Tema 7 - La lógica como sistema formal axiomático

8/13/2019 Tema 7 - La lgica como sistema formal axiomtico

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LA LGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMTICO: LOS LMITES DE LOSSISTEMAS FORMALES AXIOMTICOS

Contenido

1. El problema de la consistencia ........................................................................................... 31.1 Hilbert: crtica de la evidencia. El criterio de verdad de un axioma como ausencia decontradiccin lgica ............................................................................................................ 6

2. Pruebas absolutas de consistencia ...................................................................................... 7

3. Construccin de un sistema formal .................................................................................... 9

4. Completud del clculo de predicados ............................................................................... 12

5. Las limitaciones de los sistemas formales ........................................................................ 12

6. Las pruebas de Gdel ....................................................................................................... 15

6.1 La numeracin de Gdel............................................................................................. 15

6.2 La aritmetizacin de la metamatemtica .................................................................... 16

6.3 La argumentacin de Gdel ........................................................................................ 18

7. Otros resultados referentes a los fundamentos de la lgica y las matemticas ................ 18

7.1 El teorema de satisfaccin de Henkin......................................................................... 19

7.2 El teorema de completud de la lgica cuantificacional de primer orden de Gdel .... 19

5.1 Teorema de Lwenheim-Skolem................................................................................ 20

5.2 Teorema de compacidad ............................................................................................. 20

5.3 Indecidibilidad de la lgica cuantificacional polidica (teorema de Church) ............ 20

5.4 La tesis de Chuch-Turing ........................................................................................... 20

5. El sueo roto: verdad en las matemticas? ..................................................................... 23

6. Bibliografa ....................................................................................................................... 25


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El mtodo axiomtico consiste en aceptarsinprueba ciertas proposiciones comoaxiomasopostulados,y en derivar luego de esos axiomas todas las dems proposiciones del sistema,en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; losteoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirvindose,exclusivamente, de los principios de la lgica. La principal caracterstica de un sistema

axiomtico es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas,quedan automticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua detodos los teoremas. Durante los dos ltimos siglos el mtodo axiomtico ha ido adquiriendofuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemticas fueron provistas de losque parecan ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Naci as un estado de opinin enel que se admita tcitamente que todos los sectores del pensamiento matemtico podan serdotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemticamente lainfinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigacin.

Segn Poincar,

Los axiomas geomtricos no son, pues, ni juicios sintticos a priori nihechos experimentales. Son convenciones: nuestra eleccin entre todas lasconvenciones posibles est guiada por los hechos experimentales, peropermanece libre, y slo est guiada por la necesidad de evitar todacontradiccin [...]. En otros trminos, los axiomas de la geometra no sonsino definiciones disfrazadas (La ciencia y la hiptesis, Madrid, Espasa-Calpe, 3 ed., 1963, p. 57)

Lo caracterstico del sistema axiomtico como realizacin de la idea de clculo consiste endisponer de un conjunto de enunciados o frmulas que se admiten sin demostracin y apartir de los cuales se obtienen todas as dems afirmaciones de la teora, las cuales sellaman teoremas. Y las frmulas aceptadas sin discusin son axiomas o postulados. Elconjunto de axiomas, ms la definicin de enunciado o frmula del sistema (definicin queprecede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtencin deteoremas a partir de los axiomas (reglas de transformacin) constituyen la base primitivadel sistema.

El axiomatismo moderno no slo no acepta la evidencia de los axiomas de las teoras, sinotampoco la intuitividad de los trminos bsicos de las mismas: 'punto', 'recta', 'plano', etc.,no tienen significado por s mismos. Son conceptos indefinidos, que slo cuando secombinan por medio de unos u otros axiomas comienzan a quedar implcitamentedefinidos. Establecidas unas reglas de inferencia lgica, a partir de los axiomas puedededucirse una serie de teoremas, pero durante esta fase deductiva nada tiene significado: elclculo es pura sintaxis. nicamente cuando, una vez derivadas las expresiones bienformadas que pueden inferirse de los axiomas y de los trminos primitivos (no definidos),comenzamos a buscar interpretaciones de dicho clculo formal, los trminos comienzan aadquirir significado y los axiomas pasan a ser verdaderos o falsos. Cada sistema axiomticopuede poseer varios modelos o interpretaciones diferentes.

Sin embargo, el conocido como teorema de Gdel puso frente a los matemticos laasombrosa conclusin de que el mtodo axiomtico posee ciertas intrnsecas que excluyen
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La lgica - y las matemticas en tanto que parte de la lgica - puede contemplarse por tantocomo la disciplina por excelencia que extrae las conclusiones lgicamente implicadas encualquier conjunto dado de axiomas o postulados. La validez de una deduccin lgica - omatemtica no depende en absoluto de ningn significado especial que pueda estarasociado con los trminos o expresiones contenidos en sus postulados. La lgica - y la

matemtica - es algo totalmente abstracto y formal; abstracto, porque las afirmacioneslgicas pueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto, sin estar esencialmentecircunscritas a un determinado conjunto de objetos o propiedades de objeto; y formal,porque la validez de las demostraciones lgicas se asienta en la estructura de lasafirmaciones ms que en la naturaleza especial de su contenido. Los postulados de lalgica, o de la matemtica, nunca versan intrnsecamente sobre manzanas, propiedades opresupuestos financieros; y ningn significado especial que pueda asociarse con lostrminos contenidos en los postulados desempea papel esencial alguno en el proceso dededucir teoremas. La nica cuestin a la que se enfrenta el lgico no es si los postulados deque parte o las conclusiones que de ellos deduce son verdaderos, sino si las conclusionesobtenidas son realmente las consecuencias lgicas necesariasde las hiptesis iniciales.

As, Hilbert ha podido decir que mientras estemos interesados en la fundamental labormatemtica de explorar las relaciones estrictamente lgicas de dependencia entreafirmaciones debemos prescindir de las connotaciones familiares de los trminosprimitivos, y los nicos "significados" que se deben asociar con ellos son los que se hallandeterminados por los axiomas en que estncontenidos.Russell dice lo mismo de una formamucho ms concisa: "la matemtica pura es la ciencia en la que no sabemos de qu estamoshablando ni si lo que estamos diciendo es verdadero".

La ventaja que ofrece una formalizacin tan radical, un tan radical estar apartado de laexperiencia, es que la mente se libera de las restricciones que la habitual interpretacin delas expresiones establece para la construccin de nuevos sistemas de postulados. Puede assurgir nuevas lgicas, nuevas lgebras y nuevas geometras. Al hacerse ms generales lossignificados de ciertos trminos, se hace ms amplia su utilizacin y menos limitadas lasdeducciones que pueden extraerse de ellos.

Ahora bien, esta creciente abstraccin plantea un problema: el de saber si un determinadoconjunto de postulados erigidos como bases de un sistema es internamente consistente, detal modo que no puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esospostulados. Es el conocido como problema de la consistencia.

El mtodo general para resolver el problema de la consistencia (la idea subyacente acualquier prueba de consistencia) consiste en encontrar un "modelo" (o "interpretacin")para los postulados abstractos de un sistema, de tal modo que cada postulado se conviertaen una afirmacin verdadera respecto del modelo. Por tanto, una frmula es consistente sitiene un modelo, esto es, si puede ser interpretada como el valor de verdad V. Una frmulano consistente se dice inconsistente o insatisfacible.

A partir de aqu podemos decir que un conjunto S de frmulas es (semnticamente)consistente si todos los elementos admiten un modelo comn; en caso contrario esinconsistente. Un conjunto de frmulas es considerado, desde un punto de vista semntico,
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como la conjuncin de sus elementos. Si I es una interpretacin y si S es un conjunto defrmulas, I(s) es verdadero si I(s) es verdadero para cada sS.

