definen:

Deformaciones (alargamiento o acortamiento unitario) a los valores de x, y y z .

Distorsiones o deformaciones angulares a los valores xy, yz, zx.

Figura 3.5 Esquema de deformaciones.

De la misma forma que las tensiones se consideran con signo positivo si son de compresión, las deformaciones de acortamiento también se consideran positivas. Esto implica que el tamaño del elemento de suelo antes indicado se obtendrá como: (1-x)dx, (1-y)dy, (1-z)dz .

33..22 PPrriinncciippiioo ddee tteennssiioonneess eeffeeccttiivvaass

En cualquier punto y dirección de un suelo saturado existe una tensión total () y una presión intersticial (u), esta última corresponde a la de la fase líquida. Con estas variables y en el marco de los suelos saturados, se define tensión efectiva (’) como la diferencia entre el valor de la tensión total y la presión intersticial:

u

Esta variable, obtenida por Terzaghi, es quizá la más importante de la Mecánica de Suelos, ya que controla en gran medida la compresión del esqueleto y la resistencia al esfuerzo cortante de un suelo. Así el principio de Terzaghi o de principio de tensiones efectivas, ampliamente demostrado experimentalmente, enuncia que un terreno sólo se deforma si varían sus tensiones efectivas.

La publicación de este principio en 1925 en la obra Erdbaumechanik de Karl Terzaghi, se considera la fecha del nacimiento de la Mecánica de Suelos como una ciencia moderna.

El principio de tensiones efectivas no tiene una demostración analítica, simplemente se ha demostrado experimentalmente, pero a continuación se presenta una interpretación física del valor de la tensión efectiva (figura 3.6), con la que se podrá justificar.

1

1(1 )


6

N: fuerza normal total.

Nc: fuerza normal intergranular.

u: presión intersticial.

Sc: área de contacto entre partículas.

S: área total

Figura 3.6 Esquema de las fuerzas normales actuantes en un plano que contiene la superficie de contacto entre dos partículas

En primer lugar se expresa el equilibrio de fuerzas normales sobre un plano que pasa entre el contacto de dos partículas de un suelo saturado:

cc NSSuN )(

A continuación se divide entre la superficie S para convertir las fuerzas en tensiones:

S

N

S

Su

S

N cc

1

Finalmente se introduce la definición de tensión total ( = N/S), teniendo en cuenta que en suelos y con el nivel de tensiones normalmente empleados en ingeniería Sc/S es muy pequeño y se puede despreciar frente al valor de 1. Resulta:

uS

N

S

Nc

u '

Esta pequeña justificación teórica permite mostrar que la tensión efectiva se puede interpretar como el valor aproximado de la fuerza transmitida por el esqueleto mineral dividida entre el área total de la superficie.

Gracias a esta interpretación el principio de tensiones efectivas se puede justificar en base a que las tensiones efectivas, proporcionales a las fuerzas en los contactos, son las responsables de los procesos deformacionales de un suelo. Al cambiar éstas, cambian los esfuerzos entre partículas que se reordenan y giran produciendo deformaciones.

No se debe olvidar que el principio de tensiones efectivas no se ha demostrado teóricamente, aunque está ampliamente probado de forma experimental. Sin embargo, no es válido en el estudio de rocas y de suelos no saturados.

A continuación se muestra un ejemplo de los datos obtenidos experimentalmente, mediante un ensayo de laboratorio típico en geotecnia: el ensayo edométrico (figura 3.7). Aunque las características de este ensayo se estudiarán en detalle en el tema de consolidación de suelos saturados de la asignatura, cabe destacar que este ensayo se caracteriza fundamentalmente por el impedimento de desplazamientos laterales de la muestra en el proceso de carga (εx = 0, εy = 0), dando únicamente resultados no nulos en los desplazamientos verticales (εz ≠ 0) a lo largo del tiempo. En la figura se puede apreciar dos estados distintos del ensayo en los cuales se aplican cargas distintas y produce una variación de la presión intersticial y del índice de poros.

S

S c

N

cN uu

Nc

alumne

Nota adhesiva



7

Figura 3.7 Representación esquemática del ensayo edométrico

La figura 3.8 representa los resultados obtenidos para los puntos de estudio (de A a M) mediante gráficas que ilustran la evolución de la tensión vertical y presión del agua, la de la tensión efectiva obtenida y la del índice de poros en función del tiempo de cada uno de los puntos objeto de estudio, así como la relación entre la tensión efectiva vertical y el índice de poros obtenida entre los mismos para el proceso de carga y descarga descrito.

