Tema 7 Traspas

1 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica

TEMA 7

Antenas lineales

Miguel Ángel Solano Vérez

Electrodinámica Tema 7: Antenas lineales 2

Índice:

1. Introducción 2. El dipolo de Hertz

Zona lejana Zona próxima

3. El dipolo no infinitesimal Delimitación de la zona lejana

4. Dipolo con corriente uniforme 5. Antena de lazo infinitesimal

Campos en la zona próxima Campos en la zona lejana

6. Antena de lazo no infinitesimal 7. Dualidad 8. Elementos lineales sobre planos conductores 9. Referencias


TEMA 8: ANTENAS LINEALES

Introducción

Tipos de antenas: Aplicaciones:

El dipolo de Hertz Dipolo infinitesimal en el origen de coordenadas con su eje alineado con el eje Z En forma fasorial

tωj0

tωj0 e)r(A)τ,r(A;e)r(J)τ,r(J rrrrrrrr

→→

L

z Θ P

de hilo o lineales de apertura

tipo reflector ranura en guías

agrupamientos o arrays

Bajas y altas frecuencias Comunicaciones en TV y radiofrecuencia Telefonía móvil Comunicaciones vía satélite etc....


'dvR

e)r(Jeπ4

μe)r(A'v

c/Rωjtωj0tωj ∫

−

=rr

rr

Dipolo infinitesimal y colocado en el origen rR rr=

'dl)z(I'dv)r(J'l'v∫∫ =

rr z

c/rωj0 aerπ4LIμA rr

−=

En coordenadas esféricas tendremos

rkj0θ

rkj0r

0

0

eθsenrπ4LIμA

eθcosrπ4LIμA

−

−

−=

=

El campo magnético será

φrkj

0

0

rθ

0φ

0

aerkj

11θsenrπ4LIkj

θA)Ar(

rrμ1aAx

μ1H

r

rrr

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

=∇=

El campo eléctrico

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∇= φθφr00

Hrrr

1aθsenHθθsenr

1aεωj

1Hxεωj

1E rrrr

desdoblando en componentes


rkj

0

0r 0e

rkj11

rθcos

rπ2LIZE −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

rkj22

000

0θ

0erk

1rkj

11θsenkjrπ4LIZE −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

ZONA LEJANA O ZONA DE RADIACIÓN

Se verifica que k0 r >> 1: k0=2π/λ0 r/λ0 >> 1, Los campos son

rkj0φ 0eθsen

rπ4LIkjH −=

rkj00θ

0eθsenrπ4LIZkjE −=

Campo radiado: onda tipo TEM No hay componente radial del campo (mucho menor) El campo varía como 1/r (Conclusiones generales para cualquier tipo de antena) ZONA PRÓXIMA O ZONA DE INDUCCIÓN Se cumple que k0 r << 1 r/λ0 << 1

( ) 1rkj1....2rkrkj1e 02

00rkj 0 ≈−≈+−−≈−

la zona en la que observamos el campo es mucho mayor que la longitud de onda.


θsenrπ4LIφH 2= ;

rεπ4θsenLQE;

rπε2θcosLQE

0

3

θ30

r ==

Campos iguales a los estáticos Variación radial 1/r2 y superior No corresponden a transporte de energía. Vector de Poyting Con campos de radiación

2r22

0022

22

rrφ*φθθrad

mwaθsenkZ

rπ32L|I|

aSa)r(Hxa)r(E21S

r

rrrr

=

===

Con los campos totales

2θθrr220

0032

22

θ

220022

22

rφ*φrrφ

*φθθtot

mwajSaS

rk11θcosθsenkZ

rπ16L|I|aj

θsenkZrπ32L|I|aaHxaE

21aHxaE

21S

rrr

rrrrrr

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=−=

radtot SSRerr

=

Q=-jI/ω.

Término real Densidad de potencia transportada

Término imaginario Almacenamiento de energía electromagnética

La potencia radiada se puede calcular únicamente con los campos en la zona de radiación

7 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Algunos parámetros característicos Intensidad de radiación )φ,θ(Φ : como la densidad de potencia media radiada por unidad de ángulo sólido. Diferencial de superficie en esféricas:

Ωdrφdθdθsenrad 22 == ; dΩ diferencial de ángulo sólido

2r rS)φ,θ(Φ =

Para el dipolo de Hertz, la intensidad de radiación es

θsenkZπ32

L|I|)θ(Φ 22002

22=

Potencia total radiada: Para el dipolo de Hertz será

watioskZπ12

L|I|

θsenθdθsenkZπ16

L|I|θsen)θ(ΦθdφdP

200

22

3π

0

2200

22π2

0

π

0

=

=== ∫∫ ∫

donde ( )34θdθ3senθsen3

41θdθsen

π

0

3π

0=−= ∫∫

Resistencia de radiación: resistencia que debería tener un circuito por el que circulara la corriente I para disipar la misma potencia que la potencia radiada por una antena. Dipolo de Hertz

200

22

r2 kZ

π12L|I|R|I|

21

=

Ωλ

πλ

ππ

2

02

2

002

002

rL80L

3Z2kZ

6LR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==


Ganancia directiva y Directividad: Antena isótropa: antena que radia igual en todas las direcciones Φ independiente de θ y φ:

π4PΦπ4ΦθsenθdφdΦP isoiso

π2

0

π

0iso =⇒== ∫ ∫

P potencia total radiada. Antena isótropa radiando la misma potencia que el dipolo de Hertz,

2002

22

iso kZπ48

L|I|Φ =

Ganancia directiva g(θ,Φ) de una antena: cociente entre su intensidad de radiación y la intensidad de radiación de una antena isótropa que radiase la misma potencia total que la antena en cuestión

P)φ,θ(Φπ4

Φ)φ,θ(Φ)φ,θ(g

iso==

siendo ∫= Ωd)φ,θ(ΦP la potencia radiada por la antena. Para dipolo de Hertz: θsen5,1)θ(g 2= Directividad D: máxima ganancia directiva. Para el dipolo de Hertz D=1,5 Significado:

El dipolo de Hertz radia en la dirección θ=π/2 1,5 veces más que si colocáramos en su lugar una antena isótropa que radiase, en total, su misma potencia.

9 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Patrón de radiación de una antena: es el gráfico de sus características de radiación en función de las coordenadas angulares.

Patrón de radiación plano E de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.

Patrón de radiación plano H de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.

campo electromagnético (eléctrico y/o magnético)

intensidad de radiación

patrón de radiación de campo patrón de radiación en potencia

Patrón de radiación de un dipolo infinitesimal colocado en el origen con su eje alineado según el eje Z.


El dipolo no infinitesimal

Dipolo no infinitesimal de longitud “L” colocado en el origen y con su eje dirigido según el eje Z.

Integral potencial vector magnético muy complicada

nos centraremos en la zona de radiación Aproximaciones: Para la amplitud R = r Para la fase: za'z'r rr

= , ( ) zyzy a'zzay'rrRazayr rrrrrrrr

−+=−=⇒+=

En la zona lejana r>>z’

θcos'zr'zθcos'zr2r

'z'zz2zy)'zz(y|R|R

22

22222

−≈+−=

=+−+=−+==r

utilizando 1xsinx1)x1( n <<+≈+ .

Z

X

Y

z’

R

r

P(0,y,z)

z-z’

Plano Φ=90º

r2= y2+ z2 z = r cos θ y = r sen θ

dz’

I(z’)

L

11 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Otra forma de llegar a esta aproximación para la que no es necesario basarse en cuestiones geométricas, es emplear la aproximación general vista en el capítulo anterior para el módulo de R

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−≈ 2r

'r.r1rRrr

θθ cos'zr

r'z.cosr1r

r'z.z1rR 22 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

Resumiendo

θcos'zrR:fasedetérminoslosPara

rR:amplituddetérminoslosPara

−≈

≈

Potencial vector magnético

'dzr

e)'z(Iπ4

μAL

)θcos'zr(kj0

z0

∫−−

=

Campo electromagnético en la zona de radiación

φz0

θz aθsenAωjZ1H;aθsenAωjE rrrr

==

Consecuencias

• El cociente entre HyErr

es impedancia intrínseca del vacío • H,E

rr y dirección de propagación forman un triedo recto

• El campo radiado no es una onda plana, ya que los frentes de onda no son planos. Sin embargo, a grandes distancias del emisor, podemos considerar el campo radiado como una onda localmente plana


Delimitación de la zona lejana

Situación geométrica para un dipolo en la zona de radiación Aproximación de R con tres términos en lugar de dos

r2θsen)'z(θcos'zrR

22+−=

¿A partir de qué distancia, que llamaremos rff, la aproximación habitual es suficientemente “buena”, o sea, no es necesario tener en cuenta el tercer sumando?