La frmula C es una consecuencia lgica del conjunto finito S sii S unin {} esinconsistente (principio de reduccin). Un conjunto es inconsistente si F es una

consecuencia lgica de l o, equivalentemente, si toda frmula es una consecuencia suya.Formalmente, el principio de reduccin se expresa as:

{H1,...,Hn} |=C {H1,...,Hn,C}|=F

En los diversos intentos realizados para resolver el problema de la consistencia late siempreuna permanente fuente de dificultad, la cual radica en el hecho de que los axiomas soninterpretados por modelos compuestos de un nmero infinito de elementos. Esto haceimposible encerrar los modelos en un nmero finito de observaciones; de ah que la verdadde los axiomas sea objeto de duda. El problema es an mayor si tenemos en cuenta que lamayora de los sistemas de postulados que constituyen los fundamentos de las numerosas

ramas de las matemticas y la lgica no pueden ser reflejados en modelos finitos.

El dilema al que nos vemos abocados es el siguiente: los modelos finitos bastan, enprincipio, para demostrar la consistencia de ciertos conjuntos de postulados, pero stostienen muy escasa importancia lgica o matemtica. Los modelos no finitos, necesariospara la interpretacin de la mayora de los sistemas de postulados lgica omatemticamente importantes, slo pueden ser descritos en trminos generales; y nopodemos dar por sentado que las descripciones se hallen exentas de contradicciones.

Podramos sentirnos tentados a sugerir que podemos estar seguros de la consistencia de lasformulaciones en que se describen los modelos no finitos si las nociones bsicas empleadas

son transparentemente "claras" y "distintas". Sin embargo, ste no es el caso. As, en ciertaszonas de la investigacin matemtica en que las hiptesis acerca de los conjuntos infinitosdesempean un importante papel han surgido contradicciones, pese a la intuitiva claridadde las nociones implicadas en las hiptesis y pese al carcter aparentemente consistente delas construcciones realizadas.

Bertrand Russell, por ejemplo, fue capaz de construir una contradiccin dentro del sistemamismo de la lgica elemental. La antinomia - as se llama a estas contradicciones - puedeenunciarse del modo siguiente: las clases pueden ser de dos tipos, las que no se contienen as mismas como miembros y las que s se contienen. Una clase ser llamada "normal" si, ysolamente si, no se contiene a s misma como miembro; en otro caso se la llamar "no

normal". Un ejemplo de clase normal es la de los lgicos, ya que, evidentemente, la clasemisma no es un lgico y, por tanto, no es un miembro de si misma. Un ejemplo de clase nonormal es la clase de todas las cosas pensables, ya que la clase de todas las cosas pensableses, a su vez, pensable y, por consiguiente, un miembro de s misma. Sea "N", pordefinicin, la clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo es una clasenormal. Si N es normal, es un miembro de s misma (pues, por definicin, N contiene atodas las clases normales); pero, en este caso, N es no normal, porque, por definicin, unaclase que se contiene a s misma es no normal. Por otra parte, si N es no normal, es un


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reglas se han estabilizado, se convierten en las institucionessemnticas de una comunidadlingstica. Eso significa que el criterio de la verdad de unos axiomas no debe ser su meraevidencia ni su fijacin libre de contradicciones, sino que tambin puede serlo el hecho

social de su aceptacin semntica estabilizada.

Hilbert propuso que se considerasen las matemticas como una ciencia en la que habra quedistinguir tres niveles. El primer nivel es el prctico cotidiano, cuyo valor es esencialmentepragmtico ms que verdaderamente matemtico. En este nivel se expresan las teorasinformales que los matemticos, fsicos u otros cientficos usan en su trabajo diario. En unsegundo nivel estn los sistemas formales que representan simblicamente estas teoras.Las teoras axiomatizadas son "traducidas" a un sistema formal de smbolos, es decir, a unconjunto de objetos fsicos con reglas combinatorias rigurosas y exhaustivas de formacin yderivacin. Las tesis informales tienen ahora sus correlatos (si el sistema es completo) enlos axiomas y teoremas expresados formalmente. Los sistemas formales se constituyen asen un dominio de objetos abstractos independientes de su significado intuitivo de los que seocupa propiamente la matemtica.

La filosofa hilbertiana se resume en las tesis de que las matemticas son una cienciaindependiente acerca de estos sistemas formales y en la prescripcin de que solamente sonaceptables las pruebas metamatemticas constructivas, es decir, las que se reducen aoperaciones recursivas que no empleen infinitos actuales.

2. Pruebas absolutas de consistenciaLas limitaciones inherentes a la utilizacin de modelos para demostrar la consistencia y lacreciente aprensin de que las formulaciones clsicas de muchos sistemas pudiesenalbergar contradicciones internas condujeron a nuevas formas de abordar el problema.Hilbert propuso una alternativa a las pruebas relativas de consistencia. Trat de construirpruebas "absolutas" con las que pudiera demostrarse la consistencia de los sistemas sinnecesidad de dar por supuesta la consistencia de algn otro sistema.

El primer paso en la construccin de una prueba absoluta es la completa formalizacindeun sistema deductivo. Esto significa la extraccin de todo significado de las expresionesexistentes dentro del sistema. Se las debe considerar, simplemente, como signos vacos. Laforma en que se deben manipular y combinar estos signos ha de ser plasmada en unconjunto de reglas enunciadas con toda precisin. La finalidad de este procedimientoestriba en construir un sistema de signos (llamado un "clculo") que no oculte nada y quesolamente contenga lo que expresamente se haya puesto en l. Los postulados y losteoremas de un sistema completamente formalizado son "hileras" (o sucesiones de longitudfinita) de signos carentes de significado construidas conforme a las reglas establecidas paracombinar los signos elementales del sistema hasta formar ms amplios conjuntos. Cuandoun sistema ha sido completamente formalizado, la derivacin de teoremas a partir de lospostulados se limita, simplemente, a la transformacin (siguiendo la regla) de un conjuntode estas "hileras" en otro conjunto de "hileras". De esta manera se elimina el peligro deutilizar cualesquiera reglas no declaradas de razonamiento. Cuando un sistema ha sidoformalizado quedan a la vista las relaciones lgicas existentes entre las proposiciones;


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pueden verse los mdulos estructurales de las diversas "hileras" de signos "carentes designificado", cmo permanecen unidas, cmo se combinan, cmo se alojan una en otra, etc.

Una pgina entera cubierta con signos "carentes de significado" no afirma nada; es,simplemente, el diseo abstracto de un mosaico que posee una determinada estructura. Sin

embargo, es perfectamente posible describir las configuraciones de un sistema as yformular declaraciones acerca de las configuraciones y de sus diversas relaciones mutuas.Estas declaraciones poseen significado y pueden suministrar informacin importante acercadel sistema formal. No obstante, tales declaraciones significativas acerca de un sistemacarente de significado (o formalizado) no pertenecen plenamente a dicho sistema.Pertenecen a la "metamatemtica", o a la "metalgica" (depende de qu estemos hablando).Las declaraciones metamatemticas, o metalgicas, son declaraciones acerca de los signosexistentes dentro de un sistema lgico formalizado (es decir, un clculo), acerca de lasespecies y disposicin de tales signos cuando se combinan para formar hileras ms largasde signos llamadas "frmulas", o acerca de las relaciones entre frmulas que puedenobtenerse como consecuencia de las reglas de manipulacin establecidas para ellas.

El valor de la distincin entre lgica y metalgica, o entre matemtica y metamatemtica,radica en que da origen a una minuciosa codificacin de los diversos signos que entran enla composicin de un clculo formal, libre de engaosas suposiciones y de irrelevantesasociaciones de ideas. Exige, adems, disponer de definiciones exactas de las operaciones yde las reglas lgicas de la construccin y la deduccin matemtica.