Figura 3.8.a Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales

12

1e 2e 2uh

1u

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 10 20 30 40 50

Tiempo

Ten

sió

n v

ert

ica

y p

res

ión

de

a

gu

a

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

0.81

0 10 20 30 40 50

Tiempo

Ind

ice

de

po

ros

AB C

D EF

GH

IJ

KL

Tension totalPresión de agua

A

BC

DE

FG

H I

J K

L M

M


8

Figura 3.8.b Ejemplo de una representación de posibles resultados experimentales

33..33 EEssttaaddooss ddee tteennssiioonneess yy ddeeffoorrmmaacciioonneess.. CCíírrccuullooss ddee MMoohhrr En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición de tensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la sección elegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto sin establecer una orientación. Sin embargo, si se conoce el estado tensional completo en un punto, esto supone conocer la información suficiente para poder calcular la tensión en cualquier orientación. 33..33..11 TTeennssoorr ddee tteennssiioonneess

En el caso de estudiar el estado tensional completo de un punto la información requerida para representar el estado tensional son las componentes de las tensiones según tres planos coordenados que pasen por el punto (figura 3.9).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 10 20 30 40 50

Tiempo

Te

nsi

ón

efe

ctiv

a

0.74

0.75

0.76

0.77

0.78

0.79

0.8

0.81

0 0.5 1 1.5 2

Tension efectiva vertical

Ind

ice

de

po

ros

AB

C

D

E

F

H

G

I

J

L

K

A

B-C

D-E

F-GJ-K

H-IL-M

M


9

t1 = (x, xy, xz) t2 = (yx , y , yz ) t3 = (zx , zy , z)

Figura 3.9 Esquema de la información necesaria para conocer el estado tensional de un punto.

De las nueve componentes que representan a esas tres tensiones, únicamente seis son independientes, y definen el tensor de tensiones en un punto, que permite calcular la tensión sobre cualquier plano que pase por dicho punto, o sea representa el estado tensional del punto.

Veámoslo a continuación suponiendo que queremos calcular las componentes de la tensión t según una orientación arbitraria definida por la cara ABC (figura 3.10). Se define un tetraedro diferencial OABC, con vértice en O y con tres caras paralelas a los ejes coordenados. En el límite todas las caras pasan por O y las tensiones sobre las caras son tensiones en el punto O según diferentes planos. La cara ABC, de área dA, está definida por los cosenos directores (l, m, n) de su normal exterior n. Las componentes de t (tx, ty, tz) se pueden calcular en función de las tensiones sobre las otras caras, imponiendo que el elemento diferencial esté en equilibrio de fuerzas.

Figura 3.10 Esquema del tetraedro diferencial de Cauchy.

Imponiendo equilibrio de fuerzas en dirección x:

0xF ; d ( d ) ( d ) ( d ) 0x x yx zxt A l A m A n A

x x yx zxt l m n

x

y

z

y

z

x

z

y

x

t 1

e 1

t2

2e

t 3

3e

x

yz

yxy

z

zy

zx

x

xy

xz

y

z

t

n

A

B

C

O

alumne

Nota adhesiva


alumne

Nota adhesiva



10

De igual forma imponiendo equilibrio de fuerzas en direcciones y, z se obtiene:

y xy y zyt l m n

z xz yz zt l m n

Si escribimos matricialmente las expresiones obtenidas: tt n

donde t y n son los vectores tensión y normal, respectivamente, y es el tensor de tensiones que es igual a:

x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ

El tensor de tensiones es simétrico en virtud del principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales que establece las igualdades:

xy = yx , xz = zx , yz = zy

La demostración de este principio se verá más adelante.

De esta forma se ve cómo conociendo el tensor de tensiones en un punto se puede conocer la tensión en él según cualquier plano, sin más que conocer los cosenos directores de éste.

33..33..22 EEssttaaddooss bbiiddiimmeennssiioonnaalleess ddee tteennssiioonneess Existen ciertas ocasiones en que el estado tensional de un punto se puede simplificar de tres a dos dimensiones, debido a que la propia geometría y condiciones de contorno del problema permiten identificar el comportamiento en una dirección como despreciable.

Estas situaciones conocidas con el nombre de estados bidimensionales de tensión se agrupan en dos familias, los problemas de tensión plana y los de deformación plana:

Problemas de tensión plana.

Se caracterizan porque en cierta dirección las tensiones son nulas y el valor del resto de tensiones no depende de esta dirección.

