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TEMA 4. Algunos modelos de probabilidad de tipo continuo

Vamos a abordar en este capítulo el estudio de aquellas distribuciones de

probabilidad de tipo continuo, que se nos presentan con bastante frecuencia en el

mundo real, y que tienen por tanto bastante utilidad práctica.

Se trata de distribuciones con nombre propio. Su estudio no encierra ninguna

dificultad añadida, pues se trata de aplicar a modelos concretos toda la teoría general

estudiada en las funciones de probabilidad de las variables aleatorias.

Comenzaremos analizando las distribuciones uniformes, o rectangulares, como el

caso más sencillo de distribuciones continuas.

A continuación se explicita la distribución normal (que en realidad es una «familia»

de distribuciones normales, pues su función de probabilidad está caracterizada por

dos parámetros). De ella debe el alumno conocer con detalle cuáles son las causas

que permiten su aparición, así como todas sus características, y conclusiones que

encierra. A la distribución normal debe dedicársele tiempo suficiente, hasta su total

comprensión pues el papel que desempeña es de vital importancia, no sólo per se

sino por las consecuencias que implica el llamado TEOREMA CENTRAL DEL

LIMITE que posibilita -con ciertas condiciones- el sustituir en plan límite gran

número de distribuciones por una distribución de tipo normal.

También deberá el alumno conocer otras importantes distribuciones continuas que

pueden considerarse como derivadas de la normal. Así:

La distribución (chi-cuadrado) de Pearson.

La distribución «t» de Student.

La distribución «F» de Snedecor.

4.1 Al finalizar el tema el alumno debe conocer........

La distribución uniforme continua.

Importancia de la distribución normal, así como sus propiedades y

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características.

Relación entre la distribución ,N y la distribución 1,0N .

Utilización de tablas estadísticas de la 1,0N para el cálculo de

probabilidades.

Relación que existe entre la distribución binomial, Poisson y normal.

El Teorema Central del Límite.

Distribuciones asociadas a la normal y utilización de sus tablas estadísticas

para el cálculo de probabilidades.

4.2 Introducción.

Los modelos continuos se caracterizan porque el conjunto de valores que puede

tomar la variable aleatoria es un conjunto infinito no numerable. Dentro de estos

modelos continuos vamos a dar una especial importancia a la distribución Normal,

que es de muchas maneras, la piedra angular de la estadística moderna.

Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas.

1. Uniforme. Es la distribución donde todos resultados posibles tienen la

misma probabilidad, en este caso la variable aleatoria al ser de tipo

continuo toma todos los posibles valores en un intervalo finito.

2. Exponencial. Se utiliza para estudiar el tiempo entre dos sucesos.

3. Beta. Sirve para el estudio de variaciones, a través de varias muestras, de

un porcentaje que representa algún fenómeno.

4. Gamma. Se utiliza para estudiar variables cuya distribución puede ser

asimétrica.

5. Normal. Es la distribución más utilizada porque la mayoría de las variables

utilizadas en fenómenos sociales se distribuyen aproximadamente

siguiendo este modelo. La estudiaremos más detalladamente a continuación

y se le llama comúnmente distribución normal.

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4.3 Distribución uniforme continua.

Es la más sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una variable

aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe

al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme

sobre todo su intervalo de definición.

La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un

intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. Diremos que una variable aleatoria

sigue una distribución uniforme en un intervalo ba, si la probabilidad de que la

variable aleatoria tome un valor en cualquier subintervalo es proporcional a la

longitud del subintervalo. La función de densidad es:

parámetrosdosbaybadonde

restoelen

bxaab

xf ,,

0

1

Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: baUx ,

Características de ésta distribución:

1. Función de distribución:

bxsi

bxasiab

ax

axsi

dxxfxXPxF

x

a1

0

2. Media :

Se calcula como vimos anteriormente en el valor esperado de una variable

aleatoria de tipo continuo: dxab

xdxxfxxE

b

a

1. Realizando los

cálculos llegamos al siguiente resultado 2

abxE

. Como podemos

observar es el centro del intervalo de definición y coincide con la mediana.

3. Varianza:

Se calcula como vimos anteriormente en el caso de una variable aleatoria de

tipo continuo: 22 xExExVar

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Si calculamos el momento de segundo orden:

ab

abdx

abxdxxfxxE

b

a

3

1 33222

Luego:

12

222 ab

xExExVar

Los parámetros de esta distribución son:

Distribución Uniforme Parámetros

Media

2

ba

Varianza 12

2ab

Desviación típica 12

2ab

4.4 Distribución normal.

Esta distribución resulta útil no sólo porque un gran número de distribuciones de

frecuencias presentan formas aproximadamente normales, sino también por su gran

significado teórico en el campo de la estadística inferencial. En resumen, la

importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas

variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

- Caracteres morfológicos de individuos: talla, peso,..