Hilbert capt el ncleo de la cuestin y bas su intento de construir pruebas "absolutas" deconsistencia en la distincin entre un clculo formal y su descripcin. Trat de desarrollarun mtodo que produjera demostraciones de consistencia tan ajenas a una autntica dudalgica como el uso de modelos finitos para demostrar la consistencia de ciertos conjuntosde postulados, y ello mediante el anlisis de un nmero finito de caractersticasestructurales de las expresiones contenidas en clculos completamente formalizados. Elanlisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que se dan en un clculo, indicarcmo combinarlos en frmulas, prescribir cmo pueden obtenerse nuevas frmulas a partirde otras y determinar si frmulas de una determinada clase pueden derivarse de otrasmediante reglas operativas explcitamente enunciadas. Hilbert crea posible presentarcualquier clculo matemtico como una especie de esquema "geomtrico" de frmulas, enel que las frmulas se relacionaran mutuamente en nmero finito de relacionesestructurales. Esperaba demostrar, examinando exhaustivamente estas propiedadesestructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no pueden obtenersefrmulas formalmente contradictorias a partir de los axiomas de clculos dados. Requisitoesencial del programa de Hilbert era que las demostraciones de consistencia implicarannicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un nmero infinito depropiedades estructurales de frmulas ni a un nmero infinito de operaciones con frmulas.Tales procedimientos son denominados "finitistas", y una prueba de consistencia que sehalle en adecuacin a dicho procedimiento recibe el nombre de "absoluta". Una pruebaabsoluta logra sus objetivos utilizando un mnimo de principios de deduccin y nopresupone la consistencia de ningn otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta deconsistencia de la lgica de primer orden, si pudiera construirse alguna, demostrara, pues,mediante un procedimiento metalgico, que dos frmulas contradictorias, tales como A B


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y su negacin (A B), no pueden derivarse de los axiomas mediante reglasexplcitamente enunciadas.

3. Construccin de un sistema formalLa construccin de un sistema formal de lgica se lleva a cabo en cuatro fases que,convenientemente numeradas, son:

1. Se prepara un catlogo completo de los signos que se han de usar en el clculo.Estos signos son nuestro vocabulario

2. Se establecen las reglas de formacin de frmulas. Estas reglas declaran qucombinaciones de signos del vocabulario pueden ser aceptadas como "frmulas".Las reglas pueden ser consideradas como constitutivas de la gramtica del sistema

3. Se expresan las reglas de transformacin que describen la estructura precisa de lasfrmulas de las cuales pueden derivarse otras frmulas de estructura determinada.

Estas reglas son las reglas de deduccin.4. Se seleccionas ciertas frmulas como axiomas (o "frmulas primitivas"). Estasfrmulas sirven de fundamento a todo el sistema.

Un "teorema del sistema" es cualquier frmula que pueda ser derivada de los axiomasaplicando sucesivamente las reglas de transformacin. Una "prueba" es una serie finita defrmulas, cada una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de otras frmulasanteriores de la serie mediante las reglas de transformacin.

Para la lgica de proposiciones, el vocabulario es muy sencillo. Se compone de variables yde signos constantes. Las variables pueden ser sustituidas por sentencias o proposiciones y

reciben por ello el nombre de "variables sentenciales" o "variables proposicionales". Sonlas letras

'p', 'q', 'r', ...

Los signos constantes son "enlaces proposicionales" o signos de puntuacin. En la lgica deproposiciones estos signos son:

'' que quiere decir 'no' y cuya interpretacin semntica podra definirse como sigue: elsigno representa la negacin de la proposicin que le sigue. As, si la proposicin esverdadera, la proposicin negada ser falsa, y viceversa.

'' que quiere decir 'y' y cuya interpretacin es: una conjuncin afirma la verdad de suscomponentes. Es verdadera, pues, cuando sus dos componentes son verdaderos; cuando unode ellos es falso, y por tanto, tambin cuando los dos son falsos, la conjuncin es falsa.

'' que quiere decir 'o', y cuya interpretacin es la siguiente: la disyuncin de dosproposiciones es verdadera cuando una al menos de esas dos proposiciones es verdadera -y, por supuesto, cuando ambas lo son -; es falsa, en cambio, slo cuando ambas son falsas.


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Las condiciones de verdad de la disyuncin son la imagen invertida de las condiciones deverdad de la conjuncin. Para probar la verdad de una conjuncin hace falta probar la detodos y cada uno de sus miembros; para probar la verdad de la disyuncin, basta probar lade uno. Lo mismo ocurre con la falsedad: la falsedad de una conjuncin se establece conslo probar la de uno de sus miembros; mientras que la falsedad de una disyuncin requiere

probar la de todos y cada uno de sus elementos.'' que quiere decir "si... entonces...'. Su interpretacin es: una implicacin es verdaderasiempre que no se d el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; yfalsa cuando ese sea el caso.

La interpretacin de estos signos de la lgica proposicional se suele dar msabreviadamente mediante lo que se conoce como tablas de verdad. La tabla de verdad delos cuatro smbolos de nuestro clculos es la siguiente:

Los signos de puntuacin son los parntesis de apertura y cierre.

Las reglas de formacin de frmulas son las siguientes:

Cualquier variable proposicional es una frmula Si S es una frmula, S tambin es una frmula

Si S y P son frmulas, tambin lo son S P, S P y S P.

A continuacin, adoptamos dos reglas de transformacin:

Regla de sustitucin: de una frmula que contenga variables sentenciales puedesiempre derivarse otra frmula sustituyendo uniformemente con frmulas lasvariables.

Regla de separacin: De dos frmulas que tengan la forma S y S P se puedederivar la frmula P. A esta regla tambin se la conoce comoModus Ponens.

Finalmente, adoptaremos como axiomas de clculo los siguientes:

1.(pp) pSi (los Beatles eran ingleses, o los Beatles eran ingleses), entonces los Beatles eran ingleses2

p (pq)Si yo soy listo, entonces (o yo soy listo o el Real Madrid gana la liga)3(pq) (qp)Si (o Kant era puntual o la Iglesia es estpida), entonces (o la Iglesia es estpida o Kant erapuntual)4(pq)((rp)(rq))


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Si (si me gusta el whisky entonces pierdo al ms), entonces (si (o escucho a los RollingStones o me gusta el whisky) entonces (o escucho a los Rolling Stones o pierdo al ms))

Atendiendo a los ejemplos, es importante sealar que aunque los consecuentes no guardenrelacin con los antecedentes, esto no afecta en modo alguno a la validez de las conexiones

lgicas establecidas en los mencionados ejemplos.Con ayuda de las reglas de transformacin mencionadas anteriormente es posible derivar, apartir de estos axiomas aparentemente triviales, una clase infinitamente grande de teoremasque no tienen nada de triviales como, por ejemplo, la frmula:

((pq)((rs)t))((u((rs)t))((pu)(st)))

Demostrar la consistencia de este sistema axiomtico es demostrar que es imposiblederivar, a partir de los axiomas, una frmula y su negacin, pues si tanto una frmula comosu negacin fuesen deducibles de los axiomas, sera tambin deducible cualquier frmula.

Es decir, si el clculo no es consistente, toda frmula es un teorema, lo que equivale a decirque de un conjunto contradictorio de axiomas puede ser derivada cualquier frmula. Estotiene una contrapartida: si no toda frmula es un teorema, entonces el clculo esconsistente. Lo que hace falta, por consiguiente, es demostrar que existe por lo menos unafrmula que no puede ser derivada de los axiomas.