En estas circunstancias el tensor de tensiones tiene la siguiente forma:

0

0

0 0 0

x xy

yx y

σ

Estas circunstancias se dan en elementos en los que una dimensión es sensiblemente inferior a las otras dos y las acciones están contenidas en el plano conformado por esas dos direcciones.

No existen problemas geotécnicos asimilables a estas circunstancias, pero sí estructurales como las vigas de gran canto o las placas cargadas en su plano medio.

Problemas de deformación plana.

Se caracterizan porque en cierta dirección los desplazamientos y deformaciones son nulos.

Los ejemplos típicos, en los que se puede aplicar esta hipótesis, son aquellos problemas donde la geometría se caracteriza por generarse a partir de una sección bidimensional que


11

se traslada sobre una generatriz recta perpendicular a la misma, y las acciones no tienen componentes en la dirección de la generatriz.

En este caso el tensor de tensiones queda:

0

0

0 0 0

x xy

yx y

σ

Pero únicamente se trabaja en dos dimensiones, dado que z se suele calcular con la condición de desplazamientos impedidos en dicha dirección.

En Geotecnia existen muchos problemas que se pueden resolver bajo estas hipótesis como son las presas de tierras o las cimentaciones corridas.

Veamos a continuación como en los estados bidimensionales de tensión el estado tensional es conocido a partir de las tensiones en dos planos ortogonales (figura 3.11):

d d cos d sinAB l AO l OB l

Figura 3.11 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto

Como en el caso tridimensional el estado tensional sobre un elemento diferencial cualquiera debe estar en equilibrio y, si se impone dicho equilibrio, es posible determinar las tensiones normal y tangencial sobre cualquier plano de inclinación genérica en función de las tensiones en los planos vertical y horizontal.

Equilibrio de fuerzas horizontales:

d cos d sin d sin d cos 0n n yx xl l l l (1)

Equilibrio de fuerzas verticales:

d sin d cos d cos d sin 0n n xy yl l l l (2)

Las siguientes relaciones trigonométricas auxiliares son útiles para despejar la tensión normal y la tensión tangencial sobre el plano de inclinación :

A

BO

nx

y

n

yx

xy


12

2 2

2 2

2

2

sin cos 1

sin(2 ) 2sin cos

cos(2 ) cos sin

1 cos(2 )cos

21 cos(2 )

sin2

sin( ) (sin 2 cos 2 ) (cos 2 sin 2 )

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Para despejar la tensión tangencial basta hacer ((1) y (2) se refiere a las ecuaciones anteriores):

(1)·sin (2)·cos 0

2 2

2 2

cos sin sin sin cos sin

sin cos cos cos sin cos 0

n n yx x

n n yx y

2 2 2 2sin cos sin cos 2cos sin 0n yx x y

usando las relaciones (a), (c) y (b) respectivamente

cos(2 ) sin(2 ) 02

x y

n yx

xcos(2 ) sin(2 )2

yn xy

(3)

Y para despejar la tensión normal basta hacer:

(1)·cos (2)·sin 0

2 2

2 2

cos sin cos sin cos cos

sin cos sin cos sin sin 0

n n yx x

n n yx y

2 2 2 2sin cos 2 sin cos cos sin 0n yx x y usando las relaciones (a), (b), (d) y (e) respectivamente

1 cos(2 ) 1 cos(2 )sin(2 ) 0

2 2n yx x y

cos(2 ) cos(2 )sin(2 ) 0

2x x y x

n yx

cos(2 )sin(2 ) 0

2

x y x y

n yx

sin(2 ) cos(2 ) 02 2

x y x y

n yx


13

x xsin(2 ) cos(2 )2 2

y yn xy

(4)

En las expresiones (3) y (4) se observa que las tensiones normal y tangencial calculadas dependen de:

x x 2 2 2

y y

xy

Llegados a este punto puede ser de gran utilidad relacionar el estado tensional objeto de estudio con su posible representación mediante una circunferencia que dará lugar a una útil herramienta para representar estados tensionales planos, el círculo de Mohr (que se presenta con más detalle en el próximo apartado) según se muestra en la figura 3.12.

Figura 3.12 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto, y su posible

representación en el Círculo de Mohr (que dependerá de las magnitudes σx y σy

A partir del Círculo de Mohr definimos:

2

2 x Máxima

x

radio: R ( *)2

centro: 2

y

xy

y

y con objeto de obtener una forma alternativa las expresiones obtenidas utilizar el siguiente cambio de variable:

22 x

x

R2

tan 2

2

y

xy

xy

y

Del que se puede derivar:

σ

τ

(σx, τxy)

(σy, τyx)

2β

2α

(σn, τn)

σ1 σ3

α

σn τn

τxy

τyx

σx

σy

β B

A

O

(τ*)

alumne

Nota adhesiva

Figura por modificar: - No se cumple el criterio de flechas de fuerzas.