- Caracteres sociológicos: consumo de un cierto producto por un grupo de

individuos, puntuaciones de examen…

- Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un

medio,..

- Valores estadísticos muestrales: la media.

- Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones

normales.

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No obstante, hay que tener cuidado al suponer que un determinado conjunto de

observaciones se puede aproximar por una distribución normal.

La distribución normal la obtuvo inicialmente De Moivre en 1733 como límite o

aproximación de la distribución pnB , cuando n . Posteriormente Gauss en

1809 y Laplace en 1812 llegaron a obtenerla empíricamente al estudiar la

distribución de errores accidentales en Astronomía y Geodesia.

Una justificación de la frecuente aparición de la distribución normal es el teorema

central del limite, que veremos más tarde, que establece que cuando los resultados

de un experimento son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes,

que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto individual de poca importancia

respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal

La curva normal responde al tipo de curva perfectamente simétrica, y unimodal

basada en un número infinito de casos, por lo que sólo puede ser tratada de forma

aproximada cuando se opera con datos reales. Por tratarse de una curva simétrica

coinciden la media, la moda y la mediana.

Diremos que la variable aleatoria, de tipo continuo, sigue una distribución Normal

de parámetros 2 y , si su función de densidad es:

xexf

x 2

2 2

2

1

, donde R, y tales que y

0

La función de densidad depende de dos parámetros: media y varianza de la

distribución, y puede verse por la definición que no hay una única distribución

normal sino una familia completa de distribuciones.

Abreviadamente esta distribución la indicaremos por: ,Nx

Se observa que tiene forma de campana, de aquí que frecuentemente se le llame

curva o campana de Gauss.

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Los parámetros:

- , es el centro de la distribución y también se corresponde con el punto

máximo de la distribución.

- nos da una idea del grado de apertura de la distribución.

Veamos los siguientes ejemplos:

a) En este caso tenemos dos curvas normales ,1N y ,2N que tienen

distintas medias 1 < 2 pero tienen la misma desviación típica, por tanto sus

centros están en diferentes lugares pero el grado de apertura de ambas

distribuciones es el mismo.

b) En este segundo caso tenemos dos curvas normales 1,N y 2,N que

tienen distintas desviaciones típicas 1 2 pero tienen la misma media. Ahora

las curvas están centradas en el mismo punto pero su grado de apertura es

distinto. Como 1 < 2 la curva de mayor desviación típica, en este caso 2

tendrá una mayor dispersión.

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Características de ésta distribución:

1. Función de distribución:

xdxexXPxF

xx2

2 2

2

1

La integral correspondiente a esta función de distribución sólo puede

calcularse mediante métodos numéricos aproximados. Una manera de

simplificar estos cálculos es mediante el proceso de tipificación de una

variable aleatoria normal, que nos permite pasar de una ,N a una

1,0N

La variable normal con media cero y desviación típica la unidad se

denomina normal estándar 1,0N ; su función de distribución está tabulada.

Para calcular probabilidades en el caso general, transformaremos la variable

aleatoria normal x en la variable normal estándar z , mediante:

xz

Si aplicamos el cambio de variable tenemos como función de densidad:

zezf

z

2

2

2

1

y su función de distribución es:

zdzezZPzF

zz

2

2

2

1

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Las características que presenta la normal tipificada son:

No depende de ningún parámetro.

La curva zf es también es simétrica respecto del eje OY.

Para realizar la representación gráfica de la función de densidad zf

correspondiente a la normal 1,0N procederíamos de forma análoga a

como se hizo para la distribución ,N .

2. Media :

La media de la variable aleatoria es ; es decir: xE , es al mismo

tiempo la media, la mediana y la moda de la distribución

3. Varianza:

222 xExExVar , considerando que: 222 xE

Igualmente, es la desviación típica que nos da una idea de cual es la

dispersión entorno a la media.