La forma de hacerlo es emplear un razonamiento metalgico sobre el sistema. Elprocedimiento consiste en encontrar una caracterstica o propiedad estructural de lasfrmulas que satisfaga las tres condiciones siguientes: 1) la propiedad debe ser comn atodos los axiomas; 2) la propiedad debe ser "hereditaria", segn las reglas detransformacin, esto es, si todos los axiomas poseen la propiedad, cualquier frmula

adecuadamente derivada de ellos mediante las reglas de transformacin debe poseerlatambin. Puesto que cualquier frmula derivada es por definicin un teorema, estacondicin estipula en esencia que todo teorema debe poseer esa propiedad; 3) la propiedadno debe pertenecer a toda frmula que pueda construirse de acuerdo con las reglas deformacin del sistema; esto es, debemos tratar de encontrar al menos una frmula que noposea esa propiedad. Si tenemos xito en esta triple tarea habremos conseguido una pruebaabsoluta de consistencia. El razonamiento es el siguiente: la propiedad hereditaria setransmite desde los axiomas a todos los teoremas; pero si puede encontrarse un conjunto designos que sea adecuado a las exigencias de ser una frmula del sistema y que, sinembargo, no posea esa determinada propiedad hereditaria, tal frmula no puede ser unteorema. Pero si descubrimos una frmula que no es un teorema hemos demostrado laconsistencia del sistema, ya que si el sistema no fuese consistente, todas las frmulaspodran ser derivadas de los axiomas. Por tanto, lo que se necesita es encontrar una solafrmula que carezca de la propiedad hereditaria.

Una propiedad del tipo requerido es la de ser una "tautologa". En el lenguaje corriente sedice que una expresin es tautolgica si contiene una redundancia y manifiesta dos veces lamisma cosa con diferentes palabras. En la lgica se define la tautologa como una


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proposicin que no excluye ninguna posibilidad lgica; es decir, una tautologa es"verdadera en todos los mundos posibles".

Una frmula es una tautologa si es invariablemente verdadera, independientemente de quesus componentes elementales sean verdaderos o falsos. Una forma de mostrar que nuestros

cuatro axiomas son tautologas es utilizando las tablas de verdad. En una tabla de verdaduna frmula es una tautologa si en la columna que contiene la frmula completa slo haysignos V

4. Completud del clculo de predicadosPuesto que todo teorema del clculo de predicados es una tautologa, una verdad de lalgica, podemos preguntar si, inversamente, toda verdad lgica susceptible de ser expresadaen el vocabulario de nuestro sistema (es decir, toda tautologa) es tambin un teorema (estoes, derivable de los axiomas). Si la respuesta es afirmativa, ello querr decir que losaxiomas son suficientes para engendrar todaslas frmulas tautolgicas, todaslas verdadeslgicas susceptibles de ser expresadas en el sistema; es decir, que nuestro sistema es"completo". La completud es una propiedad interesante en un sistema axiomtico porqueella nos asegura que no hay ninguna verdad en nuestro sistema que nosotros no seamoscapaces de encontrar. Dicho de otro modo, un sistema "incompleto" no sera muy tilporque, lo mismo que los jueces, el lgico quiere conseguir la verdad, toda la verdad y nadams que la verdad. Pero solo podremos estar seguros de poder alcanzar toda la verdad sinuestro sistema es completo.

Se llama "completo" a un clculo, C, si dada una frmula bien formada, f, de C, o estafrmula o su negacin (f) es un teorema de C. Se llama tambin "completo" a un clculoC cuando hay otro clculo C' tal, que C es inconsistente cuando C' es igual a C excepto porcontener una frmula que no es susceptible de prueba en C.

5. Las limitaciones de los sistemas formalesEl clculo proposicional constituye un ejemplo de un sistema matemtico en el que sealcanzan plenamente los objetivos de la teora de la demostracin de Hilbert. Este clculocodifica solamente un fragmento de la lgica formal, y su vocabulario y su aparato formalno son suficientes para desarrollar ni siquiera la aritmtica elemental, pero el programa deHilbert no es tan limitado. Puede ser aplicado con xito a sistemas ms amplios, cuyocarcter, a la vez consistente y completo, puede ser demostrado mediante un razonamientometamatemtico. Pero es el mtodo finitista de Hilbert lo suficientemente potente comopara demostrar la consistencia de un sistema como Principia, cuyo vocabulario y cuyoaparato lgico son adecuados para expresar toda la aritmtica y no simplemente unfragmento de ella?. La publicacin en 1931 del artculo de Kurt Gdel Sobre proposicionesformalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines demostr que nopodan por menos de fracasar todos los esfuerzos que se desenvolvieran dentro de losestrictos lmites del primitivo programa de Hilbert.
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Qu es lo que estableci Gdel?. Sus principales conclusiones son dos: en primer lugar,demostr que es imposible presentar una prueba metamatemtica de la consistencia de unsistema lo bastante comprensivo como para contener toda la aritmtica, a menos que seempleen en la prueba reglas de deduccin que difieran en ciertos aspectos esenciales de lasreglas de transformacin utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Lo que Gdel

demostr es que es imposible que pueda darse una prueba finitista de la consistencia de laaritmtica; ahora bien, si la prueba no es finitista, no cubre los objetivos del programa deHilbert.

La segunda conclusin de Gdel demuestra la existencia de una fundamental limitacin enla potencia del mtodo axiomtico. Gdel demostr que los Principia, o cualquier otrosistema dentro del cual pueda desarrollarse la aritmtica, es esencialmente incompleto, esdecir, dado cualquier conjunto consistente de axiomas aritmticos, existen proposicionesaritmticas verdaderas que no pueden ser derivadas de dicho conjunto.

Vemoslo con un ejemplo. Las matemticas abundan en proposiciones generales a las queno se ha encontrado ninguna excepcin que hasta ahora haya frustrado todo intento deprueba; una de ellas es el "teorema de Goldbach", segn el cual todo nmero par es la sumade dos nmeros primos. Jams se ha encontrado ningn nmero par que no sea la suma dedos nmeros primos; sin embargo, nadie ha logrado encontrar una prueba de que laconjetura de Goldbach se aplique sin excepcin a todos los nmeros pares. Es esta, pues,una proposicin aritmtica que puede ser verdadera, pero que no puede ser derivada de losaxiomas de la aritmtica.

Supongamos que sea universalmente verdadera. Qu decir ante la sugerencia de que losaxiomas podran ser modificados o aumentados hasta hacer que las proposiciones hasta elmomento indemostrables fuesen derivables en el sistema ampliado?. Los resultados deGdel muestran que, aun cuando los axiomas de la aritmtica fuesen ampliados con unnmero indefinido de otros axiomas verdaderos,siempre quedarn verdades aritmticas queno son formalmente derivables del conjunto ampliado.

Cmo demostr Gdel esto?. La estructura de su argumentacin est moldeada sobre elrazonamiento implicado en la "paradoja richardiana", propuesta por el matemtico francsJules Richard en 1905.

Considrese un lenguaje en el que se puedan formular y definir las propiedades puramentearitmticas de los nmeros cardinales. Resulta claro que, so pena de caer en un crculovicioso, no pueden definirse explcitamente algunos trminos que hacen referencia apropiedades aritmticas - ya que no podemos definirlo todo y debemos empezar en algunaparte -. La propiedad de ser un nmero primo puede ser definida como "no divisible porningn otro nmero ms que por s mismo y la unidad"; la propiedad de ser un cuadradoperfecto puede ser definida como "ser el producto de algn nmero entero por s mismo",etc.

Cada una de tales definiciones contendr solamente un nmero finito de palabras y slo unnmero finito de letras del alfabeto. As, las definiciones pueden ser ordenadas en una serie:una definicin preceder a otra si el nmero de letras de la primera es menor que el nmero
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de letras de la segunda; y si dos definiciones tienen el mismo nmero de letras, una de ellaspreceder a la otra atendiendo al orden alfabtico de las letras contenidas en cada una. Deeste modo, a cada definicin corresponder un nico nmero entero, que representar ellugar que ocupa la definicin en la serie.

Dado que cada definicin est asociada a un nico nmero entero, puede ocurrir en algunoscasos que un nmero entero posea la misma propiedad expresada por la definicin con lacual est asociado. Supongamos que la expresin definidora "no ser divisible por ningnnmero entero ms que por s mismo y la unidad" se halla en correlacin con el nmero 17;evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada por esa expresin. Por otra parte,supongamos que la expresin definidora "ser el producto de algn nmero entero por smismo" se halla en correlacin con el nmero 15; est claro que 15 no posee la propiedaddesignada por la expresin. Describimos la situacin del segundo ejemplo diciendo que elnmero 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la del primer ejemplo, diciendo que elnmero 17 no tiene la propiedad de ser richardiano. Es decir, "x es richardiano, sii x notiene la propiedad designada por la expresin definidora con la que se halla relacionado enla serie ordenada de definiciones".