14

2

x2

x

R R sin(2 )2

R cos(2 )2 tan 2

y

xy

y xy

Con estas definiciones, junto con la relación trigonométrica (f) es posible transformar (3) y (4) en:

x R cos 2 cos 2 R sin 2 sin 2 )2

R sin 2 cos 2 R sin 2 cos 2 )

y

n

n

Y finalmente:

x R cos(2 2 )2

R sin(2 2 )

y

n

n

(5)

La ecuación (5) corresponde a la expresión parametrizada del Círculo de Mohr.

A las mismas expresiones que hemos llegado para n y n a partir de equilibrio también podemos llegar a través de cálculos matriciales con el tensor de tensiones de una forma más rápida.

En la figura 3.13 se representa el estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado (α) en un punto cualquiera del medio y los vectores en las direcciones normal y tangencial en un punto cualquiera del medio.

Figura 3.13 Estado tensional en dos planos ortogonales y uno inclinado () en un punto cualquiera del

medio (izquierda). Vectores normal y tangencial al plano (α)

El tensor de tensiones en un punto del suelo de acuerdo con las orientaciones indicadas en la figura 3.13 es:

x xy

yx y

σ

Para el cálculo de las tensiones normal y tangencial en dicho plano puede operarse de la forma siguiente:

A

BO

n

x

y

n

yx

xy( cos , sin ) n

( sin ,cos ) t

y

x


15

2 2

2 2

cos( ) cos sin

sin

cos 2 cos sin sin

cos sin 2 sin

x xyt

n

yx y

x xy y

x xy y

n n

2 2

sincos sin

cos

cos sin sin cos cos sin

1sin 2 cos 2

2

x xyt

n

yx y

x xy xy y

x y xy

n t

Que son idénticas a las Eq. (3) y (4) anteriormente obtenidas.

En todos los desarrollos de este apartado se ha utilizado la igualdad xy = yx, o lo que es lo mismo la propiedad de simetría del tensor de tensiones, que se anunciaba en el apartado anterior en virtud del principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Este establece que “en dos planos perpendiculares entre sí, las componentes de las tensiones tangenciales normales a la arista común en un punto son iguales en módulo, y ambas concurren o se separan simultáneamente de la arista”.

Su demostración se consigue estableciendo equilibrio de momentos en un paralelepípedo infinitesimal (figura 3.14), si se toman momentos respecto el eje x, sólo las resultantes de las componentes xy y yx producen momento, así:

Figura 3.14 Esquema de las tensiones tangenciales

Donde:

d d d d d d 0yz zy yz zyx z y x y z

De forma análoga se obtiene:

yxxy

xz zx

33..33..33 EEll ccíírrccuulloo ddee MMoohhrr

Como se ha visto en el apartado anterior las expresiones que nos permiten calcular las parejas de valores de tensión normal y tangencial que aparecen en un punto en función de la orientación a estudiar representan la ecuación paramétrica de una circunferencia, definida por:

y

z

x

yz

zy

zy

yz

z

x

y

alumne

Nota adhesiva



16

2

2 x Máxima

x

radio: ( *)2

centro: 2

y

xy

y

R

Así el estado tensional de un punto, trabajando en estados de tensiones bidimensionales, queda representado por una circunferencia en el plano -, en la que cada uno de sus puntos corresponde a las tensiones según una orientación, esta construcción geométrica recibe el nombre de círculo de Mohr (figura 3.15).

Figura 3.15 Círculo de Mohr

El criterio de signos utilizado en Mecánica de Suelos para trabajar con los círculos de Mohr es el siguiente (figura 3.16):

Tensiones normales positivas si son de compresión.

Tensiones tangenciales positivas si definen un giro antihorario respecto al plano, o giro horario respecto a un punto exterior al medio.

Ángulos positivos antihorarios.

Figura 3.16 Criterio de signos

En el apartado anterior se explicaba que un estado tensional bidimensional queda definido por las tensiones en un par de planos perpendiculares, en la figura 3.17 se ve cómo construir un círculo de Mohr a través de esta información. Para ello es muy útil la propiedad que establece que las tensiones en planos perpendiculares corresponden a puntos diametralmente opuestos del círculo.