Los parámetros básicos de la distribución son:

Distribución N ( , ) Parámetros

Media

Varianza 2

Desviación típica

Cálculo de probabilidades:

Sea x una variable aleatoria normal ,N con función de distribución acumulada

xF , y sean a y b dos posibles valores que verifican que ba . Entonces:

aFbFbxaP

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Cualquier probabilidad puede obtenerse a partir de la función de distribución

acumulada, sin embargo, como vimos anteriormente calcular la integral

correspondiente a esta función de distribución sólo puede hacerse mediante métodos

numéricos aproximados. No obstante cualquier distribución normal puede

expresarse como una normal estándar 1,0N :

** aFbF

aF

bF

bz

aP

bxaPbxaP

Donde z es una variable aleatoria normal estándar que está tabulada. En esta tabla

encontraremos los valores de:

zdzezZPzF

zz

2

2

2

1

No debemos olvidar que se trata de una distribución simétrica y que el área bajo la

curva normal es igual a la unidad. Por tanto:

zFzZP

zFzZP 1

zFzFzZP 1

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Valoración de la normalidad:

La decisión de describir una distribución mediante una curva normal puede

determinar el análisis que posteriormente se haga de los datos. Una forma de ver si

los datos son aproximadamente normales es observando su histograma. Este nos

puede revelar de forma clara características no normales de una distribución: las

asimetrías prolongadas, los vacíos entre datos, etc.

Una forma de valorar si una distribución es normal es señalando los puntos ,

, 2 , 3 en el eje de las x y observando la probabilidad

comprendida en estos intervalos. En el caso de una distribución normal ,N :

El 68,3 % de las observaciones se encuentran entre

El 95,5 % de las observaciones se encuentran entre 2

El 97,7 % de las observaciones se encuentran entre 3

Propiedades de ésta distribución:

1. Si nxxx ,,, 21 n son variables aleatorias independientes, distribuidas

según una niN ii 2,1, , y si a1, a

2 ,……., an y b son números

reales. Entonces la variable aleatoria: bxaxay nn 11 Sigue una

distribución: 222

1

2

111 , nnnn aabaaN

2. La suma de “ n ” variables aleatorias independientes, nxxx ,,, 21 y

distribuidas según una niN ii 2,1, sigue una

distribución: 22

11 , nnN

3. Si, nxxx ,,, 21 son “ n ” variables aleatorias independientes e

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idénticamente distribuidas según una ,N , entonces la variable

aleatoria suma de las “ n ” variables: nxxy 1 . Sigue una

distribución: nnN ,

4. Si nxxx ,,, 21 son “ n ” variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas según una , ,N entonces la variable aleatoria

media aritmética de estas n variables: n

xxx n 1 Sigue una

distribución:

nN

,

Aproximación a la distribución normal la distribución binomial.

El teorema de Moivre (1.756) permite realizar esta aproximación considerando que

las variables aleatorias sigan una distribución binomial con: 2

1 qp (este

teorema fue generalizado posteriormente por Laplace en 1.810 para distribuciones

no simétricas qp ).

Vimos que la variable aleatoria binomial era el número de éxitos que tienen lugar

cuando se realizan n repeticiones independientes de un experimento o prueba de

Bernoulli. La variable aleatoria x puede escribirse como la suma de n variables

aleatorias de Bernoulli: nx xxxx 2 npqxVarnpxE

Si x es una variable aleatoria binomial, pnB , , con media npxE y

desviación típica npqxVar entonces, cuando n la variable

aleatoria:

1,0N

npq

npx

xVar

xExZ

Es decir: npqnpNx ,

En la práctica, decir que n es lo suficientemente grande, se traduce en:

2

15

2

15

pynq

pynp

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Lo que se hace es aproximar una distribución discreta, como es la binomial, a una

distribución normal que es continua, y ya que en el caso continuo la probabilidad o

masa asociada a un valor concreto de la variable aleatoria es nulo, tendremos que

utilizar la corrección de continuidad de Fisher para calcular la probabilidad deseada:

Probabilidad en pnB , Corrección de continuidad

P ( X = x ) P ( x – ½ ≤ X ≤ x + ½ )

P ( a ≤ X ≤ b ) P ( a – ½ ≤ X ≤ b + ½ )

P ( X ≤ x )

P ( X ≥ x )

P ( X ≤ x +½)

P ( X ≥ x -½)

Aproximación a la distribución normal la distribución de Poisson.

En el caso de la distribución de Poisson, la variable aleatoria nos establece el

número de veces que ocurre un suceso en un determinado intervalo de tiempo,

sabemos que la media y la varianza de esta distribución coincide con el parámetro

.