Se considera que esa distancia es la que se obtiene cuando el error por no tener en cuenta ese sumando no supere λ/16 en la fase, es decir

º5,22)rad(8π

16λ

λπ2rk 0

00 ===

El valor máximo de ese sumando se produce en z’=L/2 (siendo L la longitud del dipolo) y en θ=90º, es decir

0

2

ff0

ff

2

λL2r

16λ

r2)2/L(

=⇒=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>>>

>

0

ff

λrLr

rrradiacióndeolejanaZona

θ

z’ cos θ

r

R=r-z’ cos θ P

z


Dipolo con corriente uniforme Corriente que alimenta el dipolo Métodos aproximados Primera aproximación: corriente constante

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤===

casootroparaI

2/L|'z|,0'y,0'xparaI)'z(IdipoloelenCorriente

0

0

( )θcos2

Lkθcos2

LksenLIe

rπ4μ

θcoskjeeIe

rπ4μ

'dzr

e)'z(Iπ4

μA

0

00

rkj0

0

2/Lkj2/Lkj

0rkj0

2/L

2/L

)θcos'zr(kj0

z

000

0

0

−−

−

−

−−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

== ∫

φz0

θz aθsenAωjZ1H;aθsenAωjE rrrr

==

z

L/2

-L/2 x

θ

P z

I(z’)

L/2

-L/2

I0


Patrón de radiación de campo, normalizado

( )θcos2

Lkθcos2

Lksenθsen

(máx)EE)θ(F

0

0

θ

θ ==

Patrón de potencia normalizado es

2|)θ(F|)θ(P = En decibelios

|)(P|log10|)(F|log20|)(P|

|)(F|log20|)(F|

dB

dB

θθθ

θθ

==

=

Antena de lazo infinitesimal

Antena de lazo de radio “a” con corriente I0 El potencial vector magnético es

'dlR

e)'z,'y'.x(Iπ4

μ)z,y,x(Ac

Rkj

00 0

∫−

=r

x

y

Φ

Φ’

θ

Θ

dl’=a dΦ’ z

rr

Rr

P

I0

z

15 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica siendo la corriente

)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y,'x(Ia)'z,'y'.x(I zzyyxx0rrr

++=

En coordenadas cilíndricas

zz

φρy

φρx

II

'φcosI'φsenII

'φsenI'φcosII

=

+=

−=

y como el campo se expresa en coordenadas esféricas

φsenaθcosaa

φcosaφsenθcosaφsenθsenaa

φsenaφcosθcosaφcosθsenaa

θrz

φθry

φθrx

rrr

rrrr

rrrr

−=

−+=

−+=

la corriente se puede poner como

[ ]

[ ]

[ ])'φφ(cosI)'φφ(senIa

θsenI)'φφ(senθcosI)'φφ(cosθcosIa

θcosI)'φφ(senθsenI)'φφ(cosθsenIaI

φρφ

zφρθ

zφρr0

−+−−+

−−+−+

++−+−=

r

r

r

La corriente sólo tiene dirección Φ, luego

[ ] [ ] [ ])'φφ(cosIa)'φφ(senθcosIa)'φφ(senθsenIaI φφφθφr0 −+−+−=rrr


Por otro lado

[ ] 2122

2222222

)'φφ(cosθsenra2ar|'rr|R

a'y'xrzyx

0'zθcosrz

'φsena'yφsenθsenry

'φcosa'xφcosθsenrx

−−+=−=

=+=++

==

==

==

rr

Componente Φ del potencial vector magnético es

'φdR

e)'φφ(cosIπ4aμA

Rkj

φπ2

0

0φ

0−

−= ∫

Los campos no pueden depender de Φ, para Φ=0

( )

[ ]'φd

'φcosθsenra2ar

e'φcosIπ4aμA

2122

'φcosθsenra2arkjπ2

00

0φ

2122

0

−+=

−+−

∫

Si el lazo es pequeño (a<<λ0), la función siguiente

( )

[ ] 2122

'φcosθsenra2arkj

'φcosθsenra2ar

ef2

1220

−+=

−+−

desarrollo en torno a a=0 como


'φcosθsener1

rjk

af;

re)0(f

...aaf

!21a

af)0(ff

rjk2

0

0a

rjk

2

0a2

2

0a

00 −

=

−

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤∂∂

=

+⎥⎥⎦

⎤

∂

∂+⎥

⎦

⎤∂∂

+=

nos quedamos con los dos primeros sumandos

rjk2

0 0e'φcosθsenr1

rjka

r1f −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≈

rjk

0

02

02

0rjk0

20

rjk2

0π2

00

0φ

00

0

erjk

11r4

θsenIakjr1

rjkeθsenI

4aμ

'φde'φcosθsenr1

rjka

r1'φcosI

π4aμA

−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≈ ∫

resto de las componentes

0'φde'φcosθsenr1

rjka

r1'φsenθcosI

π4aμA

0'φde'φcosθsenr1

rjka

r1'φsenθsenI

π4aμA

rjk2

0π2

00

0θ

rjk2

0π2

00

0r

0

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−≈

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++≈

−

−

∫

∫

Campo electromagnético


( )( )