Ahora bien, la expresin definidora de ser richardiano describe una propiedad numrica delos enteros. La expresin misma pertenece, por tanto, a la serie de definiciones yaenunciadas antes. De aqu se desprende que la expresin est relacionada con un ciertonmero entero. Supongamos que este nmero es n. Es n richardiano?. La conclusin escontradictoria, pues n es richardiano sii, n carece de la propiedad designada por laexpresin (definidora) con la que est relacionado. Es decir, n es richardiano sii n no esrichardiano.

Podemos dar de lado a esta paradoja distinguiendo entre las proposiciones que se producendentro de la aritmtica y las proposiciones acerca de algn sistema de notacin en el que secodifica esa aritmtica. La construccin de esta paradoja sugiere la posibilidad de que sepueden "representar" declaraciones metamatemticas acerca de un sistema formalsuficientemente amplio dentro del sistema mismo.

La caracterstica fundamental de la representacin es que puede demostrarse que unaestructura abstracta de relaciones existente en un campo de "objetos" existe tambin entre"objetos" pertenecientes a otro campo diferente. Esta caracterstica es lo que impuls aGdel a construir sus pruebas. Si, como l esperaba, unas complicadas proposicionesmetamatemticas acerca de un sistema formalizado pudiesen ser traducidas a (o reflejadaspor) proposiciones aritmticas contenidas dentro del propio sistema, se habra dado un granpaso en el camino de facilitar las demostraciones metamatemticas.

La explotacin de la idea de la representacin es la clave de la argumentacin de Gdel.Gdel demostr que las proposiciones metamatemticas acerca de un clculo aritmticoformalizado pueden efectivamente ser representadas por frmulas aritmticas dentro delclculo. Ide un mtodo de representacin tal, que ni la frmula aritmtica correspondientea una determinada proposicin metamatemtica verdadera acerca de la frmula ni lafrmula aritmtica correspondiente a la negacin de la proposicin son demostrables dentrodel clculo. Comoquiera que una de estas frmulas aritmticas debe codificar una verdad


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aritmtica, ninguna de las cuales es, sin embargo, derivable de los axiomas, los axiomas sonincompletos. Este mtodo de representacin le permiti construir una frmula aritmticacorrespondiente a la proposicin metamatemtica "el clculo es consistente" y demostrarque esta frmula no es demostrable dentro del clculo. De ah se desprende que laproposicin metamatemtica no puede ser demostrada a no ser que se utilicen reglas de

deduccin que no puedan ser representadas dentro del clculo, de tal modo que, aldemostrar la proposicin, se deben emplear reglas cuya propia consistencia pueda ser tandiscutible como la consistencia misma de la aritmtica

6. Las pruebas de Gdel

6.1 La numeracin de Gdel

Gdel describi un clculo formalizado dentro del cual pueden expresarse todas lasacostumbradas notaciones aritmticas ya conocidas. Las frmulas del clculo estn

constituidas con una clase de signos elementales que constituyen el vocabulariofundamental. Los cimientos estn formados por un conjunto de frmulas primitivas, y losteoremas del clculo son frmulas.

Gdel demostr que es posible asignar un nico nmero a cada signo elemental o a cadafrmula (o sucesin de signos) y a cada prueba (o sucesin finita de frmulas). Este nmerorecibe el nombre de "nmero de Gdel" del signo, frmula o prueba.

Los signos elementales son de dos clases: constantes y variables. Supondremos que haydiez signos constantes, a los que se asocian, como nmero de Gdel, los nmeros enterosdel 1 al 10.

Tabla de signos constantes

Adems de los signos elementales constantes, aparecen tres clases de variables en elvocabulario fundamental del clculo: 1) las variables numricas, 'x', 'y', 'z'; 2) las variablessentenciales, 'p', 'q', 'r', y 3) las variables predicativas 'P', 'Q', 'R'. A estas variables seasignan nmeros de Gdel de acuerdo a las siguientes reglas: a) a cada variable numrica,un nmero primo mayor que 10; b) a cada variable sentencial el cuadrado de un nmeroprimo mayor que 10; y c) a cada variable predicativa el cubo de un nmero primo mayorque 10.

Tabla de signos variables

Consideremos ahora una frmula del sistema, por ejemplo, (x)(x=sy). Los nmerosasociados a sus diez signos elementales son

Es deseable, sin embargo, asimilar a la frmula un solo nmero en vez de un conjunto denmeros. Convenimos en asociar a la frmula el nico nmero que es el producto de losdiez primeros nmeros primos en orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevado a


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una potencia igual al nmero Gdel del correspondiente signo elemental. As, la frmulaanterior queda asociada al nmero

28345117913111751972313299

llamemos m a este nmero. De manera similar, se puede asignar a toda sucesin finita designos elementales y, en particular, a toda frmula, un nico nmero, el producto de tantosnmeros primos como signos haya.

Consideremos ahora la frmula ($x)(x=s0), y supongamos que su nmero de Gdel es n.Tenemos as la sucesin de frmulas

(x)(x=sy)(x)(x=s0)

cuyos nmeros de Gdel son, respectivamente, m y n. Igual que antes, es conveniente

disponer de un solo nmero que sirva de rtulo a la sucesin. Convenimos en asociarla conel nmero que es el producto de los dos primeros nmeros primos en orden de magnitud,estando elevado cada uno de los nmeros primos a una potencia igual al nmero de Gdelde la frmula correspondiente. Si llamamos k a ese nmero podemos escribir K = 2m3n.Por este procedimiento de condensacin podemos obtener un nmero para cada serie defrmulas. En resumen, toda expresin contenida en el sistema, sea un signo elemental, unasucesin de signos, o una sucesin de sucesiones, puede llevar asignado un nico nmerode Gdel.

Con ello, hemos aritmetizado completamente el clculo formal, dando un conjunto dereglas para establecer una correspondencia biunvoca entre las expresiones del clculo y

una cierta subclase de los nmeros enteros.

6.2 La aritmetizacin de la metamatemtica

El paso siguiente de Gdel es demostrar que todas las proposiciones metamatemticasacerca de las propiedades estructurales de las expresiones contenidas en el clculo puedenser adecuadamente reflejadas dentro del clculo mismo. La idea bsica es: puesto que todaexpresin del clculo est asociada a un nmero, puede construirse una proposicinmetamatemtica acerca de las expresiones y de sus recprocas relaciones como unaproposicin acerca de los correspondientes nmeros y de sus recprocas relacionesaritmticas. De esta manera queda completamente aritmetizada la metamatemtica.

Cada proposicin metamatemtica se halla representada por una nica frmula dentro de laaritmtica; y las relaciones de dependencia lgica entre las proposiciones metamatemticasse reflejan plenamente en las relaciones numricas de dependencia entre suscorrespondientes frmulas aritmticas. La exploracin de las cuestiones metamatemticaspuede ser desarrollada investigando las propiedades aritmticas y las relaciones de ciertosnmeros enteros.


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Como ejemplo, consideremos un axioma del sistema formal sujeto a examen: '(pp)p'.Supongamos que su nmero de Gdel es 'a'. Consideremos tambin la frmula '(pp)', ysupongamos que su nmero de Gdel es 'b'. Enunciamos ahora la proposicinmetamatemtica de que la frmula '(pp)' es una parte inicial del axioma. A qu frmulaaritmtica del sistema formal corresponde esta proposicin?. Es evidente que la frmula

ms pequea '(pp)' puede ser una parte inicial de la frmula mayor, que es el axioma, sii elnmero de Gdel, b, que representa a la primera es un factor del nmero de Gdel, a, querepresenta a la segunda. Supuesto que la expresin 'factor de' est convencionalmentedefinida en el sistema aritmtico formalizado, la nica frmula aritmtica que correspondea la declaracin metamatemtica antes enunciada es 'b es un factor de a'. Si esta frmula esverdadera, es cierto que '(pp)' es una parte inicial de '(pp)p'.