Si el número de ocurrencias esperadas es elevado y el intervalo de tiempo se

divide en subintervalos de idéntica longitud. En ese caso, el número total de

ocurrencias es la suma de las ocurrencias de cada subintervalo, y puede verse como

la suma de un número moderadamente grande de variables aleatorias, cada una de

las cuales representa el número de ocurrencias en un subintervalo del periodo de

tiempo, puede utilizarse la distribución normal como una aproximación a la

distribución de Poisson. En la práctica la aproximación es aceptable si 10 ,

aunque algunos autores aceptan la aproximación cuando 5 .

El procedimiento práctico es análogo al caso de la binomial, así pues si tenemos una

variable aleatoria x que se distribuye según una distribución de Poisson de

parámetro , entonces cuando 10 la variable aleatoria:

1,0N

x

xVar

xExZ

Es decir: ,Nx

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Al igual que en el caso de la distribución binomial es necesario aplicar la corrección

de continuidad para calcular las probabilidades.

4.5 Teorena Central del Límite

No existe un único Teorema Central del Límite, sino un conjunto de teoremas, todos

ellos dando condiciones para que una sucesión de variables aleatorias tienda a

distribuirse según una distribución normal. Muchas variables aleatorias que se

encuentran en la práctica son sumas o promedios de un número grande de variables

aleatorias independientes.

Consideremos que nxx ,,1 es una sucesión de n variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas, con media y varianza 2 (ambas

finitas). Definimos una nueva variable:

nx xxxx 2 2 nxVarnxE

Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica

se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:

2

n

nx

xVar

xEXZ

Cuando n entonces podemos decir que 1,0NZ

o bien nnNx , .

El teorema central del límite tiene un impacto sustancial en la práctica estadística.

Afirma que cualquiera que sea la distribución común de un conjunto de variables

aleatorias, suponiendo que la media y la varianza son finitas, la suma de un número

moderadamente grande de ellas será una variable aleatoria con distribución parecida

a la normal.

- La validez del teorema central del límite no está limitado a variables

aleatorias continuas y simétricas, se extiende también a variables aleatorias

discretas y asimétricas. Así tenemos el Teorema de Moivre:

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- Si las variables aleatorias no son independientes o no tienen la misma

distribución de probabilidad, en ese caso habrá que utilizar otras condiciones

de mayor dificultad que no consideraremos en este caso.

Otro resultado interesante de este teorema es el siguiente, consideramos que

nxx ,,1 es una sucesión de n variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas, con media y varianza 2 (ambas finitas). Definimos una nueva

variable x que es el promedio de estas variables aleatorias:

n

x

n

xxx n

1 nn

nxVar

n

nxE

2

2

2

Para cualquier variable aleatoria, al restar la media y dividir por la desviación típica

se obtiene una variable aleatoria tipificada de media 0 y varianza 1:

n

x

xVar

xExZ

Cuando n entonces podemos decir que 1,0NZ o

bien

nNx

, .

En los próximos apartados consideraremos el problema de hacer inferencia sobre

una población, basado en los resultados que obtenemos de una muestra. Muchas de

las medidas calculadas a partir de una muestra son sumas o promedios. Por

consiguiente, el teorema central del límite es muy relevante y proporciona validez a

muchas de las técnicas que se utilizan para enfocar estos problemas.

4.6 Distribuciones asociadas a la normal.

Seguimos en esta parte estudiando distribuciones continuas unidimensionales, muy

estrechamente relacionadas con la distribución normal, pues las variables aleatorias

asociadas a estas distribuciones son combinaciones de variables aleatorias normales.

Estas distribuciones fueron introducidas para estudiar las distribuciones de las

diferentes variables aleatorias que nos aparecerán en los procesos de estimación y

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que son muy utilizadas en la Inferencia Estadística.

Distribución 2 de Pearson.

Aparece, naturalmente en la teoría, asociada a la suma de los cuadrados de variables

aleatorias independientes e igualmente distribuidas según una distribución normal.

Es, por tanto, una distribución de variable continua cuyo dominio se extiende de 0

a .

Dadas n variables aleatorias independientes distribuidas según:

1,0

1,0

1,0

.2

Nz

Nz

Nz

ntesindependieaVariables

n

Se define la variable 2 con n grados de libertad como:

22

1

22

nn zzz Y se denota como:

nzn

i

i

i

2

1

Los parámetros fundamentales son:

Parámetro Valor

Media n

Varianza 2n

Características fundamentales:

La distribución 2 es asimétrica, cuyo dominio se extiende de 0 a .