σ

τ

c

xy

yx

xy


17

Figura 3.17 Construcción del círculo de Mohr con la información de las tensiones en dos planos

perpendiculares

De las muchas propiedades del círculo de Mohr quizá la más importante es la existencia en él de un punto denominado polo, que se caracteriza por que si por él trazamos una paralela al plano sobre el que actúan las tensiones, corta al círculo en un punto cuyas coordenadas son las tensiones que actúan sobre el plano. La figura 3.18 muestra cómo obtenerlo:

Figura 3.18 Obtención del polo a partir del estado tensional e inclinación del plano sobre el que actúan las tensiones

Se puede observar como en ambos casos el modo de obtención del polo es el mismo:

1.- Se representan los puntos de coordenadas (σA, τA) y (σB, τB).

2.- Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.

3.- Se traza una línea por el punto (σA, τA), paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo (σA, τA).

4.- La intersección de la línea trazada con el círculo de Mohr es el polo. (Nótese que la obtención del polo es análoga en procedimiento y localización a que la intersección se obtenga con la paralela al plano donde actúan el otro par de valores (σB, τB), es decir, la intersección de ambas paralelas resulta en un mismo punto P).

σ

τ

B

3

5

2

30º

c5

3

2

‐2

BA

A30º

σ

τP(σA, τA)

(σB, τB)

σA

σB

τA

τB

c

σ

τ

P

(σB, τB)

σA

σB

τA

τB

∆θ

c

(σA, τA)

∆θ


18

De esta forma si se quiere representar el estado tensional de un punto a través de un círculo de Mohr, no simplemente se requiere obtener el centro y el radio de la circunferencia, ya que entonces únicamente tenemos las parejas de valores - que actúan sobre los diferentes planos, sino que debemos conocer el polo, para así también conocer dichos planos, y tener el estado tensional del punto completamente definido.

Es necesario introducir la definición de dos puntos singulares del círculo de Mohr, son los puntos de corte con el eje horizontal. Corresponden a las tensiones en orientaciones en las que la componente tangencial es cero, a estas orientaciones se las conoce con el nombre de direcciones principales y al valor de las tensiones normales que en ellas actúan como tensiones principales.

Las tensiones principales se denotan como 1 y 3, mayor y menor respectivamente, y corresponden a los límites del intervalo de los valores que puede tomar la componente normal en el punto de estudio (figura 3.19).

Figura 3.19 Tensiones principales, incrementos y representación mediante Círculos de Mohr

El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales, se puede obtener gráficamente a partir del Círculo de Mohr. Para encontrar las expresiones correspondientes al Círculo de Mohr en función de las tensiones principales (σ1 y σ3), basta con saber que en este estado (u orientación de la porción infinitesimal bidimensional) las tensiones tangenciales resultan nulas (τxy= τyx =0) y también β=0 (ó =180º según la tensión principal menor σ3).

Para las tensiones normales, partiendo de las expresiones obtenidas en el apartado anterior tenemos:

1 3 1 3cos(2 )2 2

n

1 3 1 3cos(2 ) cos(2 )

2 2n

1 1 3 3cos(2 ) cos(2 )

2n

usando las relaciones(d) y (e) respectivamente 2 2

1 3cos sinn

Y para las tensiones tangenciales:

1 3 sin(2 )2

n

usando la relación (b)

τ

σ

1 1 1

3 3 3

1

3

3 31 1


19

1 3 2sin cos2

n

1 3 sin cosn

También, directamente del Círculo de Mohr se demuestra que ambas tensiones pueden ser expresadas según:

2

3 3 3

1 cos(2 )R R cos(2 ) 2R 2R cos

2

R sin(2 ) 2R sin cos

n

n

Y que resultan equivalentes a las anteriores (6) y (7).

(Nótese que en el ejemplo representado en la Figura inicial, para el análisis según tensiones principales (β=0), α adopta valores positivos entre 90º y 180º, luego su coseno resulta negativo).

El valor de las tensiones principales y la orientación de las direcciones principales puede obtenerse también analíticamente diagonalizando el tensor de tensiones. En este último caso el valor de las tensiones principales corresponde al de los autovalores o valores propios y las direcciones principales correspondientes al de los vectores propios.

Existen unos estados tensionales en los que todas sus direcciones son principales y con el mismo valor de tensión principal, así en todas las direcciones actúa la misma tensión normal () con tensión tangencial nula. Se les conoce como estados tensionales esféricos o isótropos.

El tensor de tensiones que los representa es invariante frente cambios de base y siempre tiene forma diagonal:

00

00

00

σ

En el caso de estados isótropos bidimensionales el círculo de Mohr que los representa es un punto.