Fijemos ahora nuestra atencin en la frmula metamatemtica: La sucesin de frmulascon nmero de Gdel x es una prueba de la frmula con nmero de Gdel z. Estadeclaracin est representada por una frmula definida del clculo aritmtico que expresauna relacin entre x y z. Escribimos esta relacin entre x y z con la frmula 'Dem(x,z)', para

tener presente la proposicin metamatemtica a la que corresponde (la sucesin de frmulascon nmero de Gdel x es una prueba de la frmula con nmero de Gdel z).

Una proposicin metamatemtica que dice que una cierta sucesin de frmulas constituyeuna prueba de que una frmula dada es verdadera sii el nmero de Gdel de la pretendidaprueba estn con el nmero de Gdel de la conclusin en la relacin aritmtica designadacomo 'Dem'. Por consiguiente, para establecer la verdad o la falsedad de la proposicinmetamatemtica sujeta a examen slo nos interesa la cuestin de si la relacin Dem semantiene entre dos nmeros. Anlogamente, la proposicin metamatemtica 'La sucesinde frmulas con el nmero de Gdel x no es una prueba para la frmula con nmero deGdel z' se representa en el sistema aritmtico formalizado con una frmula definida. Tal

frmula es la contradictoria de 'Dem(x,z)', o sea, 'Dem(x,z)'.

La frmula '(x)(x=sy) tiene como nmero de Gdel m, mientras que el nmero de Gdelde la variable 'y' es 13. Si en dicha frmula sustituimos el nmero de Gdel 13 por elnumeral m, el resultado es la frmula '(x)(x=sm)', que dice que existe un nmero x tal quex es el sucesor inmediato de m. Esta frmula tambin tiene un nmero de Gdel que sepuede calcular; pero en vez de hacer el clculo podemos identificar el nmero mediante unacaracterizacin metamatemtica: es el nmero de Gdel de la frmula que se obtiene apartir de la frmula de nmero de Gdel m, sustituyendo la variable de nmero de Gdel 13por el numeral de m. Esta caracterizacin metamatemtica determina unvocamente unnmero definido, que es una cierta funcin aritmtica de los nmeros m y 13, en la que

puede ser expresada la funcin misma dentro del sistema formalizado. El nmero puede serdesignado dentro del clculo. Esta designacin ser escrita como 'sust(m,13,m)' siendo lafinalidad de esta forma recordar la caracterizacin metamatemtica que representa, es decir,'el nmero de Gdel de la frmula obtenida a partir de la frmula de nmero de Gdel m,sustituyendo la variable de nmero de Gdel 13 por el numeral de m'.

La expresin 'sust(y,13,y) es la imagen reflejada dentro del clculo aritmtico formalizadode la caracterizacin metamatemtica 'el nmero de Gdel de la frmula que se obtiene a


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partir de la frmula de nmero de Gdel y, sustituyendo la variable de nmero de Gdel 13por el numeral de y'. Cuando se sustituye 'y' por un numeral definido en 'sust(y,13,y) laexpresin resultante designa un nmero entero definido, que es el nmero de Gdel de unadeterminada frmula.

6.3 La argumentacin de GdelGdel mostr:

1. cmo construir una frmula aritmtica G que represente la declaracinmetamatemtica 'La frmula G no es demostrable'. La frmula 'Dem(x,z)'representa, dentro de la aritmtica formalizada, la proposicin metamatemtica 'lasucesin de frmulas con nmero de Gdel x no es una prueba de la frmula connmero de Gdel z'. Ahora introducimos el prefijo (x) en la frmula Dem. Esteprefijo equivale a la frase 'para todo x'. Anteponiendo este prefijo obtenemos lafrmula '(x)Dem(x,z)', que equivale a 'para todo x, la sucesin de frmulas con

nmero de Gdel x no es una prueba de la frmula con nmero de Gdel z'. Estafrmula es la parfrasis de 'la frmula con nmero de Gdel z no es demostrable'.Lo que Gdel demostr es que un determinado caso especial de esta frmula no esformalmente demostrable

2. Gdel mostr tambin que G es demostrable sii es demostrable su negacin formalG. Si una frmula y su negacin son ambas formalmente demostrables, el clculoaritmtico no es consistente. Por consiguiente, si el clculo es consistente, ni G niG son formalmente derivables de los axiomas de la aritmtica. Por tanto, si laaritmtica es consistente, G es una frmulaformalmente indecidible.

3. Gdel tambin mostr qQue aunque G no sea formalmente demostrable es, sinembargo, una frmula aritmtica verdadera. Es verdadera en el sentido de que

afirma que todo nmero entero posee una cierta propiedad aritmtica que puede serexactamente definida y presentada en cualquier nmero entero que se examine.

4. Puesto que G es al mismo tiempo verdadera y formalmente indecidible, los axiomasde la aritmtica son incompletos: no podemos deducir todas las verdades aritmticasde los axiomas. Gdel demostr adems que la aritmtica es esencialmenteincompleta: aun cuando se admitiesen nuevos axiomas, de tal modo que la frmulaverdadera G pudiera ser formalmente derivada de la incrementada serie de losmismos, todava podra construirse otra frmula verdadera pero formalmenteindecidible.

5. Gdel describi cmo construir una frmula aritmtica A que represente a laproposicin metamatemtica 'la aritmtica es consistente', y demostr que la

frmula 'AG' es demostrable. De aqu se desprende que la consistencia de laaritmtica no puede ser establecida por un argumento que pueda hallarserepresentado en el clculo aritmtico formal.

7. Otros resultados referentes a losfundamentos de la lgica y las matemticas


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Como acabamos de ver, en 1931 Gdel demostr que en un sistema formal (lgico omatemtico) que sea consistente y en cuyo interior se pretenda desarrollar acabadamente lalgica o la matemtica, existen proposiciones de dicho sistema que son indecidibles, estoes, que ni su afirmacin ni su negacin son demostrables, siendo una de ellas, precisamente,la que afirma que el sistema es consistente. Sin embargo, no es este el nico resultado

importante que se ha logrado en este siglo en lo que hace referencia al fundamento de lalgica y las matemticas. Otros resultados fundamentales han sido los siguientes:

7.1 El teorema de satisfaccin de Henkin

El teorema de satisfaccin de Henkin establece que "para cualquier conjunto de frmulas(A) de lgica elemental, si A es consistente, entonces A es simultneamente satisfacible en

un modelo enumerable". La demostracin del teorema comienza extendiendo al mximo elconjunto de frmulas "A" por adicin sucesiva de toda frmula posible que sea compatiblecon l, es decir, que no atente contra su consistencia. El resultado ser un conjuntoconsistente mximoque incluye al anterior. Este conjunto no slo es consistente, sino que

adems abarca toda frmula consistente.

7.2 El teorema de completud de la lgica cuantificacionalde primer orden de Gdel

En 1930 Gdel demostr la completud de la lgica cuantificacional de primer orden.Literalmente el Teorema de completud de Gdel establece: "Para toda frmula A de lalgica cuantificacional de primer orden, si A es lgicamente verdadera, entonces A es

deducible". Dicho formalmente: "Si |= A, entonces |- A". Esto quiere decir que el sistemaformal de la lgica cuantificacional ser completo si todas las frmulas que representan

verdades lgicas son formalmente deducibles en el sistema. La prueba del teorema decompletud se reduce a consignar las siguientes premisas:

1. A es lgicamente verdadera: |== A.2. Si A es lgicamente verdadera, entonces A es insatisfacible.3. Si A es insatisfacible, entonces A es inconsistente.4. Si A es inconsistente, entonces da lugar a contradiccin: A |- B y A |- B.5. Si A |- B y A |- B, entonces |- A.