0H

erk1

rjk11

r4θsenIakH

erjk

11r2

θcosIakjH

φ

rjk2

00

02

0θ

rjk

02

02

0r

0

0

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

−

( )

0HH

erjk

11r4

θsenIakZE

rθ

rjk

0

02

00φ 0

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

Los campos producidos por un dipolo infinitesimal y un lazo infinitesimal son duales. La densidad de potencia radiada por el lazo infinitesimal

( ) ( ) 2*rφθ

*θφrr

*rθ

*θφφtot m

wHEaHEa21aHaHxaE

21S rrrrrr

+−=+=

Integrando a una esfera que contenga el lazo la componente θ de la densidad de potencia se anula y la componente radial del vector de Poynting complejo que es

( )( ) 23

02

220

40

0r mw

rk1j1

r32θsen|I|akZS ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

una vez integrada da la potencia compleja asociada al lazo

( )( )

watiosrk1j1|I|ak

12ZπsdSP 3

0

20

40

0

srr ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== ∫

r

Su parte real es la potencia radiada por el lazo


( ) watios|I|ak12ZπPReP 2

04

00

rrad ==

y la resistencia de radiación es

( ) OhmsλCπ20

λSk

3Zπ2|I|ak

6ZπR

4

0

22

0

0020

40

0r ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

S=πa2 : área del lazo, C=2πa: perímetro. Si la antena tiene N vueltas la resistencia de radiación hay que multiplicarla por N2.

Campos en la zona próxima (k0r<<1)

rjk2

002

φ

3

rjk0

2

θ

3

rjk0

2

r

0

0

0

eθsenr4IkajE

θsenr4eIaH

θcosr2eIaH

−

−

−

−≈

≈

≈

Campos en la zona lejana (k0r>>1)

( )

( ) rjk20

00

rjk02

00φ

rjk20

0rjk02

0θ

00

00

erλ

θsenISπZer4

θsenIakZE

erλ

θsenISπer4

θsenIakH

−−

−−

=≈

−=−≈


El cociente ente EΦ y Hθ (cambiado de signo) es la impedancia de onda de la onda TEM radiada por el lazo que coincide, además, con la impedancia intrínseca del vacío.

Se puede comprobar cómo, con los campos en la zona de radiación, se obtiene la potencia radiada por la antena.

La intensidad de radiación es

2φ

0

222

0

22200

r2 |E|

Z2rθsen|I|

4ak

2ZSr)θ(Φ =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

La directividad es

23

PΦπ4D

rad

máx ==

Antena de lazo no infinitesimal

• En este caso las integrales a realizar no se pueden realizar de forma analítica ni siquiera en la zona de radiación.

• Nos restringiremos únicamente a esa zona

yxzyx2 a'ya'x'r;azayaxr;r

'r.r1rR rrrrrrrrr

+=++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≈

'cossenar'senasensenr'cosasenr'yy'xx'r.r φθφφθφθ =+=+=rr

elegimos el plano Φ=0.

'cossenarr

'cossenar1rr

'r.r1rR 22 φθφθ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

rr

21 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica Sustituyendo en la ecuación del potencial vector magnético, se obtiene su componente Φ (las demás son nulas)

'de'cosr4

eaIA 'cossenakj2

0

rkj00 0

0

φφπ

μ φθπ

φ ∫−

=

Esta integral se puede poner en función de la función de Bessel de primera especie de orden 1 J1(k0 a sen θ) (ver referencia de Balanis), resultando

)senak(Jr2eaIjA 01

rkj00 0

θμ

φ

−=

y el campo electromagnético en la zona de radiación

)senak(JrZ2

eIaZE

H

)senak(Jr2eIajE

010

rkj00

0

01

rkj00

0

0

θμω

θμω

φθ

φ

−

−

−=−=

=

La densidad de potencia media-temporal es

( )