33..33..44 EEssttaaddooss tteennssiioonnaalleess eenn ttoottaalleess yy eeffeeccttiivvaass

La expresión con la que se definió en el apartado 3.2 tensión efectiva se puede generalizar expresándola tensorialmente de la siguiente forma:

Iσσ' u

'ij ij ij

u

En esta expresión se observa como la presión intersticial corresponde a un estado tensional esférico, así su tensor de tensiones únicamente no es nulo en la diagonal principal, por tanto la diferencia entre el tensor en totales y en efectivas en un mismo punto, únicamente está en los elementos de la diagonal, así las tensiones tangenciales no se ven afectadas.

Si trabajamos con círculos de Mohr estas deducciones se traducen en que el círculo en efectivas y en totales tiene el mismo diámetro pero el de efectivas está retrasado respecto el de totales el valor de la presión intersticial como puede verse en la figura 3.20.


20

Figura 3.20 Círculo de Mohr de un mismo punto en tensiones efectivas y totales

33..33..55 EEssttaaddooss ddeeffoorrmmaacciioonnaalleess

Todos los instrumentos presentados en los apartados anteriores para representar estados tensionales se repiten para estados deformacionales.

Así en primer lugar tenemos el tensor de deformaciones, que en estudios bidimensionales toma la siguiente forma:

x xy

yx y

ε

Los elementos de la diagonal representan los alargamientos unitarios definidos en el apartado 3.1.3, y los elementos exteriores a la diagonal la mitad de las distorsiones angulares definidas en el mismo apartado. La razón de esta división entre dos es debida a la interpretación representada en la figura 3.21.

xyxy 2

1

Figura 3.21 Definiciones de deformación angular

Y al igual que en tensiones se define el círculo de Mohr en deformaciones (figura 3.22), que verifica las mismas propiedades que el presentado en el apartado anterior.

3 11 3

n n n n

u

Círculo de Mohr en tensiones efectivas

Círculo de Mohren tensiones totales

xy xy

alumne

Nota adhesiva

Rehacer figura

alumne

Nota adhesiva

Rehacer figura


21

Figura 3.22 Círculo de Mohr en deformaciones

33..44 VVaarriiaabblleess tteennssiioonnaalleess yy ddeeffoorrmmaacciioonnaalleess.. TTrraayyeeccttoorriiaass

En la mayoría de estudios geotécnicos interesa estudiar la evolución del estado tensional de diferentes puntos característicos del terreno frente a una evolución de estados de carga. Por ejemplo en el estudio de una cimentación superficial en primer lugar se estudiará el estado del suelo, luego la evolución de las tensiones durante la excavación para la construcción de la zapata, y finalmente durante la fase de construcción, en la que se irán transmitiendo cargas crecientes progresivamente con la construcción del edificio hasta finalizarlo.

En muchos de estos problemas en los que el suelo se ve sometido a una evolución de estados tensionales conviene representar todos estos sobre un diagrama único.

Si en el caso de trabajar en dos dimensiones se dibujan todos los círculos de Mohr en un mismo diagrama es fácil imaginar la dificultad de entender lo que está representado en ese diagrama. Y todavía peor si el problema requiere una modelización en tres dimensiones y lo que representamos es una sucesión de tensores.

Por ello se definieron las variables tensionales que consisten en conjuntos de dos o tres funciones que dependen del tensor de tensiones y representan el estado tensional, así de su valor podemos conocer aproximadamente el estado tensional, y su situación frente rotura u otros fenómenos que nos interese controlar.

En la figura 3.23 se representan los estados de esfuerzos de los puntos A, B, C, D y E, mediante Círculos de Mohr (a) y mediante la línea que denominamos trayectoria de esfuerzos representada en un diagrama p-q (b). La trayectoria de esfuerzos proporciona una representación continua de sucesivos estados de esfuerzos. Este método equivale a representar un punto único de un círculo de Mohr: el punto más alto si q es positiva o el más bajo si q es negativa. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador (Lambe o Cambridge). p y q son dos variables tensionales de mucha utilidad que se definen en el presente apartado. En ambos diagramas los puntos representan estados idénticos.

1

2

1( , )

2x xy

1( , )

2y xy


22

Figura 3.23 Representación de sucesivos estados de esfuerzos al aumentar σ1 manteniendo constante σ3.

(a) Círculos de Mohr (b) Diagrama p-q

Pero al ser funciones del tensor, interesa que no varíen con los cambios de coordenadas. Unos valores función del tensor de tensiones que no dependen de las coordenadas en las que esté expresado son sus valores propios, las tensiones principales, por lo que el primer conjunto de variables tensionales que se utilizaron fueron las tensiones principales.