La justificacin de estas premisas es la siguiente: 1) es la hiptesis del teorema decompletud; 2) se sigue de la definicin del concepto de frmula lgicamente verdadera: su

negacin ha de ser satisfacible; 3) es la contraposicin del teorema de Henkin; 4) es unmero anlisis de la definicin de inconsistencia, y finalmente 5) se basa en el teorema dededuccin, que permite pasar de A |- B y A |- B a |- A B y |- A B,respectivamente, y en Modus Ponens, que permite, con ayuda de estas dos ltimasfrmulas, eliminar los antecendentes en la ley de reduccin al absurdo (|- (A B) ((A B) A); de |- A se pasa a |- a mediante una aplicacin de MP a la ley dedoble negacin |- A A. Aceptadas estas premiss, se les aplica reiteradamente la reglaMP, empezando por 2) y 1), siguiendo con 3) y el consecuente de 2), y as sucesivamente,


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hasta liberar el consecuente de 5): |- A, que es justamente la tesis del teorema de Gdel, elcual queda, por tanto, demostrado.

5.1 Teorema de Lwenheim-Skolem

Del teorema de satisfaccin de Henkin se deriva como corolario el teorema de Lwenheim-Skolem: Si un conjunto de frmulas cualquiera A es simultneamente satisfacible encualquier dominio no vaco, entonces es simultneamente satisfacible en un dominio

enumerable.

5.2 Teorema de compacidad

Tambin es una consecuencia del teorema de satisfaccin de Henkin. Dice as: si todosubconjunto finito de un conjunto infinito de enunciados es satisfacible, entonces eseconjunto es, todo l, satisfacible.

5.3 Indecidibilidad de la lgica cuantificacional polidica(teorema de Church)

En 1936 Alonzo Church demostr la imposibilidad de encontrar un procedimientomecnico decisorio adecuado para la lgica elemental, incluyendo la lgica cuantificacionalpolidica. Este teorema de Church es, junto al teorema de incompletud de Gdel, uno de losdenominados teoremas de limitacin, que pusieron en crisis la ilimitada fe que hastaentonces se depositaba en los mtodos axiomticos y dieron lugar a una de las corrientesms fecundas de la investigacin lgico-matemtica: la teora de la computabilidad.

Partiendo del teorema de Gdel, Church prob que no es posible hallar una solucingeneral para el problema de la decisin en teora elemental de nmeros, es decir, que elsistema formal de la aritmtica es indecidible. Church demostr que el caso general delproblema de la decisin para un sistema formal de lgica elemental es insoluble, es decir:

la lgica elemental de la cuantifacin es indecidible(teorema de Church).

El inters fundamental de este teorema consiste en que por l se establece, o se quiereestablecer, la no mecanicidad de la lgica formal. Pues si bien es cierto que existenalgoritmos (procedimientos de decisin) que permiten resolver de modo mecnico grandesgrupos de problemas de lgica elemental, segn este teorema, no existe ni puede existir unalgoritmo que los resuelva mecnicamente todos. De aqu se deduce que la operacindeductiva de la razn no es totalmente mecanizable. En opinin de Church slo existe unalgoritmo que solucione un problema lgico o matemtico si existe una "mquina deTuring" que pueda computerizarlo. De este modo, para Church, la mente humana es comouna mquina de Tring, pero ms imperfecta.

5.4 La tesis de Chuch-Turing
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La tesis Church-Turing hace referencia a la nocin de una mtodo efectivoo mecnicoenlgica y matemticas. "Efectivo" y su sinnimo "mecnico" son trminos cambiantes enestas disciplinas: no mantienen su significado siempre. Un mtodo, o procedimiento, M,para alcanzar algn resultado deseado se denomina "efectivo" o "mecnico" cuando:

1.

M es expresado en trminos de un nmero finito de instrucciones exactas (cadainstruccin es expresada por medio de un nmero finito de smbolos);2. M debe, si no se produce ningn error, producir siempre el resultado deseado en un

nmero finito de pasos;3. M puede (en la prctica, o en principio) llevarse a cabo por un ser humano sin la

ayuda de ninguna mquina, simplemente con papel y lpiz;4. M no requiere ningn tipo de comprensin ni de ingenio por parte del humano que

intenta resolverlo.

Un ejemplo bien conocido de un mtodo efectivo es la tabla de verdad para latautologicidad. En la prctica, por supuesto, este test no puede realizarse en frmulas quecontienen un nmero muy grande de variables proposicionales, pero en principio unopodra aplicarlo exitosamente a cualquier frmula del clculo proposicional, con elsuficiente tiempo, tenacidad, papel y lpiz.

La afirmacin de que hay un mtodo efectivo para alcanzar tal resultado se expresacomnmente diciendo que hay un mtodo efectivo para obtener los valores de tal funcinmatemtica. Por ejemplo, la afirmacin de que hay un mtodo efectivo para determinar sicualquier frmula del clculo proposicional es o no una tautologa -v.g., el mtodo de lastablas de verdades expresada diciendo que hay un mtodo efectivo para obtener losvalores de una funcin, llammosla T, cuyo dominio es el conjunto de frmulas del clculoproposicional y cuyo valor para cualquier frmula x, escrito T(x), es 1 o 0 en funcin de six es, o no, una tautologa.

La nocin de un mtodo efectivo es una nocin informal, y se caracteriza, tal y como se hadicho, por la falta de rigor para el requisito clave de que el mtodo no exija comprensin oingenio, pues tal requisito permanece inexplicado. Uno de los logros de Turing fuepresentar un predicado formalmente exacto que permita reemplazar al predicado informal"puede ser calculado por medio de un mtodo efectivo". Church hizo lo mismo. Lospredicados que Turing y Church proponan reemplazar eran, a simple vista, muy diferentesuno de otro, pero eran equivalentes en el sentido de que cada uno seleccionaba el mismoconjunto de funciones matemticas. La tesis Church-Turing consiste en la asercin de queeste conjunto contiene toda funcin cuyos valores pueden obtenerse por un mtodo quesatisfaga las anteriores condiciones de eficacia. (Ciertamente, si las funciones del predicadoinformal, pero no del predicado formal, fueran verdaderas, entonces el ms reciente seramenos general que el anterior y por tanto no sera razonable reemplazarlo). Cuando la tesisse expresa en los trminos formales propuestos por Turing es apropiado referirse a ellacomo la "tesis de Turing"; y mutatis mutandisen el caso de Church.

El concepto formal propuesto por Turing es el de computable por una mquina de Turing.He afirmado que si hay (Tesis de Turing) un mtodo efectivo para obtener los valores deuna funcin matemtica, la funcin puede computarse en una mquina de Turing. La


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afirmacin inversa puede establecerse fcilmente. Un programa de una mquina de Turinges una especificacin de un mtodo efectivo: un ser humano puede trabajar con lasinstrucciones del programa y realizar las operaciones requeridas por este sin necesidad deacudir a la comprensin o al ingenio. Si la tesis de Turing es correcta, hablar sobre laexistencia o no de mtodos efectivos puede reemplazarse en matemticas y lgica por la

existencia o no de programas de mquinas de Turing.La tesis de Turing fue formulada por Turing as:

Tesis de Turing: Las MCLs [mquinas de computacin lgica: la expresinde Turing para las mquinas de Turing] pueden hacer cualquier cosa quepodamos describir como [un procedimiento] "puramente mecnico". (Turing1948:7.)

Y aadi:

Esto est tan bien establecido que es aceptado por muchos lgicos que"calculable por medio de una MCL" es el modo correcto de aludir a talesexpresiones. (Ibid.)

Turing introdujo esta tesis al argumentar que el Entscheidungsproblem, o problema de ladecisin, para el clculo de predicados -planteado por Hilbert- es insoluble. He aqu laformulacin de Church alEntscheidungsproblem:

Por el Entscheidungsproblem de un sistema de lgica simblica hay queentender el problema de encontrar un mtodo efectivo mediante el cual, dadacualquier expresin en la notacin del sistema, pueda determinarse si bien Qo no Q es demostrable dentro del sistema.