20212

0

20

20

r

2

0rrr

mw)senak(J

rZ8|I|)a(a

|E|Z21aSaHxERe

21S

θμω

φ

r

rrrrr

=

====

La intensidad de radiación es

)senak(JZ8

|I|)a(Sr)( 021

0

20

20

r2 θ

μωθΦ ==


La potencia radiada es

θθθμωπ

ΩθΦπ

dsen)senak(JrZ

|I|)a(d)(P 021

00

20

20

srad ∫∫ ==

Esta integral no tiene solución analítica y se suele aproximar dependiendo del tamaño del radio del lazo

• ak

1dsen)senak(J2/a0

021

00 ≈⇒≥ ∫ θθθλ

π

por lo tanto

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⇒=

0

22r

00

20

20

radC60a60R

akZ4|I|)a(P

λππ

μωπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

C682,0Dλ

siendo C=2πa el perímetro del lazo. • 2a6

00 λπ

λ ≤≤ la integral es complicada y necesita de resolución numérica mediante ordenador,

• 2senak)senak(J6a 0

010 θ

θπλ ≈⇒≤ que produce

los campos del dipolo infinitesimal.


Dualidad

• Si dos ecuaciones, describiendo distintos fenómenos, tienen la misma forma matemática sus soluciones son idénticas.

• Los fenómenos así se denominan duales y las variables colocadas en posiciones idénticas se llaman duales

• Si se conoce la solución a un fenómeno, intercambiando las variables duales se obtendrá la solución del otro.

Supongamos un medio 1 en el que existe una densidad de corriente eléctrica 1J

r

1111

111

JEjHx

HjEx

rrr

rr

+=∇

−=∇

εω

μω

Supongamos ahora un medio 2 en el que existe una densidad de corriente magnética 2M

r

2222

222

MHjEx

EjHx

rrr

rr

−−=∇

=∇

μω

εω


Las ecuaciones duales son

)A(0My0Jrrr

=≠ )F(0My0Jrrr

≠=

111 HjExrr

μω−=∇ 222 EjHxrr

εω=∇

1111 JEjHxrrr

+=∇ εω 2222 MHjExrrr

−+=∇− μω

1121

2 JAkArrr

μ−=+∇ 2222

2 MFkFrrr

ε−=+∇

'dvR

eJ4

ARjk

1'v

1 1−

∫=rr

πμ

'dv

ReM

4F

Rjk2

'v

2 1−

∫=rr

πε

Ax1H1

1rr

∇=μ

Fx1E2

2rr

∇−=ε

( )A.1jAjE11

1rrrr

∇∇−−=εωμ

ω ( )F.1jFjH22

2rrrr

∇∇−−=εωμ

ω

y las cantidades duales

)A(0My0Jrrr

=≠ )F(0My0Jrrr

≠=

1Er

2Hr

1Hr

2Er

− Jr M

r

Ar F

r

ε1 μ2

μ1 ε2

k1 k2

Z1 1/Z2

1/Z1 Z2


• Conclusión: si en un medio 1 una fuente eléctrica 1Jr

crea unos campos 11 HyE

rr y en un medio 2 una magnética 2M

r

crea unos campos 22 HyErr

, y hemos resuelto el problema en el medio 1 la solución al problema en el medio 2 (problema dual) es

SoluciónEHHE

12

1212

12

⎪⎩

⎪⎨⎧

↔

−↔⇒

⎭⎬⎫

↔↔

rr

rr

μεεμ

• Dipolo infinitesimal con corriente magnética Im

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

↓

↔

111

r1r11

em

aHHaEaEE

solución

soluciónII

φφ

θθrr

rrr

( )( )

εμεμ

μεεμ

θθ

φφ

↓↓↓↓

↔↔

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=↔

−=−↔

1212

r1r112

1112

yoercambiandint

aEaEEH

aHHErrrr

rrr


• Campos correspondientes a un dipolo infinitesimal con

corriente magnética Im

rkjm0 erkj

11senr4

LIkjE −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= θ

πφ

rkj

00

mr 0e

rkj11

rcos

rZ2LIH −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

θπ

rkj

2200

00

m 0erk

1rkj

11senkjrZ4

LIH −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= θ

πθ

Campos iguales a los del dipolo infinitesimal si

00m ISjLI μω= donde S es el área del lazo.

Elementos lineales sobre planos conductores

• Dependiendo de la frecuencia, las ondas electromagnéticas se propagan por el aire de distinta manera.