Así el estado tensional de un punto se puede representar en el denominado espacio de tensiones principales, ver figura 3.24.

Figura 3.24 Espacio de tensiones principales

De la obtención algebraica de las tensiones principales se obtiene un segundo grupo de variables tensionales que son los invariantes principales. El desarrollo matemático a través del que se consigue su definición parte de la obtención de los valores y vectores propios del tensor de tensiones, para ello se impone que existan unos vectores n tales que:

0Iσn

0nσn

nσn

t

tt

tt

Es decir, se trata de resolver un sistema de ecuaciones. Si la matriz de este sistema tiene determinante no nulo, la única solución posible será n=0. Por tanto para que existan otras soluciones además de la trivial (n=0) debe cumplirse que:

0det Iσ

A

B

CD

E

( )a

q

pA

B

C

D

E

( )b

P

A3

2

1t

oct

oct

Eje de tensión hidrostática

O


23

es decir:

det 0x xy xz

yx y yz

zx zy z

Este determinante da lugar a la siguiente ecuación de 3er grado: 3 2 0a b c

que permite determinar los valores propios del tensor de tensiones o tensiones principales, es decir:

1 1 2 2 3 3

Dichos valores son invariantes frente a cualquier cambio de coordenadas. Por tanto, los coeficientes de la ecuación de tercer grado (a, b y c) también son invariantes. Se puede comprobar que estos coeficientes de la ecuación de tercer grado valen lo siguiente:

1

2 2 2

2

2 2 2

3

( )

2

x y z

x y y z z x xy yz zx

x y z xy yz zx z xy x yz y zx

a I

b I

c I

Estos invariantes son los denominados invariantes principales y se corresponden con:

I1= traza del tensor de tensiones

I2= suma de los determinantes de los menores de 2º orden del tensor de tensiones

I3= determinante del tensor de tensiones

En el caso particular en que el tensor de tensiones se encuentre expresado en función de los valores propios o tensiones principales, dichos invariantes valen:

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

I

I

I

En función de estos invariantes se puede definir cualquier nuevo invariante, por ejemplo las variables tensionales o invariantes del plano de octaédrico, que son aquellos planos igualmente inclinados en relación a los ejes principales del punto considerado. (Cos α= cos β= cos γ= √3/3α= β= γ= 54º43`).

1

2 2 2 2 2 2

1 2

1 1

3 3

1 12 3 6( )

3 3

oct x y z

oct x y y z z x xy yz zx

I

I I

Que se denominan tensión normal octaédrica o tensión media y tensión tangencial octaédrica, respectivamente.

Estas variables tienen sentido físico:

oct informa de la distancia entre el origen O y el plano perpendicular a la recta definida por 1=2=3, denominada eje de tensión hidrostática, que pasa por el punto P. Así nos da una idea del confinamiento del estado tensional, por ejemplo una oct=0 corresponde a un estado puramente desviador, cuyas características son: traza nula, sus autovalores suman cero y su primer invariante es nulo.


24

oct informa de la distancia entre el punto P y el eje de tensión hidrostática. Así nos informa de lo lejos que está el estado tensional de un estado isótropo, así un valor nulo de oct indica que estamos frente un estado puramente esférico.

A continuación se presentan las dos parejas de variables tensionales más utilizadas en Mecánica de Suelos:

Invariantes del plano de Lambe.

Son propios de estados tensionales en dos dimensiones. Están definidos por una tensión media (s) y una tensión de corte (t), que corresponden respectivamente con el centro y el radio del círculo de Mohr. Sus expresiones son:

1 3

2

2

1 3

1 1

2 2

1

2 2

x y

x y

xy

s

t

Invariantes del plano de Cambridge.

Éstos ya representan estados tridimensionales y son muy semejantes a los del espacio octaédrico:

1

2 2 2 2 2 2

1 1

3 3

3 16( )

2 2

oct x y z

oct x y y z z x xy yz zx

p I

q

En el apartado 3.1.1 (Definición clásica de tensión) en las observaciones a la definición de tensión, se anunciaba que la tensión en un punto dependía de la orientación de la sección elegida. Por ello carece de significado hablar de la tensión normal y tangencial en un punto, lo que debe conocerse es el estado tensional del punto, esto supone conocer la información suficiente para poder calcular la tensión en cualquier orientación.

Deformación volumétrica.

Sea un elemento diferencial de volumen definido por:

0 d d dV x y z

al producirse una deformación, el nuevo volumen se calcula como:

1 1 d 1 d 1 d 1 d d dx y z x y zV x y z x y z

en la que se han despreciado todos los términos de segundo (productos x z) y tercer orden (producto x z z), y se ha considerado el criterio de compresiones positivas.