El test de las tablas de verdad es un mtodo de este tipo para el clculo proposicional.Turing mostr que, dada su tesis, no puede haber tal mtodo para el clculo de predicados.Demostr formalmente que no hay ninguna mquina de Turing que pueda determinar, enun nmero finito de pasos, si una frmula dada del clculo de predicados es o no unteorema del clculo. As, dada la tesis de que si tal mtodo efectivo existe, puede realizarsepor una de estas mquinas, se sigue que tal mtodo no puede encontrarse.

Church haba llegado al mismo resultado negativo unos meses antes, empleando elconcepto de definibilidad-lambda en lugar de computabilidad por una mquina de Turing.Church y Turing llegaron a este descubrimiento de un modo independiente uno de otro

Church usa la expresin (informal) "efectivamente calculable" para indicar que hay unmtodo efectivo para calcular los valores de la funcin. Propone

Definir la nocin... de una funcin efectivamente calculable de enterospositivos identificndola con la nocin de una funcin recursiva de enterospositivos (o con una funcin lambda-definible de enteros positivos)


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El concepto de funcin lambda-definible se debe a Church y Kleene y el concepto defuncin recursiva se debe a Gdel y Herbrand. La clase de las funciones lambda-definiblesy la clase de las funciones recursivas son idnticas. Esto fue establecido en el caso de lasfunciones de enteros positivos por Church y Kleene. Una vez admitida la propuesta deChurch, Turing estableci que el aparato de la lambda-definibilidad y su propio aparato de

computabilidad son equivalentes. As, en la propuesta de Church, las palabras "funcinrecursiva de los enteros positivos" puede reemplazarse por las palabras "funcin de losenteros positivos computable por una mquina de Turing".

El trmino "tesis Church-Turing" parece que fue introducido por Kleene, como una formade eliminar prejuicios a favor de Church:

Por tanto, las tesis de Turing y Church son equivalentes. Normalmente nosreferimos a ambas tesis como tesis de Church,o en conexin con una de susversiones que habla de "mquinas de Turing" como tesis Church-Turing.

Se acumul mucha evidencia a favor de la "hiptesis de trabajo" propuesta por Church yTuring en 1936. La mayor cantidad de estas evidencias fueron expuestas por C. S. Kleene:(1) Toda funcin efectivamente calculable que se ha investigado hasta ahora ha resultadoser computable por una mquina de Turing. (2) Todos los mtodos u operaciones conocidospara obtener nuevas funciones efectivamente calculables son mtodos paralelos paraconstruir nuevas mquinas de Turing a partir de una mquina de Turing dada. (3) Todos losintentos de hacer un anlisis exacto de la nocin intuitiva de funcin efectivamentecalculable han resultado ser equivalentes, en el sentido de que cada anlisis ofrecido se harealizado seleccionando la misma clase de funciones, verbigracia, las que son computablespor una mquina de Turing. Debido a la diversidad de los anlisis realizados, esto ltimo seconsidera como una evidencia fuerte

5. El sueo roto: verdad en lasmatemticas?Entre los matemticos circula este chiste: "Dios existe porque la matemtica est exenta decontradiccin, y el diablo existe porque la no contradiccin no se puede probar". En efecto,doscientos aos despus de Descartes la matemtica entr en una crisis tan radical quemuchos matemticos, pese a los pequeos xitos, perdieron la confianza en conseguir laverdad con la matemtica. Hasta entonces su progreso pareca rectilneo, constante eirresistible. Su aplicacin a la mecnica celeste, a la electricidad, a todos los sectores de lasciencias naturales y tcnicas ha trado enormes progresos en la humanidad. Podra hacerserealidad el sueo de Descartes de una ciencia matemtica universal? Ya Leibniz trat deelaborar un lenguaje matemtico unitario, postulando una characterstica de la razn envirtud de la cual las verdades de razn seran alcanzables mediante el clculo, al igual queen la aritmtica y en el lgebra, aplicando un mtodo deductivo.

La lgica matemtica de los siglos XIX y XX intent verificar la idea de Descartes yLeibniz. Pero en la segunda mitad del siglo XIX la teora de conjuntos, base de la actual


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matemtica, inicial por Cantor, hizo temblar la no contradiccin y la incontestabilidad de lamatemtica. El posterior desarrollo de la teora de conjuntos trajo consigo antinomias ycontradicciones: algunos asertos, relacionados con el concepto de "infinitud" podan ser almismo tiempo probados y refutados matemticamente. Sirva como ejemplo la antinomialgico-matemtica de Russell (y tambin de Burali y Forti) denominada el "conjunto de

todos los nmeros ordinales": Sobre cada conjunto de nmeros ordinales hay un nmeroordinal que es mayor que todos los nmeros ordinales que aparecen en el conjunto. Ahorabien, todo nmero ordinal que es mayor que el "conjunto de todos los nmeros ordinales"

no puede aparecer en este conjunto (pues es mayor que l), pero (tambin as se puede

probar) debe aparecer en dicho conjunto, ya que de lo contrario no se tratara del

conjunto de todos los nmeros ordinales.

Si estos resultados, por s solos, ya haban provocado inquietud, los resultados de Gdel yChurch vienieron a agravar la situacin. Pareca que el programa de Hilbert, el ms belloprograma de la historia de la humanidad, quedaba definitivamente arruinado. Anulaban losresultados de Gdel el programa de Hilbert? En parte s y en parte no. Anulaban elprograma de Hilbert en el sentido de que no se puede establecer -simultneamente- lacompletud y consistencia de un sistema axiomtico por mtodos puramente sintcticos.Ahora bien, s que hay un modo de salvar la consistencia de la aritmtica: este modoconsiste en recurrir a la semntica. Es decir, la garanta de la coherencia de los sistemasformales habr de buscarse en las interpretaciones que sean modelos de dichos clculos;esto dar lugar al surgimiento de la teora de modelos. Dado que es posible demostrar quesi un clculo admite un modelo, ese clculo es consistente, la tarea se centra ahora en labsqueda de modelos para nuestros clculos; pero con ellos hemos abandonado el terrenode la sintaxis y nos hemos adentrado en el terreno de la semntica.

En consecuencia, la situacin no parece tan grave, basta con cambiar el terreno de lasintaxis por el de la semntica para que todo siga funcionando. Sin embargo, algunosfilsofos han llegado a afirmar que el resultado de Gdel demuestra "el fracaso de lalgica" o hasta "el fracaso de la razn". Contra estas afirmaciones bastan las siguientespalabras de Manuel Sacristn:

[...] estas afirmaciones carecen de fundamento, como puede verse por lassiguientes consideraciones. En primer lugar, lo nico que demuestra elteorema de Gdel es que resulta imposible conseguir un conjunto deaxiomas y un juego de reglas de transformacin que suministren todas lasverdades formales expresables en el lenguaje de la lgica de predicados [...]En segundo lugar, el hecho de que la lgica misma haya descubierto ydemostrado los lmites o la inviabilidad de una realizacin universal delprograma algortmico, en su forma clsica, es ms bien un xito que unfracaso de la actividad capaz de tal resultado. El resultado mismo significaque el pensamiento racional puede saber cuales de sus actividades sonalgoritmizables, ejecutables (en principio) mecnicamente, y cules no;cules son, como suele decirse, trabajo racional mecnico, y cules trabajoracional productivo. Fracaso del pensamiento es ms bien la situacin en lacual el pensamiento no sabe cul es el alcance de su actividad, como suele


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ocurrir, dicho sea de paso, a muchos filsofos (Introduccin a la lgica y alanlisis formal, Barcelona, Crculo de Lectores, 1990, pp. 254 ss.)

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Tema 7 - La lógica como sistema formal axiomático

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