La distribución 2 se encuentra tabulada en función de n . Para el cálculo

de probabilidades es preciso recurrir a tablas que, al igual que en el caso de

la 1,0N , proporcionan valores aproximados. Las tablas estadísticas nos

proporcionarán la probabilidad del suceso an 2 , siendo la mecánica

del cálculo muy similar a lo visto en la 1,0N , con la excepción de no ser

simétrica y no admitir valores negativos y tener una asíntota para x .

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Su propiedad fundamental es que si sumamos dos 2 independientes de 1n

y 2n grados de libertad, obtenemos una 2 con 21 nn grados de libertad.

Esto lo podríamos generalizar para nnn ,,1 .

En la práctica a partir de 30 grados de libertad se aplica la convergencia a la

distribución normal: 122 2 nn es aproximadamente 1,0N .

Distribución t de Student.

Una segunda distribución muy relacionada con la normal y con la 2 y muy

ampliamente utilizada en la inferencia es la distribución t de Student o simplemente

distribución t. Esta distribución fue estudiada por W.S. Gosset y publicada por

primera vez en 1.908.

Sean nxx ,, , 1n variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas según una ,0N Entonces se dice que la variable aleatoria:

22

1

1n

n

xxn

xt

Se distribuye según una t de Student con n-grados de libertad, el número de grados

de libertad es igual al número de variables que figuran en el denominador de .nt

Teniendo en cuenta la definición dada anteriormente para la distribución 2 , si

transformamos las variables aleatorias distribuidas según una ,0N en 1,0N de

manera que el numerador:

1,0Nx

Y el denominador:

n

xx

n

nn

222

11

Con lo cual tenemos, que la distribución t se puede definir:

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n

x

t

n

n2

Abreviadamente lo indicaremos por: ntT

Los parámetros fundamentales son:

Parámetro Valor

Media 0

Varianza

2n

n

.

La importancia de esta variable aleatoria reside en el hecho de que su función de

densidad depende de la varianza de las variables que la integran, y su utilidad se

verá plenamente cuando se estudie la Inferencia Estadística en los casos donde la

varianza poblacional se desconoce.

El campo de variación de la variable nt es el intervalo , . La variable

nt es simétrica, con mayor dispersión que la distribución normal estándar,

aunque se observa que cuando n aumenta la distribución t de Student

tiende a la 1,0N .

No debemos olvidar que esta distribución está tabulada, las tablas

estadísticas nos proporcionarán la probabilidad del suceso ant . Para

el manejo de tablas es importante recordar la simetría de la función de

densidad, siendo la mecánica del cálculo muy similar a lo visto en la 1,0N

Cuando 30n , la distribución nt converge a la distribución

normal:

2,0

n

nN

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Distribución F de Snedecor..

Una distribución utilizada frecuentemente y relacionada con la distribución normal

es la distribución F de Snedecor. Esta distribución se utiliza fundamentalmente en

problemas relacionados con la varianza, y muy concretamente en la técnica de

análisis de la varianza.

Sean mxx ,,1 ,e nyy ,,1 , nm variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas según una ,0N . Entonces decimos que la variable

aleatoria:

n

yy

m

xx

Fn

m

nm 22

1

22

1

,

Se distribuye según una F de Snedecor con nym grados de libertad.

Si realizamos la misma transformación que en el caso de la t de Student, para poder

expresar esta variable como el cociente de dos 2 , transformando las variables

aleatorias distribuidas según una ,0N en 1,0N .

1,01,01 Nx

Nx m

1,01,01 Ny

Ny n

Tendremos lo siguiente:

n

mF nm 2

2

,

Es decir, hemos expresado esta variable aleatoria como el cociente de dos 2 que

no dependen de la 2 de las variables integrantes.

Abreviadamente lo indicaremos por: nmFF ,

Los parámetros fundamentales son:

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Parámetro Valor

Media

2n

n

si n > 2

Varianza

42

222

2

nnm

nmn

si n > 4

No es simétrica, su campo de variación, como procedente de la suma de

cuadrados, es el intervalo ,0 y tiene una asíntota para x .

No debemos olvidar que esta distribución está tabulada, las tablas

estadísticas nos proporcionarán la probabilidad del suceso anmF , . La

presentación de las tablas de la distribución F es distinta de las anteriores,

debido a la existencia de dos parámetros en la función de densidad. En

general las tablas se utilizan en sentido inverso, es decir, conocida la

probabilidad del suceso anmF , hallar el valor de a .

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