La deformación volumétrica será (disminución de volumen positivo):

1 0

1

0 0

1 d d d d d d( )

d d d

x y z

vol x y z

x y z x y zV VVI

V V x y z

Es decir, que la deformación volumétrica equivale al primer invariante de la matriz de deformaciones.

Deformación tangencial o deformación de corte.

Igualmente podemos definir una deformación de corte octaédrica como:


25

12 2 22 2 2 2

12 2 2 2

1 2 2 3 3 1

26

3

2

3

oct x y y z z x xy xz yz

Por último, cada pareja de invariantes de tensión se puede asociar con una pareja de invariantes de deformación. Si se escribe en tensiones y deformaciones principales resulta:

Tensiones totales Tensiones efectivas Deformaciones Cambridge p =1/3(1+2+3)

q =(13) p’=p u

q’=q vol =(1 + 2+ 3) d =2/3(1 3)

Lambe (deformación plana)

s=1/2(1+3) t=1/2(13)

s’=s u

t’=t vol= (1 + 3) t = (1 3)

33..55 EEssttaaddoo tteennssiioonnaall eenn ccoonnddiicciioonneess uunniiddiimmeennssiioonnaalleess

La figura 3.25 muestra una idealización del terreno saturado y con superficie horizontal.

Figura 3.25 Elemento de suelo en terreno saturado y con superficie horizontal

Por simetría, y suponiendo el suelo material homogéneo, las tensiones tangenciales son nulas en el elemento de suelo representado y, por tanto, solo se tendrán tensiones normales. Por equilibrio de tensiones verticales, la variación de tensión con la profundidad debido al peso del terreno resulta ser:

d dv n z

Integrando: z

v n0= d = nz z

Por otro lado, la presión de agua en régimen hidrostático y nivel freático en superficie es:

wu z

El cálculo de las tensiones efectivas resulta de restar las leyes de tensiones totales y presiones de agua:

' 'v v u z Así la tensión en un punto, en terreno saturado y con superficie horizontal, evoluciona según muestra la figura 3.26, obteniéndose un mayor confinamiento en los puntos que se encuentran a mayor profundidad.

z

N.F.

dzn

n


26

Figura 3.26 Tensiones en terreno saturado con superficie horizontal y su posible evolución en función de

la profundidad. Representación mediante Círculos de Mohr con la localización de las tensiones principales (σi,z) y los polos (Pi).

Si el suelo está estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales pueden calcularse adecuadamente por medio de la sumatoria, como se verá más adelante:

σv= ∑γ·∆z

Las tensiones horizontales son más difíciles de calcular ya que no es posible su determinación por equilibrio. Se ha comprobado que en condiciones de deformación lateral nula (el suelo se deforma solamente en vertical), se cumple que:

0

'

'h

v

K

y al coeficiente K0 se le denomina coeficiente de empuje al reposo.

Puede ocurrir que tengamos un suelo con tensión vertical efectiva y tensión horizontal efectiva superior. Esto es debido a que a veces se descargan los suelos (debido por ejemplo a la erosión), las tensiones horizontales no se descargan igual que se cargan, sino que se genera una rama de descarga. Mientras que las tensiones verticales efectivas sí se descargan igual que se cargan.

Hay que tener en cuenta que a un terreno que sólo ha sido cargado se le llama terreno normalmente consolidado, mientras que un terreno que ha sido cargado y descargado (más compacto), se le llama terreno sobreconsolidado (K0 entre 1 y 2).

La figura 3.27 muestra el estado de tensiones en un talud indefinido con superficie inclinada (β):

Figura 3.27 Análisis de un talud indefinido

u(z) = γωz

A

B

C

z

σ'(z)

σA (z)

σB (z)

σC (z)

σ(z)

N.F. τ

AB

C

σA (z) σB (z) σC(z)

PA PB PC

σ

confinamiento- +

a

γn

zW


27

La tensión vertical sobre un plano paralelo a la superficie del terreno (inclinación ) se calcula como:

coscosn

n

zaWz

a a

siendo z la profundidad de dicho plano, a la anchura de una rebanada, y la inclinación del talud. Dicha tensión se puede descomponer en una componente normal y una componente tangencial:

2cos cos

sin cos sin

n n

n n

z

z

Esta pareja de tensiones permite representar en círculo de Mohr este estado tensional y determinar la orientación de las tensiones en otros planos, pero no su módulo ya que este depende de la naturaleza del suelo.

Tema 3 tens_y_def

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