• Señales de extremadamente baja frecuencia (ELF) Propagación por reflexión en la ionosfera comunicación con submarinos

• Las señales de hasta unos pocos megahercios se propagan de forma similar a una onda superficial

onda media (AM) de las cadenas de radio • Las señales entre unos pocos megahercios hasta

aproximadamente 30 MHz, Comunicaciones a gran distancia (miles de kilómetros) onda corta


Dipolo eléctrico vertical sobre un plano conductor eléctrico perfecto

Θ1

Θ2

Er2 Er1

d Plano conductor

h

h

Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético

Conductor eléctrico perfecto

h

h

Eléctrico Eléctrico Magnético Magnético

Conductor magnético perfecto

Campo eléctrico nulo sobre el plano


La componente θ del campo eléctrico en el punto P

10 rkj1

1

00

d esenr4

LIZkjE −= θπθ

20 rkj2

2

00

r esenr4

LIZkjE −= θπθ

donde

[ ]

[ ] 2/1222

2/1221

)(coshr2hrr

coshr2hrr

θπ

θ

−−+=

−+=

h

h

r1

r2

r

θ1

Θ2

θ

Ψ

P(r,θ,Φ) Z

X

Y

Φ

Dipolo infinitesimal colocado perpendicularmente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)


amplitudlapararrr

faselaparacoshrr

coshrr

21

2

1

≈≈

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+≈

−≈

θ

θ

[ ]

[ ] 0zpara)coshk(cos2senr4

LIZkj

eesenr4

LIZkjE

2

00

)coshr(kj)coshr(kj

2

00

00

≥=

=+= +−−−

θθπ

θπ

θθθ

La potencia radiada es

h

h

r1

r2

r

θ

Ψ

P(r,θ,Φ)

Z

X

Y

Zona de radiación

Φ


( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

=== ∫ ∫

30

02

0

02

00

22

s

2/

00rrad

hk2hk2sen

hk2hk2cos

31LIZ

dsenr|E|Z

dsSP

λπ

θθπ π

θ

• k0h tiende a infinito la potencia radiada coincide con la del

dipolo aislado. • Si k0h tiende a cero la potencia radiada es el doble de la

radiada por el dipolo aislado La intensidad de radiación es

( )hk2cossenLI2

ZSr)( 022

2

0

0r

2 θλ

θΦ ==

Valor máximo en θ=π/2 (4 veces la del dipolo aislado)

2

0

0max

LI2

Z)2/(λ

πθΦ ==

La directividad es

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

=

30

02

0

0hk2

hk2senhk2

hk2cos31

2D

• Para k0h=2,881 (h=0,4585λ0) D=6,566 (4 veces la del

dipolo aislado.) • Para k0h=0 D=3 (doble que la del dipolo aislado)

31 Tema 7: Antenas lineales Electrodinámica La resistencia de radiación es

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−= 3

0

02

0

02

00rad hk2

hk2senhk2

hk2cos31LZ2R

λπ

Dipolo eléctrico infinitesimal colocado paralelamente a un plano conductor eléctrico perfecto (zona de radiación)

20

10

rkj

2

00

r

rkj

1

00

d

esenr4

LIZkjE

esenr4

LIZkjE

−

−

−=

=

Ψπ

Ψπ

Ψ

Ψ

coordenada Ψ es el ángulo que forma el eje del dipolo con el eje Z

( ) 2122

ry sensen1sensensena.acos φθΨφθΨ −=⇒==rr

h

h

r1

r2

r

θ

Ψ

P(r,θ,Φ)

Z

X

Y

Dipolo infinitesimal colocado paralelamente sobre un plano conductor eléctrico perfecto (plano XY)

Φ


Aproximaciones comunes para los términos r1 y r2

( )[ ]θφθ

πΨΨΨ

coshksenj2sensen1e

r4LIZkjEEE

022rkj

1

00

rd

10 −

=+=

−

esta ecuación da el campo eléctrico en la zona de radiación expresado como componente Ψ, que no es ninguna de la del sistema de coordenadas esféricas mostrado. Referencias [1] Stutzman, W. & Thiele, G.: "Antenna theory and design",

John Wiley & Sons, 1981. [2] Collin, R.E.: "Antennas and Radiowave Propagation",

McGrawHill, 1985. [3] Paul, C. & Nasar, S.: "Introduction to electromagnetic

fields", McGraw-Hill, 1988. [4] Iskander, M.F.: "Electromagnetic Field and Waves",

Prentice Hall, 1992. [5] Balanis, C.A.: “Antenna Theory: Analysis and Design”,

McGraw Hill, 1982.

Tema 7 Traspas

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